遼寧省大連市2024-2025學年高三數(shù)學上學期期中試題

Page20一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分別求出集合，，從而求出，由此能求出．【詳解】解：全集，集合或，，，．故選：．2.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)（）是純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，由實部為0且虛部不為0求得值，則答案可求．【詳解】解：是純虛數(shù)，，即．的虛部為．故選：C．3.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確是A.若則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)全部的直線都垂直，故B正確.考點：空間點線面位置關系．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知等式切化弦可求得，依據(jù)二倍角公式可求得結果.【詳解】，，解得：，．故選：A.5.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)奇函數(shù)對進行變形，然后比較出，進而依據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得出結果.【詳解】∵為奇函數(shù)，∴∵在R上單調(diào)遞增，∴，即∵在R上單調(diào)遞增，∴，即∴∵在上是增函數(shù)∴，即故選：A.【點睛】函數(shù)值的比較大小，重點是比較自變量的大小，然后依據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性干脆得出結果；而自變量的大小比較主要涉及指冪對式利用相應函數(shù)的單調(diào)性進行比較大.6.已知向量，，將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后，得到的圖象關于原點對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對量數(shù)量積的運算和協(xié)助角公式可得，向左平移個單位，得到，從而有，，再結合，即可得解.【詳解】，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，該函數(shù)的圖象關于原點對稱，該函數(shù)是奇函數(shù)，，，，，又，.故選：D.【點睛】本題考查數(shù)量積的坐標運算、協(xié)助角公式和三角函數(shù)的圖象變換，屬于中檔題.7.如圖，在圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，且，，，異面直線與所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為軸建立空間直角坐標系，用空間向量法求異面直線所成的角的余弦值，再得正弦值．【詳解】由題意以為軸建立空間直角坐標系，如圖，，，，，又，．，則，設異面直線與所成角，則，為銳角，，所以．故選：D．8.已知圓的半徑是，點是圓內(nèi)部一點（不包括邊界），點是圓圓周上一點，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得,則當時,,再依據(jù),則將代入求解即可.【詳解】由題,因為,所以,則當即時,,因為,所以當取得最小值時,,故選：A.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．）9.已知函數(shù)對隨意都有，若的圖象關于直線對稱，且對隨意的，，且，都有，則下列結論正確的是（）．A.是偶函數(shù) B.的周期C. D.在單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】由的圖象關于直線對稱，則，即，故是偶函數(shù)，可推斷A的正誤；由，令，可得，則，得到的周期，可推斷B的正誤；又在遞增，結合奇偶性，周期性，再推斷CD是否正確.【詳解】由的圖象關于直線對稱，則，即，故是偶函數(shù)，A正確；由，令，可得，則，則的周期，B正確；，故C正確；又在遞增，則遞減，由周期，則在單調(diào)遞增，故D錯誤.故答案為：ABC【點睛】本題考查了抽象函數(shù)的性質，綜合考查了函數(shù)的對稱性，奇偶性，周期性，單調(diào)性，屬于中檔題.10.對于實數(shù)，，下列真命題的為（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，且，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質推斷ABC，利用對數(shù)函數(shù)的性質，基本不等式推斷D．也可舉反例說明．【詳解】時，，A錯誤；，則，，所以，B正確；，若，則，則成立，若，則明顯成立，若，則，，所以，綜上成立，C正確；，且，因為是增函數(shù)，所以且，，當且僅當，即時等號成立．D正確．故選：BCD．11.將個數(shù)排成行列一個數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個數(shù)從左到右構成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，，記這個數(shù)的和為.下列結論正確的有（）……A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式，結合可求得，同時確定、的值、得到的正誤；首先利用等比數(shù)列求和公式求得第行個數(shù)的和，再結合等差求和公式得到的正誤.【詳解】對于，，，，又，，正確；對于，，，錯誤；對于，，，正確；對于，第行個數(shù)的和，，正確.故選：.【點睛】本題考查數(shù)列中的新定義問題，解題關鍵是能夠敏捷應用等差和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，將新定義的數(shù)陣轉化為等差和等比數(shù)列的問題來進行求解.12.高斯是德國聞名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，關于有下述四個結論，其中正確的結論是（）A.的一個周期是 B.是非奇非偶函數(shù)C.在單調(diào)遞減 D.的最大值大于【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)周期函數(shù)的對于驗證可推斷選項A；特別值驗證與的關系可推斷選項B不正確；時計算可推斷選項C，由可推斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：，所以的一個周期是，故選項A正確；對于B：，因為，，所以是非奇非偶函數(shù)，故選項B正確；對于C：當時，，，此時，當時，，，此時，所以在是常函數(shù)，在是常函數(shù)，不具有單調(diào)性，故選項C不正確；對于D：，所以的最大值為大于，故選項D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.定義在上的函數(shù)滿意，且，則不等式的解集為_________．【答案】【解析】【分析】由已知得函數(shù)是減函數(shù)，由減函數(shù)的定義可解不等式．【詳解】設，由已知式變形為，所以在上是減函數(shù)，又．所以不等式化為，又，所以．故答案為：，14.在三棱錐中，，且底面為正三角形，為側棱的中點，若，棱錐的四個頂點在球的表面上，則球的表面積為__________．【答案】【解析】【分析】證明出、、兩兩垂直，將正三棱錐補成正方體，計算出正方體的體對角線長，可得出球的半徑，利用球體的表面積公式即可得解.【詳解】取的中點，連接、，，為的中點，則，同理可得，，平面，平面，，，，平面，、平面，，，，且底面為正三角形，則三棱錐為正三棱錐，則，所以，、、兩兩垂直，將正三棱錐補成正方體，則該正方體的體對角線長為，所以球的半徑為，因此，球的表面積為.故答案為：.15.已知遞增數(shù)列的前項和為，且滿意（），則首項的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)前項和的公式得到遞推公式，進而化簡整理得到，從而得列是偶數(shù)項以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項從起奇數(shù)項也是以4為公差的等差數(shù)列，從而知需滿意，然后將用表示后，解不等式組即可求出結果.【詳解】因為，所以，當時，，當時，，則，即，又，故，所以數(shù)列是偶數(shù)項以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項從起奇數(shù)項也是以4為公差的等差數(shù)列，若數(shù)列單調(diào)遞增，所以需滿意，又，所以，解得，故的取值范圍為.16.函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】或．【解析】【分析】令，問題轉化為函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，作出函數(shù)圖象，視察可得．【詳解】令，則方程有兩個解，即函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，作出函數(shù)的圖象，如圖，再作出直線，它始終過原點，設直線與相切，切點為，由知，切線斜率為，切線方程為，把代入得，，所以切線斜率為，設與相切，則，即，，解得（舍去），由圖可得實數(shù)的范圍是或．故答案為：或．【點睛】本題考查由函數(shù)的零點個數(shù)確定參數(shù)范圍，解題關鍵是問題的轉化，把函數(shù)零點轉化為函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結合思想，從圖象中易得其結論與方法．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的通項公式求出即可求解.（2）由（1）求出的通項公式，再有裂項相消法求和即可.【詳解】解：（1）由已知：，即，所以或（舍去），（2）由（1）知：【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式以及裂項相消法求和，屬于中檔題.18.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且圖象相鄰兩個最高點的距離為.（1）求和的值；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)對稱軸和周期可求和的值．（2）由題設可得，利用同角的三角函數(shù)的基本關系式可得，利用誘導公式和兩角和的正弦可求的值．【詳解】（1）因為圖象相鄰兩個最高點的距離為，故周期為，所以，故．又圖象關于直線，故，所以，因為，故．（2）由（1）得，因為，故，因為，故，故．又．【點睛】方法點睛：三角函數(shù)的中的化簡求值問題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結構的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結構上差異的處理則是已知公式的逆用等，最終角的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角.19.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，．（1）證明：平面；（2）若，與平面所成角為，求二面角的大小．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由平面，可得，再由可推斷平面，得到，而∥，從而可得，再由線面垂直的判定定理可得結論；（2）依據(jù)題意，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：因為平面，平面，平面，所以，因為，,所以平面，因為平面，所以，因為底面為平行四邊形，所以∥，所以，因為，，所以平面；（2）解：由（1）可知，因為，，所以，因為平面，所以為在平面上的射影，因為與平面所成角為，所以，所以，所以以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則,所以，設平面的法向量為，則，令，則，設平面的法向量為，則，令，則，所以，因為二面角為銳二面角，所以二面角為，20.已知的內(nèi)角、、的對應邊分別為、、，在①；②；③．這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后作答：當__________時，且的外接圓半徑為，求的面積的最大值．【答案】選①：；選②：；選③：.【解析】【分析】選①：利用正弦定理化邊為角結合兩角和的正弦公式即可求角，再由余弦定理求的最大值，由面積公式即可求解；選②：由正弦定理化邊為角結合誘導公式、二倍角公式即可求求角，再由余弦定理求的最大值，由面積公式即可求解；選③：由正弦定理和余弦定理即可求求角，再由余弦定理求的最大值，由面積公式即可求解.【詳解】選①：因為，所以，即可得：，因為，所以，可得，因為，所以，因為的外接圓半徑為，所以，在中，由余弦定理可得：，可得，所以，所以的面積的最大值為.選②：由正弦定理可知：，因為，所以即，因為，所以，可得，因為，所以，所以，所以，因為的外接圓半徑為，所以，在中，由余弦定理可得：，可得，所以，所以的面積的最大值為.選③：由，可得即由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，因為，所以，因為的外接圓半徑為，所以，在中，由余弦定理可得：，可得，所以，所以的面積的最大值為.21.已知數(shù)列滿意，（）．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿意，．求證：①；②．【答案】（1）證明見解析；；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）把已知條件變形得到，從而證明數(shù)列為等差數(shù)列；并通過求數(shù)列的通項公式來求數(shù)列的通項公式；（2）①由題設條件寫出三者關系式即可證明結論；②利用①中的結論，依據(jù)累加法可求出的值，再利用基本不等式求證出結論.【詳解】（1）因為，所以，所以，即，所以，即，所以，即，又，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，即.（2）①由（1）知：，所以，所以，兩式相減，得，即，所以；②因為，，所以，且數(shù)列為正項數(shù)列.由①知：，所以由累加法，可得，當且僅當時等號成立.22.設函數(shù)，（）．（1）若，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若時，函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的取值范圍；（3）試推斷的零點個數(shù)，并證明你的結論．【答案】（1）；（2）；（3）時，函數(shù)有一個零點，時，函數(shù)有2個零點．【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，得切線斜率，然后由點斜式寫出切線方程并化為一般式；（2）求出導函數(shù)，由導函數(shù)確定的單調(diào)性，然后分類探討得函數(shù)在上的單調(diào)性，得最小值，由最小值為2得出參數(shù)范圍；（3）問題轉化為函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)，由（2）知的單調(diào)性，易得交點個數(shù)，時需確定最小值與的大小關系后才能確定交點個數(shù)．【詳解】函數(shù)的定義域是，（1）時，，，，又，所以切線方程為，即；（2），令，，時，，在上恒成立，在上是減函數(shù)；此時在上是減函數(shù)，，與沖突，故舍去；時，，時，，單調(diào)遞減，時，，遞增．當即時，在上是增函數(shù)，，所以滿意題意；當即時，在上是減函數(shù)，則，，故舍去；當，即時，在間遞減，在上遞增，則，而，且，故不行能成立，故舍去；綜上，實數(shù)的取值范圍是．（3）