數(shù)學課堂探究：誘導公式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一直接利用誘導公式化簡、求值對于任意給定的角都要將其化成k·360°±α(k∈Z)，180°±α等形式進行求值，大體求值思路可以用口訣描述為“負變正，大變小,化為銳角范圍內(nèi)錯不了"．【例1】求下列各三角函數(shù)式的值:（1）msin＋ntan(－4π)＋pcos；(2）a2sin810°＋b2tan765°＋（a2－b2）tan1125°－2abcos360°．分析：利用誘導公式（一)、(二）求值即可．解：(1）因為sin＝sin＝sin＝－1，tan(－4π)＝tan0＝0，cos＝cos＝cos＝0，所以原式＝－m．（2)因為sin810°＝sin(90°＋2×360°）＝sin90°＝1，tan765°＝tan(45°＋2×360°)＝tan45°＝1，tan1125°＝tan(45°＋3×360°）＝tan45°＝1，cos360°＝cos0°＝1，所以原式＝a2＋b2＋a2－b2－2ab＝2a2－2ab．反思解決本題,可以得出的一般規(guī)律：求值、化簡時，一般先用誘導公式（二)把負角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù)值，再用誘導公式（一)將其轉(zhuǎn)化為[0，2π)內(nèi)的角的三角函數(shù)值．探究二利用誘導公式化簡利用誘導公式可在三角函數(shù)的變形過程中進行角的轉(zhuǎn)化．在求任意角的過程中，一般先把負角轉(zhuǎn)化為正角，正角轉(zhuǎn)化為［0°，360°)范圍內(nèi)的角，再將這個范圍內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為銳角．即【例2】化簡：．分析：利用誘導公式將290°,110°,250°角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為20°角的三角函數(shù)，再通過約分進行化簡．解：原式＝＝＝＝＝＝＝＝－1．規(guī)律總結(jié)充分觀察三角函數(shù)式中各個角的內(nèi)在聯(lián)系，利用誘導公式進行角的轉(zhuǎn)化,可達到統(tǒng)一角的目的,判斷兩個三角函數(shù)值的差的符號，一般先化為同名三角函數(shù)值，再結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線加以確定，一般地，如果α，β都是銳角,且α>β，則sinα>sinβ，cosα<cosβ，tanα〉tanβ．探究三利用誘導公式證明問題證明無條件恒等式的基本方法:（1）從一邊開始，證得它等于另一邊，可以由左邊推至右邊，或由右邊推至左邊，遵循的是由繁到簡的原則．(2）左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個式子．如左邊＝A，右邊＝A，則左邊＝右邊．(3)作差或作商法:即設法證明“左邊－右邊＝0”或“＝1，且右邊≠0”．例3】求證：＝tanα．分析：觀察被證等式兩端，左邊較為復雜,右邊較為簡簡，可以從左邊入手，利用誘導公式進行化簡，逐步推向右邊．證明：左邊＝＝＝tanα＝右邊,所以等式成立．反思利用誘導公式證明等式問題,關鍵在于公式的靈活應用．主要思路在于如何配角,如何分析角之間的關系．探究四給值（式)求值問題給值(或式)求值，解決的基本思路是認真找出條件式與待求式之間的差異性，主要包括函數(shù)名稱及角兩個方面，然后就是巧妙地選用公式“化異為同"或代入條件式求解．有時還需對條件式或待求式作適當化簡后再作處理．【例4】已知sin（π＋α）＝，求sin（2π－α）－cot（α－π)·cosα的值．解：由sin(π＋α)＝可得－sinα＝，即sinα＝－．所以sin(2π－α）－cot（α－π）·cosα＝－sinα－·cosα＝－sinα－·cosα＝－sinα－·cosα＝－sinα－＝－＝－＝2．反思根據(jù)給值式、被求式的特點，發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，恰當?shù)剡x擇公式，是做好本題的關鍵．【例5】已知cos＝，求cos－sin2的值．分析：注意到＋＝π，可以把＋α化成π－，且α－＝－，利用誘導公式即可．解:因為cos＝cos＝－cos＝－，sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝,所以