數(shù)學(xué)自我小測：等比數(shù)列的前N項和

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列的前5項的和為3，前15項的和為39，則該數(shù)列的前10項的和為(）A．3eq\r（2)B．3eq\r(13)C．12D．152．在等比數(shù)列{an}中，公比q≠1,它的前n項和為M，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(2,an）)）的前n項和為N，則eq\f(M,N)的值為（)A．2qnB．eq\f（1,2）a1qn－1C．eq\f(1，2）qn－1D．2qn－13．已知｛an｝是首項為1的等比數(shù)列，Sn是｛an｝的前n項和，且9S3＝S6，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（1,an）))的前5項和為(）A．eq\f(15，8）或5B．eq\f（31,16)或5C．eq\f(31，16）D．eq\f（15,8）4．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于(）A．80B．30C．26D．165．設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，若eq\f(S6,S3）＝3,則eq\f（S9，S6）等于()A．2B．eq\f（7,3)C．eq\f（8，3)D．36．從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是__________(用數(shù)字作答）．7．設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q≠1）,前n項和為Sn，若Sn＋1,Sn,Sn＋2成等差數(shù)列,則q的值為________．8．設(shè)等差數(shù)列{an｝的前n項和為Sn,則S4，S8－S4,S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn｝的前n項積為Tn，則T4，______，______，eq\f（T16,T12)成等比數(shù)列．9．已知｛an｝為等比數(shù)列,且a3＋a6＝36，a4＋a7＝18．（1）若an＝eq\f（1，2）,求n；(2)設(shè)數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，求S8．10．(2013·陜西高考,理17)設(shè){an｝是公比為q的等比數(shù)列．（1）推導(dǎo){an｝的前n項和公式；（2）設(shè)q≠1，證明數(shù)列｛an＋1}不是等比數(shù)列．參考答案1．解析:由題意可知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，即（S10－3）2＝3(39－S10)．解得S10＝12或S10＝－9(舍去）．答案:C2．解析：｛an}是公比為q的等比數(shù)列，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f（2,an)））是首項為eq\f（2，a1),公比為eq\f(1，q)的等比數(shù)列,代入等比數(shù)列的前n項和公式得eq\f（M，N）＝eq\f(1,2）qn－1．答案：C3．答案：C4．解析:若q＝1,由Sn＝na1＝2，知S3n＝3na1＝6≠14,故q≠1．則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝\f（a1（1－qn），1－q)＝2，,S3n＝\f（a1（1－q3n），1－q)＝14。)）解得qn＝2,eq\f（a1,1－q)＝－2．所以S4n＝eq\f（a1,1－q)(1－q4n）＝(－2)×(1－24）＝30．答案：B5．解析：設(shè)其公比為q,由已知可得eq\f（S6,S3)＝eq\f(1－q6，1－q3）＝1＋q3＝3，∴q3＝2．eq\f（S9，S6）＝eq\f(1－q9,1－q6）＝eq\f(1－23,1－22)＝eq\f（7，3)．答案：B6．解析：方法一:從12名醫(yī)生中任選5名，不同選法有＝792種．不滿足條件的有：只去骨科和腦外科兩科醫(yī)生的選法有＝21種，只去骨科和內(nèi)科兩科醫(yī)生的選法有－＝55種，只去腦外科和內(nèi)科兩科醫(yī)生的選法有－＝125種，只去內(nèi)科一科醫(yī)生的選法有＝1種，故符合條件的選法有792－21－55－125－1＝590種．方法二:設(shè)選骨科醫(yī)生x名,腦外科醫(yī)生y名，則需選內(nèi)科醫(yī)生（5－x－y)人．(1)當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，有··＝120種不同選法;(2）當(dāng)x＝1，y＝2時，有··＝180種不同選法；（3)當(dāng)x＝1，y＝3時，有··＝60種不同選法；(4）當(dāng)x＝2，y＝1時，有··＝120種不同選法；（5)當(dāng)x＝2,y＝2時，有··＝90種不同選法；(6）當(dāng)x＝3，y＝1時，有··＝20種不同選法．所以不同的選法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590種．答案：5907．解析:Sn＝eq\f（a1（1－qn)，1－q)，2Sn＝Sn+1＋Sn+2，則有2·eq\f(a1(1－qn)，1－q）＝eq\f(a1(1－qn＋1），1－q)＋eq\f（a1（1－qn＋2）,1－q),∴q2＋q－2＝0．∴q＝－2．答案:－28．解析：∵b1b2b3b4＝T4，eq\f(T8，T4)＝b5b6b7b8＝b1·q4·b2·q4·b3·q4·b4·q4＝T4·q16，eq\f（T12,T8）＝T4·q32，eq\f（T16，T12）＝T4·q48，故T4，eq\f(T8,T4），eq\f（T12，T8），eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．答案：eq\f(T8，T4)eq\f（T12，T8）9．已知｛an｝為等比數(shù)列，且a3＋a6＝36,a4＋a7＝18．（1)若an＝eq\f(1，2）,求n；（2）設(shè)數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，求S8．解：設(shè)an＝a1qn－1，由題意,解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝128,,q＝\f（1,2),）)進而an＝128·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)))n－1．（1）由an＝128·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）））n－1＝eq\f（1，2）,解得n＝9．（2）Sn＝eq\f(a1（1－qn)，1－q)＝256eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）n)）,∴S8＝256×eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)8)）＝255．10．（1)解：設(shè)｛an}的前n項和為Sn，當(dāng)q＝1時，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，（1－q）Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q），∴Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（na1，q＝1，,\f（a1(1－qn），1－q),q≠1。）)(2）證明：假