2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高三（上）診斷數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高三（上）診斷數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?2<x<4}，B={x|x2?2x?3>0}，則A∩B=A.(?2,?1) B.(3,4) C.(?1,3) D.(?2,?1)∪(3,4)2.已知復(fù)數(shù)z滿足(z?1)i=1，則z=(

)A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i3.“xy>0”是“x>0，y>0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知a=(1,1)，b=(1,0)，若(a+λbA.?2 B.2 C.?1 D.15.已知奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，則f(x)可以是(

)A.1x+x B.1x?x C.6.已知{an}是等比數(shù)列，且a1=1，a2a3=8，A.a4=16 B.S5=32 C.7.已知△ABC的三個頂點(diǎn)在半徑為2的球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則三棱錐O?ABC的體積為(

)A.12 B.13 C.38.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx?π3)(ω>0)在(π2,π)A.(1,2) B.(1,43] C.(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c且a=3，b=5，c=2A.△ABC是銳角三角形B.B=π4C.△ABC的面積為32D.10.已知定義域?yàn)閆的函數(shù)f(x)滿足對于任意x，y∈Z，都有f(x+y)=f(x)f(1?y)+f(1?x)f(y)，且f(1)=1，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(2)=0 B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱

C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱 D.f(2025)=?111.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，CC1=1，ACA.直線AB與平面AB1C1所成角為30° B.直線AC1與平面BCC1B1所成角為45°

C.點(diǎn)C到直線A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a3+a413.已知函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,?1)，則不等式f(x)<f(2x?1)14.如圖，扇形OPQ的半徑為1，圓心角∠POQ=120°，A是扇形弧上的動點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形，則矩形ABCD面積的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知集合A={x|0<log2x≤1}，B={y|y=2x}.

(1)求A∩B；

(2)若f(x)=216.(本小題15分)

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足a4?a2=12，a3=8．

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=3sinxcosx?cos2x+12，x∈R，設(shè)銳角△ABC三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c．

(1)若a=7，f(A)=1，2sinB=3sinC，求b，c的值；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個單位后得到函數(shù)18.(本小題17分)

如圖，三棱錐P?ABC中，AB⊥AC，AB=AC=PA，∠PAB=∠PAC=60°，O為BC中點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足BQ=AP．

(1)證明：OP⊥平面ABC；

(2)求二面角A?BC?Q的大??；

(3)在線段BQ上是否存在一點(diǎn)M，使得直線AM與平面BCQ所成角的正弦值為7719.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex，令a1>0，過點(diǎn)(a1,f(a1))作曲線y=f(x)的切線，交x軸于點(diǎn)(a2,0)，再過(a2,f(a2))作曲線y=f(x)的切線，交x軸于點(diǎn)(a3,0)，…，以此類推，得到數(shù)列{an}(n∈N?).

(1)參考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.B

9.BC

10.AC

11.BCD

12.145

13.{x|114.315.解：(1)由題意得A={x|0<log2x≤1}={x|1<x≤2}，B={y|y>0}，

∴A∩B=(1,2]；

(2)由題意得f(x)=2x+a2x的定義域?yàn)镽，且f(x)是奇函數(shù)，

∴f(0)=1+a=0，∴a=?1，f(x)=2x?12x，經(jīng)檢驗(yàn)合題意，

∵f(x)=2x16.解：(1)設(shè)單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q，

由a4?a2=12，a3=8，可得a1q3?a1q=12，a1q2=8，

解得a1=q=2或a1=32，q=?12(舍去)，

∴an=2n(n∈N?)；

(2)由(1)可得bn=(n?4)×217.解：(1)由題意得f(x)=32sin2x?12cos2x=sin(2x?π6)，

∴f(A)=sin(2A?π6)=1，

∵0<A<π2，∴A=π3，

∵2sinB=3sinC，由正弦定理可得2b=3c，

∵a=7，由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA=9c24+c218.解：(1)證明：連接AO，

∵AB=PA，∠PAB=60°，

∴△PAB是正三角形，得PB=AB=PA，

同理可得PC=AB，

∴PB=PC，又BO=CO，∴OP⊥BC，

∵AB=AC，∴AO⊥BC，

∵AB⊥AC，

∴AO=BO=12BC，結(jié)合OP⊥BC，

得PB2=OP2+BO2，

∴PA2=PB2=OP2+BO2=OP2+AO2，

∴OP⊥AO，

∵AO∩BC=O，AO，BC在平面ABC內(nèi)，

∴OP⊥平面ABC；

(2)由(1)得OP⊥AO，OP⊥BO，AO⊥BO，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,?1,0)，P(0,0,1)，

∵BQ=AP，∴Q(?1,1,1)，

OP=(0,0,1)是平面ABC的一個法向量，

設(shè)m=(x,y,z)是平面BCQ的一個法向量，則m⊥BCm⊥BQ，

即?2y=0?x+z=0，取z=1，得m=(1,0,1)，

∴cos<19.解：(1)證明：根據(jù)已知得曲線y=f(x)在點(diǎn)(an,f(an))處的切線方程為y?f(an)=f′(an)(x?an)，

所以y?ean=ean