專題一 二次函數(shù)小壓軸題（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)一輪題型專練（陜西）

專題一二次函數(shù)小壓軸題題型1二次函數(shù)的系數(shù)與函數(shù)圖象的性質(zhì)(2024,2021)1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,其對(duì)稱軸為直線x=1,則下列結(jié)論正確的是()A.abc<0 B.2a-b=0C.5a+3b+2c<0 D.4ac-b2>02.下列關(guān)于二次函數(shù)y=-(x-m)2+m2+1(m為常數(shù))的結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小B.該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)C.該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x2+1的圖象上D.該函數(shù)圖象與函數(shù)y=-x2的圖象形狀相同3.(2024·交大附中模擬)已知拋物線y=12ax2+(1-a)x-1(a<0),則它的頂點(diǎn)M一定在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)的最小值為-3;當(dāng)x≤0時(shí),函數(shù)的最小值為-2.則b的值為()A.6 B.2 C.-2 D.-35.(2024·西工大附中模擬)已知二次函數(shù)y=ax2+bx-2(a<0),函數(shù)值y和自變量x的幾組對(duì)應(yīng)取值如下表:x…01234…y…-2mnp-2…若mn<0,則a的取值范圍是()A.a<-2B.a<1C.-23<a<-D.a<-23或-16.(2024·陜師大附中模擬)已知拋物線y=-x2+2mx+n(m,n為常數(shù)),則下列結(jié)論正確的是()A.開(kāi)口向上B.對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)C.若m+n=1,該函數(shù)圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)D.當(dāng)m-1≤x≤m+2時(shí),該函數(shù)的最大值與最小值的差為4題型2對(duì)二次函數(shù)圖象的分析判斷(2020,2019.T10)7.【原創(chuàng)好題】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象和一次函數(shù)y=ax+b(a,b為常數(shù),且ab≠0)的圖象可能是()ABCD8.【原創(chuàng)好題】在平面直角坐標(biāo)系中,若二次函數(shù)y=ax2+(2a-1)x+a-3的圖象與坐標(biāo)軸最多有兩個(gè)交點(diǎn),則函數(shù)圖象不可能經(jīng)過(guò)()A.第三象限B.第四象限C.第三象限和第四象限D(zhuǎn).第一象限和第二象限9.【原創(chuàng)好題】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),若滿足ac<0且ab>0,則下列選項(xiàng)中,符合條件的拋物線為()A BC D10.已知拋物線L:y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第四象限,與x軸沒(méi)有交點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.a>0B.b2-4ac>0C.若點(diǎn)(-1,m)在拋物線L上,則m<cD.若點(diǎn)A(x1,y1),點(diǎn)B(x2,y1)在拋物線L上,且x1<x2,則y1<y2題型3二次函數(shù)圖象中對(duì)稱軸的運(yùn)用(2013,2022)11.已知二次函數(shù)y=ax2-3ax+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)P(x1,0),點(diǎn)Q(x2,0),若-3<x1<-2,則x2的取值范圍是()A.5<x2<6 B.4<x2<5C.4<x2<6 D.3<x2<512.若拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0)之間的距離為6,且x1+x2=8,則這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(3,9) B.(-3,-9)C.(-4,-9) D.(4,9)13.在拋物線L:y=ax2-(1-a)x+2a(a≠0)上存在一點(diǎn)M(a,m).當(dāng)x<a時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x>a時(shí),y隨x的增大而增大,則m的值為()A.-1 B.-3C.12 D.14.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是(n,0)和(-n+4,0),且該拋物線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,y1)和(4,y2),則下列關(guān)于y1,y2的大小關(guān)系判斷正確的是()A.y2=y1B.y2<y1C.y1<y2D.y1≤y2題型4運(yùn)用二次函數(shù)增減性比較函數(shù)值的大小15.【原創(chuàng)好題】已知拋物線y=ax2+4ax-3與x軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三點(diǎn)在拋物線上,且滿足x1<0<x2<x3,x1+x2>-4,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是()A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y216.【原創(chuàng)好題】已知M(x0,y0)是拋物線y=ax2-4ax+c的頂點(diǎn),且y0為y=ax2-4ax+c的最大值.若點(diǎn)(-5,y1),(1,y2),(0,y3)在拋物線上,則下列說(shuō)法中正確的是()A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2題型5二次函數(shù)與幾何圖形關(guān)系(2016.T10)17.已知拋物線y=a(x+1)(x-5)與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),若在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)C,使得△ABC的最大面積為6,則a的值為()A.-25 B.25 C.-18.M是拋物線y=x2+x-2在第三象限部分的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M向x軸和y軸作垂線,垂足分別為P,Q,則四邊形OPMQ周長(zhǎng)的最大值為()A.1 B.2 C.4 D.6題型6拋物線的交點(diǎn)與方程的關(guān)系(2015.T10)19.將拋物線y=-2x2+(m-3)x-1向上平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,與直線y=-x+3有且只有一個(gè)交點(diǎn),則m的值為()A.4 B.8C.42-2 D.42+220.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C:y=ax2+(3-2a)x+a-2與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn),則a的值為()A.-94 B.49C.-2 D.94或題型7二次函數(shù)圖象的變換21.在平面直角坐標(biāo)系中,如果拋物線y=ax2(a≠0)不動(dòng),x軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,y軸向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,那么關(guān)于新坐標(biāo)系下的拋物線,下列說(shuō)法正確的是()A.新坐標(biāo)系下的拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3B.新坐標(biāo)系下的拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3a+3C.新坐標(biāo)系下的拋物線的頂點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn).新坐標(biāo)系下的拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)22.已知拋物線y=ax2-2x+1與x軸沒(méi)有交點(diǎn),將該拋物線向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的拋物線的頂點(diǎn)一定在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限23.將拋物線L:y=-(x-b+1)2+b先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到拋物線L',若拋物線L'的頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5,則拋物線L'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(0,5)B.(5,0)C.(0,-5)或(5,0)D.(0,5)或(-5,0)題型8二次函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用24.某同學(xué)用相機(jī)拍攝記錄小球投擲實(shí)驗(yàn),并繪制了示意圖如圖所示,其中x軸表示小球滯空時(shí)間,y軸表示小球高度,小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線,在第0.8s與第1.2s時(shí),小球高度一致,已知點(diǎn)A(0,2),小球在最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則小球落地時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(2.2,0) B.(2+2,0)C.(2,0) D.(2+1,0)25.如圖,某涵洞的截面是拋物線形,現(xiàn)測(cè)得水面寬AB=1.6m,涵洞頂點(diǎn)O與水面的距離CO是2m,則當(dāng)水位上升1.5m時(shí),水面的寬為()A.0.4m B.0.6mC.0.8m D.1m

參考答案1.C解析:∵拋物線開(kāi)口向上,∴a>0.∵拋物線的對(duì)稱軸在x軸正半軸上,∴-b2a∴a,b異號(hào),∴b<0.∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸,∴c<0,∴abc>0,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,∴-b2a=1,即b=-2∴2a+b=0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.由題圖可知,當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c<0.∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,∴點(diǎn)(2,4a+2b+c)與(0,c)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,∴4a+2b+c=c.∵c<0,∴4a+2b+c<0,∴(a+b+c)+(4a+2b+c)<0,即5a+3b+2c<0.故選項(xiàng)C正確.∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.2.A解析:∵拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=m,∴當(dāng)x>m時(shí),y隨x的增大而減小,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;∵當(dāng)x=0時(shí),y=1,∴該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),故選項(xiàng)B正確;∵y=-(x-m)2+m2+1,∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m2+1),∴拋物線的頂點(diǎn)在拋物線y=x2+1上,故選項(xiàng)C正確;∵y=-(x-m)2+m2+1與y=-x2的二次項(xiàng)系數(shù)都為-1,∴兩函數(shù)圖象的形狀相同,故選項(xiàng)D正確.故選A.3.A解析:依題意,拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=-1-a2×1∵a<0,∴a-1a>0,∴對(duì)稱軸在y∵Δ=(1-a)2-4×12a·(-1)=1+a2>∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),∴頂點(diǎn)M一定在第一象限,故選A.4.C解析:∵二次函數(shù)y=x2+bx+c,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)的最小值為-3,∴該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸右側(cè),4×1×c-b24×1=-∴b<0.∵當(dāng)x≤0時(shí),函數(shù)的最小值為-2,∴當(dāng)x=0時(shí),y=c=-2,將c=-2代入4×1×c-b24×1=-3,可得b1=2(舍去),故選C.5.C解析:依題意,當(dāng)x=0和x=4時(shí),y的值都是-2,∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=0+42=∴頂點(diǎn)為(2,n),-b2a=2,即b=-∵a<0,∴n是函數(shù)的最大值.∵mn<0,∴m<0,n>0,∴當(dāng)x=1時(shí),y=a-4a-2<0;當(dāng)x=2時(shí),y=4a-8a-2>0,解得-23<a<-126.D解析:∵a=-1<0,∴拋物線開(kāi)口向下,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2m2×(-1)∴當(dāng)m>0時(shí),對(duì)稱軸在y軸右側(cè);當(dāng)m<0時(shí),對(duì)稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)m=0時(shí),對(duì)稱軸為y軸,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;∵m+n=1,∴Δ=(2m)2-4×(-1)·n=4m2+4n=4m2+4(1-m)=4m2-4m+4=4m-122+3>0,∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;∵拋物線的開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=m,∴二次函數(shù)的最大值為-m2+2m2+n=m2+n.∵m+2-m=2>m-(m-1)=1,∴當(dāng)x=m+2時(shí),二次函數(shù)有最小值,最小值為-(m+2)2+2m(m+2)+n=m2+n-4,∴m2+n-(m2+n-4)=4,故D選項(xiàng)正確.故選D.7.A解析:A,B選項(xiàng)中,由二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象可以判斷a>0,b<0.C,D選項(xiàng)中,由二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象可以判斷a<0,b>0.對(duì)于y=ax2+bx,當(dāng)y=0時(shí),得0=ax2+bx,解得x1=0,x2=-ba對(duì)于y=ax+b,當(dāng)y=0時(shí),解得x=-ba,故二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于x軸上一點(diǎn)故選A.8.D解析:根據(jù)題意,Δ=4a2-4a+1-4a(a-3)=4a2-4a+1-4a2+12a=8a+1≤0,解得a≤-18∴二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下,且與y軸交于負(fù)半軸,與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn),故二次函數(shù)圖象不可能經(jīng)過(guò)第一象限和第二象限.9.B解析:分情況討論:當(dāng)a>0時(shí),c<0,b>0,拋物線開(kāi)口向上,與y軸交于負(fù)半軸,對(duì)稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)a<0時(shí),c>0,b<0,拋物線開(kāi)口向下,與y軸交于正半軸,且對(duì)稱軸在y軸左側(cè).綜上所述,只有B選項(xiàng)符合題意.10.C解析:根據(jù)題意,拋物線L的大致圖象如圖所示.可知a<0,由于與x軸沒(méi)有交點(diǎn),故b2-4ac<0.∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè),∴當(dāng)x<-b2a時(shí),y隨x∵-1<0,∴m<c.當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),y1>y2,故C選項(xiàng)正確.11.A解析:∵二次函數(shù)y=ax2-3ax+c(a≠0),∴圖象的對(duì)稱軸為直線x=--3a2a∵二次函數(shù)y=ax2-3ax+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)P(x1,0),點(diǎn)Q(x2,0),且-3<x1<-2,∴5<x2<6.故選A.12.D解析:∵x1+x2=8,∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-b-2=b2=4,解得b=∵A,B之間的距離是6,∴A,B的坐標(biāo)為(1,0),(7,0).將(1,0)代入y=-x2+8x+c,得0=-1+8+c,解得c=-7,∴y=-x2+8x-7.將x=4代入y=-x2+8x-7,得y=9,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,9).故選D.13.D解析:根據(jù)題意,拋物線L的對(duì)稱軸是直線x=a,∴1-a2a=a,整理得2a2+a-1=0,解得a1=12,a∵x<a時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x>a時(shí),y隨x的增大而增大,∴a>0,∴a=12,∴M為拋物線的頂點(diǎn),且y=12x2-12x+1=12x-122+7814.B解析:∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是(n,0)和(-n+4,0),∴對(duì)稱軸為直線x=n-n+4∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,y1)和(4,y2),∴點(diǎn)(-4,y1)到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)(4,y2)到對(duì)稱軸的距離.∵拋物線開(kāi)口向上,∴y1>y2.故選B.15.C解析:當(dāng)x=0時(shí),y=-3,∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,-3).∵拋物線與x軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè),∴a>0,即拋物線開(kāi)口向上.∵x1<0<x2,x1+x2>-4,得x2-(-2)>-2-x1,∴y2>y1.∵x3>x2,∴y3>y2,∴y3>y2>y1.故選C.16.B解析:∵M(jìn)(x0,y0)是拋物線y=ax2-4ax+c的頂點(diǎn),且y0為y=ax2-4ax+c的最大值,∴拋物線開(kāi)口向下.由y=ax2-4ax+c可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,∴拋物線上的點(diǎn)到對(duì)稱軸距離越大,該點(diǎn)的縱坐標(biāo)越小,點(diǎn)(-5,y1)到拋物線的對(duì)稱軸的距離d1=2-(-5)=7,點(diǎn)(1,y2)到拋物線的對(duì)稱軸的距離d2=2-1=1,點(diǎn)(0,y3)到拋物線的對(duì)稱軸的距離d3=2-0=2.∵d2<d3<d1,故y2>y3>y1.17.D解析:由拋物線y=a(x+1)(x-5)可知,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),∴AB=6.∵在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)C,使得△ABC的最大面積為6,∴S△ABC=12AB·h=6,解得h=根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),將其代入拋物線的表達(dá)式中,-2=a(2+1)×(2-5),解得a=29,故選D18.D解析:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m2+m-2),根據(jù)題意,四邊形OPMQ為矩形,∴C矩形OPMQ=2(OP+OQ)=2(-m-m2-m+2)=-2(m+1)2+6,當(dāng)m=-1時(shí),C矩形OPMQmax=19.C解析:平移后的拋物線表達(dá)式為y=-2x2+(m-3)x-1+m.∵與直線y=-x+3有且只有一個(gè)交點(diǎn),∴關(guān)于x的方程-2x2+(m-3)x-1+m=-x+3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,整理上述方程得-2x2+(m-2)x-4+m=0,Δ=(m-2)2-4×(-2)(m-4)=0,解得m1=42-2,m2=-42-2.∵m>0,∴m=42-2,故選C.20.D解析:當(dāng)拋物線C與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),4a2-12a+9-4a(a-2)=0,解得a=94當(dāng)拋物線C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí),a-2=0,解得a=2.綜上所述,a的值為94或2,故選D21.C解析