生物醫(yī)學(xué)信號處理

生物醫(yī)學(xué)信號處理

電子科技大學(xué)出版社

圖書在版編目（CIP）數(shù)據(jù)生物醫(yī)學(xué)信號處理/饒妮妮，季凌編著.一成都：電

子科技大學(xué)出版社，2005.7

ISBN7—81094—883—0

I.生...II.①饒...②李...III.信號處理一應(yīng)用

一生物醫(yī)學(xué)工程IV.R318

中國版本圖書館CIP數(shù)據(jù)核字（2005）第080768號

內(nèi)容提要

本書主要介紹生物醫(yī)學(xué)信號處理中最重要的基礎(chǔ)知識、基本處理方法及其在生?物醫(yī)學(xué)中的

具體應(yīng)用。為了體現(xiàn)該領(lǐng)域的經(jīng)典性與現(xiàn)代性、基礎(chǔ)性與前沿性、理論性與實踐性的統(tǒng)一，本

書在參考了國內(nèi)外同類書籍的基礎(chǔ)上，對內(nèi)容進行了合理的取舍和安排，以方便教學(xué)和自學(xué)。

本書共分為8章：生物醫(yī)學(xué)信號概述、數(shù)字信號處理基礎(chǔ)、隨機信號基礎(chǔ)、數(shù)字相關(guān)和數(shù)字卷

積、維納濾波、卡爾曼濾波、隨機信號的參數(shù)建模法和自適應(yīng)濾波等,

本書可作為生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)和相關(guān)專業(yè)的本科生及研究生教材，也可供有關(guān)研究人員、

技術(shù)人員作為研究生物醫(yī)學(xué)信號處理問題的實用參考書。

生物醫(yī)學(xué)信號處理

饒妮妮李凌編著

出版電子科技大學(xué)出版社（成都市建設(shè)北路二段四號，郵編：610054）責(zé)

任編輯朱丹發(fā)行電子科技大學(xué)出版社印刷四川省地r■局測繪隊印

刷廠

開本787X10921/16印張9字數(shù)216千字版次

2005年6月第?版印次2005年6月第?次印刷

書號ISBN7—81094—883—0/R-3定

價13.00元

刖百

用信號處理方法處理生物醫(yī)學(xué)信號的目的是：（1）去除不需要的信號成分，

因為這些信號成分污染了感興趣的有用信號；（2）用更明顯或更有用的形式表

達提取的生物醫(yī)學(xué)信息，以獲得有價值的生物醫(yī)學(xué)解釋；（3）預(yù)測生物醫(yī)學(xué)信

號未來的行為，如早期發(fā)現(xiàn)疾病，為疾病的治療提供契機。因此，生物醫(yī)學(xué)信

號處理在生命科學(xué)研究、醫(yī)學(xué)診斷、臨床治療等方面起著重要的作用。

作為生物醫(yī)學(xué)工程、生物信息技術(shù)和生物信息學(xué)等專業(yè)的一門重要專業(yè)主

干課程，“生物醫(yī)學(xué)信號處理”課程是多學(xué)科交叉的結(jié)晶，是理、工、生、醫(yī)

高度融合的產(chǎn)物，涉及的知識面寬而廣。隨著信號處理技術(shù)卻生命科學(xué)的發(fā)

展，生物醫(yī)學(xué)信號處理涵蓋的內(nèi)容越來越多。然而，當(dāng)前的教學(xué)改革使該課程

所允許的授課學(xué)時越來越少，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)也發(fā)生了很大變化。本教材正是

為了適應(yīng)這種形勢的需要而編寫的。編者在分析了20世紀80年代末期以來

出版或再版的若干英、美和國內(nèi)同類教材的基礎(chǔ)上，結(jié)合近年來對該門課程的

教學(xué)體會以及在該領(lǐng)域的科研實踐編寫了本教材。在教材的編寫過程中，重點

考慮了以下問題：

1.教材適合于生物醫(yī)學(xué)工程、生物信息技術(shù)和生物信息學(xué)等專業(yè)高年級本

科學(xué)生或研究生，授課課時大約在40學(xué)時（不包括實驗學(xué)時）；

2.教學(xué)內(nèi)容建立在先修課程“生物化學(xué)”、“人體解剖生理學(xué)”、“信號

與系統(tǒng)”和“數(shù)字信號處理”的基礎(chǔ)之上，但又不與先修課程的內(nèi)容重復(fù)；

3.教學(xué)內(nèi)容不應(yīng)該包羅萬象，應(yīng)有所側(cè)重，但又具有連貫性和系統(tǒng)性，易

于“生物醫(yī)學(xué)信號處理”課程的教學(xué)和學(xué)生自學(xué);

4.通過該課程，為學(xué)生架設(shè)一座聯(lián)系信號處理方法與生物醫(yī)學(xué)真實世界的

橋梁。

由于信號處理新技術(shù)層出不窮，各種生物醫(yī)學(xué)問題千變?nèi)f化，因此，要想在一門

40學(xué)時的課程中囊括各種信號處理技術(shù)或涉及各種生物醫(yī)學(xué)信號問題是不現(xiàn)實的。在

本教材中，許多現(xiàn)代信號處理方法，諸如二維信號處理、多元時間分析、非高斯信號

處理、信號的時頻分析、小波變換等內(nèi)容均未編入本教材。編者認為，上述知識可安

排在學(xué)生的下一階段（如碩士和博士階段）學(xué)習(xí)。本書重在基礎(chǔ)，既包含有經(jīng)典的信

號處理技術(shù)，又包含有部分現(xiàn)代信號處理技術(shù)，通過具體的生物醫(yī)學(xué)應(yīng)用實例，講

清、講透方法的基本原理，強調(diào)可讀性，適合于教學(xué)。

本書在編寫過程中，得到了電子科技大學(xué)各級領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)心、支持及許多專家的幫

助、指正。電子科大生命學(xué)院的領(lǐng)導(dǎo)在人力、條件上提供了大量幫助，堯德中教授在

本書大綱審定、具體編寫上提出了許多寶貴意見，電子科技大學(xué)出版社朱丹編輯為保

證本書質(zhì)量付出了辛勤的勞動，在此一并表示衷心的感謝！

本書由饒妮妮和李凌編著。限于作者水平，書中不妥之處在所難免，懇請讀者

批評、指正。

編者

2005年5月于成都

2

目錄

第1章生物醫(yī)學(xué)信號概述...................................................1

1.1學(xué)習(xí)生物醫(yī)學(xué)信號處理的理由...........................................1

1.2信號及其類型.........................................................1

1.3一些典型的生物醫(yī)學(xué)信號簡介.............................................3

1.4處理生物醫(yī)學(xué)信號的目的...............................................5第2

章數(shù)字信號處理基礎(chǔ)....................................................6

2.1傅里葉變換及其意義...................................................6

2.1.1傅里葉變換的意義及各種變換對...................................6

2.1.2離散傅里葉變換..................................................7

2.2傅里葉變換的性質(zhì).....................................................9

2.3頻域分析和譜圖表示..................................................14

2.4頻域分辨率...........................................................18

2.5數(shù)字濾波器的設(shè)計和實現(xiàn)..............................................22

習(xí)題......................................................................25

第3章隨機信號基礎(chǔ).......................................................26

3.1隨機信號.............................................................26

3.2隨機信號的統(tǒng)計特征描述..............................................27

3.2.1概率分布函數(shù)...................................................28

3.2.2各態(tài)遍歷隨機過程..............................................29

3.2.3統(tǒng)計特征量.....................................................29

3.2.4樣本數(shù)字特征..................................................31

3.3幾種典型的隨機過程..................................................33

3.4隨機信號通過線性系統(tǒng)................................................35

1

習(xí)題.......................................................................38

第4章數(shù)字相關(guān)和數(shù)字卷積........................................39

4.1線性相關(guān).............................................................39

4.2循環(huán)相關(guān)............................................................42

4.3相干函數(shù)............................................................45

4.4線性卷積............................................................51

4.5循環(huán)卷積.............................................................55

4.6相關(guān)函數(shù)和功率譜的估計...............................................59

4.7相關(guān)技術(shù)的應(yīng)用........................................................62

習(xí)題.......................................................................68

第5章維納濾波.................................................69

5.1維納濾波器的時域解..................................................70

5.1.1因果的維納濾波器...............................................70

5.1.2有限脈沖響應(yīng)法求解維納-霍夫方程...............................71

5.1.3預(yù)白化法求解維納-霍夫方程.....................................73

5.2維納預(yù)測器..........................................................77

5.2.1因果的維納預(yù)測器...............................................77

5.2.2純預(yù)測器.......................................................79

5.2.3一步線性預(yù)測器................................................80

5.3維納濾波器的應(yīng)用....................................................81

習(xí)題.......................................................................85

第6章卡爾曼濾波................................................87

6.1信號模型.............................................................87

6.1.1狀態(tài)方程和量測方程..............................................87

6.1.2信號模型.......................................................88

6.2卡爾曼濾波方法........................................................89

6.2.1卡爾曼濾波的一步遞推法模型.....................................89

2

6.2.2卡爾曼濾波的遞推公式...........................................906.3

卡爾曼濾波器的應(yīng)用...................................................92

習(xí)題.......................................................................95

第7章隨機信號的參數(shù)建模法.....................................96

7.13種參數(shù)模型.........................................................96

7.1.1MA模型........................................................96

7.1.2AR模型........................................................97

7.1.3ARMA模型.....................................................97

7.2AR模型參數(shù)的估計...................................................97

7.3參數(shù)建模法的應(yīng)用....................................................107

習(xí)題......................................................................112

第8章自適應(yīng)濾波...............................................113

8.1LMS自適應(yīng)維納濾波器...............................................113

8.1.1基本LMS算法..................................................113

8.1.2基本LMS算法的性能...........................................117

8.2自適應(yīng)噪聲抵消器....................................................119

8.2.1自適應(yīng)噪聲抵消原理.............................................119

8.2.2基于最小均方誤差準則(LMS)的自適應(yīng)噪聲抵消..................121

8.2.3基于RLS(遞推最小二乘)算法的自適應(yīng)噪聲抵消..................123

8.3生物醫(yī)學(xué)應(yīng)用............................................................125

8.3.1自適應(yīng)噪聲抵消法增強心電圖(ECG)監(jiān)護.........................125

8.3.2自適應(yīng)噪聲抵消方法增強胎兒ECG心電監(jiān)護........................128

8.3.3自適應(yīng)噪聲抵消在增強胃電測量中的應(yīng)用...........................129

習(xí)題.........................................................................132參

考文獻........................................................................134

3

第1章生物醫(yī)學(xué)信號概述

第1章生物醫(yī)學(xué)信號概述

1.1學(xué)習(xí)生物醫(yī)學(xué)信號處理的理由

生物醫(yī)學(xué)工程是一個應(yīng)用性的研究領(lǐng)域，生物醫(yī)學(xué)信號處理自然應(yīng)該成為該專業(yè)的主

干課程之一，本課程使學(xué)生掌握處理信號和系統(tǒng)的方法。

信號處理的含義比純粹的數(shù)學(xué)運算更深、更廣。生物醫(yī)學(xué)信號處理以嚴謹?shù)慕M織行為

方式為分析和概念化物理行為提供了一個基礎(chǔ)框架，而不管這種行為是一個電子控制系統(tǒng)

的輸出還是一次種植與周圍組織的反應(yīng)。

對信號/系統(tǒng)進行計算能夠獲得較精確的分析結(jié)果，但對分析過程的理解（定性的）也

卜分重要。例如I,若想用小波來檢測心電圖信號中的異常，則必須理解小波變換的數(shù)學(xué)概

念；若希望研究全身振動對視覺功能的影響，則需要理解共振的概念。類似地，要研究心

率的神經(jīng)中樞控制，不管用哪種方法來描述心率，都需要理解與記憶相關(guān)的概念以及在能

量記錄中瞬時變化的原因。簡言之，要想成為一名生物醫(yī)學(xué)工程師，就應(yīng)該掌握信號處理

的定性描述并具備應(yīng)用定量分析方法解決生物醫(yī)學(xué)問題的技能。通過學(xué)習(xí)“生物醫(yī)學(xué)信號

處理”課程，學(xué)生可以達到上述要求。

更具體地說，“生物醫(yī)學(xué)信號處理”課程將教給學(xué)生兩種主要技能：（1）為了提取原始

的生物醫(yī)學(xué)信息，獲取和處理生物醫(yī)學(xué)信號的技能；（2）解釋處理結(jié)果性質(zhì)的技能。為

此，該課程應(yīng)該包含以下4個重要內(nèi)容：

（1）測量生物醫(yī)學(xué)信號，即量化和校正測量儀器對待測信號的影響。（2）操作（即

濾波）生物醫(yī)學(xué)信號，即識別和分離信號中的有用成分和無用成分。

（3）定量描述生物醫(yī)學(xué)信號，即揭示產(chǎn)生生物醫(yī)學(xué)信號的本質(zhì)，根據(jù)第（2）步得出

的結(jié)果預(yù)測信號未來的行為。

（4）探測生物醫(yī)學(xué)信號源，即描述一個生物醫(yī)學(xué)物理系統(tǒng)的輸入與輸出信號之間的內(nèi)

在聯(lián)系。

大多數(shù)有關(guān)信號處理的教材都很強調(diào)計算和算法。對于生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)的學(xué)生來

說，如果在生物醫(yī)學(xué)信號處理課程中仍大量強調(diào)信號處理的內(nèi)容，則可能是熟悉知識的枯

燥重復(fù)。本教材的宗旨是通過許多具體生物醫(yī)學(xué)信號處理實例，將真實世界與理論研究聯(lián)

系起來，并指導(dǎo)學(xué)生如何應(yīng)用一項信號處理理論去解決一個具體的生物醫(yī)學(xué)問題。

生物醫(yī)學(xué)信號處理

1.2信號及其類型

信息是一個過程產(chǎn)生的能量的測量，而信號則是信息的一-種表達形式。來自于真實世

界的信號各不相同，但大致可分為4種類型：（1）確定性信號；（2）隨機信號；（3）分形

信號；（4）混沌信號，圖1-1（a）、（b）、（c）

和（d）分別是這4種類型信號的一個例子。

確定性信號在教材中常作為例子給出，是

學(xué)生最熟悉的一類信號，但這類信號在真實世（a）確定性信號（b）隨機信號

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界中則較少出現(xiàn)。所謂確定性信號是指在已知

足夠過去值的條件下，能夠準確預(yù)測該信號未

MW撕糊州

來值的一類信號。例如，正弦波信號

（c）分形信號（d）混沌信號

Asinu）Zo換句話說，只要能夠用數(shù)學(xué)封閉表達

式來表達的一類信號就是確定的信號。即使信號的全部過去值已知，也不能準確預(yù)測其未

來值的一類信號稱為隨機信號。

隨機信號在真實世界中大量存在。嚴格地說，圖1-14種信號類型的例子實際的物理信

號總具有某些隨機因素。例如，測量儀器中電流產(chǎn)生的噪聲就是一類常見的隨機信號，大

多數(shù)生物醫(yī)學(xué)信號包含有隨機成分。反過來說，目前認為是隨機性的事物，往往只是由于

在現(xiàn)階段還沒有掌握影響該事物的諸因素所遵循的規(guī)律，這種情況在生物醫(yī)學(xué)系統(tǒng)的測量

中尤為突出。因為大多數(shù)生物醫(yī)學(xué)系統(tǒng)都很復(fù)雜，不可能完全辨別出影響一次測量的所有

因素，未認識清楚的因素自然被歸入“噪聲”，即信號中的隨機行為。隨機信號中也包含

一些有規(guī)律的因素，這種規(guī)律性是從大量樣本統(tǒng)計分析后呈現(xiàn)出來的。本書第

3章將對隨機信號作較詳細的定量分析和描述，這里不再贅述。生物醫(yī)學(xué)系統(tǒng)中存在分形

信號在過去十多年里已經(jīng)取得了廣泛共識。分形信號具有十分有趣的特性，即它們在各

種放大倍數(shù)下看上去都很類似，這種特性稱為尺度不變性。如果我們根據(jù)如圖1-1（C）

所示的圖形構(gòu)建一個新信號，且新信號在每一個時間點上的信號值由原信號中連續(xù)4個

時間點上的信號值平均所得，以頭4個時間點作為計算起點，以此類推，則所得新信號

的時間分辨率是原信號的四分之一。僅僅采用常規(guī)的測量工具是不能區(qū)別新信號和原信

號的，如圖1-2所示。圖1-2表明，兩種信號在視覺上不同，但實質(zhì)上卻很類似。心率

信號是分形信號的一個例子。隨機信號是否也具有這種特性呢？回答是否定的，分形信

號與隨機信號的尺度特性在量上存在很大差別。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，我們相信將有更

多的分形生物醫(yī)學(xué)信號被發(fā)現(xiàn)。此外，分形的概念也能夠應(yīng)用于空間變量中，例如，血

管或航路的分支等。目前，直接證明一個信號是否具有分形特性還存在困難，只有一些

技術(shù)可確定分形信號的尺度不變性指標。

-2-

第1章生物醫(yī)學(xué)信號概述

Original

signal

4-point

average

圖1-2

混沌信號是一類不能準確預(yù)測其未來的確定性信號?；煦缧盘柖x上的矛盾可用其初值敏

感性來解釋。對于一些確定性的信號，它們在未來的軌跡對其過去值很敏感，因此，無法

用足夠的精度來預(yù)測未來值。理論上這些信號是確定的，但對未來值的預(yù)測誤差很大?；?/p>

沌信號在視覺上具有隨機信號的一些特征，但是隨機信號不是混沌的，混沌信號也不是隨

機的。與分形信號類似，學(xué)者們認識到生物醫(yī)學(xué)系統(tǒng)能夠產(chǎn)生混沌行為也只是近十來年的

事情。因此，現(xiàn)在要證明一個信號是混沌的仍然存在困難，其中一項困難是隨機成分普遍

存在，這嚴重地破壞了對混沌信號的分析。另一項困難是一個過程在某些情形下表現(xiàn)出混

沌行為，而在其他情形下又不是混沌的。發(fā)展新方法來證明一個信號的混沌性是一項有價

值的研究課題。已有大量事實表明，生物化學(xué)的調(diào)控過程展現(xiàn)為混沌行為；腦電活動和呼

吸也具有混沌特征；從多細胞振蕩器到單個神經(jīng)元等神經(jīng)生理系統(tǒng)也已經(jīng)報道展現(xiàn)出了混

沌現(xiàn)象。

1.3一些典型的生物醫(yī)學(xué)信號簡介

生物系統(tǒng)根據(jù)生理功能歸納成幾個基本系統(tǒng)一一循環(huán)系統(tǒng)、神經(jīng)系統(tǒng)、呼吸系統(tǒng)和消

化系統(tǒng)等。每一個基本系統(tǒng)實際上又是一些復(fù)雜的生物物理和生物化學(xué)過程的綜合表現(xiàn).

而且，這些基本系統(tǒng)還互相交織、滲透和影響著。因此，生物醫(yī)學(xué)信號是一種相當(dāng)復(fù)雜的

信號。

從生物的細胞到器官組織都可以成為生物信號源。就人體而言，其生物醫(yī)學(xué)信號大致

有兩類：（1）由生理過程自發(fā)產(chǎn)生的主動信號，例如心電（ECG）、腦電（EEG）、肌電

（EMG）、眼電（EOG）、胃電（EGG）等電生理信號和體溫、血壓、脈搏、呼吸等非電生

理信號。它們是對人體進行診斷、監(jiān)護和治療的重要依據(jù)。（2）外界施加于人體、把人體

作為通道、用以進行探查的被動信號，如超聲波、同位素、X射線等。關(guān)于生理、病理狀

況的信息將通過被動信號的某些參數(shù)來攜帶。從整個生物體來看，生物醫(yī)學(xué)信號的種類各

式各樣，但根據(jù)其特征可歸入上一節(jié)介紹過的4種信號類型中。

ECG記錄了胸部電極上的電位（或兩個電極之間的電位差），反映了心肌中的時變電

活動，而這些電活動與動作電位的產(chǎn)生和傳播相關(guān)。每一次心跳產(chǎn)生一個電波（P、Q、

R、S和T波）序列，如圖1-3所示。通過檢測ECG波形的形狀，醫(yī)生能夠發(fā)現(xiàn)心臟的

3

生物醫(yī)學(xué)信號處理

收縮是否正常。觀察ECG信號盡管在臨床上很有用，但對心電圖進行分析和處理以獲得

有用的病理信息更為重要。例如，在心室收縮恢復(fù)期間，探測大峰：R波）后ECG波形

在形狀上的細微變化曾經(jīng)是一個焦點研究課題，一些譜分析方法被用來分析ECG信號。

另一個與臨床相關(guān)的問題是心跳屬于規(guī)則還是不規(guī)則，不管你是否相信，太規(guī)則的心跳反

而被認為是不健康的。通過對ECG進行信號處理，可以發(fā)現(xiàn)心跳不規(guī)則的類型和程度。

LLJLJLL

圖1-3ECG信號

生物電信號的另一個例子是肌電（EMG）。把電極放在肌肉內(nèi)、肌肉上或肌肉附近并

放大兩個電極之間的電位差可記錄EMG信號。電位差引起沿肌肉纖維的動作電位的產(chǎn)生

和傳播。多單元EMG（Multiple-UnitEMG,MUEMG）記錄了來自多塊肌肉纖維的電位

信號，如圖1-4所示。此外，生物電信號還包括眼電（EOG）、胃電（EGG）和腦電

（EEG）,受限于篇幅，這里不再一一列舉。

圖1-4EMG信號

當(dāng)一束超聲照射一個動目標時，反射波束的頻率不同于入射波束的頻率，即存在多普

勒頻移。該頻移正比于目標的速度。高頻超聲信號能夠穿透硬生物組織（如較薄的骨頭），

超聲的這種特性為不可觸及或不可進入的生物組織（如血細胞）提供了一種測速工具。盡

管這種測量不是血流的直接估計，但它能用于人類識別大腦中的血管。如圖1-5所示是血

細胞信號。

圖1-5血細胞信號

圖1-6是100次連續(xù)心跳的瞬時心率信號（跳/分），未標注的獨立變量是“心跳數(shù)”，

屬于離散時間信號。

第1章生物醫(yī)學(xué)信號概述

本節(jié)只給出了少量生物醫(yī)學(xué)信號的例子，更多的信號將在后面章節(jié)中陸續(xù)介紹。在第

1章中給出生物醫(yī)學(xué)信號例子的目的是要說明生物醫(yī)學(xué)工程問題的復(fù)雜性；另一個目的是

要說明信號處理是生物醫(yī)學(xué)工程活動中的一個重要環(huán)節(jié)，而不管所解決的問題是全身性

的、器官系統(tǒng)的、組織細胞的還是分子水平的。表1-1是常用生理信號的頻寬、幅值范圍

及量化位數(shù)。

100

圖1-6心率信號

表1-1常用生理信號的頻寬、幅值范圍及量化位數(shù)

信號頻寬（Hz）幅值范圍量化（位數(shù)）

腦電圖（EEG）0.5?5060PV4?6

眼電圖（EOG）0.2?1510mV4?6

心電圖（ECG）0.15?15010mV10?12

肌電圖（EMG）20?800010mV4?8

血壓。?60400mmHg8?10

呼吸描記圖0?4010L8?10

心音圖5?200080dB8?10

1.4處理生物醫(yī)學(xué)信號的目的

信號處理定義為對一個信號的操作，并達到以下目的：（1）從信號中提取信

息；

（2）提取有關(guān)兩個信號（或更多）關(guān)系的信息；

（3）構(gòu)建信號的表達式。

最常用的操作過程是由數(shù)學(xué)方程確定的，定量的分析或“模糊”規(guī)則也是常用的方

法。

處理信號的動機可歸納如下：

（1）去除不需要的信號成分，因為它們污染了感興趣的信號；

（2）用更明顯或更有用的形式表達提取的信息；（3）為了預(yù)測信號源的行為和信號

的未來值。

5

生物醫(yī)學(xué)信號處理

很清楚，第一個動機可通過濾波處理來完成，以后各章幾乎都涉及從信號中去除噪聲

的問題。問題的關(guān)鍵在于必須決定什么是有用信號和什么是噪聲。

用信號處理來提取信息的思路在生物醫(yī)學(xué)應(yīng)用中很普遍。處理的目的是要區(qū)分正常信

號與異常信號，在此基礎(chǔ)上診斷疾病的存在。這種處理過程就像醫(yī)生用聽診器來檢查異常

心聲或肺聲一樣。生物醫(yī)學(xué)工程師常將信號分解為基本信號類型的和，以檢查異常信號并

發(fā)現(xiàn)疾病。這些方法中有許多需要利用傅里葉變換中的特性，例如，心臟阻塞以及幾秒至

幾十秒的血壓振蕩等幾種疾病的表達就是如此。另一方面，我們也會發(fā)現(xiàn)許多生物醫(yī)學(xué)信

號并不服從上述傅里葉變換的基本特性（從實際的角度，不是從數(shù)學(xué)的角度）：即信號不能

夠表達為正弦和。因此，我們需要發(fā)展新的方法，將信號分解為基本的信號類型，以更好

地代表生物醫(yī)學(xué)信號的屬性。

在兩種情況下通常需要預(yù)測信號的未來值：第一，控制行為的時候。例如，通過周期

性注射胰島素來控制血液葡萄糖的含量.由于任何控制行動都需要一定時間之后才能知道

效果，所以如果我們能在短時間內(nèi)預(yù)測到控制行動將產(chǎn)生的效果，則對病人十分有用。本

教材不涉及有關(guān)控制理論的介紹，但將介紹如何通過信號處理來預(yù)測信號未來的行為。第

二，一種疾病發(fā)作的早期檢測。早期發(fā)現(xiàn)疾病有利于該疾病的治療，所以需要進行早期檢

測?，F(xiàn)有方法主要是預(yù)測未來的正常行為，即便是正常情況的微小偏離也將有助于疾病的

識別。這個問題一直是生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的熱點研究，不斷有新方法被提出。因此，對生物

醫(yī)學(xué)信號進行處理是生物醫(yī)學(xué)工程領(lǐng)域的一個必不可少的重要環(huán)節(jié)。

第2章數(shù)字信號處理基礎(chǔ)

對采集到的信號進行處理，除了傳統(tǒng)的時域分析之外，各種各樣的變換發(fā)揮了重要作

用，包括從最熟悉的傅里葉（Fourier）變換到現(xiàn)在的小波（Wavelel）變換以及主成分分析

（PrincipalComponentAnalysis）＞獨立成分分析（IndependentComponentAnalysis）和稀

疏成分分析（SparseComponentAnalysis每一種變換都有其獨特的視野，為信號的分析

處理提供了不同的思路。這里我們將介紹最基本的一種變換，即在線性時不變系統(tǒng)

（LTI,

LinearTimeInvariance）中廣泛使用的傅里葉變換以及頻譜分析，本章還是以離散數(shù)據(jù)為

主，介紹離散傅里葉變換（DFT）的有關(guān)知識。

-6-

第1章生物醫(yī)學(xué)信號概述

2.1傅里葉變換及其意義

傅里葉分析方法的建立有過一段漫長的歷史，涉及到很多人的工作和不同物理現(xiàn)象的

研究。在近代歐拉、伯努利、傅里葉、狄里赫利等學(xué)者的努力完善下，建立了傅里葉分析

方法，他們的研究主要是集中在連續(xù)時間信號的分析問題上。與此同時，對于離散時間信

號的傅里葉分析方法卻有著不同的發(fā)展過程，用于處理離散數(shù)據(jù)以產(chǎn)生數(shù)值近似的有關(guān)內(nèi)

插、積分和微分等方面的公式早在17世紀的牛頓時代就被研究過，從事時間序列的研究

曾吸引了18、19世紀包括高斯在內(nèi)的許多著名科學(xué)家，從而為離散傅里葉變換提供了數(shù)

學(xué)基礎(chǔ)。

在20世紀60年代中期，庫利（Cooley）和圖基（Tukey）各自獨立發(fā)表了一篇論文，

也就是快速傅里葉變換算法（FFT）cFFT是非常高效的算法,使得計算變換所需要的時間

減少了幾個數(shù)量級。由于計算機速度的迅速提高，越來越多的連續(xù)時間信號被離散化，然

后用計算機進行處理。

2.1.1傅里葉變換的意義及各種變換對

利用“三角函數(shù)和”的概念來描述周期性過程至少可以追溯到古代巴比倫人時代，三

角函數(shù)和也即是成諧波關(guān)系的正弦和余弦或周期復(fù)指數(shù)函數(shù)的和。這些成諧波關(guān)系的復(fù)指

數(shù)函數(shù)在LTI系統(tǒng)分析中變得卜分有用：如果一個LTI系統(tǒng)的輸入可以表示為周期復(fù)指數(shù)

的線性組合，則輸出也一定能表示成這種形式，并且輸出線性組合中的加權(quán)系數(shù)與輸入中

對應(yīng)的系數(shù)有關(guān)，如圖2?1所示，x（〃）表示輸入或者激勵，），（〃）表示系統(tǒng)輸出或者響應(yīng)，

表示系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h{n\的頻率響應(yīng)。

xMy(n)x(n)

—：—?H(e」)H(*)

￡AH(e同)e?1

-kk

kk

圖2-1成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)

7

生物醫(yī)學(xué)信號處理

在研究LTI系統(tǒng)時，復(fù)指數(shù)信號的重要性就體現(xiàn)在圖2-1中：一個LTI系統(tǒng)對復(fù)指

數(shù)信號的響應(yīng)也同樣是一個復(fù)指數(shù)信號，不同的只是乘了一個復(fù)振幅因子”(鏟，)，頻率

并沒有發(fā)生變化，由于是復(fù)數(shù)因子，就有了幅度和相位或者實部和虛部的變化。

表2-1簡要地綜合了連續(xù)和離散時間信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換表達式，有時為

了統(tǒng)一，也把周期信號的傅里葉級數(shù)表示利用單位脈沖序列或單位沖激函數(shù)表示成傅里葉

變換。

表2-1各種信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換對

傅里葉級數(shù)得里葉變換

X'(wV/)的岫xQLf1)XGwHPf

時...2aJ.

域時域是連續(xù)周期的時域是連續(xù)非周期的

<

=a=J_j--i*r(7)e*°d/X(=j；卬)加把加山領(lǐng)域是連續(xù)非周

>

期的

頻域是離散非周期的

頻

域

<IjRX(cl")cl"'ti?v

A-(M)=￡cTgtgm

時域是離?散非周期的

時域是離散周期的

X(e吟=￡

Va~k-x~(n)e-.ni?Nu,頻域是連續(xù)周期的

頻fl

域頻域是離散周期的

從表2-1可以發(fā)現(xiàn)傅里葉變換在LTI系統(tǒng)分析中的思想，就是把一個無論多復(fù):雜的

輸入信號分解成復(fù)指數(shù)信號的線性組合，那么系統(tǒng)的輸出也能通過如圖2-1所示的關(guān)系

表達成相同復(fù)指數(shù)信號的線性組合，并且在輸出中的每一個頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)上乘以系統(tǒng)

在那

個頻率的頻率響應(yīng)值。系數(shù)｛必｝稱為信號二⑺的傅里葉級數(shù)系數(shù)或頻譜系數(shù)或線譜等；

X6M稱為的頻譜；X(物)也稱為M")的頻譜。作為線性組合所取的形式從求和過渡到

積分，就是利用傅里葉的思想，一個非周期信號可以看成是周期無限長的周期信號，當(dāng)周

期增加時，基頻齡越小，成諧波關(guān)系的各分量在頻率上越來越近，當(dāng)周期變得無窮大時，

離散的線譜就形成了一個連續(xù)譜，也就從求和變成了積分。

-8-

第2章數(shù)字信號處理基礎(chǔ)

從表2-1中時域和頻域的關(guān)系還能得到如下規(guī)律：時域的離散必然導(dǎo)致頻域的周期

化；頻域的離散必然導(dǎo)致時域的周期化。簡單地說，就是一個域離散必然另外一個域是周

期的；相反，如果一個域連續(xù)必然另外一個域是非周期的。掌握了這個規(guī)律，我們很快就

能判斷出一個信號在領(lǐng)域的表現(xiàn)形式。

2.1.2離散傅里葉變換

表2-1中給的4對傅里葉級數(shù)和傅里葉變換對在理論上有重要的意義，但在實際中往

往難以實現(xiàn)，尤其在數(shù)字計算機上實現(xiàn)是不太現(xiàn)實的，例如計算機無法處理連續(xù)的、周期

的信號。因此我們需要的是一種在時域和頻域都離散、非周期的一對傅里葉變換對，這就

是離散傅里葉變換，簡稱(DFT)。離散傅里葉變換的導(dǎo)出有多種方法，比較方便同時物理

意義也比較清晰的是從離散時間使里葉變換(DTFT)和從離散傅里葉級數(shù)(DFS)入手.

DTFT變換為：XJ三鏟時域是離散、非周期的，但頻域是連續(xù)、周期

■.

的，對連續(xù)變量W均勻采樣，也就是對單位圓進行N等分，取一個周期的結(jié)果即得：

X(e'\)w=2Nnk~N.l),這樣頻譜變量由連續(xù)量卬變成了離散變

量。

從DFS到DFT更加明顯，DFS對應(yīng)的時域和頻域都是離散周期信號，可以在這兩

個域中分別取它們的主值，也就是限定在一個周期內(nèi)，這樣就得到了DFT變換對。

具體給出如下：

...()

X(k)=DFT[x(y1w◎)]=X(n)eOkN-12-1

n=0

x(n)=IDFTfXdy1玄＜初=X(k)e0nNT'2-2’

NI

式(2?1)稱為正變換，式(2-2)稱為反變換。注意：這一對變換對中信號x(〃)的長

度為N,它的頻譜X伏)點長也為N,則和X(k)具有唯一的映射對應(yīng)關(guān)系。也有可能

給一個7點的時間序列，求該信號的4點DFT或者10點DFT,明顯前者求得的頻譜不

能真實反映出信號，而后者不存在混疊現(xiàn)象，能反映出信號的頻譜。因此在求DFT時要

注意到底是求多少點長的DFT,只有時域樣點數(shù)小于或等于頻域樣點數(shù)，頻譜才是真實的

反映。

【例2-1】試計算常用信號取(〃)和COSI^/ORNS)的N點DFE

N

9

生物醫(yī)學(xué)信號處理

解：RM〃)表示一個矩形窗，在漉波器設(shè)計中經(jīng)常使用，我們在對一段未知信號進行

分析時的截取實際上就相當(dāng)于乘了一個矩形窗，在實際分析信號時要注意矩形窗對信號

頻譜的影響。

N,k=0

Xl(A)—iVn^s-0I/??.(W)e-j2A'nAn=11--ee-jj^NxttkNk=0?k

=1,,2???,N-1=N6(A),WOkWN-1

A,()■ycoM——>e'--Ec、?一Ec、kn

N

n=02n=02n=0

與X必)的求法類似，可得：

)=yrf(-2)?:￡’c'：7'-2HM-(k1

kNkN

為了表示方便，一般用符號WN來表示正交序列集中的基e:即Wv=e-儂，因此,

離散傅里葉變換對也可表示為：

.VI()

X(k)=DFT[M￡W3)]=W02N-12-3

n=0

x(n)=IDFT[X(_LjJ..<k)]=X(k)W0nN-\(2-4)

Nt=o

WN具有下列性質(zhì)：

周期性：WNn=WNn^

共扼對稱性：WNn=(用…),可約性：

W.Nm=W,Vrt/rWnVni=WNn

以上性質(zhì)很容易證明，它們是計算傅里葉變換中非常有用的特性。

2.2傅里葉變換的性質(zhì)

離散傅里葉變換是有限長序列的z變換在單位圓上抽樣的結(jié)果，因而很多性質(zhì)和序

列傅里葉變換性質(zhì)類似，但由于DFT又可以從離散傅里葉級數(shù)引入，因而隱含了周期

性，所以又有些不同。

設(shè)序列x(〃)和興〃)都是N點長，它們對應(yīng)的N點DFT分別為X(2)和“攵)，下面來

討論

傅里葉變換的一些性質(zhì)。

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第2章數(shù)字信號處理基礎(chǔ)

1.線性

DFT[ar(.i)+by(n)]=aX(k)+bN?,OWAWNT(2-5)

式中，a、6為任意常數(shù)。如耒兩個序列的長度不同，則短的序列補零使得兩個序列長

度相同即可。

2.時間翻轉(zhuǎn)特性

DFT[x(N-〃)]=X(N-k)(2-6)

N-INnkNMN-m也二￡NX(m)Wv?KN/證明：DFT[.?N-

〃)]=Xx(N-n)W=Xx(陽)W

?t=0wt=Im=I

這里需要補充MN)=MO),因而有DFT[x(N-n)]=X(N-k)。

3.序列的循環(huán)移位

這里簡單給出序列的循環(huán)移位的定義：

f(n)=x((n+(2-7)

上式表示的含義為：先將序列x(〃)以N為周期進行周期性延拓，得到二(〃)，然后再

進行移位，得到二(〃+機)=x(5+機)加，最后取主值序列，得到的『(〃)仍然是一個N點

長的序列。循環(huán)移位后的DFT為：

N_1nk

F(k)=DFT[/(;?)]=￡x((〃+MINWYRNQ?)

J?=0

N_1nk

=RY/)￡x~(〃+m)WN-RN(Z)DFS[X~(〃+m)]

zi=O

=/?.Ik二K)()O因此，序列循環(huán)移

位后的DFT為：

勺卜「(W卬Xk(2-8)

即序列的循環(huán)移位相當(dāng)于頻域的相移。根據(jù)時域.頻域的對偶性質(zhì)，則頻域的循環(huán)移位對

應(yīng)時域的調(diào)制：

W^nnx(n)=IDFT[X((&+M)NRN(&)](2-9)

4.循環(huán)卷積

第4章將介紹循環(huán)卷積的計算，這里考慮時域循環(huán)卷積結(jié)果和頻域的關(guān)系。設(shè)：

F(k)=X(k)Y(k)

則有:

N_I

()

f(n)=￡-"1))NR\(〃)2-10

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生物醫(yī)學(xué)信號處理

證明：

nk

/(w)=IDFT[X(&)y(初二X(k)Y(k)WN-

Nk=0

=LN￡T(A￡TX(加)皿加)丫伏)皿科〃

N仁0卅=0(2-11)

=3削，)[()]

卅*oN*?o

N_I

=X-，〃))NRN(〃)

m=0

通常把式(2-10)稱為循環(huán)卷積，它的結(jié)果仍然是N點長的序列，循環(huán)卷積交換序

列的先后次序得到的結(jié)果都相同。由時域和頻域的對偶關(guān)系，可以得到頻域循環(huán)卷積對應(yīng)

于時域相乘：

DFT[xS))?)]=L〉T