遼寧省丹東市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題

Page12遼寧省丹東市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，，則中元素個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知，則正實(shí)數(shù)（）A．1 B． C． D．23．設(shè)命題命題則p是的q（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件4．將函數(shù)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，所得圖象函數(shù)式為（）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)和84，，則（）A．3 B．6 C．12 D．246．從三個班級，每班隨機(jī)選派兩名學(xué)生為代表，這六名同學(xué)被隨機(jī)支配在一個圓桌會議室進(jìn)行“深度學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)”座談，會議室的圓桌正有好有六個座位，則同一班級的兩名同學(xué)恰好被支配在一起相鄰而坐的概率為（）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，則（）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 D．的圖象關(guān)于直線軸對稱8．已知，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，以為直徑的圓與C及C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，若A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之比為4∶3，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類學(xué)問，為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類學(xué)問問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（）A．講座前問卷答題的正確率都小于100%B．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%C．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差10．正方體的棱長為1，P為線段上的點(diǎn)，則（）A．平面 B．平面C．三棱錐的體積為定值 D．BP與所成角的最小值為45°11．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過C上的點(diǎn)M作C的切線m，m與y軸、l、x軸分別相交于點(diǎn)N、P、Q，過M作l垂線，垂足為，則（）A． B．N為中點(diǎn)C．若，則 D．若∠MPF=60°，則12．設(shè)，，若a，b，c互不相等，則（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)x=______．14．當(dāng)時，取得最大值，則的一個值為______．（隨意寫出滿意條件的一個值即可）15．直三棱柱的全部棱長均為2，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為______．16．若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則f（1）的取值范圍為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求．18．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和是，數(shù)列的前n項(xiàng)乘積是，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列中的第幾項(xiàng)最接近2024？19．（12分）已知某商業(yè)銀行甲、乙兩個風(fēng)險理財項(xiàng)目的年利潤率分別為和，利潤率為負(fù)表示虧損，依據(jù)往年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到和的分布列：5%10%-2%P0.60.150.254%6%12%-2.5%P0.20.50.10.2現(xiàn)有200萬元資金打算投資到甲、乙兩個風(fēng)險理財項(xiàng)目一年．（1）在甲、乙兩個項(xiàng)目上各投資100萬元，和分別表示投資項(xiàng)目甲和乙所獲得的年利潤，求和；（2）項(xiàng)目甲投資x萬元，項(xiàng)目乙投資萬元，其中，，用表示投資甲項(xiàng)目的年利潤方差與投資乙項(xiàng)目的年利潤方差之和，問該如何安排這200萬元資金，能使的數(shù)值最?。?0．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，已知，BC=2AD，AD=DC，∠BCD=60°，CD⊥PD，PB⊥BD．（1）證明：PB⊥AB；（2）設(shè)E是PC的中點(diǎn)，直線AE與平面ABCD所成角等于45°，求二面角B-PC-D的余弦值．21．（12分）已知橢圓有兩個頂點(diǎn)在直線上，C的中心到l的距離為（1）求C的方程；（2）設(shè)、是經(jīng)過C下頂點(diǎn)的兩條直線，與C相交于點(diǎn)M，與圓相交于點(diǎn)N，若斜率的不等于0，斜率等于斜率的2倍，證明：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)．22．（12分）已知函數(shù)．（1）證明：若，則；（2）證明：若有兩個零點(diǎn)，，則．丹東市2024~2024學(xué)年度上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高三數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1．A2．D3．A4．D5．B6．C7．C8．D二、選擇題9．AC10．BC11．BD12．ABD三、填空題13．114．15．16．注：14題答案不唯一，只要滿意即可．四、解答題17．解：（1）由題設(shè)及余弦定理得．因?yàn)?°<A<180°，所以A=45°．（2）由題設(shè)及正弦定理得，可得由0°<C<135°，可知，故．18．解：（1）由題設(shè)當(dāng)時，因?yàn)?，所以．?dāng)時，，所以，可得．所以為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，從而．當(dāng)時，，因?yàn)?，所以．因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以中的第44項(xiàng)最接近2024．19．解：（1）由題意可知和的分布列分別為510-2P0.60.150.254612-2.5P0.20.50.10.2所以．．于是．．（2）由題意可知．當(dāng)，即時，取得最小值．因此投資甲項(xiàng)目105萬元，投資乙項(xiàng)目95萬元時有最小值．20．解法1：（1）連結(jié)BD，在中，因?yàn)锽C=2DC，∠BCD=60°，由余弦定理．因?yàn)锽C=2DC，所以CD⊥BD，又CD⊥PD，，所以CD⊥平面PDB，故CD⊥PB．因?yàn)镻B⊥BD，，所以PB⊥平面ABCD，因此PB⊥AB．（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，由（1）可知y軸在平面ABCD內(nèi)．則，，，，．設(shè)，則，，．因?yàn)槠矫鍭BCD的法向量為，所以．由AE與平面ABCD所成角等于45°，可知，解得t=2．設(shè)平面DPC的法向量，則即所以可?。?yàn)槠矫鍮PC的法向量為，于是．因?yàn)槎娼荁-PC-D是銳二面角，所以其余弦值為．解法2：（1）同解法1．（2）取BC中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，AF，則，且AF=DC．由（1）可知EF⊥平面ABCD，∠EAF是AE與平面ABCD所成角，所以∠EAF=45°，所以EF=AF=DC，于是PB=2EF=2DC．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，由（1）可知y軸在平面ABCD內(nèi)．則，，，，，．設(shè)平面DPC的法向量，則即可得所以可取．因?yàn)槠矫鍮PC的法向量，于是．因?yàn)槎娼荁-PC-D是銳二面角，所以其余弦值為．解法3：（1）同解法1．（2）取BC中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，AF，則，且AF=DC．由（1）可知EF⊥平面ABCD，∠EAF是AE與平面ABCD所成角，故∠EAF=45°，因此EF=AF=DC，于是PB=2EF=2DC=BC，可得．連結(jié)BE，則BE⊥PC．過E在平面PDC內(nèi)作EG⊥PC，交PD于點(diǎn)G，則∠BEG是二面角B-PC-D的平面角．因?yàn)镻B⊥BC，所以，．因?yàn)镃D⊥PD，由可得．由PC⊥平面BEG，可得PC⊥BG，而CD⊥BG，故BG⊥平面PDC，從而BG⊥GE，所以．因此二面角的余弦值為．21．解：（1）由題設(shè)l經(jīng)過點(diǎn)，，可得．由可得b=1，從而．因此C的方程為．（2）設(shè)、的斜率分別為k、，，由（1）可知，可得：，：．將代入可得．將代入可得．所以直線MN的斜率為．因此直線MN方程為．化簡得，于是直線MN經(jīng)過定點(diǎn)．22．解法1：（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，所以等價于．設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故．因?yàn)?，所以，于是．?）不妨設(shè)，由（1）可知，也是的兩個零點(diǎn)，且，，于是，由于在單調(diào)遞減，故等價于．而，故等價于．①設(shè)，則①式為．因?yàn)椋O(shè)，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，所以，從而，因此在單調(diào)遞增．又，故．于是．解法2：（1）同解法1．（2）不妨設(shè)，由（1）可知，也是的兩個零點(diǎn)，且，，于是．由于在單調(diào)遞減，故等價于．而，故等價于．即，整理得．①令，①式為，又在上單調(diào)遞增，故①式等價于，即．令，則當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減．又，所以，即．因此．解法3：（1）同解法1．（2）由（1）可知，也是兩個零點(diǎn)，由，可得．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，