數(shù)學自我小測：第二講四弦切角的性質(zhì)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，D為BC延長線上一點,PC切⊙O于C點，∠PCD＝20°，則∠A等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．如圖,在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC平分∠BAD，EF切⊙O于C點，那么圖中與∠DCF相等的角的個數(shù)是()A．4B．5C．6D．73．如圖所示,四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,AB是直徑,MN是⊙O的切線,C為切點．若∠BCM＝38°，則∠B等于()A．32°B．42°C．52°D．48°4．如圖,AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于點C,AD⊥EF于點D，AD＝2，AB＝6，則AC的長為（)A．2B．3C．2eq\r（3）D．45．如圖,AB是⊙O的直徑，PB，PE分別切⊙O于B,C，若∠ACE＝40°，則∠P＝__________。6．已知AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，A是切點，如果∠PAB＝30°,那么∠AOB＝________.7．如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上．延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝__________。8．如圖，AB是⊙O的直徑,直線CE與⊙O相切于點C，AD⊥CE于D.若AD＝1，∠ABC＝30°，求⊙O的面積．9．如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連接DG并延長交圓于點A,作弦AB垂直EP，垂足為F.（1）求證：AB為圓的直徑；（2）若AC＝BD，求證：AB＝ED。10．如圖,BC為⊙O的直徑，＝，過點A的切線與CD的延長線交于點E.（1)試猜想∠AED是否等于90°？為什么？（2）若AD＝2eq\r（5），ED∶EA＝1∶2,求⊙O的半徑；(3）在（2)的條件下，求∠CAD的正弦值．

參考答案1．A2．解析：∠DCF＝∠DAC,∠DCF＝∠BAC,∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC。答案：B3．解析：連接AC,如圖所示．∵MN切圓于C，BC是弦，∴∠BAC＝∠BCM?！逜B是直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠B＋∠BAC＝90°.∴∠B＋∠BCM＝90°,∴∠B＝90°－∠BCM＝52°.答案：C4．解析：連接BC，如圖所示．∵EF是⊙O的切線，∴∠ACD＝∠ABC.又AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.又AD⊥EF，∴∠ACB＝∠ADC?！唷鰽DC∽△ACB.∴eq\f(AB，AC）＝eq\f(AC,AD)?！郃C2＝AD·AB＝2×6＝12,∴AC＝2eq\r（3）.答案：C5．解析:如圖所示，連接BC,則∠ACE＝∠ABC,∠ACB＝90°。又∠ACE＝40°,則∠ABC＝40°.所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－40°＝50°，∠ACP＝180°－∠ACE＝140°.又AB是⊙O的直徑，則∠ABP＝90°。又四邊形ABPC的內(nèi)角和等于360°，所以∠P＋∠BAC＋∠ACP＋∠ABP＝360°。所以∠P＝80°.答案:80°6．解析：∵弦切角∠PAB＝30°，∴它所夾的弧所對的圓周角等于30°,所對的圓心角等于60°.答案：60°7．解析：連接OC.∵AB為圓O的直徑,∴AC⊥BC。又BC＝CD,∴AB＝AD＝6，∠BAC＝∠CAD。又CE為圓O的切線，則OC⊥CE?！摺螦CE為弦切角,∴∠ACE＝∠B.∴∠ACE＋∠CAD＝90°?！郈E⊥AD。又AC⊥CD，∴CD2＝ED·AD＝2×6＝12，即CD＝2eq\r（3).∴BC＝2eq\r(3)。答案：2eq\r(3）8．解：∵DE是切線，∴∠ACD＝∠ABC＝30°。又∵AD⊥CD,∴AC＝2AD＝2.又∵AB是直徑,∴∠ACB＝90°。又∵∠ABC＝30°,∴AB＝2AC＝4，∴OA＝eq\f（1,2）AB＝2.∴⊙O的面積S＝π·OA2＝4π。9．證明：(1)因為PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD為切線,故∠PDA＝∠DBA。又由于∠PGD＝∠EGA,故∠DBA＝∠EGA,所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，從而∠BDA＝∠PFA。由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°.于是∠BDA＝90°.故AB是直徑．（2）連接BC,DC。由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝90°。在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，從而Rt△BDA≌Rt△ACB。于是∠DAB＝∠CBA。又因為∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE為直角．于是ED為直徑．由（1）得ED＝AB.10．解：(1)∠AED＝90°。證明：連接AB，∵BC為直徑，∴∠BAC＝90°.又∵AE切⊙O于A,＝，∴∠EAD＝∠ACB。又∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠ADE＝∠ABC，∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB＝90°.(2）∵AD＝2eq\r（5），DE∶EA＝1∶2，∠AED＝90°，∴ED＝2，EA＝4.又AB＝AD＝2eq\r（5)，△EAD∽△ACB,∴eq\f(AD,BC）＝eq\f（ED,AB）.∴BC＝eq\f(AD·AB,ED)＝eq\f(2\r(5)2,2）＝10.∴⊙O的半徑為5。(3)連接AB,過D作DF⊥AC于F.∵在△ABC中，AC＝4eq\r（5）；在△AEC中,CE＝8，∴CD＝6。又△CDF∽△CBA，∴eq\f（DF，AB)＝eq\f(CD,CB).∴DF＝eq\f(CD·AB，CB)＝eq\f(6×2\r(5)，10)＝eq\f（6\r(5）,5）?！鄐in∠CAD＝eq\f(DF,AD)＝eq\f（\f（6\r（5）,5),2\r（5))＝eq\f（3,5）.備選習題分析：(1）很明顯∠ABE＝∠ACD,只需證明∠BAE＝∠CAD,轉(zhuǎn)化為證明∠BAE＝∠CDB，∠CDB＝∠DCN,∠DCN＝∠CAD.(2)轉(zhuǎn)化為證明∠BEC＝∠ECB。證明:(1)∵BD∥MN，∴∠CDB＝∠DCN。又∠BAE＝∠CDB,∴∠BAE＝∠DCN。又直線MN是⊙O的切線，∴∠DCN＝∠CAD.∴∠BAE＝∠CAD.又∠ABE＝∠ACD,A