統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)生用書

其次節(jié)平面對量基本定理及坐標(biāo)表示·最新考綱·1．了解平面對量的基本定理及其意義．2．駕馭平面對量的正交分解及其坐標(biāo)表示．3．會用坐標(biāo)表示平面對量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．4．理解用坐標(biāo)表示的平面對量共線的條件．·考向預(yù)料·考情分析：平面對量基本定理及其應(yīng)用，平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題．學(xué)科素養(yǎng)：通過平面對量基本定理的應(yīng)用考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問——基礎(chǔ)落實贏得良好開端一、必記4個學(xué)問點(diǎn)1．平面對量的基本定理假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個____________向量，那么對于這一平面內(nèi)的隨意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝____________．2．平面對量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與________的兩個單位向量i，j作為基底，對任一個向量a，有唯一一對實數(shù)x，y使得：a＝xi＋yj，________叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，明顯i＝________，j＝________，0＝________．3．平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________，a－b＝________，λa＝________．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝________，|AB|＝________．4．平面對量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?a＝λb(λ∈R)?________．二、必明2個常用結(jié)論1．向量共線的充要條件的兩種形式(1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．2．已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為(x1三、必練4類基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)在△ABC中，AB，(2)在△ABC中，設(shè)AB＝a，BC＝b，則向量a與b的夾角為∠ABC.()(3)平面對量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后，其坐標(biāo)不變．()(4)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，且μ1＝μ2.()(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成x1x2(二)教材改編2．[必修4·P101習(xí)題T5改編]已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，則x的值是()A．－6B．6C．9D．123．[必修4·P101練習(xí)T6改編]設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)P1)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(2，2)B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1)D．(2，2)或(3，1)(三)易錯易混4．(忽視共線的兩種狀況)已知點(diǎn)A(－1，3)，B(2，－1)，則與向量AB共線的單位向量是________．5．(向量共線的坐標(biāo)公式駕馭不牢)已知點(diǎn)A(1，1)，B(4，2)和向量a＝(2，λ)，若a∥AB，則實數(shù)λ＝________；若a＝μAB，則μ＝________．(四)走進(jìn)高考6．[全國卷Ⅰ]在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EB＝()A．34ABC．34AB提升關(guān)鍵實力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一平面對量基本定理及其應(yīng)用[基礎(chǔ)性][例1](1)[2024·天水市高三月考]如圖所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，若AB＝a，AC＝b，則A．16a－13bB．16aC．13a－13bD．16a(2)[2024·甘肅蘭州高三月考]如圖，在△ABC中，AD＝13DC，P是線段BD上一點(diǎn)，若AP＝mAB+1A．13B．23聽課筆記：反思感悟平面對量基本定理的實質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面對量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面對量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·福州市質(zhì)量檢測]在△ABC中，E為AB邊的中點(diǎn)，D為AC邊上的點(diǎn)，BD，CE交于點(diǎn)F.若AF＝37AB+1A．2B．3C．4D．52．已知在△ABC中，點(diǎn)O滿意OA+OB+OC＝0，點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的隨意一點(diǎn)，且OP＝mOA＋nOB，則考點(diǎn)二平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算[基礎(chǔ)性]1．已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(－2，3)B．(2，－3)C．(－2，1)D．(2，－1)2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c的坐標(biāo)為()A．1，83C．133，3．已知平行四邊形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，則CO的坐標(biāo)為()A．-12C．12，-5反思感悟求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路(1)向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．(2)巧借方程思想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要留意方程思想的運(yùn)用．(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù).考點(diǎn)三平面對量共線的坐標(biāo)表示[綜合性]角度1利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)[例2]已知梯形ABCD中，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為________．聽課筆記：反思感悟利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)，一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.角度2利用向量共線求參數(shù)[例3](1)[2024·海南昌茂高三月考]已知向量a＝(x＋2，3)，b＝(x，1)，且a∥b，則x的值是()A．－1B．0C．2D．1(2)已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k＝________．聽課筆記：反思感悟平面對量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)．假如已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較便利．(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三點(diǎn)共線問題．A，B，C三點(diǎn)共線等價于AB與AC共線．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·云南昆明市一中月考]在△ABC中，已知AB＝(2，8)，AC＝(－3，2)，若BM＝MC，則AM的坐標(biāo)為________．2．[2024·廣東廣州高三月考]已知向量m＝(2，－3)，n＝1，12-b，若m∥n微專題22巧借坐標(biāo)系——提升運(yùn)算實力思想方法[例]如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC(含端點(diǎn))上運(yùn)動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點(diǎn)，設(shè)向量AP＝mAB＋nAD(m，n為實數(shù))，則m＋n的取值范圍是()A．1-24C．34，94解析：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則AB＝(4，0)，AD＝(0，4)，AP＝mAB＋nAD＝(4m，4n)，設(shè)Q(4，t)，t∈[0，4]，則P在圓(x－4)2＋(y－t)2＝1上，設(shè)P(4＋cosθ，t＋sinθ)，則4+cosθ=4m，t+sinθ=4n，4m＋4n＝4＋t＋2sinθ+π4，當(dāng)t＝0，θ＝5π4時，m＋n取得最小值1－24，當(dāng)t＝4，θ＝π4時，m答案：A名師點(diǎn)評巧建系妙解題，常見的建系方法(1)利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系若圖形中有明顯相互垂直且相交于一點(diǎn)的兩條直線(如矩形、直角梯形等)，可以利用這兩條直線建立坐標(biāo)系；(2)利用圖形中的對稱關(guān)系圖形中雖沒有明顯相互垂直交于一點(diǎn)的兩條直線，但有肯定對稱關(guān)系(如等腰三角形，等腰梯形等)，可利用自身對稱性建系．建立平面直角坐標(biāo)系的基本原則是盡可能地使頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，或在同一象限．[變式訓(xùn)練]給定兩個長度為1的平面對量OA和OB，它們的夾角為2π3.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的AB上運(yùn)動．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，問x＋y其次節(jié)平面對量基本定理及坐標(biāo)表示積累必備學(xué)問一、1．不共線λ1e1＋λ2e22．x軸、y軸正方向相同(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)3．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x4．x1y2－x2y1＝0三、1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．解析：因為a∥b，所以4×3－2x＝0，所以x＝6.答案：B3．解析：由已知得，P1P＝13P1P2，P1P2＝(3，－3)．設(shè)P(x，答案：A4．解析：AB＝(3，－4)，|AB|＝32+-42＝5，所以與AB共線的單位向量是答案：35，-5．解析：由題意得AB＝(3，1)，因為a∥AB，所以3λ－2＝0， 解得λ＝23由a＝μAB，得(2，λ)＝(3μ，μ)，所以3μ=2，μ=λ，故μ＝2答案：26．解析：作出示意圖如圖所示．EB＝ED+DB＝12×1＝34故選A.答案：A提升關(guān)鍵實力考點(diǎn)一例1解析：(1)因為CB＝3CD，AD所以CE＝12(CA+CD)＝－12b＋12×13CB＝－(2)設(shè)BP＝λBD，因為AD＝13DC，所以AD＝則AP＝AB+BP＝AB＋λBD＝AB＋λ(BA+AD)＝(1－λ)又因為AP＝mAB+16AC，所以1-λ=m14λ=16答案：(1)B(2)A對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：方法一如圖，設(shè)AC＝λAD，所以AF＝37AB+17AC＝37AB+λ7AD，因為方法二設(shè)BF＝λBD，AD＝μAC，則BF＝λ(AD-AB)＝－λAB＋λμAC，所以AF＝AB+BF＝(1－λ又AF＝37AB+17AC，所以1-λ=3答案：C2．解析：依題意，設(shè)OP＝λOC(0＜λ＜1)，由OA+OB+OC＝0，知OC所以O(shè)P＝－λOA－λOB.由平面對量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2，0)．答案：(－2，0)考點(diǎn)二1．解析：設(shè)D(x，y)，則CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2)，依據(jù)CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)，即x=2，y-1=-2，解得x=2，答案：D2．解析：設(shè)c＝(x，y)．因為a－2b＋3c＝0，所以(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(0，0)，即(5＋8＋3x，－2＋6＋3y)＝(0，0)所以13+3x=0，4+3y=0，解得x=-133，y=-答案：D3．解析：因為AC＝AB+AD＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，所以O(shè)C＝12AC＝12答案：D考點(diǎn)三例2解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴DC＝2AB，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則DC＝(4－x，2－y)，AB＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，∴4-x=2，2-y=-2，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)．答案：(2，4)例3解析：(1)由題意x＋2－3x＝0，x＝1.(2)AB＝OB-OA＝(4－k，－7)，AC＝OC-因為A，B，C三點(diǎn)共線，所以AB，AC共線，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，