近代物理導(dǎo)論曹禺第十三章

第十三章近獨(dú)立粒

子

的最概然分布

概率基礎(chǔ)知識(shí)

在概率理論中，被研

究對(duì)象所出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)

果稱為一個(gè)“事件”，在一

定條件下必然會(huì)發(fā)生的事

件，稱為必然事件。必然

不會(huì)發(fā)生的事，稱為不可

能事件。這兩種事件有一

個(gè)共同的特點(diǎn)，就是事先

可以對(duì)其發(fā)生與否作肯定

性回答，它們統(tǒng)稱為確定

性事件。

1、隨機(jī)事件的概率

在一定的條件下，如

果一個(gè)事件可能發(fā)生也可

能不發(fā)生，稱此事件為隨

機(jī)事件，與其相應(yīng)的自然

現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。如投

擲硬幣時(shí)，正面朝上是一

個(gè)隨機(jī)事件。對(duì)于隨機(jī)事

件，在一次試驗(yàn)或觀測(cè)中

是無法預(yù)知其結(jié)果的，但

當(dāng)觀測(cè)次數(shù)N趨于無窮時(shí),

某一事件（事件A）發(fā)生的

次數(shù)刈與總觀測(cè)次數(shù)N的

比值將趨于某一穩(wěn)定的極

限值。這個(gè)極限值可以作

為隨機(jī)事件A出現(xiàn)可能性

的客觀量度，稱為事件A

發(fā)生的概率乜：

今，當(dāng)巴=時(shí)，不可

PfiNmTSN0'A

能發(fā)生；當(dāng)心=1時(shí)，A肯

定發(fā)生。

顯然?！窗?lt;1,事實(shí)上，試驗(yàn)

的次數(shù)不可能無限多，但

是，只要試驗(yàn)次數(shù)足夠多，

我們就可以用力來表示事

件發(fā)生的概率，如擲一質(zhì)

量均勻的硬幣，若只擲少

數(shù)幾此,正面向上和北面

向上的次數(shù)可能相差很

大，但隨著擲的次數(shù)的增

加，會(huì)發(fā)現(xiàn)正面向上和背

面向上各建的可能性，于

是可以說擲硬幣時(shí)，正面

向上和北面向上的概率各

為

2、互斥事件概率的加法定

律

在一定的條件下，不可能

同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，稱

為互斥事件，如擲硬幣時(shí),

正面、背面不可能同時(shí)向

上，所以正面向上和背面

向上是互斥事件。

設(shè)A、B是互斥事件，在

N次觀測(cè)中，事件A出現(xiàn)刈

次，事件B出現(xiàn)M次，則出

現(xiàn)事件A或B次數(shù)為

所以，A、B中任意一個(gè)出

現(xiàn)的概率為

^A+B怛"滬=巴+丹

兩個(gè)互斥事件中任意一個(gè)

出現(xiàn)的概率等于兩個(gè)事件

出現(xiàn)的概率之和，稱為概

率的加法定理，推廣至n

個(gè)互斥事件：

+P

々+&+&……+4="+……An

如擲硬幣時(shí)，正面向上,

背面向上出現(xiàn)的概率為:

rr1

若某一隨機(jī)現(xiàn)象總共包

含n種互斥事件

A，4,4...An,則由概率加法

n

定理知：］弓=1,稱為概率

的歸一化條件，它表明，

在一次觀測(cè)中，全部互斥

事件中總有一個(gè)是要發(fā)生

的。

3、獨(dú)立事件概率的乘法定

理

如果兩個(gè)隨機(jī)事件彼

此沒有任何關(guān)聯(lián)，一個(gè)事

件發(fā)生與否與另一事件發(fā)

生與否毫不相關(guān)，這兩個(gè)

事件稱為獨(dú)立事件，如同

時(shí)擲二硬幣，第一枚出現(xiàn)

正面向上與第二枚出現(xiàn)背

面向上是毫無關(guān)聯(lián)的，是

兩個(gè)獨(dú)立事件。

設(shè)A、B是兩個(gè)獨(dú)立事件,

這兩事件同時(shí)（依次）發(fā)

生記為48。以刈表示在N

次觀測(cè)中事件A發(fā)生的次

數(shù)刈=%N。NAB表示在N次

觀測(cè)中事件A和事件B同

時(shí)發(fā)生的次數(shù)，這也是在

事件A發(fā)生的次數(shù)刈中事

件B發(fā)生的次數(shù)NA.LRNA

??NA.B=PAPBN

則事件A和B同時(shí)發(fā)生的

概率為：

PA.B=挺*=PAPB

兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的

概率等于兩事件各自發(fā)生

的概率的乘積，稱為概率

的乘法定理。

如同時(shí)擲兩枚硬幣時(shí)，第

一枚正面向上,第二枚背

面向上同時(shí)發(fā)生的概率為

111

—X————

224，

推廣至n個(gè)獨(dú)立事件:

以A2A“=24…以

4、隨機(jī)變量的概率分布

如果一變量以一定的概

率取各種可能值，這變量

稱作隨機(jī)變量，分為離散

型和連續(xù)型。

離散型：離散型隨機(jī)變

量所取的數(shù)值是可數(shù)的分

立值，以X表示隨機(jī)變量,

4……4?……Z表示離散型隨機(jī)

變量的可能取值,

/……月表示取相應(yīng)值

的概率

'%］，?????，%,.，……、

=>

j,./，..................'匕>

稱為隨機(jī)變量X

的概率分布。顯然，*。斗=1

連續(xù)型：連續(xù)型隨機(jī)變

量可取某一區(qū)間內(nèi)的一切

數(shù)值，以X表示連續(xù)型隨

機(jī)變量，假設(shè)它的取值X

在a與b之間，隨機(jī)變量x

取值在X-X+公的概率"(X)

表為dP(x)=p(^x)dx,P(%)稱為概

率密度，滿足以下條件：

/?(%)>0，『夕(%)公=1

/(X)=J〃尤)夕(%)辦

5、統(tǒng)計(jì)平均值和漲落

離散型：設(shè)隨機(jī)變量X的

可能取值為X],X?,???,xno設(shè)在N

次試驗(yàn)或觀測(cè)中，測(cè)得X

取上述數(shù)值的次數(shù)相應(yīng)為

則X的算術(shù)平均值

xxiNi

為七廠。當(dāng)Nfs，X的算術(shù)

平均值趨于一定的極限,

稱作X的統(tǒng)計(jì)平均值。

灰=1面交2=＞臚*=ZXjPi

NTSNi8Ni

B：X取巧的概率。

連續(xù)型隨機(jī)變量X,統(tǒng)計(jì)平

均值X=Jw(x)/積分遍及

X的取值范圍。

X|+X2=Z（瓦±%2,）e=X]+X2.

i

獨(dú)立Xi,X?,X]x2=ZPijxMx2j

U

=2單涌/2/=耳?瓦

y

另一類平均值，方均值,

定義為

X?=X%"X?=卜2夕(工世

由于各次觀測(cè)結(jié)果不一定

等于統(tǒng)計(jì)平均值，引入一

個(gè)量描述X在其統(tǒng)計(jì)平均

值又上下漲落的平均幅度,

由于

Zx=(x-x)=^.-x)z>

=!>/一又2《=0

ii

AX不能用來表示漲落。用

方差描述漲落

(AX)2=(X-X)2=(X2—2X5+R)

江汽-2#+52卜

=2>2-25=m_又2

iii

——2--------------2--r—?

X2—2XX+X-=X2—2XX+X=X2—X-

國對(duì)大的偏差是敏感的,

它表明了隨機(jī)變量取值的

分散程度，由越小，隨機(jī)

變量的取值越靠近平均

值。

還可引入相對(duì)漲落人等更

A

能說明精確度。

1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的

經(jīng)典描述

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從物質(zhì)

的微觀運(yùn)動(dòng)來闡明物質(zhì)宏

觀性質(zhì)的科學(xué)。由于物質(zhì)

是大量微觀粒子組成的，

每個(gè)粒子在不停地運(yùn)動(dòng)，

在統(tǒng)計(jì)物理中把物質(zhì)的宏

觀性質(zhì)看作是大量粒子作

熱運(yùn)動(dòng)的平均效果，而把

系統(tǒng)的宏觀量看作是對(duì)應(yīng)

微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。

統(tǒng)計(jì)物理中討論的系統(tǒng)

是由大量微觀粒子組成

的，大約有1鏟數(shù)量級(jí)，描

述大量粒子組成的系統(tǒng)的

宏觀性質(zhì)的量稱為宏觀

量，描述單個(gè)粒子性質(zhì)的

物理量稱為微觀量。

粒子（指微觀粒子）的運(yùn)

動(dòng)狀態(tài)是指它的力學(xué)運(yùn)動(dòng)

狀態(tài)。一般來說，微觀粒

子遵從量子力學(xué)規(guī)律，不

過在一定極限條件下，經(jīng)

典理論還是有意義的。

粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描

述

對(duì)于一個(gè)自由度為一的粒

子，它在任一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)

狀態(tài)，由粒子的〃個(gè)廣義坐

標(biāo)1,%,……％和與之共朝的一

個(gè)廣義動(dòng)量AE，”在該時(shí)

刻的值確定，粒子的能量￡

是其廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量

的函數(shù)：

￡二￡(0,??％《,???金)

如果存在外場(chǎng)，￡還是描

述外場(chǎng)參量的函數(shù)。

為了形象地描述粒子的

力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用

4，.必片,…出共2r個(gè)變量為直

角坐標(biāo)，構(gòu)成2r維空間，

稱為相空間或4空間。粒子

在某一時(shí)刻的力學(xué)狀態(tài)

(1,…,%,[,..,月)可用相空間的'一

個(gè)點(diǎn)來表示，稱為粒子運(yùn)

動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)。當(dāng)粒子

的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變

時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在以空間

中移動(dòng)，描繪出一條軌跡,

稱為相軌跡，〃空間中的廣

義體積，稱為相體積。

統(tǒng)計(jì)物理中的幾個(gè)例子

(1)自由粒子

當(dāng)自由粒子在三維空間

中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其自由度為3,

所以相空間是6維的，粒

子在任一時(shí)刻的位置由坐

標(biāo)x,y,z確定，共機(jī)的動(dòng)量分

別為

Px=mx,Pv=myP7=mz

相空間坐標(biāo)分別為

（%,y’z,巴,［，4）

當(dāng)自由粒子在一維空間

運(yùn)動(dòng)時(shí)，自由度為1,相空

間維數(shù)為2,坐標(biāo)（%』）。

（2）一維線性諧振子

質(zhì)量為m的粒子，沿著無

軸在平衡位置附近作角頻

率為①的諧振動(dòng)，稱為線形

諧振子，其自由度為1,可

以用一個(gè)坐標(biāo)工和一個(gè)動(dòng)

量p來確定其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其

〃空間是二維的，諧振子的

能量p

X

￡+dc

P21

￡=-----\--mar2x2

2m2

等能面（，一定）是相空間中

的一條橢圓曲線，改寫

22、

為:Px

mco1

兩個(gè)半軸長(zhǎng)分別為

己=同和4E

橢圓面積：S（e）=g￡=資

而能量在￡-￡+八￡之間的相

體積為：

2%

§（￡+△￡）-S（力誓△”了最

諧振子能量￡不同，橢圓

不同。

2.粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子

描述

微觀粒子服從量子力學(xué)

規(guī)律

波粒二象性：粒子一波

-#">

￡=hco9P=hk

一粒子量,（叫波量

普朗克常量

1h?

^=-=1.055x10-7.5

四=0［同=國］小M

海森堡不確定關(guān)系

△q邸?h

經(jīng)典：粒子沿軌道運(yùn)動(dòng)。

量子：無軌道。X，尸不能同

時(shí)確定。

量子態(tài)——量子力學(xué)中

微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

量子態(tài)數(shù)的計(jì)算，量子的

描述

(1)自由粒子

先考慮一微自由粒子，設(shè)

粒子在長(zhǎng)為L(zhǎng)的一維容器

中，邊界條件可取駐波條

件(〃⑼?⑷=o)或周期邊界

條件(〃(%)=獷(%+9)取周期邊界

條件,〃(%)=〃(%+￡)自由粒子波

函數(shù)為夕(力

“(X)="(X+L)=*xL=]

ZL=2〃〃H=0,±1,±2,

人人W人

.2萬

%=一%

”L

一^維自由粒子動(dòng)量

24方h

弋=力勺=等〃「7%，%=0,±1,±2,.…

一維自由粒子能量

P22/%2n2

￡=------^-ncr2X?n=0,±L±2,....

2mml}xx2mL9r

所以，%是表征一維自由粒

子運(yùn)動(dòng)的量子數(shù)，對(duì)于在

邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)

的三維自由粒子，其波函

數(shù)〃(羽丁/)""二小廠戶》考慮到

周期邊界條件：

〃(乂y,z)=〃(％+[y,z),

〃(%,y,2)=〃(%,y+1z)9

〃(用y,z)=〃(%y.z+L)

與一維情況一樣，可得粒

子動(dòng)量

上nP=-nP=-n.

L%，yLy9zZLz

%，%，%=0,±1,±2,..??

粒子能量

尸+尸，+町=S（〃「+〃：+〃」）

所以，（%%，%）這組數(shù)就是表

征三維自由粒子運(yùn)動(dòng)的量

子數(shù)，不同的⑷…）代表不

同的量子態(tài)，而當(dāng)（凡，〃、，？）不

同（代表不同的量子態(tài)），

但%2+〃；+一樣時(shí)，就表示

不同的量子態(tài)具有相同的

能量，即在同一能級(jí)上有

不止一個(gè)量子態(tài)，此時(shí)稱

此能級(jí)是簡(jiǎn)并的，簡(jiǎn)并度

就是方程：〃J+Y+〃”竽

整數(shù)解的個(gè)數(shù)。

考慮在體積V=?內(nèi)，在

P、fP\+dR,P「P,+dP、,上“R+dK的

動(dòng)量范圍內(nèi)自由粒子的量

子態(tài)數(shù)，由于不同的

Y+%2+%2代表不同的量子

態(tài),且(B1B)與〃:+〃,2+%2>

對(duì)應(yīng)，在產(chǎn)「2+附的范圍內(nèi),

可能的R的數(shù)

dnx=^dPx

同理：在4"、+”的范圍內(nèi),

可能的△數(shù)ad%=*dP,

在4-E+化的范圍內(nèi)，可能

的尸Z數(shù)目為dn7=—dP,

h

所以在PxfP、+dPx,Py-Py+dP、,

PUP二范圍內(nèi)可能的（匕P"）

數(shù)目，即可能的量子態(tài)數(shù)

目為

￡3V

dnxdnydnz=—dPxdPydPz=—dPxdPydPz(*)

hZz

上式可用不確定關(guān)系來理

解，由不確定關(guān)系可知：

粒子的坐標(biāo)V不確定值與

動(dòng)量不確定值A(chǔ)P滿足:

△q/\Pxh

這反映在量子力學(xué)中粒

子的軌道概念是不存在

的，因?yàn)榱Ｗ拥奈恢煤蛣?dòng)

量是不可能同時(shí)確定的。

這也是粒子波動(dòng)性的反

映，因?yàn)椴荒馨蚜Ｗ涌闯?/p>

一個(gè)點(diǎn)，而要看成波包，

因此若用坐標(biāo)4和動(dòng)量P來

描述粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，一

個(gè)態(tài)必然占有"空間的一

定體積，稱之為相格。對(duì)

于自由度為1的粒子，相

格的大小為J對(duì)于自由度

為〃的粒子，各自由度的坐

標(biāo)和動(dòng)量的不確定值M和

M分別滿足A^AT??h相格大小

r

為…….….…\Prxh

這是自由度為廠的粒

子的一個(gè)量子態(tài)在〃空間

所占有的體積。（*）式表示

三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)

等于其在〃空間占有的體

積除以相格大小(一個(gè)量

子態(tài)占有的〃空間體積)

用動(dòng)量空間的球坐標(biāo)P,仇(p

來表示。

P、=尸sinSeos0,Py=PsinOsin0,

Pz=Pcos0

體積元：P2sinOdPdOdcp

在體積V內(nèi)，動(dòng)量大小

在P—P+dP內(nèi)，方向在

efe+do,(pf(p+(i(p的范圍內(nèi)，自

由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：

VP2sinOdPdddcp

對(duì)所有方向求知，對(duì)從0—>7T

積分，°從0-2萬積分，便得

到在體積V內(nèi)，動(dòng)量大小

在P-P+〃的范圍內(nèi)（動(dòng)量方

向任意），自由粒子可能的

狀態(tài)數(shù)為：

在能量￡—+范圍內(nèi)，i

由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為:

2?（2咐3s^de=D（￡）de,。（￡）=（2jnp-

表示單位能量間隔內(nèi)的可

能狀態(tài)數(shù)，稱為態(tài)密度。

若考慮進(jìn)粒子的自旋s

則上述的所有狀態(tài)數(shù)均還

須乘上自旋簡(jiǎn)并度2S+1,對(duì)

即乘以2。

3.系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀

態(tài)的描述

僅討論全同和近獨(dú)立

粒子組成的系統(tǒng)

全同粒子系統(tǒng)

全相同屬性（如相同的質(zhì)

量、電荷和自旋等）的粒

子組成的系統(tǒng)。

近獨(dú)立粒子系統(tǒng)——系統(tǒng)

中粒子之間相互作用很

弱，相互作用的平均能量

遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能

量，因此可以忽略粒子之

間的相互作用，整個(gè)系統(tǒng)

的能量可表達(dá)為單個(gè)粒子

N

的能量之和￡=1弓

其中々為第，粒子的能量,N

總粒子數(shù)，且與僅為汕粒子

的坐標(biāo)和動(dòng)量及外場(chǎng)的函

數(shù)。

但應(yīng)注意，僅獨(dú)立粒子

之間雖然相互作用，各粒

子完全獨(dú)立地運(yùn)動(dòng)，彼此

毫不相干，這些粒子所組

成的系統(tǒng)也就無從達(dá)到熱

力學(xué)平衡了。

系統(tǒng)的微觀狀態(tài)

經(jīng)典：按經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn)，

由全同粒子組成的近獨(dú)立

粒子系統(tǒng)，其粒子是可以

分辨的，可以編號(hào)的，對(duì)

于N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)，

當(dāng)給出了第1,第2、、、、

第N號(hào)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的

代表點(diǎn)處于4空間的哪些

相格中時(shí)，就給出了系統(tǒng)

的一個(gè)微觀狀態(tài)，或者說N

個(gè)編了號(hào)的粒子的代表點(diǎn)

在4空間中按相格的一種

分配方式對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的一個(gè)

微觀狀態(tài)，當(dāng)然，N個(gè)編了

號(hào)的粒子的代表點(diǎn)按相格

的不同分配方式對(duì)應(yīng)系統(tǒng)

的不同的微觀狀態(tài)，如交

換兩個(gè)粒子的代表點(diǎn)在〃

空間的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)

的微觀狀態(tài)是不同的。

量子:

全同性原理：全同粒子是

不可分辨的，在含有多個(gè)

全同粒子的系統(tǒng)中，如果

將兩個(gè)全同粒子交換，不

改變整個(gè)系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)

狀態(tài)。

不可分辨是因?yàn)槲⒂^

粒子具有波動(dòng)性,在兩個(gè)

波重疊的區(qū)域無法區(qū)分哪

個(gè)是第一個(gè)波，哪個(gè)是第

二個(gè)波，也就無法區(qū)分哪

個(gè)是第一個(gè)粒子，哪個(gè)是

第二個(gè)粒子。

在量子力學(xué)中粒子分為

二類：波色子----自旋為

整數(shù)，費(fèi)米子自旋為

半整數(shù)。

對(duì)于費(fèi)米子，服從泡利不

相容原理的限制，即每個(gè)

單粒子量子態(tài)最多只能容

納一個(gè)費(fèi)米子。

對(duì)于波色子，不受泡利不

相容原理的限制，即每個(gè)

單粒子量子態(tài)上可以被任

意數(shù)目的波色子所占據(jù)。

另一種全同粒子組成的

近獨(dú)立粒子系統(tǒng)

玻爾茲曼系統(tǒng)由可

分辨的全同近獨(dú)立粒子組

成的，且處在每個(gè)單粒子

量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限

制的系統(tǒng)。確定由全同近

獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微

觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每個(gè)單

粒子量子態(tài)上的粒子數(shù)，

對(duì)于可分辨的全同粒子還

要進(jìn)一步確定到哪些粒子

處于哪個(gè)量子態(tài)上。

對(duì)于相同粒子數(shù)的系統(tǒng),

由于玻爾茲曼系統(tǒng)受限制

最少，交換粒子產(chǎn)生系統(tǒng)

的不同的微觀狀態(tài)，所以

其微觀狀態(tài)數(shù)最多，對(duì)于

波色系統(tǒng)，受全同性原理

限制，交換粒子不產(chǎn)生系

統(tǒng)的不同微觀狀態(tài)，所以

其微觀狀態(tài)數(shù)比玻爾茲曼

系統(tǒng)少，對(duì)于費(fèi)米系統(tǒng),

不但受全同性原理約束,

更受泡利不相容原理限

制，其微觀狀態(tài)數(shù)比波色

系統(tǒng)少。所以對(duì)于相同數(shù)

目的粒子系統(tǒng)，就微觀狀

態(tài)數(shù)而言:

玻爾茲曼系統(tǒng)波色系

統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng)

例如：對(duì)于一個(gè)二粒子系

統(tǒng)，每個(gè)粒子有3個(gè)量子

態(tài)

玻爾茲曼：

量子態(tài)2

3

可分辨A,BAB

AB

AB

BA

A

BA

A

B

B

A

波色系統(tǒng)：12

3

不可分辨AA

AA

AA

A

A

A

A

A

A

費(fèi)米系統(tǒng)：12

3

不可分辨AA

A

A

A

A

4.等概

率原理

等概率原理：對(duì)于平衡態(tài)

的孤立系統(tǒng)，粒子數(shù)N,體

積V,能量E,都給定時(shí)，

系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)

出現(xiàn)的概率是相等的。

由玻爾茲曼于19世紀(jì)70

年代提出的這個(gè)等概率原

理，是統(tǒng)計(jì)物理的一個(gè)基

本假設(shè)，不能由其他的更

基本的原理推導(dǎo)而得，它

的正確性由它所導(dǎo)出的種

種推論均與客觀實(shí)際相符

而得到肯定。等概率原理

是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基

礎(chǔ)。

對(duì)于處于平衡態(tài)的孤立

系統(tǒng)，粒子運(yùn)動(dòng)是完全無

序的，系統(tǒng)微觀狀態(tài)的出

現(xiàn)是完全隨機(jī)的，沒有理

由認(rèn)為滿足宏觀條件的所

有可能微觀狀態(tài)中，哪一

個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率具

有更大的可能性，因而認(rèn)

為所有可能的微觀狀態(tài)出

現(xiàn)的概率是相等的。

5.分布和

微觀狀態(tài)

設(shè)有一個(gè)由大量全同近

3

獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng),K

備確定的粒子數(shù)N,能量E,

和體積V,以%表示粒子的

能級(jí)，例表示能級(jí)J的簡(jiǎn)并

度。

設(shè)N個(gè)粒子在各能級(jí)的分

布描述如下：

能級(jí)弓，*2，?…弓，?…

簡(jiǎn)并度①2…”①I,?…

粒子數(shù),???,????

即能級(jí)々的簡(jiǎn)并度為外,

有6個(gè)粒子占據(jù),。。。。。能

級(jí)2的簡(jiǎn)并度為何，有用個(gè)

粒子占據(jù),。。。。用符號(hào)⑷

表示數(shù)列,^^2,????,I????稱為一

個(gè)分布。對(duì)于具有確定的

粒子數(shù)N,能量E和體積v

的系統(tǒng)，分布｛叫必須滿足

條件

N工3=E

i'i

（所有粒子數(shù)能量之和為

系統(tǒng)能量）

分布和微觀狀態(tài)是兩個(gè)

不同的概念，給定了粒子

按能級(jí)的一個(gè)分布⑷，只

是確定了在每一個(gè)能級(jí)巧

上的粒子數(shù)許，但系統(tǒng)的微

觀狀態(tài)并未被唯一確定，

確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求

確定處在每一個(gè)單粒子量

子態(tài)上的粒子數(shù)，如前所

述，一般情況下，單粒子

的能級(jí)是簡(jiǎn)并的，能級(jí)與上

有例個(gè)量子態(tài)，確定了個(gè)能

級(jí)上的粒子數(shù)，并不能前

確定粒子在能級(jí)上各量子

上的分配，因此，一個(gè)分

布⑷可對(duì)應(yīng)許多不同的微

觀狀態(tài)，例如對(duì)于波色系

統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)，在給定分

布后，要確定波色或費(fèi)米

系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，還必須

確定每個(gè)能級(jí)上。,個(gè)粒子

占據(jù)其叼個(gè)量子態(tài)的方式，

對(duì)于玻爾茲曼系統(tǒng)，由于

粒子是可分辨的，所以確

定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)就要求

確定每一^個(gè)粒子的單粒子

量子態(tài)，因此給定了分布

同后，為了確定玻爾茲曼

系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，還必須

確定在各個(gè)能級(jí)句上究竟

被哪些個(gè)粒子占據(jù)，以及

在每一個(gè)能級(jí)句上個(gè)粒子

占據(jù)其個(gè)量子態(tài)的方式。

總之，與一個(gè)分布｛可｝相應(yīng)

的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)往往是

很多的。而微觀狀態(tài)數(shù)對(duì)

于玻爾茲曼系統(tǒng)，波色系

統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)是顯然不同

的。

給定分布⑷后，三種系統(tǒng)

的微觀狀態(tài)數(shù)

1、玻爾茲曼系統(tǒng)

對(duì)于玻爾茲曼系統(tǒng)，粒子

可分辨，可以對(duì)粒子進(jìn)行

編號(hào)，。,個(gè)編了號(hào)的粒子

占據(jù)能級(jí)句上的用個(gè)量子

態(tài)時(shí)，第一個(gè)粒子可以占

據(jù)2個(gè)量子態(tài)中的任一

個(gè)，有例種可能的占據(jù)方

式，由于一個(gè)量子態(tài)可以

容納的粒子數(shù)不受限制,

在第一個(gè)粒子占據(jù)了某

個(gè)量子態(tài)后，第一'第

三。。。個(gè)粒子仍然有助種

可能的占據(jù)方式，于是。,

個(gè)編了號(hào)的粒子占據(jù)能

級(jí)句上的為個(gè)量子態(tài)共有

“種可能的占據(jù)方式，因

此，在玻爾茲曼系統(tǒng)中,

ai個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)J上的

助個(gè)量子態(tài)時(shí),是彼此獨(dú)

立互不關(guān)聯(lián)的，分布{〃/}

中，4,4,…”功,…個(gè)編了-6

的粒子分別占據(jù)能級(jí)

?上個(gè)量子

態(tài)的可能占據(jù)方式共有

““種，由于玻爾茲曼系

統(tǒng)的粒子可分辨，所以交

換粒子將給出系統(tǒng)不同

的微觀狀態(tài)，將N個(gè)粒子

加以交換，不管是否在同

一能級(jí)上，總的交換數(shù)為

N!（全排列）。在這些交

換數(shù)中應(yīng)除去在同一能

級(jí)2/上為個(gè)粒子的交換數(shù)

。人因?yàn)檫@已在“'中考慮

了，這種交換是不產(chǎn)生新

的分布的。因此不同能級(jí)

N!

間粒子的交換數(shù)為幣

所以對(duì)于玻爾茲曼系統(tǒng),

與分布4相應(yīng)的微觀狀

態(tài)數(shù)是

N'一

I

前例N=2,1=1,①]=3,%—2

QM.B=32=9

N=2,/=1,2,q=2,q=1

｛%生｝。｛2。｝=而=4

7!

C｛】L而2H=4

2、波色系統(tǒng)

對(duì)于波色系統(tǒng)，粒子不可

分辨，每個(gè)單粒子量子態(tài)

能夠容納的粒子數(shù)不受

限制，先計(jì)算。,個(gè)粒子占

據(jù)能級(jí)句上的助個(gè)量子態(tài)

有多少種可能的方式，為

了計(jì)算這個(gè)數(shù)目，以

aa……表示量子態(tài)1,

2ooooo9以。表7P粒子,

將它們排成一行，每個(gè)量

子態(tài)后面0的數(shù)目表示在

該量子態(tài)上的粒子數(shù)，所

以最左方為量子態(tài)1,如

對(duì)于5個(gè)量子態(tài)和10個(gè)

粒子的一種排列

0OO[2|O|3][4|OOO[5]OOOO

表示量子態(tài)1上有2個(gè)粒

子，量子態(tài)2上有1個(gè)粒

子，量子態(tài)3上無粒子，

量子態(tài)4上有3個(gè)粒子，

量子態(tài)5上有4個(gè)粒子。

[l[0[2]00|l]000[4]0|5|000也是一種占據(jù)

方式

由于規(guī)定了最左方總是量

子態(tài)1,余下的量子態(tài)和粒

子的總數(shù)為（可+q-1）,它們共

有（母+q-1）!種排列方式。因

為粒子是不可分辨的，交

換粒子不產(chǎn)生新的狀態(tài)，

所以應(yīng)除去粒子之間的相

互交換數(shù)初，量子態(tài)之間也

不應(yīng)交換，因此也應(yīng)除去

量子態(tài)之間的相互交換數(shù)

（供-1）!,所以。/個(gè)粒子占據(jù)能

級(jí)J上的助個(gè)量子態(tài)的可能

方式有

W黑鬻種，相當(dāng)

于。/+助―1空位中用助T個(gè)捧

（代表量子態(tài)）去填，或

用。/個(gè)粒子去填，每個(gè)空位

只能填一個(gè)捧或粒子，用

捧（粒子）填時(shí)，共有

CH,…，剩余的空位就

是粒子（捧）。

將各能級(jí)結(jié)果相乘，就得

波色系統(tǒng)中任意一個(gè)分布

⑷所對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)

為'：?xn/?q!廣（例一.1:）!

4!

----二

前例/=1，例=3,q=2,。B?E6

2!2!

1.費(fèi)米系統(tǒng)

對(duì)于費(fèi)米系統(tǒng)，粒子不可

分辨，且由于泡利不相容

與原理，每個(gè)單粒子量子

態(tài)最多只能容納一個(gè)粒

子，。,個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)J上

的g個(gè)量子態(tài)（小阻），相當(dāng)于

從例個(gè)量子態(tài)中挑出。/個(gè)

來為粒子所占據(jù),

種可能方式，將各能級(jí)結(jié)

果相乘，就得到費(fèi)米系統(tǒng)

中任意一個(gè)分布佃｝所對(duì)應(yīng)

的微觀狀態(tài)數(shù)為：

4/!（助一Q/）!

前彳列/=1,q=39=2,QF,D=3

若在波色系統(tǒng)或費(fèi)米系統(tǒng)

中，任一能級(jí)上的粒子數(shù)

均遠(yuǎn)小于該能級(jí)的量子態(tài)

數(shù)（簡(jiǎn)并度。即（對(duì)

所有的/）

則波色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)

可近似為

Q二口（、+"/T）!二口(可+a,-1)(@+為-2)....g

B.EiJ^!（^-i）!"n

%!

。仆8

g+cif—L可+〃/—2,…，?cOj

費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)可

近似為

T-r例！一口可（助一1）....（可-0+1）

/⑷一]Jq!（助=]J融

a門"，二^M.B

1J。/!N\

g_\?…，①i—cif+L?G)I

臺(tái)1稱為經(jīng)典極限條件，也

稱非簡(jiǎn)并條件。

這個(gè)非簡(jiǎn)并條件表示在每

個(gè)單粒子量子態(tài)上平均粒

子數(shù)遠(yuǎn)小于1,這就是說絕

大多數(shù)單粒子量子態(tài)是沒

有被粒子占據(jù)的，因此，

泡利原理的限制不起作

用，故波色系統(tǒng)的微觀狀

態(tài)數(shù)在非簡(jiǎn)并條件下趨于

相同的量肝。Q/8是在玻

爾茲曼粒子分布對(duì)應(yīng)的系

統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)可區(qū)分情況

下得出的，而波色子和費(fèi)

米子是滿足全同性原理

的，交換粒子不產(chǎn)生新的

狀態(tài)，故要除去由于交換

粒子而產(chǎn)生的狀態(tài)數(shù)，除

以N!

經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的分布和微觀

狀態(tài)數(shù)

在經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)一個(gè)自

由度的粒子在某一時(shí)刻的

運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由他的廣義坐標(biāo)

,q2,4廠和廣義動(dòng)量相，…E

確定，相應(yīng)于〃空間中的一

點(diǎn)，系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)

動(dòng)狀態(tài)由系統(tǒng)的N個(gè)粒子

的坐標(biāo)和動(dòng)量

%1'02'…"/八耳）■（，=1,2,....,N）,確定。

相應(yīng)于〃空間的N個(gè)點(diǎn)，由

于q和P是連續(xù)變量，”

）和不系可統(tǒng)數(shù)的的微，觀為［運(yùn)計(jì)箕（竟以

嬴態(tài)數(shù)，我們將也為

為大小相等的小間隔，使

3qi3Pi=4,〃o是一個(gè)小量，

也］=［卬*這樣就將〃空間分

成一個(gè)個(gè)的相格,對(duì)于具

有一個(gè)自由度的粒子，其〃

空間的相格體積為

6qv...6qrSP...…6Pr=h\f假設(shè)為足夠

小，就可以由粒子運(yùn)動(dòng)狀

態(tài)代表點(diǎn)所在的相格確定

粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，處于同

一相格的代表點(diǎn)，代表相

同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，顯然，％愈

小描述就愈精確，在經(jīng)典

力學(xué)，瓦可以取任意小的數(shù)

值。在量子力學(xué)，由不確

定關(guān)系限制％不能小于〃。

當(dāng)取%=用,我們稱為半經(jīng)典

描述。將4空間化為許多體

積元A*/=l,2.?…）以與表示運(yùn)動(dòng)

狀態(tài)處于A例內(nèi)的粒子的能

量（A助越小越精確），由于

粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由大

小為%0的相格確定，所以

△用內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)為

察，它與量子統(tǒng)計(jì)中（量子

描述）的簡(jiǎn)并度相當(dāng)。N個(gè)

粒子處于各A例的分布可以

描述如下：

體積元A例,八例,…”△助,.…

“簡(jiǎn)并度”（△例中的態(tài)數(shù)）

A。1\co2\col

能量J9&2，????，￡I，????

粒子數(shù),^^2,????,/,????

表示有4個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀

態(tài)代表處于△助中，經(jīng)典粒

子可以分辨，處于一個(gè)相

格內(nèi)的經(jīng)典粒子數(shù)沒有限

制，因此在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中與

分布⑷對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)

Qd可以按得到玻爾茲曼系

統(tǒng)的叫的方法，求得為

以例—>

6.玻爾茲曼

分布

前面求得了不同系統(tǒng)得一

個(gè)粒子分布｛叫所相應(yīng)的微

觀狀態(tài)數(shù)，不同的分布對(duì)

應(yīng)不同的微觀狀態(tài)數(shù)，由

等概率原理知，對(duì)于平衡

態(tài)的系統(tǒng)，每一個(gè)可能的

微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相

等的，所以相應(yīng)于微觀狀

態(tài)數(shù)最多的粒子分布出現(xiàn)

的概率最大，這種分布稱

為最概然分布，對(duì)于玻爾

茲曼粒子系統(tǒng)最概然分

布，稱為玻爾茲曼分布。

現(xiàn)推導(dǎo)玻爾茲曼分布

斯特林公式：當(dāng)機(jī)>>1時(shí),

m\-mme~m

ln//z!=m(lnm-l)+—ln(2^m)x機(jī)(in/TZ—1)

對(duì)于玻爾茲曼粒子系統(tǒng),

分布M｝所對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)

數(shù)為：。=而下，

/

^lnQ=——81lnQ=-------L

。，Q2

玻爾茲曼分布是對(duì)應(yīng)于。

最大的分布，由于In。隨。

的變化是單調(diào)的，它們的

極值位置相同，可以等價(jià)

地討論使山。為極大的分

布

InQ=InN!-，In0!+，4Ing

設(shè)所有的生均很大，利用斯

特林公式，得

InQ=N（lnN-1）-工。/（E+g

pNInN-￡a.Inq+Z〃/Ing

ii

為求得使InQ為極大的分布

⑷，必須

InQ=In6fz-da{+da{In69z

“iii

=-h?=。

由于&,/=l,2......）不是獨(dú)立變

量，而是要滿足約束條件

N=〃,￡=W%（確定的粒子數(shù)

和能量）

對(duì)于有確定的粒子數(shù)N和

能量E的系統(tǒng)，有泌？物=0,

y

3E=^sl8al—0

所以要求的Q極值，是條件

極值，應(yīng)用拉格朗日待定

乘子法來求，引入拉格朗

日乘子。和夕乘上面二個(gè)式

子，并從51n。中減去，得

8\nCL-a3N-p8E=ba,—0

7

根據(jù)拉氏乘子法原理，每

個(gè)前得系數(shù)均對(duì)于零，

這是選。和夕的要求，所以

喘+戊+的=0,勾=叩-。-網(wǎng)簡(jiǎn)并度

為。/的能級(jí)與上的粒子數(shù)。

這就是玻爾茲曼粒子系統(tǒng)

中粒子的最概然分布，稱

為玻爾茲曼分布，拉氏乘

子a和夕由

N=2-網(wǎng)及石=$>,勺=￡巧*?！W(wǎng)

iIii

對(duì)能級(jí)求和

能級(jí)￡/有。/個(gè)量子態(tài)，處于

其中如何一個(gè)量子態(tài)的平

均粒子數(shù)應(yīng)該是一樣的，

因此，處在能量為區(qū)的量子

態(tài)S上的平均粒子數(shù)￡為

fs=葭一限單個(gè)量子態(tài)上的平

均粒子數(shù)

而N=E=Z"?阻對(duì)量子

s7s

態(tài)求和。

說明：

(1)、上面只證明了玻爾

茲曼分布使In。的一階微

分等于零，即In。取極值,

但要證明這個(gè)極值是極大

值，還需證明玻爾茲曼分

布使山。的二階微分小于

零

a

2i

8lnQ=-^8a1

/g7/①

由于勾>0,故〃lnQ<0,因

此玻爾茲曼分布是使InO為

極大的分布。

(2)玻爾茲曼分布是出現(xiàn)

概率最大的分布，對(duì)于宏

觀系統(tǒng)，于最概然分布相

應(yīng)的。的極大值非常陡，使

其它分布的微觀狀態(tài)數(shù)于

最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)

相比幾乎接近于零，為說

明這一點(diǎn)，我們將玻爾茲

曼分布的微觀狀態(tài)數(shù)。與

對(duì)玻爾茲曼分布有偏差

6at(/=1,2,..)的一個(gè)分布的

微觀狀態(tài)數(shù)。+AQ加以比

較,將ln(Q+AQ)展開,得:

ln(fl+AQ)=Infl+SlnQ+gs?lnQ+..…

1

=InQH—8^9InO+....

2

^lnQ=O

將SlnO=-Zln色川皿明二回上

IJ9l%

代入上式，得

(\

In(Q+AQ)=InO-ZIn%3s

2I4

假如對(duì)玻爾茲曼分布的相

對(duì)偏離為*?1°5（很?。?

則

1Q+AQ1

In---------二—

Q2

=—J_xioT°z。/二—』xi(r10N

2/2

對(duì)于N=K)23的宏觀系統(tǒng)，有

Q+AQ~X1O-,O7V-11O_1OX1O23一1()13

———=ee2XPC

*乙

幾乎接近0

這說明即使與最概然分布

僅有極小偏離的分布，它

的微觀狀態(tài)數(shù)與最概然分

布的微觀狀態(tài)數(shù)相比也是

幾乎接近于零的，這就是

說最概然分布的微觀狀態(tài)

數(shù)非常接近于全部可能的

微觀狀態(tài)數(shù)，根據(jù)等概率

原理，處于平衡態(tài)下的孤

立系統(tǒng)，每一個(gè)可能的微

觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，

因此平衡態(tài)下的孤立系統(tǒng)

絕大部分時(shí)間將處于最概

然分布，玻爾茲曼分布，

如果我們忽略其他分布而

以為平衡態(tài)下粒子實(shí)質(zhì)處

于玻爾茲曼分布,所引起

的誤差應(yīng)當(dāng)是可以忽略

的，其它分布所相應(yīng)的微

觀狀態(tài)數(shù)雖很小，但還是

有一定概率出現(xiàn)，這就導(dǎo)

致處于平衡態(tài)的系統(tǒng)存在

著偏離平衡態(tài)的漲落現(xiàn)象

以篝…可得經(jīng)典玻爾茲曼

分布的公式：竽

‘%

其中。/滿足

N=Y包1E=YS「網(wǎng)包

7.波色分布和費(fèi)米

分布

考慮處于平衡狀態(tài)的孤立

系統(tǒng)，具有確定的粒子數(shù)

N,體積V和能量E。

￡/(/=1,2,表示粒子的能級(jí)，助

表示能級(jí),的簡(jiǎn)并度，以⑷

表示各能級(jí)上的粒子數(shù)，

分布⑷必須滿足條件

II

對(duì)于波色系統(tǒng)，與分布⑷

相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)

。為

對(duì)于費(fèi)米系統(tǒng)，與分布⑷

相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)

。為

?、

/〃/!(助一勾)!

由等概率原理，對(duì)于處在

平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一

個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的

概率是相等的，因此，使Q

從而山。極大的分布，出現(xiàn)

的概率最大，只最概然分

布

對(duì)于波色系統(tǒng)

lnO=Z[ln(q+q-l)!-lnq!-ln(q-1)Q

假定〃,?1M?1因而

Q+q-12例+%,①[-1支助并用斯

特林公式山初=加（lnm—1）,于是

lnQ=Z｛（G/+q）[ln（例+〃/）_]-a（lntz-l）-^（ln^-1

/tz

=Z]（可+a，ln（q+，/）一qIna,一例In用

的的變化網(wǎng)將引起InC有變

化SinQ,使Q從而InQ有極

大值的分布必使51nQ=09于

是

31no=Z[5〃/ln（例+q）+8a1-8atIn-3弓]

i

=Z[ln（例+Q/）_lna/pq=0

i

但各物不獨(dú)立，必須滿足

二個(gè)約束條件：

3N=—0SE=Z*/。/—0

I9i

用拉氏乘子a和』乘這兩

個(gè)式子，并從51n。中減去，

得

Z[ln(q+6zz)-lnaz-a-=0

i

根據(jù)拉氏乘子法原理，各M

的系數(shù)為0(這是選”的要

求)

ln(@+0)一山〃/-a-psl=0

g

即a'~*網(wǎng)_]

波色系統(tǒng)中粒子的最概然

分布，稱為波色——愛因

斯坦分布，簡(jiǎn)稱波色分布,

拉氏乘子”由下式確定

￡%=2_]1=N

I[匕

==E對(duì)能級(jí)求和

II匕1

_g

%/+網(wǎng)+1

+費(fèi)米-狄拉克

一波色——愛因斯坦

這是處于能級(jí)J上的助個(gè)

量子態(tài)的粒子數(shù)。

每個(gè)量子態(tài)的平均量子數(shù)

應(yīng)該一樣，所以在能量為￡

的量子態(tài)s上的平均粒子

數(shù)為

/=——!—

Jsa+

e^+1

+費(fèi)米——狄拉克

一波色——愛因斯坦

N——?__"J

一網(wǎng)±，呢對(duì)量子態(tài)

y1eA±1

求和。

在前面三種分布的推導(dǎo)

中，均用了如al?1,0?1等條

件。實(shí)際上，這些條件不

一定滿足，因此，前面的

推導(dǎo)有嚴(yán)重缺點(diǎn)，但結(jié)果

是對(duì)的，方法比較直觀,

正確的推導(dǎo)要用系綜理

論，但比較抽象。

.三種分布的

關(guān)系

玻爾茲曼分布a,=①《一吩陽

Fermi----Dirac

_____g

Q/一±1

Bose----Einstein

費(fèi)米一一狄拉克分

CD11

S=<0玻爾茲曼分布

+S

-1波色一一愛因斯坦分布

1

產(chǎn)網(wǎng)+8

當(dāng)戲〉〉1時(shí)，對(duì)Fermi或Bose

分布均有分母中±i可忽略,

%=geag都趨于玻爾茲曼

分布

而才》1*?1經(jīng)典極限條件

或非簡(jiǎn)并性條件，這表示

每個(gè)能級(jí)上的絕大多數(shù)量

子態(tài)未被占據(jù)，泡利原理

不起作用，費(fèi)米子與波色

子的差別幾乎消失，趨于

同種分布，玻爾茲曼分布,

這在氣體非常稀薄，粒子

的波動(dòng)性可以忽略下成

立，氣體稀薄導(dǎo)致粒子間

的距離比德波羅意波長(zhǎng)得

多，