2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章第07講離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征(六大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第07講離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：離散型隨機(jī)變量 2題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列 2題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) 3題型四：離散型隨機(jī)變量的均值 3題型五：離散型隨機(jī)變量的方差 4題型六：決策問題 402重難創(chuàng)新練 603真題實(shí)戰(zhàn)練 10題型一：離散型隨機(jī)變量1．5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是（

）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率2．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（）A．甲贏三局B．甲贏兩局C．甲、乙平局兩次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次3．對(duì)一批產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè),第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗(yàn)結(jié)果為()A．第k-1次檢測(cè)到正品,而第k次檢測(cè)到次品B．第k次檢測(cè)到正品,而第k+1次檢測(cè)到次品C．前k-1次檢測(cè)到正品,而第k次檢測(cè)到次品D．前k次檢測(cè)到正品,而第k+1次檢測(cè)到次品4．下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（

）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個(gè)沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)；④某電子元件的壽命；A．①② B．③④ C．①③ D．②④題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列5．從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有個(gè)紅球，則隨機(jī)變量的概率分布為：．0126．設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的分布列為．題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列，則.8．已知隨機(jī)變量X的可能取值是，已知（其中），又，則．9．（2024·高三·上?！卧獪y(cè)試）設(shè)隨機(jī)變量可能的取值為，．又的期望，則．題型四：離散型隨機(jī)變量的均值10．在維空間中，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，其中.定義：在維空間中兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為.在維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則.11．在每年的1月份到7月份，某品牌空調(diào)銷售商發(fā)現(xiàn)：“每月銷售量（單位：臺(tái)）”與“當(dāng)年的月份”線性相關(guān).根據(jù)統(tǒng)計(jì)得下表：月份123456銷量101931455568(1)根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)得，當(dāng)年的月份與銷量滿足回歸方程.請(qǐng)預(yù)測(cè)當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售多少臺(tái)？(2)該銷售商從當(dāng)年的前6個(gè)月中隨機(jī)選取2個(gè)月，記為銷量不低于前6個(gè)月的月平均銷量的月份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望12．袋中有大小完全相同的7個(gè)白球，3個(gè)黑球.(1)若甲一次性抽取4個(gè)球，求甲至少抽到2個(gè)黑球的概率；(2)若乙共抽取4次，每次抽取1個(gè)球，記錄好球的顏色后再放回袋子中，等待下次抽取，且規(guī)定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.題型五：離散型隨機(jī)變量的方差13．（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）已知隨機(jī)變量的方差，則隨機(jī)變量的方差14．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，滿足，則.15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、幫助家長(zhǎng)解決接送學(xué)生困難的重要舉措是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)方案的支持情況，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表:男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差與的大小.題型六：決策問題16．某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，在購(gòu)買機(jī)器時(shí)，可以一次性額外購(gòu)買幾次維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費(fèi)用300元，另外，實(shí)際維修一次還需向維修人員支付小費(fèi)，小費(fèi)每次60元．在機(jī)器使用期間，如果維修次數(shù)超過購(gòu)機(jī)時(shí)購(gòu)買的維修服務(wù)次數(shù)，則每維修一次需支付維修費(fèi)用720元，無需支付小費(fèi)．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)一次性購(gòu)買幾次維修服務(wù)，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，每臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)可能是4次，5次或6次，其概率分別是，，．記X表示2臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器時(shí)，一次性購(gòu)買的維修服務(wù)次數(shù)．(1)求X的分布列；(2)以機(jī)器維修所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在和之中選取其一，應(yīng)選用哪個(gè)？17．（2024·四川瀘州·二模）強(qiáng)基計(jì)劃?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為；該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為，，m，其中．(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時(shí)，求m的取值范圍．18．（2024·河南鄭州·三模）據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立．若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中．(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍．1．（2024·高三·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為，隨機(jī)變量取值的概率也均為，則（

）A． B．C． D．2．已知某工廠生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，質(zhì)量指標(biāo)大于或等于20的產(chǎn)品為優(yōu)等品，且優(yōu)等品出現(xiàn)的概率為，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6件，用表示這6件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)不在區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，則（

）A．0.96 B．0.48 C．1.2 D．2.43．為迎接中秋佳節(jié)，某公司開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在不透明的容器中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，每位員工從中摸出2個(gè)小球.若摸到一紅球一白球，可獲得價(jià)值百元代金券；摸到兩白球，可獲得價(jià)值百元代金券；摸到兩紅球，可獲得價(jià)值百元代金券（均為整數(shù)）.已知每位員工平均可得5.4百元代金券，則運(yùn)氣最好者獲得至多（

）百元代金券A．5.4 B．9 C．12 D．184．（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）在備戰(zhàn)巴黎奧運(yùn)會(huì)期間，教練組舉辦羽毛球訓(xùn)練比賽，派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩名主力的能力，教練安排了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與陪練打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān)．已知甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨(dú)立．記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為

（

）A．32 B．31 C．28 D．275．若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，且，則表中a的值為（

）X4a9P0.50.1bA． B．7 C．5.61 D．6.616．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（

）123A． B． C． D．7．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）有甲、乙兩個(gè)不透明的袋子，甲袋子里有1個(gè)白球，乙袋子里有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨機(jī)取出個(gè)球放入甲袋子里，再?gòu)募状永镫S機(jī)取出一個(gè)球，記取到的白球的個(gè)數(shù)為，則當(dāng)變大時(shí)（

）A．變小 B．先變小再變大C．變大 D．先變大再變小8．已知隨機(jī)變量的分布列為abPba則下列說法不正確的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，9．（多選題）離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示，是非零實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（

）20242025A． B．服從兩點(diǎn)分布C． D．10．（多選題）（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）某電子展廳為了吸引流量，舉辦了一場(chǎng)電子競(jìng)技比賽，甲、乙兩人入圍決賽，決賽采用局勝的賽制，其中，即先贏局者獲得最終冠軍，比賽結(jié)束.已知甲每局比賽獲勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則（

）A．若，，則甲最終獲勝的概率為B．若，，記決賽進(jìn)行了局，則C．若，，記決賽進(jìn)行了局，則D．若比時(shí)對(duì)甲更有利，則11．（多選題）一個(gè)課外興趣小組共有5名成員，其中有3名女性成員，2名男性成員，現(xiàn)從中隨機(jī)選取3名成員進(jìn)行學(xué)習(xí)匯報(bào)，記選出女性成員的人數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．12．（多選題）已知隨機(jī)變量X，Y，其中，已知隨機(jī)變量X的分布列如下表X12345pmn若，則（

）A． B． C． D．13．已知隨機(jī)變量的分布列為01若，且，則．14．盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，以X表示取到白球的個(gè)數(shù)，η表示取到黑球的個(gè)數(shù)．給出下列各項(xiàng)：①；②；③;④．其中正確的是．（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）15．已知隨機(jī)變量X的分布為123則的最大值為．16．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)表示擲出的點(diǎn)數(shù)，則.17．一個(gè)袋子里裝有除顏色以外完全相同的白球和黑球共10個(gè)，其中白球有4個(gè)，黑球有6個(gè).(1)若有放回地從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，求恰好摸到2個(gè)黑球的概率；(2)若不放回地從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，用表示摸出的黑球個(gè)數(shù)，求的分布列和期望與方差.18．（2024·甘肅張掖·三模）春節(jié)期間電影院上映5部影片：賀歲片有《第20條》，《飛馳人生》和《熱辣滾燙》，往期電影《滿江紅》，《流浪地球2》.媽媽有4張電影票給了姐姐和弟弟每人2張，讓他們自己選擇看哪2部電影.(1)求姐姐恰好看了2部賀歲片的概率；(2)求姐弟兩人觀看賀歲片的部數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．北京冬奧會(huì)過后，迎來了一股滑雪運(yùn)動(dòng)的熱潮，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過免費(fèi)，超過的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足的部分按計(jì)算）．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過離開的概率分別為，；以上且不超過離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3h．設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與均值、方差．20．某市，兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加信息聯(lián)賽，中學(xué)推薦了3名男生、2名女生.中學(xué)推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)參賽.(1)求中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)設(shè)表示中學(xué)參賽的男生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知3名男生的比賽成績(jī)分別為76，80，84，3名女生的比賽成績(jī)分別為77，，81，若3名男生的比賽成績(jī)的方差大于3名女生的比賽成績(jī)的方差，寫出的取值范圍（不要求過程）.1．（2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大2．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（浙江卷））設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小3．（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則；．4．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（上海卷））賭博有陷阱．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有，，，，的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的倍作為其獎(jiǎng)金（單位：元）．若隨機(jī)變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則（元）．5．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（浙江卷））隨機(jī)變量的取值為0,1,2，若，，則.6．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：9．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）10．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．11．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)12．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.第07講離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：離散型隨機(jī)變量 2題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列 3題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) 4題型四：離散型隨機(jī)變量的均值 5題型五：離散型隨機(jī)變量的方差 8題型六：決策問題 902重難創(chuàng)新練 1203真題實(shí)戰(zhàn)練 25題型一：離散型隨機(jī)變量1．5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是（

）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率【答案】C【解析】對(duì)于A，5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，BD也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能為0、1、2是隨機(jī)變量.故選：C2．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（）A．甲贏三局B．甲贏兩局C．甲、乙平局兩次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，則有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D.3．對(duì)一批產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè),第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗(yàn)結(jié)果為()A．第k-1次檢測(cè)到正品,而第k次檢測(cè)到次品B．第k次檢測(cè)到正品,而第k+1次檢測(cè)到次品C．前k-1次檢測(cè)到正品,而第k次檢測(cè)到次品D．前k次檢測(cè)到正品,而第k+1次檢測(cè)到次品【答案】D【解析】由題意表示第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為，因此前次檢測(cè)到的都是正品，第次檢測(cè)的是一件次品.故選D.4．下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（

）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個(gè)沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)；④某電子元件的壽命；A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】對(duì)于①，半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，故①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來，故②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)可以一一列舉出來，故③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，故④不是離散型隨機(jī)變量；故選：C.題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列5．從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有個(gè)紅球，則隨機(jī)變量的概率分布為：．012【答案】見解析【解析】根據(jù)題意由等可能事件的概率計(jì)算公式可知：，故答案為：0126．設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的分布列為．【答案】ξ01P【解析】正方體的12條棱中任取兩條共有種情況，若兩條棱相交，則交點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處，過任意一個(gè)頂點(diǎn)的棱有3條，共有對(duì)相交棱，若兩條棱平行，則它們的距離為1或，而距離為的共有6對(duì)，ξ的可能取值為0，1，，分別求出其概率即可．ξ的可能取值為0，1，．若兩條棱相交，則交點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處，過任意一個(gè)頂點(diǎn)的棱有3條，所以P（ξ＝0）＝＝，若兩條棱平行，則它們的距離為1或，而距離為的共有6對(duì)，則P（ξ＝）＝＝，P（ξ＝1）＝1－P（ξ＝0）－P（ξ＝）＝1－－＝，所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ01P故答案為：ξ01P題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列，則.【答案】【解析】因?yàn)?，可得，解得，因?故答案為：.8．已知隨機(jī)變量X的可能取值是，已知（其中），又，則．【答案】/0.1【解析】由題意得，，又，解得，，故.故答案為：9．（2024·高三·上?！卧獪y(cè)試）設(shè)隨機(jī)變量可能的取值為，．又的期望，則．【答案】【解析】由題意可得，解得，所以.故答案為：.題型四：離散型隨機(jī)變量的均值10．在維空間中，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，其中.定義：在維空間中兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為.在維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則.【答案】【解析】對(duì)于維坐標(biāo)，其中.即有兩種選擇，故共有種選擇，即維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)頂點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在坐標(biāo)與中有個(gè)坐標(biāo)值不同，即有個(gè)坐標(biāo)值滿足，剩下個(gè)坐標(biāo)值滿足，則滿足的個(gè)數(shù)為.所以.故分布列為：則.故答案為：.11．在每年的1月份到7月份，某品牌空調(diào)銷售商發(fā)現(xiàn)：“每月銷售量（單位：臺(tái)）”與“當(dāng)年的月份”線性相關(guān).根據(jù)統(tǒng)計(jì)得下表：月份123456銷量101931455568(1)根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)得，當(dāng)年的月份與銷量滿足回歸方程.請(qǐng)預(yù)測(cè)當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售多少臺(tái)？(2)該銷售商從當(dāng)年的前6個(gè)月中隨機(jī)選取2個(gè)月，記為銷量不低于前6個(gè)月的月平均銷量的月份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望【解析】（1）因?yàn)?，，又回歸直線過樣本中心點(diǎn)，所以，得，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售73臺(tái)；（2）因?yàn)?，所以銷量不低于前6個(gè)月的月平均銷量的月份數(shù)為，所以所以所以的分布列為：012故數(shù)學(xué)期望12．袋中有大小完全相同的7個(gè)白球，3個(gè)黑球.(1)若甲一次性抽取4個(gè)球，求甲至少抽到2個(gè)黑球的概率；(2)若乙共抽取4次，每次抽取1個(gè)球，記錄好球的顏色后再放回袋子中，等待下次抽取，且規(guī)定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）由題意知，袋中有大小完全相同的7個(gè)白球，3個(gè)黑球則甲一次性抽取4個(gè)球，求甲至少抽到2個(gè)黑球的概率為.（2）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為，其中，每次抽到白球的概率為，抽到黑球的概率為，設(shè)4次取球取得的黑球數(shù)為，則的可能取值為，則，所以；；；；，則變量的分布列為：4050607080所以期望為.題型五：離散型隨機(jī)變量的方差13．（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）已知隨機(jī)變量的方差，則隨機(jī)變量的方差【答案】【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量的方差，隨機(jī)變量，所以故答案為：14．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，滿足，則.【答案】8【解析】易知.故答案為：8.15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、幫助家長(zhǎng)解決接送學(xué)生困難的重要舉措是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)方案的支持情況，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表:男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差與的大小.【解析】（1）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件.則，則的可能取值為.所以，，，所以的分布列為:012所以.（2）依題意可得，所以,即.題型六：決策問題16．某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，在購(gòu)買機(jī)器時(shí)，可以一次性額外購(gòu)買幾次維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費(fèi)用300元，另外，實(shí)際維修一次還需向維修人員支付小費(fèi)，小費(fèi)每次60元．在機(jī)器使用期間，如果維修次數(shù)超過購(gòu)機(jī)時(shí)購(gòu)買的維修服務(wù)次數(shù)，則每維修一次需支付維修費(fèi)用720元，無需支付小費(fèi)．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)一次性購(gòu)買幾次維修服務(wù)，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，每臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)可能是4次，5次或6次，其概率分別是，，．記X表示2臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器時(shí)，一次性購(gòu)買的維修服務(wù)次數(shù)．(1)求X的分布列；(2)以機(jī)器維修所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在和之中選取其一，應(yīng)選用哪個(gè)？【解析】（1）X的取值為8，9，10，11，12．

．

．．．．所以X的分布列為X89101112P（2）法1：當(dāng)時(shí)，設(shè)為機(jī)器維修所需費(fèi)用，則的分布列為31803240396046805400P于是．當(dāng)時(shí)，設(shè)為機(jī)器維修所需費(fèi)用，則的分布列為34803540360043205040P于是，因?yàn)?645<3670，所以應(yīng)選用．法2：當(dāng)時(shí)，機(jī)器維修所需費(fèi)用的期望值為，當(dāng)時(shí)，機(jī)器維修所需費(fèi)用的期望值為．因?yàn)椋詰?yīng)選用．17．（2024·四川瀘州·二模）強(qiáng)基計(jì)劃?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為；該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為，，m，其中．(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時(shí)，求m的取值范圍．【解析】（1）設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件，該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件，根據(jù)題意可得，.（2）設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)通過的科目數(shù)為X，報(bào)考乙大學(xué)通過的科目數(shù)為，根據(jù)題意可知，，則，，，，，則隨機(jī)變量的分布列為Y0123P，若，則，故，即的取值范圍是.18．（2024·河南鄭州·三模）據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立．若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中．(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍．【解析】（1）設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好有一門筆試科目?jī)?yōu)秀為事件，則；該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好有一門筆試科目?jī)?yōu)秀為事件，則．（2）該考生報(bào)考甲大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，依題意，，則，該同學(xué)報(bào)考乙大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，隨機(jī)變量的可能取值為：0，1，2，3．，，，隨機(jī)變量的分布列：0123，因?yàn)樵摽忌ＭM(jìn)入甲大學(xué)的面試，則，即，解得，所以的范圍為：.1．（2024·高三·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為，隨機(jī)變量取值的概率也均為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，故，故A、B錯(cuò)誤；設(shè)，則，同理：，由，，故，同理，則有，即，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：C.2．已知某工廠生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，質(zhì)量指標(biāo)大于或等于20的產(chǎn)品為優(yōu)等品，且優(yōu)等品出現(xiàn)的概率為，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6件，用表示這6件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)不在區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，則（

）A．0.96 B．0.48 C．1.2 D．2.4【答案】A【解析】由正態(tài)分布的性質(zhì)得質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間的概率為，則1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)不在區(qū)間的概率為，所以，故.故選：A.3．為迎接中秋佳節(jié)，某公司開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在不透明的容器中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，每位員工從中摸出2個(gè)小球.若摸到一紅球一白球，可獲得價(jià)值百元代金券；摸到兩白球，可獲得價(jià)值百元代金券；摸到兩紅球，可獲得價(jià)值百元代金券（均為整數(shù)）.已知每位員工平均可得5.4百元代金券，則運(yùn)氣最好者獲得至多（

）百元代金券A．5.4 B．9 C．12 D．18【答案】D【解析】若摸到一紅球一白球的概率，若摸到2白球的概率，若摸到2紅球的概率，設(shè)可獲得百元代金券為變量分布列如下，ababP,手氣最好者獲得百元代金券即，，則，當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.估計(jì)手氣最好者至多獲得18個(gè)百元代金券.故選：D.4．（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）在備戰(zhàn)巴黎奧運(yùn)會(huì)期間，教練組舉辦羽毛球訓(xùn)練比賽，派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩名主力的能力，教練安排了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與陪練打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān)．已知甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨(dú)立．記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為

（

）A．32 B．31 C．28 D．27【答案】D【解析】由題可知每一輪過關(guān)的概率:，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故．因?yàn)椋?，則.故選：D.5．若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，且，則表中a的值為（

）X4a9P0.50.1bA． B．7 C．5.61 D．6.61【答案】B【解析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)，可得，解得，又由，解得.故選：B.6．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（

）123A． B． C． D．【答案】C【解析】由分布列可得，解得，則，所以.故選：C．7．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）有甲、乙兩個(gè)不透明的袋子，甲袋子里有1個(gè)白球，乙袋子里有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨機(jī)取出個(gè)球放入甲袋子里，再?gòu)募状永镫S機(jī)取出一個(gè)球，記取到的白球的個(gè)數(shù)為，則當(dāng)變大時(shí)（

）A．變小 B．先變小再變大C．變大 D．先變大再變小【答案】A【解析】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布，則．故從甲盒子里隨機(jī)取一球，相當(dāng)于從含有個(gè)白球的個(gè)球中取一球，取到白球的個(gè)數(shù)為，易知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，故，所以，隨著的增加，減小.故選：A8．已知隨機(jī)變量的分布列為abPba則下列說法不正確的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】由題意，a，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確；對(duì)于B，一方面，另一方面，所以，所以B正確；對(duì)于C，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得，滿足條件的a，b存在，所以D正確．故選：C.9．（多選題）離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示，是非零實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（

）20242025A． B．服從兩點(diǎn)分布C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A中，由分布列的性質(zhì)，則滿足，所以A正確；對(duì)于B中，根據(jù)二點(diǎn)分布知，隨機(jī)變量的取值為和，所以B不正確；對(duì)于C中，由期望的公式，可得，因?yàn)?，所以，即，所以C正確；對(duì)于D中，由方差的公式，可得，即，所以D正確.故選：ACD.10．（多選題）（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）某電子展廳為了吸引流量，舉辦了一場(chǎng)電子競(jìng)技比賽，甲、乙兩人入圍決賽，決賽采用局勝的賽制，其中，即先贏局者獲得最終冠軍，比賽結(jié)束.已知甲每局比賽獲勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則（

）A．若，，則甲最終獲勝的概率為B．若，，記決賽進(jìn)行了局，則C．若，，記決賽進(jìn)行了局，則D．若比時(shí)對(duì)甲更有利，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以甲獲勝的概率為，A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，，由已知的取值有，，，所以，所以，B正確.對(duì)于C，因?yàn)?，，又的可能取值有，所以，，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，甲獲勝的概率為，當(dāng)時(shí)，甲獲勝的概率為，若比時(shí)對(duì)甲更有利，則，所以，所以，又，所以，D正確；故選：ABD.11．（多選題）一個(gè)課外興趣小組共有5名成員，其中有3名女性成員，2名男性成員，現(xiàn)從中隨機(jī)選取3名成員進(jìn)行學(xué)習(xí)匯報(bào)，記選出女性成員的人數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】女性成員人數(shù)X的可能值為，則，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ACD12．（多選題）已知隨機(jī)變量X，Y，其中，已知隨機(jī)變量X的分布列如下表X12345pmn若，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由可得：①，又因?yàn)?，故C正確.所以，則②，所以由①②可得：，故A正確，B錯(cuò)誤；,，故D錯(cuò)誤.故選：AC.13．已知隨機(jī)變量的分布列為01若，且，則．【答案】【解析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得，解得，，，，，，．故答案為：.14．盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，以X表示取到白球的個(gè)數(shù)，η表示取到黑球的個(gè)數(shù)．給出下列各項(xiàng)：①；②；③;④．其中正確的是．（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【解析】由題意可知X服從超幾何分布，也服從超幾何分布，．又X的分布列為X012P，．的分布列為123P，．，∴①②④正確.故答案為：①②④.15．已知隨機(jī)變量X的分布為123則的最大值為．【答案】6【解析】，只需求的最大值即可，根據(jù)題意：，，，所以，當(dāng)時(shí)，其最大值為，故的最大值為．故答案為：6．16．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)表示擲出的點(diǎn)數(shù)，則.【答案】/【解析】由已知隨機(jī)變量X的取值有1,2,3,4,5,6，，，，，，，∴隨機(jī)變量X的分布列為：X123456P∴隨機(jī)變量X的期望，∴.故答案為：.17．一個(gè)袋子里裝有除顏色以外完全相同的白球和黑球共10個(gè)，其中白球有4個(gè)，黑球有6個(gè).(1)若有放回地從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，求恰好摸到2個(gè)黑球的概率；(2)若不放回地從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，用表示摸出的黑球個(gè)數(shù)，求的分布列和期望與方差.【解析】（1）摸出黑球的概率是，則有放回地從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，恰好摸到2個(gè)黑球的概率為；（2）的可能取值為0，1，2，則，，，的分布列為：012P期望為，方差為18．（2024·甘肅張掖·三模）春節(jié)期間電影院上映5部影片：賀歲片有《第20條》，《飛馳人生》和《熱辣滾燙》，往期電影《滿江紅》，《流浪地球2》.媽媽有4張電影票給了姐姐和弟弟每人2張，讓他們自己選擇看哪2部電影.(1)求姐姐恰好看了2部賀歲片的概率；(2)求姐弟兩人觀看賀歲片的部數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）設(shè)事件:姐姐恰好看了2部賀歲片.則，所以姐姐恰好看了2部賀歲片的概率為.（2）設(shè)表示姐姐看了部賀歲片.表示弟弟看了部賀歲片.則知.知.，.隨機(jī)變量表示姐弟二人觀看賀歲片的總數(shù)的取值有0，1，2，3，4.，，，，.從而隨機(jī)變量的分布列為：01234所以的數(shù)學(xué)期望.即姐弟2人觀看賀歲片的部數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2.4.19．北京冬奧會(huì)過后，迎來了一股滑雪運(yùn)動(dòng)的熱潮，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過免費(fèi)，超過的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足的部分按計(jì)算）．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過離開的概率分別為，；以上且不超過離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3h．設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與均值、方差．【解析】甲、乙兩人以上且不超過離開的概率分別為，．的所有可能取值為0，40，80，120，160，則，，，，．所以的分布列為04080120160．.20．某市，兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加信息聯(lián)賽，中學(xué)推薦了3名男生、2名女生.中學(xué)推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)參賽.(1)求中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)設(shè)表示中學(xué)參賽的男生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知3名男生的比賽成績(jī)分別為76，80，84，3名女生的比賽成績(jī)分別為77，，81，若3名男生的比賽成績(jī)的方差大于3名女生的比賽成績(jī)的方差，寫出的取值范圍（不要求過程）.【解析】（1）由題意知，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全部從B中學(xué)中抽?。ǖ葍r(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì)）的概率為.因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為.（2）根據(jù)題意得，X的可能取值為0，1，2，3.則，，所以X的分布列為：X0123P因此，X的數(shù)學(xué)期望.（3）3名男生的比賽成績(jī)分別為76，80，84，平均值為80，方差為，3名女生的比賽成績(jī)?yōu)?7，，81，平均值為，所以，即，代入檢驗(yàn)，可知最小為74，最大，故，即的取值范圍.1．（2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大.方法2：則故選D.2．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（浙江卷））設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】D【解析】，，，∴先增后減，因此選D.3．（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則；．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機(jī)變量，，，所以.故答案為：.4．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（上海卷））賭博有陷阱．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有，，，，的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的倍作為其獎(jiǎng)金（單位：元）．若隨機(jī)變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則（元）．【答案】【解析】賭金的分布列為12345P所以獎(jiǎng)金的分布列為9．410．811．212．6P所以考點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望5．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（浙江卷））隨機(jī)變量的取值為0,1,2，若，，則.【答案】【解析】設(shè)時(shí)的概率為，則，解得，故考點(diǎn)：方差.6．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。ńY(jié)論不要求證明）【解析】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，故（萬元），從而.7．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？【解析】（1）甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績(jī)不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為，，，，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因?yàn)椋瑒t，，則，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.8．