《高等微波網絡》課件第5章

第5章雙匹配網絡的綜合

5.1雙匹配網絡的一般概念5.2具有簡單傳輸零點的雙匹配網絡5.3雙匹配網絡的實頻CAD技術

5.1雙匹配網絡的一般概念

本節(jié)將討論雙匹配網絡的基本關系式、系統(tǒng)的傳輸零點和均衡網絡的物理實現(xiàn)等問題。

5.1.1雙匹配網絡的基本關系式

在研究雙匹配問題時，將整個雙匹配系統(tǒng)(如圖5.1-1(a)所示)表示為圖5.1-1(b)所示的形式是很方便的。圖中終端接1Ω的無耗網絡G和L，分別是電源阻抗zg(s)和負載阻抗zl(s)的達林頓等效網絡。大方框包括的雙口網絡由G、E、L級聯(lián)組成，即G-E-L網絡，其終端電阻為1Ω。為了便于下面的討論，首先給出有關的散射矩陣、參數(shù)的定義和基本關系式。圖5.1-1雙匹配網絡系統(tǒng)網絡G-E-L的散射矩陣是單位歸一化散射矩陣，可表示為

S(s)=[Sij(s)]，i，j=1，2(5.1.1)

參考阻抗為zg(s)和zl(s)，即得匹配網絡E的復歸一化散射矩陣為

參考阻抗zg(jω)和zl(jω)的實部和虛部為

zg(jω)=rg(ω)+jxg(ω)

(5.1.3a)

zl(jω)=rl(ω)+jxl(ω)

(5.1.3b)i，j=1，2

(5.1.2)參考阻抗zg(s)和zl(s)的準埃爾米特部分(或偶部)為

根據前面的討論方式，定義下列函數(shù)。

均衡網絡E復歸一化反射系數(shù)為式中，hg(s)和hl(s)分別是rg(s)和rl(s)的因式；ZEG(s)和ZEL(s)分別是在網絡E的其他端口接相應負載時，從端口G和端口L向均衡器E看去的阻抗函數(shù)，如圖5.1-1所示。網絡E的端口G和端口L的有界實反射系數(shù)為式中，Ag(s)和Al(s)是全通函數(shù)之積，它們又分別為

式中，sgk和slm分別是zg(－s)和zl(－s)的開RHS極點。下面證明一個有用的定理。

【定理5.1.1】總網絡G-E-L(見圖5.1-1(b))的單位歸一化散射參量Sij(s)，i，j=1，2，與網絡E在端口G和端口L的有界實反射系數(shù)ρg(s)和ρl(s)具有如下關系：

S11(s)=Bg(s)ρg(s)

(5.1.7a)

S22(s)=Bl(s)ρl(s)

(5.1.7b)

式中，Bg(s)和Bl(s)分別是由rg(s)和rl(s)的開RHS零點形成的全通函數(shù)積，其表示式為因為網絡G、E、L都是無耗的，S(jω)和SE′(jω)具有幺正性，同時考慮到式(5.1.6)，|Ag(jω)|=1，|Al(jω)|=1，因此，G-E-L網絡系統(tǒng)的轉換功率增益為

上式是分析和設計雙匹配網絡的基本關系式。(5.1.9)5.1.2尤拉定理

如圖5.1-2所示的電路，其中信號源用一個理想電壓源與一個內阻抗相串聯(lián)的形式表示。信號源的內阻抗z1(s)與負載阻抗z2(s)在所研究的頻帶內是嚴格無源阻抗。目標是設計一個最佳無耗雙口網絡N，使負載阻抗z2(s)和信號源內阻抗z1(s)相匹配，在整個正弦頻譜內實現(xiàn)預給的轉換功率增益特性G(ω2)，并在通帶內得到盡可能大的功率增益。圖5.1-2信號源與負載之間的匹配網絡為了討論這個問題，現(xiàn)在導出有關的基本關系式。設無耗雙口網絡N的參考阻抗矩陣為

它的準埃爾米特部分為

則其可分解為

r(s)=h(s)h*(s)

(5.1.12)(5.1.10)(5.1.11)其中，r(s)、h(s)和h*(s)均為對角矩陣。h(s)和h*(s)的元素hi(s)和hi(-s)(i=1，2，…)均為全通函數(shù)。

設S′(s)是網絡N的電流基散射矩陣，S(s)是N對參考阻抗矩陣z(s)的歸一化散射矩陣，兩者有以下關系：

S(s)=h(s)S′(s)h+(s)

(5.1.13)

式中

S′(s)=［Z(s)+z(s)］－1［Z(s)－z*(s)］(5.1.14)

Z(s)是無耗雙口網絡的開路阻抗矩陣，對于互易雙口網絡，它是一個對稱矩陣。由式(5.1.11)~式(5.1.14)，可以導出歸一化反射系數(shù)如下：

為了討論方便，將上面兩個式子表示為(5.1.15a)(5.1.15b)(5.1.16)其中，hi(s)/hi(－s)是一個全通函數(shù)，它的極點包括了zi(s)在開LHS內的所有極點，它的零點包括了ri(s)在開LHS內的所有零點。將這個全通函數(shù)表示為兩個全通函數(shù)的乘積，即

它們分別由zi(－s)在開RHS的諸極點sj(j=1，2，…，ν)和ri(s)在開RHS的諸零點sk(k=1，2，…，μ)定義。設(5.1.17)(5.1.18)則

令(5.1.19a)則

從式(5.1.16)看到Sii(s)在開RHS的極點正是zi(－s)的極點，因而

在閉RHS內解析，ρi(s)和Sii(s)都是有界實函數(shù)。這里ρi(s)稱為有界實反射系數(shù)。因為Bi(s)是全通函數(shù)，所以在實頻率軸上有以下關系：

|ρi(jω)|=|Sii(jω)|

(5.1.21)(5.1.19b)(5.1.20)根據無耗雙口網絡S(s)的幺正性質，端口1至端口2的轉換功率增益G(ω2)可寫成

G(ω2)=|S21(jω)|2=1－|Sii(jω)|2=1－|ρi(jω)|2

(5.1.22)因此除了研究參考阻抗z1(s)和z2(s)對N的轉換功率增益的限制外，還需要研究有界實反射系數(shù)

式(5.1.22)和式(5.1.23)是尤拉寬帶匹配理論的基礎。式(5.1.23)還可以改寫為(5.1.36)(5.1.24)下面將看到，研究阻抗zi(s)對ρi(s)的制約條件時，式(5.1.24)是一個便于應用的形式。

設雙口網絡的轉換功率增益特性是G(ω2)，散射參數(shù)S21(s)可以通過式(5.1.22)以及解析延拓理論表示為

S21(s)S21(－s)=G(－s2)

(5.1.25)在網絡理論中，將雙口網絡轉換功率增益或傳輸函數(shù)為零的點稱為傳輸零點。在傳輸零點處，從信號源到負載不存在能量傳輸?shù)倪^程。由式(5.1.22)和式(5.1.25)可知，此時散射參量S21(s)=0，端口1的歸一化反射系數(shù)S11(s)=1，這意味著在端口1出現(xiàn)全反射，信號源不可能通過雙口網絡向負載提供能量。由此很容易推斷從端口1向負載方向看的策動點阻抗Z11(s)為一純電抗，即Z11(s)的準埃爾米特部分為零，即這里，Z11(s)由雙口網絡的結構、參數(shù)以及負載阻抗z2(s)確定。以上的討論也適用于端口2，在傳輸零點處，S22(s)=1，故端口2向信號源方向看的策動點阻抗Z22(s)的準埃爾米特部分為零，即當負載與信號源均為電阻性時，傳輸零點由雙口網絡的結構與參數(shù)決定，因此將這樣的傳輸零點稱為網絡的傳輸零點。如果網絡的串臂中含有LC并聯(lián)電路，或者在并臂中含有LC串聯(lián)電路，如圖5.1-3所示，那么將分別是它們的傳輸零點。若網絡的并臂中含有RC串聯(lián)電路，那么是網絡的傳輸零點。圖5.1-3討論網絡傳輸零點的圖例當信號源的內阻抗或負載不是純電阻時，端口1到端口2的功率傳輸還受到信號源的z1(s)和負載阻抗z2(s)的影響。因而在考慮傳輸零點時，要計入z1(s)和z2(s)的作用。為了說明這一點，試看圖5.1-4(a)，其中負載是RC的并聯(lián)組合。可以看到當ω=∞時，負載不吸收功率，這時不論雙口網絡具有何種結構，端口1至端口2的傳輸功率增益均為零，所以ω=∞是一個傳輸零點。和圖5.1-2所示的情況不同，這個傳輸零點不是由網絡N而是由負載阻抗z2(s)決定的。又如圖5.1-4(b)，信號源的內阻抗為RC并聯(lián)組合，無論N具有何種結構，當ω=∞時，端口1至端口2的轉換功率增益均為零，所以ω=∞是由信號源內阻抗z1(s)決定的傳輸零點。圖5.1-4說明參考阻抗傳輸零點的圖例為了與網絡的傳輸零點相區(qū)別，將由阻抗z1(s)或z2(s)所決定的傳輸零點稱為參考阻抗z1(s)或z2(s)的傳輸零點。這一類傳輸零點由尤拉在研究負載阻抗對有界實反射系數(shù)約束時首先提出，所以也稱為尤拉傳輸零點。當研究電阻性信號源與任意負載z2(s)相匹配時，尤拉零點僅僅由負載決定，故稱為負載的傳輸零點?，F(xiàn)在根據已知的參考阻抗z1(s)或z2(s)來確定尤拉零點。從直觀上看，似乎z1(s)或z2(s)的準埃爾米特部分的零點，以及z1(s)或z2(s)的極點將構成尤拉零點。然而下面將看到，只是z1(s)或z2(s)的準埃爾米特部分在閉RHS的零點與z1(s)或z2(s)在實頻率軸上的極點才構成尤拉零點。由式(5.1.13)和式(5.1.14)可以導出歸一化散射參數(shù)參考阻抗的關系如下：

或(5.1.26a)(5.1.26b)其中，z11(s)、z22(s)和z12(s)分別是網絡的開路阻抗矩陣的元素。根據式(5.1.12)，上兩式可寫成

從上式可見，h1(s)和h2(s)的零點，即z1(s)和z2(s)的準埃爾米特部分在開RHS內的零點是尤拉傳輸零點。再看上式的分母，z1(s)和z2(s)開LHS的極點與h1(s)和h2(s)開LHS的極點相抵消。h1(s)和h2(s)在實頻率軸上無極點，因而z1(s)和z2(s)在實頻率軸上的極點也是尤拉傳輸零點。當然，有時z1(s)在實頻率軸上的極點也是r1(s)的零點。這樣證實了以上結論，即z1(s)的尤拉零點是r1(s)在閉RHS的零點與z1(s)在實頻率軸上的極點。從式(5.1.26b)也可以得到同樣的結論。(5.1.26c)以上的討論也完全適用于z2(s)的尤拉零點。為了計算方便起見，用以下簡潔的方式來定義參考阻抗的尤拉零點。

對給定的參考阻抗zi(s)，定義函數(shù)

式(5.1.28)的左側決定于阻抗zi(s)，因而這個等式表示了參考阻抗zi(s)對有界實反射系數(shù)的約束。Ai(s)是全通函數(shù)，若尤拉零點在實頻率軸上，即si0=jωi0，則|ρi(jωi0)|=|Sii(jωi0)|=1。正如前面已指出的那樣，在端口i處將出現(xiàn)全反射。(5.1.27)為了討論方便，尤拉將參考阻抗的傳輸零點按它們在閉RHS的位置和zi(s0)的值分為以下四類：

第Ⅰ類：σi0>0，包括開RHS的所有的尤拉零點。

第Ⅱ類：σi0=0，且zi(jωi0)=0。

第Ⅲ類：σi0=0，且0<zi(jωi0)<∞。

第Ⅳ類：σi0=0，且zi(jωi0)=∞。

以上Ⅰ~Ⅳ類尤拉零點均位于實頻率軸上且阻抗z(jωi0)具有不同值。

【例5.1.1】求圖5.1-5所示阻抗的尤拉傳輸零點，并確定其類別。

解圖5.1-5的阻抗為

它的準埃爾米特部分是(5.1.29)(5.1.30)圖5.1-5例5.1.1的阻抗z(s)根據前面的討論，尤拉傳輸零點包括r(s)的閉RHS的零點及z(s)在實頻率軸上的極點。r(s)在閉RHS的2階零點是

由式(5.1.29)可知，z(s)在實頻率軸上的1階極點為

s03=0若按照尤拉傳輸零點的定義，求得函數(shù)

則得到相同的結果。對于s01和s02，阻抗值為

對于s03，有

|z(s03)|=∞

因此s01和s02是第Ⅱ類2階尤拉傳輸零點，s03是第Ⅳ類1階尤拉傳輸零點。(5.1.31)

【例5.1.2】求圖5.1-6所示阻抗的尤拉傳輸零點，并確定其類別。

解(1)圖5.1-6(a)的阻抗z(s)以及r(s)、ω(s)分別為(5.1.32)(5.1.33)(5.1.34)圖5.1-6例5.1.2的阻抗故在閉RHS上，ω(s)具有1階零點

s0位于RHS的實軸，因而是第Ⅰ類1階尤拉傳輸零點。因為z(s)在開RHS不可能有極點，所以這樣的零點只能是r(s)在RHS的零點。

(2)圖5.1-5(b)的z(s)以及r(s)、ω(s)分別為(5.1.35)(5.1.36)(5.1.37)

于是求得唯一的1階尤拉傳輸零點s0=∞，且z(s0)=0，故s0是第Ⅱ類1階零點。

接下來，討論任意負載阻抗與電阻性信號源的匹配問題，這是一類最簡單的，也是實際中常遇到的寬帶匹配問題。尤拉通過對這一類問題的研究，提出了以復數(shù)歸一化理論為基礎的新理論，給出了在負載傳輸零點處，負載阻抗與有界實反射系數(shù)的基本約束條件，并指出這些基本約束條件是實現(xiàn)雙口匹配網絡的必要與充分條件。這就是在這個領域內著名的尤拉定理。(5.1.38)在以下討論中，假定信號源內阻抗z1(s)=r0，負載阻抗z2(s)=zl(s)是嚴格無源阻抗，G(ω2)是所要求的轉換功率增益，通?？梢员硎緸榻馕鲂问健＿€假定均衡器是互易的無耗雙口網絡。由于信號源是電阻性的，所以將注意力集中在端口2。用rl(s)、h(s)、A(s)與B(s)分別表示與負載阻抗zl(s)有關的函數(shù)，ρ(s)表示輸出端口的有界實反射系數(shù)。

按照解析延拓理論，式(5.1.22)無耗雙口網絡的轉換功率增益G(ω2)與有界實反射系數(shù)ρ(jω)在整個s平面有以下關系式：

ρ(s)ρ(－s)=1－G(－s2)

(5.1.39)為了使ρ(s)在閉RHS內解析，由ρ(s)ρ(－s)決定ρ(s)時，將ρ(s)ρ(－s)在開LHS的極點歸屬于ρ(s)。在分配ρ(s)ρ(－s)零點時，按ρ(s)是最小相移函數(shù)的原則，將ρ(s)ρ(－s)開LHS的零點歸屬于ρ(s)。ρ(s)ρ(－s)在實頻率軸上沒有極點，它的零點具有偶次階，將這些零點平均分配給ρ(s)和ρ(－s)。

為了討論方便，將與負載阻抗有關的函數(shù)重列如下，它們是(5.1.40)

令

F(s)=2rl(s)A(s)

(5.1.42)

為了研究在負載傳輸零點處，上述各函數(shù)與有界實反射系數(shù)ρ(s)之間的約束條件，分別將ρ(s)、A(s)和F(s)在負載傳輸零點s0=σ0+jω0附近展開成羅朗級數(shù)，然后通過這些系數(shù)來表達它們的約束條件。(5.1.41)設ρ(s)、A(s)和F(s)的羅朗級數(shù)的表達式分別為(5.1.43)(5.1.44)(5.1.45)尤拉定理給定任意嚴格無源阻抗zl(s)和從電阻性信號源到負載的轉換功率增益G(ω2)，G(ω2)所確定的有界實反射系數(shù)ρ(s)能實現(xiàn)一個無耗雙口網絡的必要和充分條件是，在zl(s)的每一個k階傳輸零點s0，根據它所屬的類型，必須滿足以下基本約束條件之一：

(1)第Ⅰ類傳輸零點:

Ax=ρx，x=0，1，2，…，k－1(5.1.46a)

(2)第Ⅱ類傳輸零點:

Ax=ρx，x=0，1，2，…，k－1，且

(Ak－ρk)/Fk+1≥0

(5.1.46b)

(3)第Ⅲ類傳輸零點:

Ax=ρx，x=0，1，2，…，k－1，且

(Ak－1－ρk－1)/Fk≥0，k≥2

(5.1.46c)

(4)第Ⅳ類傳輸零點:

Ax=ρx，x=0，1，2，…，k－1，且

Fk－1/(Ak－ρk)≥a－1

(5.1.46d)

其中，a－1是zl(s)在極點jω0處的留數(shù)。若負載阻抗zl(s)和有界實反射系數(shù)ρ(s)滿足尤拉定理，那么可以由式(5.1.24)導出網絡N的末端阻抗，即輸出端的策動點阻抗為

它是一個正實函數(shù)。根據達林頓理論，任何正實函數(shù)都可以實現(xiàn)為終端接1Ω電阻的無耗雙口網絡的策動點阻抗。當終端的電阻不是1Ω時，可以在網絡與實際終端之間插入一個理想變壓器。(5.1.47)

【例5.1.3】設計一個無耗均衡器，使圖5.1-7所示的負載與內阻為0.5Ω的信號源相匹配，要求獲得具有最大直流增益的3階Butterworth變換器功率增益，截止角頻率ωc=1rad/s。圖5.1-7例5.1.3的電路解給定的阻抗zl(s)和轉換功率增益G(ω2)分別為

和

其中，K是小于或等于1的常數(shù)。為了應用尤拉定理，首先寫出由負載阻抗決定的一些函數(shù):(5.1.48)(5.1.49)(5.1.50)

由式(5.1.51)可見，zl(s)在無窮遠處有3階零點，在零點處的負載阻抗值|zl(jω0)|=∞，所以是第Ⅳ類3階尤拉傳輸零點。現(xiàn)在根據zl(－s)開RHS的極點來定義全通函數(shù)A(s)，由式(5.1.48)得

它在開RHS的極點為s=1，故全通函數(shù)為(5.1.51)(5.1.52)(5.1.53)有界實反射系數(shù)ρ(s)由轉換功率增益決定，由式(5.1.49)和式(5.1.22)可得

式中

δ=(1－K)1/6(5.1.55)

現(xiàn)在按最小相移的原則分解ρ(s)ρ(－s)，得(5.1.54)(5.1.56)分別將ρ(s)、A(s)和F(s)展開成羅朗級數(shù)：(5.1.57a)(5.1.57b)(5.1.57c)尤拉定理對第Ⅳ類3階傳輸零點的基本約束條件如下：

A0=ρ0(5.1.58a)

A1=ρ1(5.1.58b)

A2=ρ2(5.1.58c)

和(5.1.58d)現(xiàn)將式(5.1.57)中有用的系數(shù)羅列如下：

A0=1，A1=－2，A2=2，A3=－2

F2=－2，ρ0=1，ρ1=2(δ－1)，ρ2=2(δ－1)2

ρ3=(δ－1)(δ2－3δ+1)

則可解得有界實反射系數(shù)為

從端口2看到的策動點阻抗為(5.1.59)(5.1.60)將Z22(s)作連分式展開:

由它實現(xiàn)的終接電阻為1Ω的無耗梯形網絡如圖5.1-8(a)所示?？紤]到信號源內阻為0.5Ω，需要在信號源與匹配網絡之間插入一個匝比N=∶1的理想變壓器，如圖5.1-8(b)所示。(5.1.61)圖5.1-8例5.1.3所實現(xiàn)的匹配網絡

【例5.1.4】設負載阻抗zl(s)如圖5.1-9所示，其中r1=1Ω，r2=3Ω，C=2/3F。試設計一個無耗均衡器，使zl(s)與內阻為1Ω的信號源相匹配，并獲得2階Butterworth轉換功率增益特性。截止頻率ωc=1rad/s。圖5.1-9例5.1.4的負載zl(s)解給定的阻抗zl(s)和轉換功率增益G(ω2)分別為

和

其中K是小于或等于1的常數(shù)。(5.1.62)(5.1.63)(5.1.64)(5.1.65)可見，s0=1是zl(s)的第Ⅰ類1階傳輸零點。

式中

δ=(1－K)1/4

現(xiàn)在按最小相移的原則分解ρ(s)ρ(－s)，得(5.1.66)(5.1.67)(5.1.68)分別將ρ(s)、A(s)展開成羅朗級數(shù)：

其中

尤拉定理對第Ⅰ類1階傳輸零點的基本約束條件如下：

A0=ρ0

即(5.1.69)(5.1.70a)(5.1.70b)

由此得方程式

它的解是δ=0.09164和δ=-1.506。舍去不合理的解，得δ=0.09164，故直流增益K為

K=1－δ4=0.999929

(5.1.71)

則可解得有界實反射系數(shù)為(5.1.72)從端口2看到的策動點阻抗求得為

將Z22(s)作連分式展開:

實現(xiàn)Z22(s)的梯形網絡如圖5.1-10(a)所示。最后的均衡器電路如圖5.1-10(b)所示，其中理想變壓器的匝比為(5.1.73)(5.1.74)(5.1.75)圖5.1-10例5.1.4所實現(xiàn)的匹配網絡5.1.3雙匹配網絡的物理實現(xiàn)

尤拉定理表明：在給定的轉換功率增益特性0≤G(ω2)≤1下，如果負載端口的有界實反射系數(shù)ρl(s)滿足負載zl(s)的尤拉傳輸零點所加的約束條件，則負載口的策動點阻抗Z22(s)(見圖5.1-11)必然是正實的。匹配網絡或均衡器E在物理上就一定能夠實現(xiàn)。對于圖5.1-1所示雙匹配網絡系統(tǒng)來說，由于電源阻抗是復阻抗，均衡網絡E的兩個端口都受到約束，即在它的電源和負載端口的有界實反射系數(shù)ρg(s)和ρl(s)，分別受到zg(s)和zl(s)的尤拉零點的約束。在這些約束下，均衡器網絡E能否實現(xiàn)？其條件是什么？這是在雙匹配系統(tǒng)的綜合與設計中首先遇到的問題。圖5.1-11單匹配網絡下面研究均衡網絡E在物理上可實現(xiàn)的條件。為了不使問題過于復雜，假設G、L網絡沒有RHS內公共零點。首先將圖5.1-1(b)的網絡系統(tǒng)繪成圖5.1-12(a)的等效系統(tǒng)，它類似于圖5.1-11單匹配系統(tǒng)。根據尤拉理論，在負載端口滿足尤拉約束條件的反射系數(shù)ρl(s)必然是物理上可實現(xiàn)的。相應的阻抗ZEL(s)必然是正實函數(shù)。因此，由ZEL(s)可綜合出左邊的G-E網絡。在雙匹配系統(tǒng)中，網絡G是給定的，由此而產生的問題是，從ZEL(s)所綜合的G-E網絡中分出給定的網絡G是否可能？或者說在什么條件下，從所得G-E網絡分出網絡G后，余下的網絡E是物理上可實現(xiàn)的？為了討論這個問題，轉向圖5.1-12(b)，它是在圖5.1-12(a)中將網絡L移去后，在負載口只接1Ω的電阻所形成的網絡系統(tǒng)。注意，因為在電源口對ρg(s)的尤拉約束條件只與網絡G的參數(shù)有關，所以負載網絡L的存在與否，并不影響原網絡系統(tǒng)5.1-1(b)電源口對ρg(s)的尤拉約束條件。從電源口來看，圖5.1-12(b)是典型的單匹配系統(tǒng)。根據尤拉理論，在電源口的有界實反射系數(shù)ρg(s)如果滿足尤拉約束條件，則ρg(s)必然是物理上可實現(xiàn)的。對應的阻抗ZEL(s)必然是正實函數(shù)。因而，網絡E必然是物理上可實現(xiàn)的。而且，尤拉約束條件是ρg(s)和ρl(s)可實現(xiàn)性的必要且充分的條件。這就是說，如果ρg(s)和ρl(s)不滿足尤拉約束條件，它們就是不可實現(xiàn)的。因此，從ZEL(s)綜合出來的網絡分出給定的網絡G，并使余下的均衡網絡E可實現(xiàn)的必要且充分的條件是：ρg(s)滿足尤拉約束條件。

綜上所述，可以得出結論：對于圖5.1-1的雙匹配網絡系統(tǒng)，在給定轉換功率0≤G(ω2)≤1的情況下，網絡E在物理上可實現(xiàn)的必要且充分的條件是，在電源口和負載口的有界實反射系數(shù)ρg(s)和ρl(s)同時滿足各自的尤拉約束條件。圖5.1-12雙匹配網絡的等效

5.2具有簡單傳輸零點的雙匹配網絡

本節(jié)討論電源阻抗zg(s)和負載阻抗zl(s)只有jω軸零點的雙匹配系統(tǒng)。

因為zg(s)和zl(s)沒有RHS零點，在式(5.1.8)中RHS零點sgj=0，因而全通函數(shù)Bg(s)=Bl(s)=±1，于是式(5.1.7)變成

S11(s)=Bg(s)ρg(s)=±ρg(s)

(5.2.1a)

S22(s)=Bl(s)ρl(s)=±ρl(s)

(5.2.1b)式中±號的確定見后面的討論。傳輸零點對ρ(s)的尤拉約束條件，也同樣施加于網絡G-E-L的單位歸一化反射系數(shù)Sii(s)(i=1，2)上。這樣，就可以直接在圖5.1-1(b)的端口1和2上研究zg(s)和zl(s)的尤拉零點對Sii(s)所施加的約束條件。然后，由Sii(s)所對應的策動點阻抗Zii(s)來綜合雙匹配網絡系統(tǒng)。因為處理的網絡具有單位電阻終端，所以可利用網絡散射矩陣的別列維奇表示法，使網絡的綜合得到簡化。從上節(jié)的討論可知，圖5.1-1的雙匹配網絡系統(tǒng)可繪成圖5.1-12(a)的等效單匹配系統(tǒng)，只要它的ρg(s)和ρl(s)同時滿足各自的尤拉約束條件，就可按照單匹配網絡的設計程序將雙匹配均衡網絡E綜合出來。因此，在zg(s)和zl(s)具有jω軸傳輸零點的情況下，圖5.1-1雙匹配均衡網絡的基本設計方法如下：給定增益函數(shù)后，在雙匹配系統(tǒng)的電源口和負載口分別求出對ρg(s)=±S11(s)和ρl(s)=±S22(s)的尤拉約束條件，如果這些條件有解，則可確定物理上可實現(xiàn)的S11(s)或S22(s)，進而確定系統(tǒng)端口的策動點阻抗Z11(s)或Z22(s)(ZEG(s)或ZEL(s))，并由此進行網絡綜合，然后從所得出的網絡分出電源網絡G和負載網絡L，就可求得所要求的均衡網絡E。

5.2.1系統(tǒng)的散射特性和增益函數(shù)

圖5.1-12(a)中G-E-L網絡系統(tǒng)的兩個端口連接的都是單位電阻，它的散射矩陣是單位歸一化矩陣S=［Sij(s)］。又由于G-E-L是由無耗互易網絡組成的，因此它的單位歸一化散射參量可用別列維奇表達式來表示：由上式可見，已知S11(s)就可確定S22(s)。在后面確定均衡器兩個端口的約束條件時，要用到這一關系。

散射參量Sii(s)前的正負號，可由它們所對應網絡的第一個元件的電抗性質來確定。例如在圖5.2-1中，網絡的兩個散射參量可直接求得如下：

可見，S11(s)取+號，而S22(s)?。?，這是因為S11(s)所對應的策動點阻抗，為了使它所綜合出來的網絡第一個元件是電感L，Z(s)的分子多項式應比分母多項式高一次，因此S11(s)應取+號。反之，S22(s)對應的第一個元件是電容，則它應取負號。在雙匹配理論中，轉換增益特性通常采用Butterworth和Chebyshev等逼近函數(shù)。雖然許多實例指出這些增益逼近函數(shù)都不是“最佳”的，但對某一特定的電源和負載阻抗，如何選擇所需的“最佳”增益逼近函數(shù)是一個困難問題。因此，這里只討論Butterworth和Chebyshev增益函數(shù)的綜合。圖5.2-1雙口網絡的散射參量

n階Butterworth特性的表示式為

式中，Kn是直流增益，0≤Kn≤1，經過解析延拓后，上式變?yōu)?/p>

式中

δ=(1－Kn)1/2n

(5.2.5b)

式(5.2.5a)的最小相移分解式為

式中

q(s)=1+a1s+…+an-1Sn-1+sn

(5.2.6c)

是赫維茨多項式，系數(shù)an－1的計算式為(5.2.5c)

在圖5.2-1中端口1和2的阻抗分別為

在計算Z11(s)和Z22(s)時，注意S11(s)和S22(s)所應具有的正負號，如前所述。

n階Chebyshev函數(shù)的表示式為

式中Tn(ω)是第一類n階Chebyshev多項式，ωc是網絡的截止角頻率，等波紋系數(shù)ε可由下式計算：

10log(ε2+1)=通帶內波紋分貝數(shù)(5.2.8b)

增益函數(shù)式(5.2.8a)所對應的最小相移反射系數(shù)(宗量y=s/ωc)為式中

多項式p(y)的系數(shù)用下列公式計算：在式(5.2.10)中，用替代α，即可求得的系數(shù)

而α和的計算式為5.2.2全通因子

前面回顧了Butterworth和Chebyshev函數(shù)的綜合問題，從式(5.2.4)的Butterworth函數(shù)可看出，待定參數(shù)只有一個直流增益Kn，而在式(5.2.8a)的Chebyshev函數(shù)中，待定參數(shù)是Kn和ε，有時ε也是給定的。從尤拉理論可知，對于第Ⅰ、Ⅲ類k階尤拉零點，各有k個關系，對于第Ⅱ、Ⅳ類k階零點，各有k+1個關系。如果電源網絡G和負載網絡L的零點k≥1，G-E-L網絡系統(tǒng)的零點階數(shù)至少為2。一般來說，負載電源阻抗零點階數(shù)較高時，在雙匹配系統(tǒng)中，傳輸零點產生的約束條件數(shù)往往超過待定參數(shù)。因此，有必要在S21(s)中插入全通因子以滿足約束條件。插入的全通因子是任意的實全通函數(shù)，它的表示式如下：

η(s)具有右半s平面的零點，λi由尤拉傳輸零點約束條件所確定，它是待綜合匹配網絡E的零點。在滿足約束條件下，可選擇λi之值，使直流增益Kn為最大。在雙匹配系統(tǒng)中，還可以通過引入全通因子來改善Chebyshev響應的等波紋系數(shù)。由式(5.2.11)可直接得出下列等式:

η(s)η(－s)=1

(5.2.12a)

令

可以導出下列關于在散射參數(shù)中分配全通因子的引理：

設S21(s)具有全通因子，它的定義見式(5.2.12b)，則S11(s)必然具有因子，S22(s)必然具有因子，且k1+k2=2k。

應用散射參量的幺正性和式(5.2.12a)就可以導出上述結論。(5.2.12b)這個引理說明，如果在S11(s)中引入一個全通因子，而在S22(s)中引入一個，那么在S21(s)中應當引入一個全通因子，其中，k=(k1+k2)/2。

根據上述討論，給出網絡G和L只具有jω軸傳輸零點的雙匹配系統(tǒng)設計步驟如下：

(1)選定轉換增益函數(shù)和增益函數(shù)的階數(shù)n：

G(ω2，α1，α2，…)

(5.2.13)

其中αi是增益函數(shù)的待定參數(shù)。例如，如果選用Butterworth響應特性，則待定參數(shù)是直流增益Kn;如果選用Chebyshev響應特性，則直流增益Kn和等波紋系數(shù)ε是待定參數(shù)。

(2)確定最小相移反射系數(shù)和。對于Butterworth響應，和由式(5.2.6)確定；對于

Chebyshev響應，和由式(5.2.9)確定。

(3)插入全通因子，構成有界實反射系數(shù)ρg(s)和ρl(s)(或S11(s)和S22(s))。

式中，ηg(s)和ηl(s)是任意的實全通因子。通常ηg(s)和ηl(s)是相同的全通因子。實際上常用最低階的全通因子，即取ki=1或ki=2。

(4)求得尤拉零點對ρg(s)和ρl(s)的基本約束條件，并確定ρg(s)和ρl(s)的表達式。

由給定的電源阻抗zg(s)和負載阻抗zl(s)可確定它們的傳輸零點類型，然后按單匹配設計步驟得出對ρg(s)和ρl(s)的基本約束條件。根據zg(s)和zl(s)的零點類型和階數(shù)，可求得對ρg(s)和ρl(s)(或S11(s)和S22(s))的約束條件，將它們求解后，就可確定所要求的ρg(s)和ρl(s)。如果約束條件不能同時得到滿足，說明滿足要求的均衡網絡E不存在，此時可改變階數(shù)n或另選增益函數(shù)進行試探，如仍不滿足，則設計不能成功。(5)確定雙匹配均衡器的策動點阻抗:

或(5.2.15a)(5.2.15b)根據上兩式之一就可以將G-E-L網絡系統(tǒng)綜合出來，并使系統(tǒng)滿足給定的增益特性。需用理想變壓器來變換終端阻抗以達到實際的阻抗水平。

也可以由下式計算均衡器E在端口G或L的阻抗：

式中，za(s)的±號由增益帶寬約束條件確定。然后用式(5.2.16)綜合網絡E-L或E-G。(5.2.16)5.2.3具有簡單傳輸零點的雙匹配系統(tǒng)的綜合

本節(jié)列舉幾個例題以說明所述設計方法的應用。

【例5．2.1】設計一個無耗雙口網絡E，使圖5.2-2所示的負載阻抗與電源內阻抗相匹配，并實現(xiàn)具有最大直流增益的2階Butterworth轉換功率增益(歸一化截止角頻率ωc=1)。然后驗算所實現(xiàn)的網絡的轉換功率增益。圖5.2-2雙匹配網絡系統(tǒng)解(1)由式(5.2.4)和n=2，ωc=1，有

(2)由式(5.2.6)計算端口1和2的最小相移反射系數(shù):(5.2.17a)(5.2.17b)式中(5.2.17c)(5.2.17d)

(3)插入全通因子，求得有界實反射系數(shù)

(4)求電源阻抗zg(s)和負載阻抗zl(s)的尤拉零點，及其對有界實反射系數(shù)ρ(s)的約束條件。

①在電源端口的基本約束條件。

因為由式(5.2.19)可確定，在s0=∞處有一階傳輸零點，因為zg(s0)=∞，因此s0是第Ⅳ類尤拉零點且k=1。其約束條件由上節(jié)設計步驟(4)為

從A(s)和F(s)的羅朗級數(shù)展開可求得

Ag0=1，Ag1=0，F(xiàn)g0=－2，F(xiàn)g1=0

(5.2.21a)

此外有式中

因為Ag0=1，ρg0=1，所以ρg(s)需取負號。由式(5.2.20)和式(5.2.21)可求得電源口的基本約束條件為

②在負載端口的基本約束條件。

一般并聯(lián)RC負載的基本關系式如下：

由上式可見，負載網絡在s0=∞上具有一階傳輸零點。因為zl(s0)=0，所以它屬于第Ⅱ類尤拉零點，且k=1。其約束條件為(5.2.23a)從Al(s)、Fl(s)和±ρl(s)=η(s)(s)的羅朗級數(shù)展開式可求得

Al0=ρl0=1，Al1=－2τ，F(xiàn)l2=－2τ

(5.2.23b)

因為Al0=ρl0=1，所以ρl(s)取+號。由此可求得負載口的基本約束條件為式(5.2.22)和式(5.2.24)就是網絡E的基本約束條件，它們的解不是唯一的。例如，在兩式都取等號的情況下，其解為:λ1=0.293，K2=1；在兩式都是不等式的情況下，其解為:(i)λ1=0，K2=1;(ii)λ1<0.293，K2=1。不同的解對應不同的網絡E的拓撲。為了使網絡E的拓撲最簡單，選用其中最簡單的一組解，即λ1=0，K2=1。它不需引入全通因子，又可使直流增益達到最大值。由式(5.2.17)和式(5.2.18)得到(5.2.25)

(5)求圖5.2-3端口1的策動點阻抗Z11(s)，并進行網絡綜合。

將Z11(s)展開成連分式，就可綜合出G-E-L合成網絡的參量和。從中抽出負載電容和電源電感，就可得出均衡網絡E的電感和電容，如圖5.2-3所示。(5.2.26)圖5.2-3例5.2.1所要求的均衡網絡由此可看出，當ρg(s)和ρl(s)同時滿足各自的尤拉約束條件時，網絡E是物理上可實現(xiàn)的，從而保證合成網絡G-E-L是可以分開的。關于這一點再作一些說明。以λ1=0，K2=1代入式(5.2.22)和式(5.2.24)，可將兩個端口的基本約束條件表示為式中，，是從式(5.2.26)綜合得出的合成網絡G-E-L的參量。如果兩個基本約束條件同時得到滿足，則式(5.2.27)成立，于是L－Lg≥0，C－Cl≥0。從L中一定可以分出電源電感Lg，從C中一定可以分出負載電容，而網絡E一定能夠實現(xiàn)。如果兩個約束條件有一個不能成立，則網絡G-E-L就不能分開，網絡E就不是物理上可實現(xiàn)的。例如，設負載阻抗變?yōu)镃l=2F，Rl=1Ω，而電源阻抗仍然不變。在此情況下，在電源口ρg(s)仍然滿足約束條件式(5.2.27a)，Z11(s)必然是正實函數(shù)，從它得出的G-E-L網絡參量仍然是

和。由于L－Lg≥0，從L中仍可分出電源電感。但在負載口，因Cl=2F>，ρl(s)不滿足尤拉約束條件(Cl≤C)，從而C－Cl<0，網絡E包括負電容(CE<0)，不可能用無源元件來實現(xiàn)。于是關于網絡E可實現(xiàn)性的結論得到了具體的證實。

(6)驗算所實現(xiàn)網絡的轉換功率增益系數(shù)。

從圖5.2-3可求得端口1的輸入阻抗函數(shù)為

利用上式可算出網絡的轉換功率增益函數(shù)為

從而證實了上面的設計是正確的。

5.3雙匹配網絡的實頻CAD技術

實頻法(RFM)最早由Carlin于1977年提出，應用于任意負載與電阻性激勵器之間的寬帶阻抗匹配。1983年Carlin和Yarmin將這種方法擴展到應用于任意負載與復數(shù)阻抗激勵器的匹配。RFM直接對負載阻抗zl(ω)的實頻數(shù)據進行處理，這些zl(ω)數(shù)據既可以通過測量獲得，也可以通過計算獲得。另外，利用RFM僅僅要求執(zhí)行一個優(yōu)化程序，對被優(yōu)化參數(shù)的控制是極其靈活的，并且它能夠直接生成實現(xiàn)均衡器阻抗Zq(ω)的無耗LC拓撲結構。因此，這種方法獲得了廣泛的應用，成為應用于寬帶阻抗匹配的一種最為成功的方法。運用RFM要得到可實現(xiàn)的均衡器阻抗Zq(ω)，通常假定其為最小阻抗(導納)函數(shù)時，Zq(ω)的實部和虛部必須滿足Hilbert變換，這就意味著一旦實部和虛部其中一個確定下來之后，另一個則通過Hilbert變換得到。如果沒有這個要求，Zq(ω)可以簡單地選擇為z*l(ω)，這樣Zq(ω)只要滿足共軛匹配就可以實現(xiàn)無限帶寬設計。從這個角度來說，要求滿足Hilbert變換可看做是寬帶均衡器網絡設計的基本限制。這里考慮了兩種方法，即采用Zq(ω)為非最小電抗和優(yōu)化均衡器帶外阻抗的方法，這就對Hilbert變換增加了附加的自由度，可獲得較好的設計效果。但是，直接利用實頻法的困難之一是策動點阻抗綜合不能控制末端阻抗，當綜合Zq1時，不能控制在其另一端口得到Zq2，反之也一樣。但經過適當處理后，實頻法仍能處理雙匹配問題。

5.3.1雙匹配網絡的簡化處理

考慮圖5.3-1所示的雙匹配系統(tǒng)。其中圖(b)是設想將圖(a)中的N劈分成兩個子網絡N1、N2級聯(lián)的等效結構。由于N、N1、N2都是無耗的，因此系統(tǒng)的轉換功率增益可以表示成

G(ω2)=1－|ρ1(jω)|2=1－|ρ2(jω)|2=1－|ρ(jω)|2(5.3.1)上式中，ρ是級聯(lián)口的反射系數(shù)，它可以由級聯(lián)口分別向源和向負載看去的策動點阻抗Zg′和Zl′表示，即為

把上式代入式(5.3.1)可得增益表達式為(5.3.2)(5.3.3)現(xiàn)在假設N1、N2在級聯(lián)口的單位歸一化反射系數(shù)分別是Γg、Γl，則有

將其代入增益表達式經推導得(5.3.4)(5.3.5)(5.3.6)圖5.3-1雙匹配系統(tǒng)注意，上式分子的兩個因子分別對應于圖5.3-2(a)、(b)兩個單匹配系統(tǒng)的轉換功率增益，而分母的值則隨著Γg、Γl模值的減小而趨于1。因此，可以通過優(yōu)化圖5.3-2的兩個單匹配系統(tǒng)的增益而減小Γg、Γl模值來達到優(yōu)化雙匹配系統(tǒng)增益特性的目的。這種處理方法的物理概念是極為明顯的，當兩個子系統(tǒng)都實現(xiàn)了匹配時，級聯(lián)口將不會產生太強的反射。圖5.3-2兩個單匹配系統(tǒng)5.3.2單匹配實頻數(shù)據法原理

如圖5.3-3所示。假設待設計的匹配網絡由負載端口向匹配網絡方向看去的策動點阻抗為Zq(s)，并設

Zq(jω)=Rq(ω)+jXq(ω)

(5.3.7a)

zl(jω)=rl(ω)+jxl(ω)

(5.3.7b)

系統(tǒng)的轉換功率增益為

式中，S22、S22′分別是負載端口的歸一化反射系數(shù)和電流基反射系數(shù)。容易證明(5.3.8)(5.3.9)將式(5.3.9)代入式(5.3.8)得

Rq(ω)可以用折線逼近的方法加以近似，Rq(ω)和Xq(ω)都可用級數(shù)表示，級數(shù)中的變量稱為電阻差額矢量。由于Rq(ω)和Xq(ω)都是電阻差額矢量的線性組合，所以增益與電阻差額矢量至多是平方依賴關系，這就使我們能比較容易地優(yōu)化出電阻差