湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷

Page10湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次月考試卷時量：120分鐘 重量：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.3.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，，成等差數(shù)列，則（）A. B. C.3 D.44.已知正方形ABCD的對角線，點P在另一對角線BD上，則的值為（）A. B.2 C.1 D.45.直線與橢圓相交于A，B兩點，設(shè)O為坐標原點，“”是“的面積為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.古希臘的數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯通過探討正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)覺了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示.若實數(shù)n滿意，則（）A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)，若，，，則（）A. B. C. D.8.在正方體中，，點E是線段AB上靠近點A的三等分點，在三角形內(nèi)有一動點P（包括邊界），則的最小值是（）A.2 B. C.3 D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（）A.B.若，則C.D.若，且，則為等邊三角形10.已知定義域為R的函數(shù)滿意，函數(shù)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.11.已知點P是的中線BD上一點（不包含端點）且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.12.若函數(shù)存在兩個極值點，，則（）A.函數(shù)至少有一個零點 B.或C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是關(guān)于x的方程的根，則實數(shù)______.14.雙曲線的漸近線方程為，則______.15.已知平面對量，，均為單位向量，且，則的最大值為______.16.公比為q的等比數(shù)列滿意：，記，則當q最小時，使成立的最小n值是______.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列滿意，，且.（1）當成等差數(shù)列時，求k的值；（2）當且，時，求及的通項公式.18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，平面，E為PD中點.（1）若，求證：平面PCD；（2）當直線PC與平面ACE所成角最大時，求三棱錐的體積.19.（本小題滿分12分）某景區(qū)內(nèi)有一項“投球”嬉戲，嬉戲規(guī)則如下：游客投球目標為由近及遠設(shè)置的A，B，C三個空桶，每次投一個球，投進桶內(nèi)即勝利，游客每投一個球交費10元，投進A桶，嘉獎游客面值20元的景區(qū)消費券；投進B桶，嘉獎游客面值60元的景區(qū)消費券；投進C桶，嘉獎游客面值90元的景區(qū)消費券；投不進則沒有嘉獎.游客各次投球是否投進相互獨立.（1）向A桶投球3次，每次投進的概率為p，記投進2次的概率為，求的極大值點；（2）游客甲投進A，B，C三桶的概率分別為，，，若他投球一次，他應(yīng)當選擇向哪個桶投球更有利？說明理由.20.（本小題滿分12分）如圖，在中，D為AC的中點，且（1）證明：；（2）若，求.21.（本小題滿分12分）已知拋物線與直線交于M，N兩點，且線段MN的中點為.（1）求拋物線C的方程；（2）過點P作直線m交拋物線于點A，B，是否存在定點M，使得以弦AB為直徑的圓恒過點M.若存在，懇求出點M坐標；若不存在，請說明理由.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）證明：長沙市周南中學(xué)2024屆高三其次次月考數(shù)學(xué)試題時量：120分鐘 重量：150分 命題人：王立象 審題人：陳秀麗一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【詳解】由題意可知，，又因為，所以．選B2.【詳解】函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，解除B選項；當時，，則，解除D選項；∵，，則，所以，函數(shù)在上不是減函數(shù)，解除A選項．故選：C.3.答案B4.答案B5.答案A6.答案A7.【解析】函數(shù)為偶函數(shù)且為其一條對稱軸，故，明顯，故.因為，，，所以，所以.故選：D.8.解：以D為坐標原點，，，為x，y，z軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設(shè)A關(guān)于平面的對稱點為，則，平面的法向量是又A與到平面的距離，又，設(shè)∴而∴ ∴（當且僅當，P，E三點共線時取等號），即的最小值為3.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.【詳解】A：由，依據(jù)等比的性質(zhì)有，正確；B：當，時，有，錯誤；C：，而，即，由正弦定理易得，正確；D：如下圖，，是單位向量，則，即、，則且AG平分，，的夾角為，易知為等邊三角形，正確.故選：ACD10.【解析】因為，所以關(guān)于點對稱，要使為奇函數(shù)，因為關(guān)于點對稱，為奇函數(shù)，所以只需使為偶函數(shù)即可，所以，，故符合題意的有B、D；故選：BD.11.答案AC12.【詳解】對于A，，∴是的一個零點，故A正確；對于B，∵存在兩個極值點，，∴有兩個不相等的實數(shù)根，即有兩個變號零點，∴，即，∴或又，，∴，解得綜上，，故B錯誤；對于C，由B選項可得，，∴，∴，∴故C正確；對于D，將，代入上式令有在上單調(diào)遞增，∴，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.答案14.答案15.【詳解】∵，∴，∴，，，∵，，∴，即∴的最大值為.16.解：構(gòu)造函數(shù)，此時；∴ 答案15.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.解：（1）因為成等差數(shù)列，所以，所以，又，所以.（2）因為，所以，，所以，所以，因為，又由，所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，∴所以.18.【詳解】（1）證明：∵平面ABCD，平面ABCD∴∵四邊形ABCD為矩形，∴又，AD，平面PAD∴平面PAD，∴平面PAD，∴在中，，E為PD中點，∴又，PD，平面PCD，∴平面PCD.（2）以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)，則，，，∴，，，設(shè)平面ACE的一個法向量為，則，∴，令，解得.∴.設(shè)直線PC與平面ACE所成角為，則，當且僅當時，等號成立.∴三棱錐的體積.19.解：（1）3次向A桶投球投進2次的概率..令，得.當時，；當時，.∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴所以的極大值點.（2）由（1）得游客甲投進A，B，C三桶的概率分別為，，.設(shè)投進A箱的純收入為X元，；設(shè)投進B精的純收入為Y元。；設(shè)投進C箱的純收入為Z元，；因為所以游客甲選擇向B桶投球更有利.20.解：（1）因為D為AC的中點，故∴又，于是.（2）設(shè)則，∴，.在中，∴.21.解析