2022年北京市門頭溝初三（上）期末數(shù)學試卷及答案

1/12022北京門頭溝初三（上）期末數(shù)學一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.已知，則下列比例式成立的是()A. B. C. D.2.二次函數(shù)的頂點坐標是（）A. B. C. D.3.已知⊙的半徑為，點到圓心的距離為，那么點與⊙的位置關系是（）．A.點在⊙外 B.點在⊙內(nèi) C.點在⊙上 D.無法確定4.在中，，，則的值是（）A. B. C. D.5.如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦，，則等于（）.A. B. C. D.6.如果將拋物線先向左平移2個單位，再向上平移3個單位后得到一條新的拋物線，這條新的拋物線的表達式是（）A. B. C. D.7.如果與都在函數(shù)的圖象上，且，那么的取值范圍是（）A B. C. D.任意實數(shù)8.如圖，拋物線與軸交于、兩點，是以點（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段的中點，連結.則線段的最大值是（）A. B. C. D.二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.已知＝，那么＝_____．10.頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園．該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為2米的正六邊形，那么這個地基的周長是_____米．11.如果兩個相似三角形的相似比是，那么這兩個相似三角形的周長比是_____．12.如圖，扇形的圓心角∠AOB=60°，半徑為3cm．若點C、D是的三等分點，則圖中所有陰影部分的面積之和是_____cm2．13.若將二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3配方為y＝（x﹣h）2+k的形式，則y＝___________．14.寫出一個圖象位于第一，三象限的反比例函數(shù)的表達式______．15.《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中有這樣的一個問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”．其意思是：“如圖，現(xiàn)有直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形所能容納的最大圓的直徑是多少？”答：該直角三角形所能容納的最大圓的直徑是______步．16.函數(shù)的圖象如圖所示，在下列結論中：①該函數(shù)自變量的取值范圍是；②該函數(shù)有最小值；③方程有三個根；④如果和是該函數(shù)圖象上的兩個點，當時一定有．所有正確結論的序號是______．三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，23～26題每小題6分，第27～28題每小題7分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．18.已知：如圖，在中，點D在BC上，點E在AC上，DE與AB不平行添加一個條件______，使得∽，然后再加以證明．19.下面是小明設計的“作等腰三角形外接圓”的尺規(guī)作圖過程.已知：如圖1，在中，AB=AC.求作：等腰的外接圓.作法：①如圖2，作的平分線交BC于D；②作線段AB的垂直平分線EF；③EF與AD交于點O；④以點O為圓心，以OB為半徑作圓.所以，就是所求作的等腰的外接圓.根據(jù)小明設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留痕跡）；（2）完成下面證明.AB=AC，，_________________________.AB的垂直平分線EF與AD交于點O，OA=OB，OB=OC（填寫理由：______________________________________）OA=OB=OC.20.已知二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標、縱坐標的對應值如下表：…01234……-3-4-305…（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）直接寫出該二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標.21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的高．（1）求證：△ABC∽△CBD；（2）如果AC=4，BC=3，求BD的長．22.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=﹣2x圖象與反比例函數(shù)y=的圖象的一個交點為A（﹣1，n）．（1）求反比例函數(shù)y=的解析式；（2）若P是坐標軸上一點，且滿足PA=OA，直接寫出點P的坐標．23.“永定樓”是門頭溝區(qū)的地標性建筑，某數(shù)學興趣小組進行了測量它高度的社會實踐活動．如圖，他們先在點處用高1.5米的測角儀測得塔頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向前行到達點處，在點處測得塔頂?shù)难鼋菫椋笥蓝堑母撸ńY果保留根號）24.在美化校園的活動中，某興趣小組借助如圖所示的直角墻角（墻角兩邊和足夠長），用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍和兩邊）．設，．（1）求與之間的關系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當矩形花園的面積為時，求的長；（3）如果在點處有一棵樹（不考慮粗細），它與墻和的距離分別是和，如果要將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)部（含邊界），直接寫出矩形花園面積的最大值．25.如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的長．26.在平面直角坐標系中，已知拋物線．（1）求該拋物線的對稱軸和頂點坐標（用含的代數(shù)式表示）；（2）如果該拋物線的頂點恰好在軸上，求它的表達式；（3）如果，，三點均在拋物線上，且總有，結合圖象，直接寫出的取值范圍．27.在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于點D，AE⊥BC于點E，連接DE．(1)如圖1，當△ABC銳角三角形時，①依題意補全圖形，猜想∠BAE與∠BCD之間的數(shù)量關系并證明；②用等式表示線段AE，CE，DE的數(shù)量關系，并證明;(2)如圖2，當∠ABC為鈍角時，依題意補全圖形并直接寫出線段AE，CE，DE的數(shù)量關系．28.如圖，在平面直角坐標系中，，的半徑為1．如果將線段繞原點逆時針旋轉后的對應線段所在的直線與相切，且切點在線段上，那么線段就是⊙C的“關聯(lián)線段”，其中滿足題意的最小就是線段與的“關聯(lián)角”．（1）如圖1，如果線段是的“關聯(lián)線段”，那么它的“關聯(lián)角”為______．（2）如圖2，如果、、、、、．那么的“關聯(lián)線段”有______（填序號，可多選）．①線段；②線段；③線段（3）如圖3，如果、，線段是的“關聯(lián)線段”，那么的取值范圍是______．（4）如圖4，如果點橫坐標為，且存在以為端點，長度為的線段是的“關聯(lián)線段”，那么的取值范圍是______．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】B【解析】【詳解】A、等式的左邊除以4，右邊除以9，故A錯誤；B、等式的兩邊都除以6，故B正確；C、等式的左邊除以2b，右邊除以，故C錯誤；D、等式的左邊除以4，右邊除以b2，故D錯誤；故選B．2.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的頂點式形式即可寫出其頂點坐標．【詳解】二次函數(shù)的頂點坐標是(3，1)故選：B【點睛】本題考查了求二次函數(shù)的頂點坐標，關鍵是知道二次函數(shù)的頂點式或能把一般式化成頂點式．3.【答案】A【解析】【詳解】試題解析：∵OP=8＞5，∴點P與⊙O的位置關系是點在圓外．故選A．4.【答案】C【解析】【分析】由tanA==2，設BC=2x，可得AC=x，Rt△ABC中利用勾股定理算出AB=，然后利用三角函數(shù)在直角三角形中的定義，可算出sinA的值．【詳解】解：由tanA==2，設BC=2x，則AC=x，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴根據(jù)勾股定理，得AB=，因此，sinA=，故選：C．【點睛】本題已知正切值，求同角的正弦值．著重考查了勾股定理、三角函數(shù)的定義等知識，屬于基礎題．5.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)垂徑定理得到，再根據(jù)圓周角定理得∠BOD=2∠CAB=40°，然后利用鄰補角的定義計算∠AOD的度數(shù)．【詳解】∵CD⊥AB，∴，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°.故答案為C.【點睛】本題考查圓中的角度計算，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理是關鍵.6.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線平移的規(guī)律解答．【詳解】解：這條新的拋物線的表達式是，故選：D．【點睛】此題考查了拋物線平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，熟記規(guī)律是解題的關鍵．7.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性解答．【詳解】解：∵與都在函數(shù)的圖象上，且，1<2，∴y隨著x的增大而減小，∴，得，故選：A．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的增減性：當k>0時，圖象的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k<0時，圖象的兩個分支分別位于二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．8.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線解析式可求得點A（-4,0），B（4,0），故O點為AB的中點，又Q是AP上的中點可知OQ=BP，故OQ最大即為BP最大，即連接BC并延長BC交圓于點P時BP最大，進而即可求得OQ的最大值．【詳解】解：連結BP，∵拋物線與軸交于A、兩點，當y=0時，，解得，∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4，在直角△COB中，BC=，∵Q是AP上的中點，O是AB的中點，∴OQ為△ABP中位線，即OQ=BP，又∵P在圓C上，且半徑為2，∴當B、C、P共線時BP最大，即OQ最大，此時BP=BC+CP=5+2=7，OQ=BP=．故選擇C．【點睛】本題考查了勾股定理求長度，二次函數(shù)解析式求點的坐標及線段長度，中位線，點到圓上最長的距離，解本題的關鍵是將求OQ最大轉化為求BP最長時的情況．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】【解析】【分析】直接利用已知得出x＝y(tǒng)，進而得出答案．【詳解】解：∵＝，∴x＝y(tǒng)，∴＝＝．故答案為：．【點睛】此題主要考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解答此題的關鍵．10.【答案】12【解析】【詳解】試題分析：如圖所示：連接OB，OC，過點O作OH⊥BC于H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC=×360°=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC=OB=OC，∴周長為2×6=12故答案為12【考點】正多邊形和圓．11.【答案】【解析】【分析】根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比解答即可．【詳解】解：∵兩個相似三角形的相似比是1：3∴這兩個相似三角形的周長比是1：3，故答案為：1：3．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形周長的比等于相似比是解題的關鍵．12.【答案】【解析】【分析】由題意可知C、D是弧AB的三等分點，通過平移可把陰影部分都集中到一個小扇形中，可發(fā)現(xiàn)陰影部分正好是扇形AOB的，先求出扇形AOB的面積再求陰影部分的面積或者直接求圓心角是20度，半徑是3的扇形的面積皆可．【詳解】解：S扇形OAB=，S陰影=S扇形OAB=×π=π．故答案為【點評】此題考查扇形的面積問題，通過平移的知識把小塊的陰影部分集中成一個規(guī)則的圖形﹣﹣扇形，再求算扇形的面積即可．利用平移或割補把不規(guī)則圖形變成規(guī)則圖形求面積是常用的方法．13.【答案】【解析】【分析】利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．【詳解】y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2故本題答案為：y＝（x﹣1）2+2．【點睛】本題考查了把二次函數(shù)的一般式化為頂點式，關鍵是配方法的運用．14.【答案】【解析】【分析】令k>0即可符合題意．【詳解】解：位于第一，三象限的反比例函數(shù)的表達式是，故答案為：．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的定義，正確理解反比例函數(shù)的比例系數(shù)k與所在象限的關系是解題的關鍵．15.【答案】6【解析】【分析】依題意，直角三角形性質，結合題意能夠容納的最大為內(nèi)切圓，結合內(nèi)切圓半徑，利用等積法求解即可；【詳解】設直角三角形中能容納最大圓的半徑為：；依據(jù)直角三角形的性質：可得斜邊長為：依據(jù)直角三角形面積公式：，即為；內(nèi)切圓半徑面積公式：，即為；所以，可得：，所以直徑為：；故填：6；【點睛】本題主要考查直角三角形及其內(nèi)切圓的性質，重點在理解題意和利用內(nèi)切圓半徑求解面積；16.【答案】①③##③①【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可知中，則可判斷①，根據(jù)函數(shù)圖像不存在最小值，進而判斷②，根據(jù)與存在3個交點可判斷③當時，隨的增大而減小，進而即可判斷④【詳解】解：則，，即函數(shù)圖象與軸無交點，該函數(shù)自變量的取值范圍是；故①正確；根據(jù)函數(shù)圖象可知，該函數(shù)圖像不存在最小值，故②不正確；如圖與存在3個交點，則方程有三個根；故③正確當時，隨的增大而減小，如果和是該函數(shù)圖象上的兩個點，當時一定有．故④不正確故正確的有①③故答案為：①③【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象與性質，類比反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，23～26題每小題6分，第27～28題每小題7分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.【答案】【解析】【分析】根據(jù)特殊三角函數(shù)值、零次冪及二次根式的運算可直接進行求解．【詳解】解：．．【點睛】本題主要考查了特殊三角函數(shù)值、零次冪及二次根式的運算，熟練掌握特殊三角函數(shù)值、零次冪及二次根式的運算是解題的關鍵．18.【答案】【解析】【分析】由本題圖形相似已經(jīng)有一個公共角，再找一組對應角相等或公共角的兩邊對應成比例即可．【詳解】解：添加條件為：，理由：，，∽．故答案為．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵．19.【答案】（1）補全圖形見解析；（2）AD垂直平分BC.（或AD⊥BC，BD=DC）；；線段垂直平分線上點到線段兩端距離相等.【解析】【分析】按照題目步驟進行作圖即可；運用垂直平分線定理即可證明.【詳解】（1）補全圖形；（2）AD垂直平分BC.（或AD⊥BC，BD=DC）；線段垂直平分線上點到線段兩端距離相等.【點睛】本題考查的知識點是尺規(guī)作圖和垂直平分定理，解題關鍵是熟記垂直平分線上點到線段兩端距離相等.20.【答案】（1）；（2）（3，0）和（-1，0）.【解析】【分析】（1）由已知的三點坐標得到二次函數(shù)的對稱軸，然后設頂點式即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）由二次函數(shù)表達式即可得．【詳解】（1）由拋物線經(jīng)過三點（0，-3）、（2，-3）和（1，-4）可知，拋物線對稱軸為直線,頂點坐標為(1，-4).設拋物線表達式為將(0,-3)點代入，解得∴二次函數(shù)的表達式為（2）二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標為（3，0）和（-1，0）.【點睛】本題考查的知識點是求二次函數(shù)的解析式，解題關鍵是熟記二次函數(shù)的性質.21.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定，由已知可證∠A=∠DCB，又因為∠ACB=∠BDC=90°，即證△ABC∽△CBD；（2）根據(jù)勾股定理得到AB=5，根據(jù)三角形的面積公式得到CD=，然后根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∴∠A+∠ACD=90°．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°．∴∠A=∠DCB．又∵∠ACB=∠BDC=90°，∴△ABC∽△CBD；（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴CD=，∵CD⊥AB，∴BD=．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答的關鍵．22.【答案】（1）y=﹣；（2）（-2，0）或（0，4）【解析】【詳解】解：（1）∵點A（﹣1，n）在一次函數(shù)y=﹣2x的圖象上．∴n=﹣2×（﹣1）=2∴點A的坐標為（﹣1，2）∵點A在反比例函數(shù)的圖象上．∴k=﹣2∴反比例函數(shù)的解析式是y=﹣．（2）∵A（-1，2），∴OA=，∵點P在坐標軸上，∴當點P在x軸上時設P（x，0），∵PA=OA，∴，解得x=-2；當點P在y軸上時，設P（0，y），∴，解得y=4；當點P在坐標原點，則P（0，0）舍去．∴點P的坐標為（-2，0）或（0，4）23.【答案】永定樓的高為米．【解析】【分析】根據(jù)題意，得，．設為，利用三角函數(shù)求出BC、AC，得到，求出x即可．【詳解】根據(jù)題意，得，．設為．在中，，．同法可求．．解得．．答：永定樓的高為米．【點睛】此題考查了解直角三角形的實際應用，正確理解題意確定直角三角形是解題的關鍵．24.【答案】（1）（2）的長為12米或16米（3）當時，面積的最大值為195米【解析】【分析】（1）依題意，按照矩形面積公式，列式化簡，即可；（2）對（1）中的關系式賦值，求解對應方程的解，即可；（3）結合（1）中的函數(shù)關系式，及到墻邊的距離限制進行求解，即可；【小問1詳解】由題意得．∴．【小問2詳解】由題意結合（1）可得：．解得，．答：的長為12米或16米．【小問3詳解】結合（1）中的函數(shù)關系式可得：；又樹到墻的距離為m，所以，即為；結合二次函數(shù)的性質，∴當時，面積的最大值為195米．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質及其最值得求解，難點在于結合實際情況進行解答；25.【答案】（1）見解析；（2）2．【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)CD是⊙O的切線，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根據(jù)OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根據(jù)OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可證明；（2）設半徑為r，根據(jù)在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB為⊙O的直徑，得出∠ADB=90°，再根據(jù)推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行線分線段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF．【詳解】（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）設半徑為r，在Rt△OCD中，，∴，∴，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴，∴OE=4，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，切線的性質，直徑所對的圓周角是90°，靈活運用知識點是解題關鍵．26.【答案】（1）對稱軸為直線，頂點坐標為（2）（3）【解析】【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點式可直接得出；（2）根據(jù)題意拋物線的頂點恰好在x軸上及（1）中結論可得，求解然后代入拋物線解析式即可得；（3）由（1）中結論對稱軸為，，開口向上，考慮，分兩種情況進行討論：①當時；②當時；根據(jù)距離拋物線對稱軸越遠，函數(shù)值越大，列出不等式求解即可得．【小問1詳解】解：由題意得．對稱軸為直線，頂點坐標為；【小問2詳解】解：∵拋物線的頂點恰好在x軸上，，解得，∴拋物線的表達式為：；【小問3詳解】解：根據(jù)題意可得：對稱軸為，，開口向上，分兩種情況進行討論：①當時，∵，∴可得：，不等式組無解；②當時，可得：，解得：，綜合可得：．【點睛】題目主要考查拋物線的基本性質及頂點坐標，不等式組在二次函數(shù)中的應用等，理解題意，列出不等式組是解題關鍵．27.【答案】（1）①補全圖形，如圖1所示.見解析；猜想：∠BAE=∠BCD.理由見解析；②見解析；（2）補全圖形，如圖3所示.見解析；線段AE，CE，DE數(shù)量關系：CE-DE=AE.【解析】【分析】(1)①依題意補全圖形，由直角三角形的性質得出∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；②在AE上截取AF=CE，可證出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可證明△ADF≌△CDE，得出DF=DE,∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.證出△EDF是等腰直角三角形，得出EF=，即可得出結論;(2)在CE上截取CF=AE，連接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF由∠BAC=45°可得AD=CD，可證△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故，即可得線段AE，CE，DE的數(shù)量關系.【詳解】（1）①依題意，補全圖形，如圖1所示.猜想：∠BAE=∠BCD.理由如下：∵CD⊥AB,AE⊥BC，∴∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°.∴∠BAE=∠BCD.②證明：如圖2，在AE上截取AF=CE.連接DF.∵∠BAC=45°,CD⊥AB,∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.又∠BAE=∠BCD,∴△ADF≌△CDE（SAS）.∴DF=DE,∠ADF=∠CDE.∵AB⊥CD,∴∠ADF﹢∠FDC=90°.∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.∴△EDF是等腰直角三角形.∴EF=.∵AF+EF=AE,∴CE+DE=AE.（2）依題意補全圖形，如圖3所示.在CE上截取CF=AE，連接DF∵CD⊥AD，AE⊥BC∴∠AD