山東湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2018年高考沖刺模擬試卷（4）理科數(shù)學(xué)試題

齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2018年高考沖刺模擬試卷（4）理科數(shù)學(xué)試題命題：重慶一中(李紅林)審題：山東臨沂一中（冉祥寧）山東鄒城一中（蔣雷）湖北天門中學(xué)（孫有林）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（原創(chuàng)，容易）設(shè)集合，，則（D）A．B．C．D．解析：，所以，選D【考點(diǎn)】集合運(yùn)算及簡單的一元二次不等式2．（原創(chuàng)，容易）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且，則復(fù)數(shù)=（C）A．B．1C．D．解析：，所以，選C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算及幾何意義3．（改編，容易）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地．”，請(qǐng)問此人第5天走的路程為（D）A．36里B．24里C．18里D．12里解析：設(shè)第天走的路程里數(shù)為，可構(gòu)成數(shù)列，依題意知為公比的等比數(shù)列，所以，選D【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和4.（原創(chuàng)，容易）若滿足約束條件，且，則的最大值為（C）A．1B．4C．7D．OyxCBA(1,2)解析：由題,畫出可行域?yàn)槿鐖D區(qū)域，，當(dāng)在處時(shí)，，選COyxCBA(1,2)【考點(diǎn)】線性規(guī)劃5.（原創(chuàng)，中檔）為了估計(jì)橢圓在平面內(nèi)圍成的面積，用隨機(jī)模擬的方法由計(jì)算機(jī)設(shè)定在內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生10個(gè)隨機(jī)數(shù)組如下表，得到10個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，，，則由此可估計(jì)該橢圓所圍成的面積為（B）A．B．6.4C．D．編號(hào)12345678910010.21.20121.70.80.90.71.31.40.51.60.60.41.60.32解析：由圖所示：正方形內(nèi)包含了橢圓在一象限內(nèi)的部分（包含與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）022xy1驗(yàn)證知，，，共4個(gè)點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以估算橢圓022xy1占正方形面積的，選B【考點(diǎn)】隨機(jī)數(shù)、幾何概型6．（原創(chuàng)，中檔）一個(gè)幾何體三視圖如下，則其體積為（D）A．12B．8C2424234俯視圖側(cè)視圖正視圖432解析：在長方體中進(jìn)行割補(bǔ)得如圖幾何體，為一個(gè)三棱錐（粗線畫的圖形），其體積，選D【考點(diǎn)】三視圖還原及多面體體積7.（改編，中檔）如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（B）把的右數(shù)第位數(shù)字賦給是否開始輸入輸出結(jié)束把的右數(shù)第位數(shù)字賦給是否開始輸入輸出結(jié)束解析：經(jīng)計(jì)算得，選B【考點(diǎn)】算法及流程圖8．（原創(chuàng)，中檔）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程為，則函數(shù)的最大值為（D）A．1B．C．D．2解析：由題，為最值點(diǎn)，所以最大值為2，選D【考點(diǎn)】三角運(yùn)算及幾何意義9.（原創(chuàng)，中檔）已知直線被圓截得的弦長為，則的最大值為（A）A．B．C．D．5解析：圓心到直線的距離令所以所求最大值為，選A【考點(diǎn)】直線和圓，三角換元10.（原創(chuàng)，較難）已知中，，為線段上任意一點(diǎn)，則的范圍是(D)A.B.C.D.解析：法1：易求得，取中點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)在處時(shí)，所以,選D法2：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸、為軸建系，則，設(shè)所以選D【考點(diǎn)】余弦定理、平面向量的數(shù)量積及幾何意義11.（原創(chuàng)，較難）已知三棱錐所有頂點(diǎn)都在球的球面上，為邊長為的正三角形，是以為斜邊的直角三角形，且，二面角為，則球的表面積為（B）A．B．C．D．解析：作圖如下：為經(jīng)過外接圓圓心，為經(jīng)過外接圓圓心，則為中點(diǎn)，取中點(diǎn)，則為二面角的平面角，易得，，，由余弦定理得，由正弦定理得，MCBAOO1OMCBAOO1O2D【考點(diǎn)】線面垂直、二面角、正余弦定理、球表面積公式12.（原創(chuàng)，難）已知拋物線，過焦點(diǎn)的弦（點(diǎn)在一象限），，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為（B）A.B.C.3D.4解析：設(shè),易知，設(shè)直線由所以易知，所以當(dāng)時(shí)，,選B【考點(diǎn)】直線與拋物線、韋達(dá)定理、導(dǎo)數(shù)及函數(shù)最值二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。13.（原創(chuàng)，容易）的解集為解析：答案：【考點(diǎn)】簡單的對(duì)數(shù)不等式14.（原創(chuàng)，容易）一個(gè)工人準(zhǔn)備把4件相同的貨物全部搬運(yùn)至倉庫，每次最少搬運(yùn)1件，最多搬運(yùn)2件，則他不同的搬運(yùn)種數(shù)為(填寫準(zhǔn)確數(shù)字)解析：分類計(jì)數(shù)：每次都搬1件——1種；1個(gè)2件，2個(gè)1件——種；2個(gè)2件——1種。共種。答案：5【考點(diǎn)】排列組合15.（原創(chuàng)，較難）的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，且，則=解析：2a2aMABC所以所以所以答案：（也可以兩次應(yīng)用余弦定理求解，略。）【考點(diǎn)】解斜三角形：正余弦定理、面積公式、平面向量基本定理16.（改編，難）函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的值為解析：分別設(shè)切點(diǎn)為，所以，所以公切線為（前面分母做了修改）設(shè)又答案：4【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)、均值不等式 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本題滿分12分）（原創(chuàng)，容易）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則由得，…………4分所以，即…………6分（2）由（1）可得，所以…………8分…………10分易知在增，當(dāng)時(shí)，所以…………12分【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和、不等式恒成立18.（本題滿分12分）（原創(chuàng)，容易）某種植物感染病毒極易導(dǎo)致死亡，某生物研究所為此推出了一種抗病毒的制劑，現(xiàn)對(duì)20株感染了病毒的該植株樣本進(jìn)行噴霧試驗(yàn)測(cè)試藥效.測(cè)試結(jié)果分“植株死亡”和“植株存活”兩個(gè)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)；并對(duì)植株吸收制劑的量(單位：mg)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).規(guī)定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上為“足量”，否則為“不足量”.現(xiàn)對(duì)該20株植株樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中“植株存活”的13株，對(duì)制劑吸收量統(tǒng)計(jì)得下表.已知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共1株.編號(hào)0102030405060708091011121314151617181920吸收量(mg)683895662775106788469（1）完成以下列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān)？ 吸收足量吸收不足量合計(jì)植株存活1植株死亡合計(jì)20（2）①若在該樣本“吸收不足量”的植株中隨機(jī)抽取3株，記為“植株死亡”的數(shù)量，求得分布列和期望；②將頻率視為概率，現(xiàn)在對(duì)已知某塊種植了1000株并感染了病毒的該植物試驗(yàn)田里進(jìn)行該藥品噴霧試驗(yàn)，設(shè)“植株存活”且“吸收足量”的數(shù)量為隨機(jī)變量，求.參考數(shù)據(jù)：，其中解析：(1)由題意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填寫列聯(lián)表如下： 吸收足量吸收不足量合計(jì)植株存活12113植株死亡347合計(jì)15520…………………3分所以不能在犯錯(cuò)誤概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān).………6分(2)①樣本中“制劑吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株，所以抽取的3株中的可能取值是2,3.其中，………………8分的分布列為：23所以.………10分②“植株存活”且“制劑吸收足量”的概率為 ………………12分OAOABCDP19．（本題滿分12分）（原創(chuàng)，中檔）在四棱錐中,，為等腰梯形，且，．（1）若，試確定實(shí)數(shù)的值，使；（2）若，求直線與面所成角的正弦值.解：（1）當(dāng)時(shí)，證明：設(shè)，連，由，可得，所以．此時(shí)，由，，故．……6分（2）設(shè)，易得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)平面的法向量為，可得，令，解得所求二面角為，則，（公式作了修改）MzxyxxxOAMzxyxxxOABCDP【考點(diǎn)】立體幾何：線面平行、線面角20．（本題滿分12分）（原創(chuàng)，難）已知點(diǎn)及直線，若動(dòng)點(diǎn)到直線的距離滿足（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)在軸上方，斜率為正的直線交軌跡于另一點(diǎn)，若以為圓心，為半徑的圓與直線沒有公共點(diǎn)，求直線斜率的取值范圍.解析：（1）設(shè)，由題意……4分（2）設(shè)，到距離為，設(shè)則又（當(dāng)橢圓右頂點(diǎn)，橢圓左頂點(diǎn)）所以設(shè)由…………6分…………8分，令………………10分所以…………12分【考點(diǎn)】軌跡方程、直線與圓和橢圓的位置關(guān)系、函數(shù)值域，極坐標(biāo)21．（本題滿分12分）（原創(chuàng)，難）已知函數(shù)（1）求的最小值；（2）當(dāng)取得最小值時(shí)，若方程無實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）（答案整體作了修正），所以在減，增此時(shí)恒成立，所以減，增 所以，此時(shí)………………4分（2）由（1），令,……………5分法1：①當(dāng)時(shí)，,此時(shí)原方程無實(shí)根，適合題意.…………7分②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)原方程無實(shí)根，適合題意.…………9分③當(dāng)時(shí),，由（1）知：，自變量取可得：由，自變量取可得：，則可得：當(dāng)時(shí)，，設(shè)則，又圖象在連續(xù)，所以在必有零點(diǎn)，方程有實(shí)根，不適合題意.………11分 （或若必有零點(diǎn)，酌情給分.）綜上方程無實(shí)根.…………12分法2：由(1)，令,……………5分①當(dāng)時(shí)，,此時(shí)原方程無實(shí)根，適合題意.………7分②當(dāng)時(shí),，此時(shí)原方程無實(shí)根，適合題意.………………9分③當(dāng)時(shí)，同法1，在必有零點(diǎn)，原方程有實(shí)根，不適合題意.……………11分綜上方程無實(shí)根.…12分法3：……………6分由（1）令，則可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以時(shí)，有最小值；……………8分由，自變量取可得：由，自變量取可得：，則可得：當(dāng)時(shí)，，所以……………11分所以時(shí)原方程無實(shí)根.……………12分注：其他方法酌情給分【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性、參數(shù)討論、不等式恒成立、零點(diǎn)問題選做題：請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).22．（本題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（改編，容易）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系．已知直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）設(shè)為參數(shù)，若，求直線的參數(shù)方程及曲線的普通方程；（2）已知直線與曲線交于，設(shè)，且依次成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值.解析：（1），將代入，得所以的參數(shù)方程為……2分由