湖北剩州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期2月月考試題含解析

Page24湖北省荊州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期2月月考試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A、B，再利用交集定義即可求得.【詳解】，，則故選：C.2.（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法規(guī)則即可求得該式值.【詳解】，故選：D.3.在正方形中，在上且有與對(duì)角線交于，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】如圖，正方形中，，則因?yàn)?所以,則,故,故選：C4.今年入夏以來(lái)，南方多省市出現(xiàn)高溫少雨天氣，持續(xù)的干旱天氣導(dǎo)致多地湖泊及水庫(kù)水位下降.已知某水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形態(tài)看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔下降到時(shí)，削減的水量約為（）（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用臺(tái)體的體積公式，將題中數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.詳解】臺(tái)體體積公式：，由題意可得，，，代入計(jì)算得，故選：C5.從11到15這5個(gè)整數(shù)中選出2個(gè)，則這2個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)之和為8的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)每個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)，依據(jù)組合數(shù)的計(jì)算即可計(jì)算總數(shù)，列舉即可求解所滿(mǎn)意要求的個(gè)數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】11的因數(shù)有11和1，共有2個(gè)因數(shù)，12的因數(shù)有1，2，3，4，6，12，共有6個(gè)，13的因數(shù)有13和1，共有2個(gè)因數(shù)，14的因數(shù)有1，2，7，14，共有4個(gè)，15的因數(shù)有1，3，5，15，共有4個(gè)，從5個(gè)數(shù)中選兩個(gè)數(shù)，共有種選擇，而2個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)之和為8，則這兩個(gè)數(shù)可以是11和12，或者12和13，或者15或14，共三種，故2個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)之和為8的概率是故選：C6.已知，周期是的對(duì)稱(chēng)中心，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)條件，列出方程即可求得，然后依據(jù)對(duì)稱(chēng)中心以及周期范圍求出，即可得到的解析式，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由可得，且，所以，又因?yàn)槭堑膶?duì)稱(chēng)中心，故解得且，即所以，當(dāng)時(shí)，即，所以故選:D7.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由于，故構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷其單調(diào)性，可比較的大小，依據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，推斷其單調(diào)性，可比較大小，由此可得答案.【詳解】由于，故設(shè)函數(shù)，則，，由于，所以，即，即，故為單調(diào)遞減函數(shù)，故，即，令，則，即；又，令，則，即為單調(diào)遞增函數(shù)，故，即，令，則，即，故，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此類(lèi)比較數(shù)的大小的題目類(lèi)型，一般是要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小比較，關(guān)鍵是要能對(duì)數(shù)的特征進(jìn)行改變，依據(jù)數(shù)的特征選定自變量，從而構(gòu)造函數(shù).8.某正六棱錐外接球的表面積為，且外接球的球心在正六棱錐內(nèi)部或底面上，底面正六邊形邊長(zhǎng)，則其體積的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正六棱錐和球的幾何性質(zhì)，結(jié)合球的表面積公式、棱錐的體積公式、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)該正六棱錐的高，側(cè)棱長(zhǎng)為，設(shè)該正六棱錐外接球的半徑為，因?yàn)檎忮F外接球的表面積為，所以有，因?yàn)橥饨忧蚯蛐脑谡忮F內(nèi)部或底面上，所以，設(shè)，在正六邊形，因?yàn)檎呅芜呴L(zhǎng)為，所以，在中，由余弦定理可知，在直角三角形中，，所以有，由勾股定理可知，因?yàn)椋裕虼擞?，而，所以，該正六棱錐的體積，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因?yàn)椋?，所以，因此該正六棱錐的體積的取值范圍是，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求值域是解題的關(guān)鍵.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.通過(guò)長(zhǎng)期調(diào)查知，人類(lèi)汗液中指標(biāo)的值聽(tīng)從正態(tài)分布.則（）參考數(shù)據(jù)：若，則；.A.估計(jì)人中汗液指標(biāo)的值超過(guò)的人數(shù)約為B.估計(jì)人中汗液指標(biāo)的值超過(guò)的人數(shù)約為C.估計(jì)人中汗液指標(biāo)的值不超過(guò)的人數(shù)約為D.隨機(jī)抽檢人中汗液指標(biāo)的值恰有人超過(guò)的概率為【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，進(jìn)行ABC選項(xiàng)的推斷；結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)以及二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可推斷選項(xiàng)D.【詳解】由，可得汗液指標(biāo)的值超過(guò)的概率為.所以人中汗液指標(biāo)的值超過(guò)的人數(shù)約為，故A對(duì)；同理，D選項(xiàng)中，隨機(jī)抽檢人中汗液指標(biāo)的值恰有人超過(guò)的概率為：，故D對(duì)；由，所以人中汗液指標(biāo)的值超過(guò)的人數(shù)約為=，B對(duì)；由，人中汗液指標(biāo)的值不超過(guò)的人數(shù)約為，故C錯(cuò).故選：ABD10.已知為圓錐底面圓的直徑（為頂點(diǎn)，為圓心），點(diǎn)為圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的為（）A.圓錐的側(cè)面積為B.的取值范圍為C.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則D.過(guò)該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為【答案】AC【解析】【分析】依次推斷每個(gè)選項(xiàng)，干脆計(jì)算A正確；當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，依據(jù)余弦定理計(jì)算得到C正確；計(jì)算截面，依據(jù)均值不等式計(jì)算得到D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：母線長(zhǎng)，側(cè)面積為，正確；對(duì)選項(xiàng)B：中，，，則當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：為等腰直角三角形，，將放平得到，如圖2所示，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，為中點(diǎn)，連接，則，，，正確；對(duì)選項(xiàng)D：如圖3，設(shè)截面為，為中點(diǎn)，連接，設(shè)，，則，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中側(cè)面積，截面積和線段和的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，轉(zhuǎn)化實(shí)力和空間想象實(shí)力，其中，將空間的線段和轉(zhuǎn)化為平面的距離是解題的關(guān)鍵.11.已知拋物線C：過(guò)點(diǎn)是準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，過(guò)作的切線，與拋物線分別切于，則（）A.C的準(zhǔn)線方程是 B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)拋物線過(guò)的點(diǎn)，確定p的值，求得拋物線方程以及準(zhǔn)線，推斷A;設(shè)切線方程為,利用判別式可得，推斷D;再證明三點(diǎn)共線，以及證明，即可推斷.【詳解】由拋物線C：過(guò)點(diǎn)，可得，即，設(shè)焦點(diǎn)為,則C的準(zhǔn)線方程是，A正確；設(shè)點(diǎn)，先考慮狀況，則過(guò)點(diǎn)M作的切線，切線斜率必存在且不等于0，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，可得，則，即，，設(shè)的斜率分別為，則，即，即，D錯(cuò)誤；設(shè)，不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限，則，由于，對(duì)于曲線在第一象限內(nèi)部分有,則，對(duì)于曲線在第四象限內(nèi)部分有,則，由于，故，則，由于，故斜率肯定存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，故，則直線的方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，由于，，故,在中，,則，，當(dāng)時(shí)，即,關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，，成立；此時(shí)斜率不存在，不妨取，則，聯(lián)立，解得,則過(guò)定點(diǎn)，且,則，成立，綜合上述，正確，故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類(lèi)關(guān)于直線和拋物線的位置關(guān)系類(lèi)題目，要留意設(shè)直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，得根與系數(shù)的關(guān)系，然后化簡(jiǎn)，這是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般解決方法，解答此題的關(guān)鍵在于要留意到證明直線過(guò)定點(diǎn)，即三點(diǎn)共線，然后證明.12.設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和．若，，且為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中肯定正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由得，結(jié)合得，即可令求得.對(duì)A，由可推斷其對(duì)稱(chēng)性；對(duì)C，由為奇函數(shù)可得的周期、對(duì)稱(chēng)性及特別值，從而化簡(jiǎn)；對(duì)BD，由，結(jié)合C即可推斷.【詳解】對(duì)A，∵，則，則，又，所以，令，可得，即.所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)；對(duì)C，∵為奇函數(shù)，則圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且，∴，，，，∴.又，∴，∴的周期，∴，C對(duì)；對(duì)B，，則是周期的函數(shù)，，B對(duì)；對(duì)D，，D錯(cuò).故選：BC.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.中的系數(shù)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】的二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，再求出綻開(kāi)式中的系數(shù)，從而可求解.【詳解】，其二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，要得到，則，解得.二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得.故中的系數(shù)為.故答案為:.14.已知直線是曲線與的公切線，則__________.【答案】【解析】【分析】分別設(shè)兩條曲線上的切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程，建立方程組，解出切點(diǎn)，計(jì)算.【詳解】設(shè)曲線上切點(diǎn)，，切線斜率，切線方程，即同理，設(shè)曲線上切點(diǎn)，，切線斜率，切線方程，即，所以，解得，所以，，.故答案為：.15.若，且，的最小值為m，的最大值為n，則mn為_(kāi)__________，【答案】【解析】【分析】依據(jù)條件等式利用基本不等式中“1”的妙用可求得，由并結(jié)合即可求得，便可得出.【詳解】由可得，由可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為；，所以，即；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即的最大值為；所以.故答案為：16.如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別是、在其次、四象限的交點(diǎn)，若，則與的離心率之積的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)橢圓和雙曲線的定義和對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合三角形面積公式、余弦定理、基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，如下圖，連接，所以為平行四邊形，由得，設(shè)，在橢圓中，由定義可知：，由余弦定理可知：，，在雙曲線中，由定義可知中：：，由余弦定理可知：，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以與的離心率之積的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在橢圓和雙曲線中利用焦點(diǎn)三角形的面積建立等式是解題的關(guān)鍵.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.17.已知數(shù)列滿(mǎn)意，其中是的前項(xiàng)和.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）若，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)的關(guān)系可得，依據(jù)此遞推關(guān)系即可依據(jù)等差中項(xiàng)求證，（2）依據(jù)裂項(xiàng)求和即可求解.【小問(wèn)1詳解】由得：當(dāng)時(shí)，，兩式子相減得①，因此可得②，①②相減得：，由于，所以，所以是等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知是等差數(shù)列，，所以，因此，所以.18.在中，所對(duì)的邊分別為，且，其中是三角形外接圓半徑，且不為直角.（1）若，求的大?。唬?）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)余弦定理和正弦定理即可求出的大小.(2)運(yùn)用正弦定理和二倍角的余弦公式，化簡(jiǎn)，再利用基本不等式求解的最小值.【小問(wèn)1詳解】在中，，進(jìn)而，，，又不為直角，則，，，.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，轉(zhuǎn)化為，又，，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)的重心為.（1）求證：平面（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得，然后依據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，然后利用坐標(biāo)法，依據(jù)面面角的向量求法即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈闹匦臑?，為中點(diǎn)，所以，又，所以，即，又，所以，所以，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以二面角的正弦值.20.2024年卡塔爾世界杯決賽于當(dāng)?shù)貢r(shí)間12月18日進(jìn)行，最終阿根廷通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)總比分戰(zhàn)勝法國(guó)，奪得冠軍.依據(jù)競(jìng)賽規(guī)則：淘汰賽階段常規(guī)競(jìng)賽時(shí)間為90分鐘，若在90分鐘結(jié)束時(shí)進(jìn)球數(shù)持平，需進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽仍是平局，則采納“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式確定輸贏.“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪番踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝；②假如在踢滿(mǎn)5輪前，一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿(mǎn)5輪最多可能射中的球數(shù)，則不須要再踢（例如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的進(jìn)球數(shù)比為，則不須要再踢第5輪）；③若前5輪“點(diǎn)球大戰(zhàn)"中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則接著下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的狀況，進(jìn)球方勝出.（1）假設(shè)踢點(diǎn)球的球員等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左?中?右三個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地選擇球門(mén)的左?中?右三個(gè)方一直撲點(diǎn)球，而且門(mén)將即使方向推斷正確也只有的可能性將球撲出.若球員射門(mén)均在門(mén)內(nèi)，在一次“點(diǎn)球大戰(zhàn)"中，求門(mén)將在前4次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)的分布列期望；（2）現(xiàn)有甲?乙兩隊(duì)在決賽中相遇，常規(guī)賽和加時(shí)賽后雙方戰(zhàn)平，須要通過(guò)“點(diǎn)球大戰(zhàn)”來(lái)確定冠軍.設(shè)甲隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為，乙隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為，假設(shè)每輪點(diǎn)球中進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.（i）若甲隊(duì)先踢點(diǎn)球，求在第3輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)踢進(jìn)了3個(gè)球并獲得冠軍的概率；（ii）求“點(diǎn)球大戰(zhàn)”在第7輪結(jié)束，且乙隊(duì)以獲得冠軍的概率.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得門(mén)將每次撲中點(diǎn)球的概率，且，進(jìn)而依據(jù)二項(xiàng)分布求解即可；（2）利用獨(dú)立事務(wù)的乘法公式和互斥事務(wù)的加法公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】依據(jù)題意門(mén)將每次撲中點(diǎn)球概率，的可能取值為，且，；所以的概率分布為01234數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)2詳解】（i）甲隊(duì)先踢點(diǎn)球，第三輪結(jié)束時(shí)甲隊(duì)踢進(jìn)了3個(gè)球，并獲得冠軍，則乙隊(duì)沒(méi)有進(jìn)球，所以甲隊(duì)獲得冠軍的概率為.（ii）點(diǎn)球在第7輪結(jié)束，且乙隊(duì)以獲勝，所以前5輪戰(zhàn)平，且第6輪戰(zhàn)平，第7輪乙隊(duì)勝甲隊(duì)當(dāng)前5輪兩隊(duì)為時(shí)，乙隊(duì)勝出的概率為當(dāng)前5輪兩隊(duì)為時(shí)，乙隊(duì)勝出的概率為，因?yàn)樯鲜鰞蓚€(gè)事務(wù)互斥，所以乙隊(duì)勝出的概率為.21.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不重合）交于兩點(diǎn)，且當(dāng)為的上頂點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為8，面積為（1）求的方程；（2）若是的右頂點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】（1）;（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用三角形周長(zhǎng)求出a，當(dāng)為的上頂點(diǎn)時(shí)，求出直線l方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形面積求出b作答.（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算推理作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，的周長(zhǎng)，解得，則橢圓，令橢圓的半焦距為c，當(dāng)為的