2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第02講兩條直線的位置關(guān)系(八大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第02講兩條直線的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：兩直線位置關(guān)系的判定 2題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題 2題型三：有關(guān)距離的最值問(wèn)題 3題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 3題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱 3題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 4題型七：線關(guān)于線對(duì)稱 4題型八：直線系方程 402重難創(chuàng)新練 503真題實(shí)戰(zhàn)練 8題型一：兩直線位置關(guān)系的判定1．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：，：，若“”是“”的充要條件，則（

）A． B． C．1 D．22．已知直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·湖北黃岡·二模）已知角，角的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊均與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別過(guò)，則（

）A．?2或 B．2或 C． D．?24．（2024·河南·三模）已知直線與直線垂直，則（

）A． B．C． D．題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題5．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知點(diǎn)、、，且，則.7．若直線與直線平行，則直線與的距離為.8．若點(diǎn)到直線l：的距離為，則實(shí)數(shù)．題型三：有關(guān)距離的最值問(wèn)題9．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．10．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．612．（多選題）已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．的最小值為 D．最大值為313．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．14．已知x，y為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是．題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱15．在中，已知，，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為.16．設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是，則A與B坐標(biāo)分別為，．17．過(guò)點(diǎn)的直線，被直線，所截得的線段的中點(diǎn)恰好在直線上，則直線的方程為．題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱18．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．19．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．20．已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．21．已知光線從點(diǎn)入射，經(jīng)過(guò)直線反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則入射光線所在的直線方程為.題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱22．直線x＋2y－3＝0與直線ax＋4y＋b＝0關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱，則b＝.23．直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為．24．直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程是．25．與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為.題型七：線關(guān)于線對(duì)稱26．直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程為．27．已知直線，它關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為.28．直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是．題型八：直線系方程29．過(guò)兩直線和的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=030．經(jīng)過(guò)點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為.31．經(jīng)過(guò)直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為．1．（2024·高三·陜西西安·期末）已知，，直線：，：，且，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A． B． C． D．2．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別于A，B兩點(diǎn)，且直線AB的斜率為，則（

）A． B． C． D．3．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：與直線，且，則的最小值為（

）A．12 B． C．15 D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，集合，集合，已知點(diǎn)，點(diǎn)，記表示線段長(zhǎng)度的最小值，則的最大值為（

）A．2 B． C．1 D．5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線，一束光線從原點(diǎn)出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點(diǎn)，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn).若，則的值為（

）A． B．C． D．6．（2024·黑龍江牡丹江·一模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，且滿足，求點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A． B． C．2 D．7．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡為圓 B．點(diǎn)到原點(diǎn)最短距離為2C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)正方形 D．點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為248．（2024·陜西西安·一模）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．3 C． D．59．（多選題）（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．，使得10．（多選題）（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營(yíng)，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)，軍營(yíng)所在位置為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營(yíng)，則將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營(yíng)的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是11．（多選題）（2024·甘肅定西·一模）下列命題為真命題的是（

）A．的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是12．（多選題）（2024·遼寧·一模）對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的兩組點(diǎn)，如果存在一條直線使這兩組點(diǎn)分別位于該直線的兩側(cè)，則稱該直線為“分類直線”．對(duì)于一條分類直線，記所有的點(diǎn)到的距離的最小值為，約定：越大，分類直線的分類效果越好．某學(xué)校高三（2）班的7位同學(xué)在2020年期間網(wǎng)購(gòu)文具的費(fèi)用（單位：百元）和網(wǎng)購(gòu)圖書的費(fèi)用（單位：百元）的情況如圖所示，現(xiàn)將和為第I組點(diǎn)將和歸為第II點(diǎn)．在上述約定下，可得這兩組點(diǎn)的分類效果最好的分類直線，記為．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①直線比直線的分類效果好；②分類直線的斜率為2；③該班另一位同學(xué)小明的網(wǎng)購(gòu)文具與網(wǎng)購(gòu)圖書的費(fèi)用均為300元，則小明的這兩項(xiàng)網(wǎng)購(gòu)花銷的費(fèi)用所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與第II組點(diǎn)位于的同側(cè)；④如果從第I組點(diǎn)中去掉點(diǎn)，第II組點(diǎn)保持不變，則分類效果最好的分類直線不是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．① B．② C．③ D．④13．（2024·山東·二模）過(guò)直線和的交點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為.14．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若有且只有一組數(shù)對(duì)滿足不等式，則實(shí)數(shù)的取值集合為.15．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）一直線族的包絡(luò)線是這樣定義的曲線：該曲線不包含于直線族中，但過(guò)該曲線上的每一點(diǎn)，都有直線族中的一條直線與它在這一點(diǎn)處相切.若曲線是直線族的包絡(luò)線，則上的點(diǎn)到直線的最小距離為.16．（2024·四川南充·三模）如圖，，且與的距離為1，與的距離為2.若在上，分別在，上，，，.則四邊形的面積為.

1．（2002年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（四川卷））如圖，是同一平面內(nèi)的三條平行直線，與間的距離是1，與間的距離是2，正三角形的三頂點(diǎn)分別在上，則的邊長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．3．（2003年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（全國(guó)卷））已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)、、、，一質(zhì)點(diǎn)從的中點(diǎn)沿與的夾角的方向射到上的點(diǎn)后，依次反射到、和上的點(diǎn)、和（入射角等于反射角）．若與重合，則（

）A． B． C． D．4．（2003年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（全國(guó)卷））直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（

）A． B． C． D．5．（2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷（浙江））直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（）A． B．C． D．6．（2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是.第02講兩條直線的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：兩直線位置關(guān)系的判定 2題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題 3題型三：有關(guān)距離的最值問(wèn)題 4題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 9題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱 10題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 12題型七：線關(guān)于線對(duì)稱 13題型八：直線系方程 1402重難創(chuàng)新練 1503真題實(shí)戰(zhàn)練 27題型一：兩直線位置關(guān)系的判定1．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：，：，若“”是“”的充要條件，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由題意可知若，則，又因?yàn)榧?，故，?故選：B.2．已知直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若則且所以或所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．3．（2024·湖北黃岡·二模）已知角，角的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊均與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別過(guò)，則（

）A．?2或 B．2或 C． D．?2【答案】A【解析】記為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)，均在以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓上.連接，取的中點(diǎn)，連接，則，不妨設(shè)，則，所以.故選：D.4．（2024·河南·三模）已知直線與直線垂直，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】直線的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線的斜率為，即且，，所以.故選：D.題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題5．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】就是到原點(diǎn)距離，到原點(diǎn)距離的最小值為則的最小值為2，故選：B.6．已知點(diǎn)、、，且，則.【答案】【解析】已知點(diǎn)、、，且，則，解得.故答案為：.7．若直線與直線平行，則直線與的距離為.【答案】/【解析】由于與平行，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為，此時(shí)兩直線重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為，此時(shí)兩直線平行，符合題意；綜上所述：，兩直線方程分別為，所以直線與的距離為.故答案為：.8．若點(diǎn)到直線l：的距離為，則實(shí)數(shù)．【答案】3或．【解析】點(diǎn)到直線l：的距離為，則，解得或．故答案為：3或．題型三：有關(guān)距離的最值問(wèn)題9．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】A【解析】,可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.10．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，則.設(shè)，則有，解得，所以.設(shè)，則，所以，又，所以點(diǎn)到軸的距離為，所以，可視為線段上的點(diǎn)到軸的距離和到的距離之和.過(guò)作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和有最小值.過(guò)點(diǎn)作軸，則即為最小值，與線段的交點(diǎn)，即為最小值時(shí)的位置.因?yàn)?，所以的最小值?故選：B．11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是4，故選：B.12．（多選題）已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．的最小值為 D．最大值為3【答案】ACD【解析】對(duì)于A：設(shè)，若時(shí)，此時(shí)的斜率不存在，，與不垂直，同理時(shí)與不垂直，當(dāng)且時(shí)，，若，則，去分母整理得，，方程無(wú)解，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點(diǎn)，使得，故B正確；對(duì)于C：如圖設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)（在線段之間），故C正確；對(duì)于D：如下圖，，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD13．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，由可看作與的距離和與的距離之和，設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，故，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C14．已知x，y為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是．【答案】5【解析】即，幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)的距離；即，幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)的距離；即，幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)的距離，分別作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)分別為與軸，軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：5.題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱15．在中，已知，，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)，則AC邊的中點(diǎn)為，BC邊的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)M在y軸上，所以，解得.因?yàn)辄c(diǎn)N在x軸上，所以，解得，即.故答案為:.16．設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是，則A與B坐標(biāo)分別為，．【答案】，【解析】設(shè)，，因?yàn)锳B中點(diǎn)，所以，即，，所以，，所以，故答案為：，；.17．過(guò)點(diǎn)的直線，被直線，所截得的線段的中點(diǎn)恰好在直線上，則直線的方程為．【答案】【解析】設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以在直線上，由在直線上，聯(lián)立可得，解得，即中點(diǎn)為，所以直線的斜率，所以的方程為，即．故答案為：．題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱18．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點(diǎn)為，由，解得：，∴,∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：C.19．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q，則，解得：．所以.故選：A．20．已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線上且直線AB與直線垂直，則，即點(diǎn)A坐標(biāo)為.故選：C21．已知光線從點(diǎn)入射，經(jīng)過(guò)直線反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則入射光線所在的直線方程為.【答案】【解析】直線的斜率為1，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于斜率為的直線直接求對(duì)稱點(diǎn)的結(jié)論：知求，知求可得，當(dāng)時(shí)代入得；當(dāng)時(shí)代入得，即得關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)；入射光線所在直線方程為：；化簡(jiǎn)得：.故答案為：.題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱22．直線x＋2y－3＝0與直線ax＋4y＋b＝0關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱，則b＝.【答案】2【解析】因?yàn)橹本€與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得，又，解得，或（重合，舍），所以．23．直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為．【答案】【解析】設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€l上，所以，即直線的方程為．故答案為：24．直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程是．【答案】【解析】設(shè)對(duì)稱直線為，則有，即解這個(gè)方程得（舍）或.所以對(duì)稱直線的方程中.故答案為：.25．與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為.【答案】【解析】直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程可設(shè)為，其中又點(diǎn)到直線與到直線的距離相等所以，即，所以或（舍）.故所求直線方程為：.故答案為：.題型七：線關(guān)于線對(duì)稱26．直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程為．【答案】【解析】設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，由得：，則點(diǎn)在直線上；在直線上取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得：，即；直線的方程為：，即.故答案為：.27．已知直線，它關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為.【答案】【解析】設(shè)對(duì)稱的直線方程的點(diǎn)為，對(duì)稱點(diǎn)為，直線斜率為1，則有，消去得，故答案為：28．直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是．【答案】【解析】聯(lián)立，解得，即兩直線的交點(diǎn)為．在直線上取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即．所以直線MQ的方程為，即.故答案為:．題型八：直線系方程29．過(guò)兩直線和的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】A【解析】設(shè)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，故所求直線方程為，即.故選：D.30．經(jīng)過(guò)點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為.【答案】【解析】設(shè)所求直線方程為，點(diǎn)在直線上，，解得，所求直線方程為，即．故答案為：.31．經(jīng)過(guò)直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為．【答案】x－y＝0.【解析】設(shè)直線方程為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，因?yàn)樗c直線x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，即λ＝－，故所求直線為x－y＝0.故答案為：x－y＝0.1．（2024·高三·陜西西安·期末）已知，，直線：，：，且，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：C.2．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別于A，B兩點(diǎn)，且直線AB的斜率為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設(shè)且，C為AB的中點(diǎn)，直線AB與軸相交于點(diǎn)D，

，，，.故選：C3．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：與直線，且，則的最小值為（

）A．12 B． C．15 D．【答案】A【解析】由題意知直線：與直線，，則，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立。故的最小值為，故選：B4．在平面直角坐標(biāo)系中，集合，集合，已知點(diǎn)，點(diǎn)，記表示線段長(zhǎng)度的最小值，則的最大值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】集合可以看作是表示直線上的點(diǎn)的集合，由變形可得，，由可得，，所以直線過(guò)定點(diǎn).集合可看作是直線上的點(diǎn)的集合，由變形可得，，由可得，，所以，直線過(guò)定點(diǎn).顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)分別重合，且線段與直線都垂直時(shí)，有最大值.故選：D.5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線，一束光線從原點(diǎn)出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點(diǎn)，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn).若，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則得，即，由題意知與直線不平行，故，由，得，即，故直線的斜率為，直線的直線方程為：，令得，故，令得，故由對(duì)稱性可得，由得，即，解得，得或，若，則第二次反射后光線不會(huì)與軸相交，故不符合條件．故，故選：B.6．（2024·黑龍江牡丹江·一模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，且滿足，求點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】，，則，即，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，故點(diǎn)到直線距離的最大值為．故選：．7．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡為圓 B．點(diǎn)到原點(diǎn)最短距離為2C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)正方形 D．點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為24【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，?dòng)點(diǎn)滿足，所以，得，因?yàn)椋?，即點(diǎn)的軌跡方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡如圖所示，且，,所以點(diǎn)的軌跡為菱形，所以AC錯(cuò)誤，原點(diǎn)到直線的距離為，所以B錯(cuò)誤，點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為，所以D正確.故選：D8．（2024·陜西西安·一模）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，所以“將軍飲馬”的最短總路程為，故選：C9．（多選題）（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．，使得【答案】AB【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楸硎具^(guò)定點(diǎn)，且斜率不為0的直線，可知表示直線上所有的點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，則，，聯(lián)立方程，解得，所以，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則有：若，則；若，可知直線與直線平行，且，可得，解得；綜上所述：或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，由選項(xiàng)C可知，且，無(wú)解，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10．（多選題）（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營(yíng)，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)，軍營(yíng)所在位置為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營(yíng)，則將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營(yíng)的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是【答案】ABD【解析】對(duì)于A，如圖①所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由解得，所以將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖②所示，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，將軍先去河流飲馬，再返回軍營(yíng)的最短路程是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖③所示，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程，故C正確；對(duì)于D，如圖④所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，由解得；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.11．（多選題）（2024·甘肅定西·一模）下列命題為真命題的是（

）A．的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是【答案】AC【解析】設(shè)，易知點(diǎn)的軌跡是拋物線的上半部分，拋物線的準(zhǔn)線為直線到準(zhǔn)線的距離，為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于AB，，所以的最小值為，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，，所以的最小值是，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.12．（多選題）（2024·遼寧·一模）對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的兩組點(diǎn)，如果存在一條直線使這兩組點(diǎn)分別位于該直線的兩側(cè)，則稱該直線為“分類直線”．對(duì)于一條分類直線，記所有的點(diǎn)到的距離的最小值為，約定：越大，分類直線的分類效果越好．某學(xué)校高三（2）班的7位同學(xué)在2020年期間網(wǎng)購(gòu)文具的費(fèi)用（單位：百元）和網(wǎng)購(gòu)圖書的費(fèi)用（單位：百元）的情況如圖所示，現(xiàn)將和為第I組點(diǎn)將和歸為第II點(diǎn)．在上述約定下，可得這兩組點(diǎn)的分類效果最好的分類直線，記為．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①直線比直線的分類效果好；②分類直線的斜率為2；③該班另一位同學(xué)小明的網(wǎng)購(gòu)文具與網(wǎng)購(gòu)圖書的費(fèi)用均為300元，則小明的這兩項(xiàng)網(wǎng)購(gòu)花銷的費(fèi)用所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與第II組點(diǎn)位于的同側(cè)；④如果從第I組點(diǎn)中去掉點(diǎn)，第II組點(diǎn)保持不變，則分類效果最好的分類直線不是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】由圖象知：，，，，，，，當(dāng)直線為分類直線時(shí)，，當(dāng)直線為分類直線時(shí)，其過(guò)，由圖可知，到直線距離最小，到直線的距離為，到直線的距離為，所以，所以直線分類效果好，故①錯(cuò)誤；由圖知的位置由，，確定，所有的點(diǎn)到的距離的最小值為，約定：越大，分類直線的分類效果越好．可知點(diǎn)，，直到線的距離相等，所以直線過(guò)點(diǎn)，的中點(diǎn)，而的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為，故直線的斜率為，故②正確；又直線的方程為，此時(shí)點(diǎn)在的右側(cè)，故③正確；去掉點(diǎn)后，，到直線的距離相等，此時(shí)直線為線段，的垂直平分線，故④正確；故答案為：BCD13．（2024·山東·二模）過(guò)直線和的交點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為.【答案】【解析】聯(lián)立與可得，故交點(diǎn)為，傾斜角為，所以斜率為1，故直線方程為，即，故答案為：14．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若有且只有一組數(shù)對(duì)滿足不等式，則實(shí)數(shù)的取值集合為.【答案】【解析】平面直角坐標(biāo)系中,，，,，，，，∵有且只有一組數(shù)對(duì)滿足不等式，∴，的取值集合為故答案為:.15．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）一直線族的包絡(luò)線是這樣定義的曲線：該曲線不包含于直線族中，但過(guò)該曲線上的每一點(diǎn)，都有直