2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章第02講排列、組合(十九大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第02講排列、組合目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算 2題型二：直接法 2題型三：間接法 3題型四：捆綁法 4題型五：插空法 4題型六：定序問(wèn)題（先選后排） 5題型七：列舉法 6題型八：多面手問(wèn)題 6題型九：錯(cuò)位排列 6題型十：涂色問(wèn)題 7題型十一：分組問(wèn)題 7題型十二：分配問(wèn)題 8題型十三：隔板法 9題型十四：數(shù)字排列 9題型十五：幾何問(wèn)題 9題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題 10題型十七：排隊(duì)問(wèn)題 11題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型 11題型十九：環(huán)排問(wèn)題 1202重難創(chuàng)新練 1203真題實(shí)戰(zhàn)練 15題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算1．已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．122．已知，則（

）A．11 B．12 C．13 D．143．下列等式不正確的是（

）A． B．C． D．題型二：直接法4．沈陽(yáng)二中24屆籃球賽正如火如荼地進(jìn)行中，全年級(jí)共20個(gè)班，每四個(gè)班一組，如1—4班為一組，5—8班為二組……進(jìn)行單循環(huán)小組賽（沒(méi)有并列），勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽，最后勝出的三個(gè)班級(jí)再進(jìn)行單循環(huán)賽，按積分的高低（假設(shè)沒(méi)有并列）決出最終的冠亞季軍，請(qǐng)問(wèn)此次籃球賽學(xué)校共舉辦了多少場(chǎng)比賽？（

）A．51 B．42 C．39 D．365．在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（

）A． B． C． D．6．（2024·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年9月3日貴陽(yáng)市新冠疫情暴發(fā)以來(lái)，某住宿制中學(xué)為做好疫情防控工作，組織6名教師組成志愿者小組，分配到高中三個(gè)年級(jí)教學(xué)樓樓門(mén)口配合醫(yī)生給學(xué)生做核酸.由于高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)較多，要求高三教學(xué)樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學(xué)樓志愿者人數(shù)，若每棟教學(xué)樓門(mén)至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個(gè)樓門(mén)進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．240 B．150 C．690 D．1807．（多選題）2022年在全世界范圍內(nèi)，氣溫升高是十分顯著的，世界氣象組織預(yù)測(cè)2022年到2026年間，有93%的概率平均氣溫會(huì)超過(guò)2016年，達(dá)到歷史上最高氣溫紀(jì)錄．某校環(huán)保興趣小組準(zhǔn)備開(kāi)展一次關(guān)于全球變暖的研討會(huì)，現(xiàn)有10名學(xué)生，其中5名男生5名女生，若從中選取4名學(xué)生參加研討會(huì)，則（

）A．選取的4名學(xué)生都是女生的不同選法共有5種B．選取的4名學(xué)生中恰有2名女生的不同選法共有400種C．選取的4名學(xué)生中至少有1名女生的不同選法共有420種D．選取的4名學(xué)生中至多有2名男生的不同選法共有155種8．（多選題）新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，所有考生必考：“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若任意選科，選法總數(shù)為B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為C．若政治和地理至多選一門(mén)，選法總數(shù)為D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門(mén)，選法總數(shù)為題型三：間接法9．中園古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂(lè)”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種10．中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng)，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂(lè)”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．480種 B．336種 C．144種 D．96種11．紅五月，某校團(tuán)委決定舉辦慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢(mèng)想”聯(lián)歡會(huì)，經(jīng)過(guò)初賽，共有6個(gè)節(jié)目進(jìn)入決賽，其中2個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目，1個(gè)朗誦類節(jié)目，1個(gè)戲曲類節(jié)目．演出時(shí)要求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（

）A． B． C． D．12．2022年6月17日，我國(guó)第三艘航母“福建艦”正式下水．現(xiàn)要給“福建艦”進(jìn)行航母編隊(duì)配置科學(xué)試驗(yàn)，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（

）A．72 B．324 C．648 D．1296題型四：捆綁法13．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．240 B．120 C．96 D．6014．（2024·高三·廣東·開(kāi)學(xué)考試）從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學(xué)一個(gè)寢室6位同學(xué)慕名而來(lái)，游覽結(jié)束后，在門(mén)前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．60種15．某平臺(tái)設(shè)有“人物”“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”等多個(gè)欄目．假設(shè)在這些欄目中，某時(shí)段“人物”更新了2篇文章，“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”更新了4個(gè)視頻．一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備從更新的這6項(xiàng)內(nèi)容中隨機(jī)選取3個(gè)視頻和2篇文章進(jìn)行學(xué)習(xí)，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序相鄰的學(xué)法有（

）A．192種 B．168種 C．72種 D．144種16．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機(jī)器人自動(dòng)泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問(wèn)題．現(xiàn)有3輛車停放在7個(gè)并排的泊車位上，要求4個(gè)空位必須相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有（）種．A．16 B．18 C．24 D．3217．（2024·江西九江·三模）考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結(jié)果是同樣的數(shù)字，只是調(diào)換了位置.若將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．144題型五：插空法18．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）一個(gè)小型聯(lián)歡會(huì)要安排1個(gè)詩(shī)詞朗誦類節(jié)目，2個(gè)獨(dú)唱類節(jié)目，2個(gè)歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種19．一場(chǎng)文藝匯演中共有2個(gè)小品節(jié)目?2個(gè)歌唱類節(jié)目和3個(gè)舞蹈類節(jié)目，若要求2個(gè)小品類節(jié)目演出順序不相鄰且不在第一個(gè)表演，則不同的演出順序共有（

）A．480種 B．1200種 C．2400種 D．5040種20．某班畢業(yè)晚會(huì)有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單.其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰，這樣的節(jié)目單有（

）種A．36 B．40 C．32 D．4221．（2024·江西新余·二模）兩個(gè)大人和4個(gè)小孩站成一排合影，若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，則不同的站法有（

）種.A．240 B．360 C．420 D．480題型六：定序問(wèn)題（先選后排）22．某次數(shù)學(xué)獲獎(jiǎng)的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相，后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)，則共有多少種站法（

）A．36 B．90 C．360 D．72023．由高矮不同的3名女生和4名男生站成一排，要求女生按從高到低的順序排列，則不同的排列方法有（

）A．720 B．840 C．1120 D．144024．元宵節(jié)燈展后，懸掛有8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有（

）．A．32種 B．70種 C．90種 D．280種25．貼春聯(lián)、掛紅燈籠是我國(guó)春節(jié)的傳統(tǒng)習(xí)俗.現(xiàn)準(zhǔn)備在大門(mén)的兩側(cè)各掛四盞一樣的紅燈籠，從上往下掛，可以一側(cè)掛好后再掛另一側(cè)，也可以兩側(cè)交叉著掛，則掛紅燈籠的不同方法數(shù)為（

）A． B． C． D．26．如圖所示，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是A．6 B．10 C．12 D．24題型七：列舉法27．定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1006，2023”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A．20 B．56 C．84 D．12028．設(shè)，，，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為（

）A．45 B．46 C．47 D．4829．將一個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字順序顛倒，將所得到的數(shù)與原數(shù)相加，若和中沒(méi)有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)為“奇和數(shù)”.那么，所有的三位數(shù)中，奇和數(shù)有（

）個(gè).A．100 B．120 C．160 D．200題型八：多面手問(wèn)題30．在名工人中,有人只當(dāng)鉗工,人只當(dāng)車工,另外人既會(huì)鉗工又會(huì)車工，現(xiàn)從人中選出人當(dāng)鉗工,人當(dāng)車工,則共有（

）種不同的選法.A． B． C． D．31．某公園有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，現(xiàn)有3個(gè)大人和2個(gè)小孩打算同時(shí)分乘若干只小船，規(guī)定有小孩的船必須有大人，共有不同的乘船方法為A．36種 B．33種 C．27種 D．21種32．有6名學(xué)生，其中有3名會(huì)唱歌，2名會(huì)跳舞，1名既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，現(xiàn)從中選出2名會(huì)唱歌的，1名會(huì)跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數(shù)為A．18 B．15 C．16 D．2533．我校去年11月份，高二年級(jí)有9人參加了赴日本交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法題型九：錯(cuò)位排列34．若5個(gè)人各寫(xiě)一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫(xiě)的卡片的方法數(shù)有（

）A．20 B．90 C．15 D．4535．5個(gè)人站成一列，重新站隊(duì)時(shí)各人都不站在原來(lái)的位置上，共有種不同的站法（

）A．42 B．44 C．46 D．4836．若5個(gè)人按原來(lái)站的位置重新站成一排，恰有1個(gè)人站在自己原來(lái)的位置，則不同的站法共有（

）A．45種 B．40種 C．55種 D．60種37．若4個(gè)人按原來(lái)站的位置重新站成一排，恰有一個(gè)人站在自己原來(lái)的位置，則共有（

）種不同的站法.A．4 B．8 C．12 D．24題型十：涂色問(wèn)題38．（2024·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個(gè)等腰直角三角形?一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.39．用4種不同顏色給一個(gè)正四面體涂色，每個(gè)面涂一種顏色，4個(gè)顏色都要用到，共有種涂色的方法．40．（2024·高三·安徽合肥·期末）如圖所示的按照下列要求涂色，若恰好用3種不同顏色給個(gè)區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有種不同的涂色方案？41．有三種不同顏色供選擇，給圖中六個(gè)格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有種不同的涂色方案.題型十一：分組問(wèn)題42．按下列要求分配6本不同的書(shū),各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.43．將4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的不同小球全部放入4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)不同盒子中.求：(1)每個(gè)盒至少一個(gè)球，有多少種不同的放法？(2)恰好有一個(gè)空盒，有多少種不同的放法？(3)每盒放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種不同的放法？(4)把已知中4個(gè)不同的小球換成四個(gè)完全相同的小球（無(wú)編號(hào)），其余條件不變，恰有一個(gè)空盒，有多少種不同的放法？44．設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)球和編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子，現(xiàn)將這5個(gè)球放入5個(gè)盒子內(nèi)．(1)只有1個(gè)盒子空著，共有多少種投放方法？(2)沒(méi)有1個(gè)盒子空著，但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同，有多少種投放方法？(3)每個(gè)盒子內(nèi)投放1球，并且至少有2個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，有多少種投放方法？題型十二：分配問(wèn)題45．（2024·安徽·一模）樹(shù)人學(xué)校開(kāi)展學(xué)雷鋒主題活動(dòng)，某班級(jí)5名女生和2名男生，分配成兩個(gè)小組去兩地參加志愿者活動(dòng)，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（

）A．20種 B．40種 C．60種 D．80種46．（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種47．將5本不同的書(shū)分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書(shū)的不同分配方式共有（

）種.A． B． C． D．48．（2024·高三·山西·開(kāi)學(xué)考試）基礎(chǔ)學(xué)科對(duì)于一個(gè)國(guó)家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競(jìng)爭(zhēng)力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵．其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門(mén)選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門(mén)，至少選一門(mén)，且已選過(guò)的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門(mén)選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（）．A．種 B．種 C．種 D．種題型十三：隔板法49．現(xiàn)有6個(gè)三好學(xué)生名額，計(jì)劃分到三個(gè)班級(jí)，則恰有兩個(gè)班分到三好學(xué)生名額的概率為.50．以表示把件相同的物件分給個(gè)人的不同方法數(shù)，則.51．已知集合，則A中的元素的個(gè)數(shù)為.52．各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（請(qǐng)用數(shù)字作答）．題型十四：數(shù)字排列53．（2024·上?！と＃┯?~9這九個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有個(gè)54．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）各位數(shù)字之積為8的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.55．（2024·河北石家莊·二模）各位數(shù)字之和為的三位正整數(shù)的個(gè)數(shù)為.題型十五：幾何問(wèn)題56．若一個(gè)正方體繞著某直線旋轉(zhuǎn)不到一周后能與自身重合，那么這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．57．正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，選取4個(gè)共面的頂點(diǎn)，有種不同選法58．以三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)共可組成________個(gè)不同的三棱錐？59．在如圖所示的的方格紙上（每個(gè)小方格均為正方形），共有個(gè)矩形、個(gè)正方形．題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題60．某小區(qū)的道路網(wǎng)如圖所示，則由A到C的最短路徑中，經(jīng)過(guò)B的走法有（

）A．6種 B．8種C．9種 D．10種61．如圖為的網(wǎng)格圖，甲、乙兩人均從出發(fā)去地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到達(dá)任何一個(gè)位置（網(wǎng)格交點(diǎn)處）時(shí)向右走過(guò)的格數(shù)不少于向上走過(guò)的格數(shù)，記甲、乙兩人所走路徑的條數(shù)分別為、，則的值為（

）A． B． C． D．62．（多選題）在某城市中，A，B兩地之間有如圖所示的道路網(wǎng)．甲隨機(jī)沿路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從A地出發(fā)去往B地．下列結(jié)論正確的有（

）A．不同的路徑共有31條B．不同的路徑共有61條C．若甲途經(jīng)C地，則不同的路徑共有18條D．若甲途經(jīng)C地，且不經(jīng)過(guò)D地，則不同的路徑共有9條63．5400的正約數(shù)有______個(gè)題型十七：排隊(duì)問(wèn)題64．隨著北京冬殘奧會(huì)的開(kāi)幕，吉祥物“雪容融”火遍國(guó)內(nèi)外，現(xiàn)有3個(gè)完全相同的“雪容融”，甲?乙?丙3位運(yùn)動(dòng)員要與這3個(gè)“雪容融”站成一排拍照留念，則有且只有2個(gè)“雪容融”相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為．65．某醫(yī)院對(duì)9個(gè)人進(jìn)行核酸檢測(cè)，為了防止排隊(duì)密集，將9人分成兩組，第一組5人，排隊(duì)等候，由于甲、乙兩人不熟悉流程，故無(wú)論在哪一組，排隊(duì)都不在第一位，則第一組的不同排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）66．甲、乙、丙三人相約一起去做核酸檢測(cè)，到達(dá)檢測(cè)點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)有兩支正在等待檢測(cè)的隊(duì)伍，則甲、乙、丙三人不同的排隊(duì)方案共有種.67．（2024·四川廣元·三模）有名男生、名女生排隊(duì)照相，個(gè)人排成一排．①如果名男生必須連排在一起，那么有種不同排法；②如果名女生按確定的某種順序，那么有種不同的排法；③如果女生不能站在兩端，那么有種不同排法；④如果名女生中任何兩名不能排在一起，那么有種不同排法；則以上說(shuō)法正確的有．68．有七名同學(xué)排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測(cè)，其中小王站在正中間，并且小李?小張兩位同學(xué)要站在一起，則不同的排隊(duì)法有種.題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型69．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）從1，2，3，…，15中選取三個(gè)不同的數(shù)組成三元數(shù)組，且滿足，，則這樣的數(shù)組共有______個(gè).（用數(shù)字作答）70．（2024·上海長(zhǎng)寧·高三海市延安中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）從集合中選出4個(gè)數(shù)組成的子集，使得這4個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11，則這樣的子集個(gè)數(shù)是________.71．16名社區(qū)志愿者組成4行4列的方陣，現(xiàn)從中選出2人，要求他們既不在同一行又不在同一列，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_____________.72．個(gè)人排成一個(gè)n行，n列的方陣，現(xiàn)要從中選出n個(gè)代表，要使得每一行，每一列都有代表，則有___________種不同的選法.73．某活動(dòng)中，有42人排成6行7列，現(xiàn)從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)____（用數(shù)字作答）．題型十九：環(huán)排問(wèn)題74．8人圍桌而坐，共有______種坐法.75．5個(gè)女孩與6個(gè)男孩圍成一圈，任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．76．10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數(shù)為_(kāi)_________77．4個(gè)人圍坐在如圖所示的8張椅子中的4張椅子上聚餐，其中甲、乙兩人不能相對(duì)（如1與8叫做相對(duì)）而坐，共有__________種不同的坐法(用數(shù)字作答)1．將6棵高度不同的景觀樹(shù)種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀樹(shù)都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（

）A．20種 B．40種 C．80種 D．160種2．（2024·高三·重慶涪陵·開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無(wú)并列情況).甲、乙、丙去詢問(wèn)成績(jī).老師對(duì)甲說(shuō)：“你不是最差的.”對(duì)乙說(shuō)：“很遺憾，你和甲都沒(méi)有得到冠軍.”對(duì)丙說(shuō)：“你不是第2名.”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．543．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（

）種.A． B． C． D．4．下列命題不正確的是（

）A．正十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)是54；B．身高各不相同的六位同學(xué)，三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法；C．有5個(gè)元素的集合的子集共有32個(gè)；D．6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加晚會(huì)（至少一人參加），其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去，要么都不去，共有32種去法.5．（2024·高三·海南省直轄縣級(jí)單位·開(kāi)學(xué)考試）小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（

）A．144 B．72 C．36 D．246．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）甲乙等6名數(shù)學(xué)競(jìng)賽國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)隊(duì)員站成一排合影，若甲乙兩名同學(xué)中間恰有1人，則不同的站法數(shù)為（

）A．144 B．192 C．360 D．4807．（2024·高三·廣東深圳·開(kāi)學(xué)考試）三名籃球運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙進(jìn)行傳球訓(xùn)練（不能傳給自己），由丙開(kāi)始傳，經(jīng)過(guò)5次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．10種 C．11種 D．12種8．北京時(shí)間2023年10月26日19時(shí)34分，神舟十六號(hào)航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開(kāi)“家門(mén)”，歡迎遠(yuǎn)道而來(lái)的神舟十七號(hào)航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國(guó)人民報(bào)平安．若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（

）A．144種 B．204種 C．156種 D．240種9．（多選題）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊這5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，且每人只安排一個(gè)工作，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不同安排方案的種數(shù)為B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C．若司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為D．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲不能從事司機(jī)工作，則不同安排方案的種數(shù)為10．（多選題）定義“圓排列”：從n個(gè)不同元素中選m個(gè)元素圍成一個(gè)圓形，稱為圓排列，所有圓排列的方法數(shù)計(jì)為.圓排列是排列的一種，區(qū)別于通常的“直線排列”，既無(wú)“頭”也無(wú)“尾”，所以.現(xiàn)有2個(gè)女生4個(gè)男生共6名同學(xué)圍坐成一圈，做擊鼓傳花的游戲，則（

）A．共有種排法 B．若兩名女生相鄰，則有種排法C．若兩名女生不相鄰，共有種排法 D．若男生甲位置固定，則有種排法11．（多選題）臨沂動(dòng)植物園舉行花卉展覽，某花卉種植園有2種蘭花，2種三角梅共4種精品花卉，其中“綠水晶”是培育的蘭花新品種，4種精品花卉將全部去展館參展，每種只能去一個(gè)展館，每個(gè)展館至少有1種花卉參展，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若展館需要3種花卉，有4種安排方法1．（2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．172802．（2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)試題（海南卷））要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種3．（2020年新高考全國(guó)卷Ⅰ數(shù)學(xué)試題（山東卷））6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種4．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（

）A．5 B．8 C．10 D．155．（2002年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（蘇豫粵））從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（

）.A．20種 B．16種 C．12種 D．8種6．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．7．（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)集合中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．8．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類選修課和4門(mén)藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．9．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ））4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.10．（2003年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（遼寧卷））某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.（用數(shù)字作答）第02講排列、組合目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算 2題型二：直接法 3題型三：間接法 5題型四：捆綁法 6題型五：插空法 8題型六：定序問(wèn)題（先選后排） 9題型七：列舉法 10題型八：多面手問(wèn)題 12題型九：錯(cuò)位排列 13題型十：涂色問(wèn)題 14題型十一：分組問(wèn)題 16題型十二：分配問(wèn)題 18題型十三：隔板法 19題型十四：數(shù)字排列 20題型十五：幾何問(wèn)題 21題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題 23題型十七：排隊(duì)問(wèn)題 25題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型 26題型十九：環(huán)排問(wèn)題 2702重難創(chuàng)新練 2903真題實(shí)戰(zhàn)練 36題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算1．已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【答案】C【解析】由題意得，化簡(jiǎn)可得，解得或6，因?yàn)?，所以且，?2．已知，則（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t，整理可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．3．下列等式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A錯(cuò)誤；，C正確；，B正確；，D正確.題型二：直接法4．沈陽(yáng)二中24屆籃球賽正如火如荼地進(jìn)行中，全年級(jí)共20個(gè)班，每四個(gè)班一組，如1—4班為一組，5—8班為二組……進(jìn)行單循環(huán)小組賽（沒(méi)有并列），勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽，最后勝出的三個(gè)班級(jí)再進(jìn)行單循環(huán)賽，按積分的高低（假設(shè)沒(méi)有并列）決出最終的冠亞季軍，請(qǐng)問(wèn)此次籃球賽學(xué)校共舉辦了多少場(chǎng)比賽？（

）A．51 B．42 C．39 D．36【答案】B【解析】先進(jìn)行單循環(huán)賽，有場(chǎng)，勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽，6支球隊(duì)打3場(chǎng)，決出最后勝出的三個(gè)班，最后3個(gè)班再進(jìn)行單循環(huán)賽，由場(chǎng).所以共打了場(chǎng).故選：D.5．在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在50件產(chǎn)品中含有3件次品,所以有47件不是次品,任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有.故選:A.6．（2024·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年9月3日貴陽(yáng)市新冠疫情暴發(fā)以來(lái)，某住宿制中學(xué)為做好疫情防控工作，組織6名教師組成志愿者小組，分配到高中三個(gè)年級(jí)教學(xué)樓樓門(mén)口配合醫(yī)生給學(xué)生做核酸.由于高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)較多，要求高三教學(xué)樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學(xué)樓志愿者人數(shù)，若每棟教學(xué)樓門(mén)至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個(gè)樓門(mén)進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．240 B．150 C．690 D．180【答案】C【解析】第一種：當(dāng)高三的志愿者有3人時(shí)，其他兩個(gè)年級(jí)有1個(gè)年級(jí)1人，有1個(gè)年級(jí)2人，則有種；第二種：當(dāng)高三的志愿者有2人時(shí)，其他兩個(gè)年級(jí)也分別有2人，則有種；第三種：當(dāng)高三的志愿者有4人時(shí)，其他兩個(gè)年級(jí)分別有1人，則有種，所以不同的分配方法有：種，7．（多選題）2022年在全世界范圍內(nèi)，氣溫升高是十分顯著的，世界氣象組織預(yù)測(cè)2022年到2026年間，有93%的概率平均氣溫會(huì)超過(guò)2016年，達(dá)到歷史上最高氣溫紀(jì)錄．某校環(huán)保興趣小組準(zhǔn)備開(kāi)展一次關(guān)于全球變暖的研討會(huì)，現(xiàn)有10名學(xué)生，其中5名男生5名女生，若從中選取4名學(xué)生參加研討會(huì)，則（

）A．選取的4名學(xué)生都是女生的不同選法共有5種B．選取的4名學(xué)生中恰有2名女生的不同選法共有400種C．選取的4名學(xué)生中至少有1名女生的不同選法共有420種D．選取的4名學(xué)生中至多有2名男生的不同選法共有155種【答案】CD【解析】選取的4名學(xué)生都是女生的不同選法共有種，故A正確；恰有2名女生的不同選法共有種，故B錯(cuò)誤；至少有1名女生的不同選法共有種，故C錯(cuò)誤；選取的4名學(xué)生中至多有2名男生的不同選法共有種，故D正確.故選：AD．8．（多選題）新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，所有考生必考：“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若任意選科，選法總數(shù)為B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為C．若政治和地理至多選一門(mén)，選法總數(shù)為D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門(mén)，選法總數(shù)為【答案】CBC【解析】對(duì)選項(xiàng)A：若任意選科，選法總數(shù)為，正確；對(duì)選項(xiàng)B：若化學(xué)必選，選法總數(shù)為，正確；對(duì)選項(xiàng)C：若政治和地理至多選一門(mén)，選政治或地理有種方法，政治地理都不選有種方法，故共有選法總數(shù)為，正確；對(duì)選項(xiàng)D：若物理必選，化學(xué)、生物選一門(mén)有種，化學(xué)、生物都選有1種方法，故共有選法總數(shù)為，D錯(cuò)誤.故選：ABC題型三：間接法9．中園古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂(lè)”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種【答案】C【解析】每周安排一次，共講六次的“六藝”講座活動(dòng)，“射”不在第一次的不同次序數(shù)為，其中“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂(lè)”兩次相鄰的不同次序數(shù)為，于是得，所以“六藝”講座不同的次序共有408種.故選：A10．中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng)，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂(lè)”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．480種 B．336種 C．144種 D．96種【答案】A【解析】依題意，“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)有：，“數(shù)”不在第一次也不在第六次時(shí)，“禮”和“樂(lè)”相鄰的不同次序數(shù)有：，所以所求“六藝”講座不同的次序數(shù)共有：.故選：B11．紅五月，某校團(tuán)委決定舉辦慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢(mèng)想”聯(lián)歡會(huì)，經(jīng)過(guò)初賽，共有6個(gè)節(jié)目進(jìn)入決賽，其中2個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目，1個(gè)朗誦類節(jié)目，1個(gè)戲曲類節(jié)目．演出時(shí)要求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所有演出方案有種，歌舞類相鄰有種，小品類相鄰有種，歌舞與小品均相鄰有種，所以總數(shù)有種.12．2022年6月17日，我國(guó)第三艘航母“福建艦”正式下水．現(xiàn)要給“福建艦”進(jìn)行航母編隊(duì)配置科學(xué)試驗(yàn)，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（

）A．72 B．324 C．648 D．1296【答案】B【解析】由題意，2艘攻擊型核潛艇一前一后，分配方案有種，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，任意分配有種，同側(cè)的是同種艦艇的分配方案有種，故符合題意要求的艦艇分配方案的方法數(shù)為,故選：D題型四：捆綁法13．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．240 B．120 C．96 D．60【答案】C【解析】將捆綁在一起，然后進(jìn)行全排列，故共有種排法.故選：A14．（2024·高三·廣東·開(kāi)學(xué)考試）從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學(xué)一個(gè)寢室6位同學(xué)慕名而來(lái)，游覽結(jié)束后，在門(mén)前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．60種【答案】C【解析】站在一起有種，將看成一個(gè)整體與進(jìn)行全排列，共有種，同時(shí)要求在的左邊，共有種．故選：.15．某平臺(tái)設(shè)有“人物”“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”等多個(gè)欄目．假設(shè)在這些欄目中，某時(shí)段“人物”更新了2篇文章，“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”更新了4個(gè)視頻．一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備從更新的這6項(xiàng)內(nèi)容中隨機(jī)選取3個(gè)視頻和2篇文章進(jìn)行學(xué)習(xí)，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序相鄰的學(xué)法有（

）A．192種 B．168種 C．72種 D．144種【答案】C【解析】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：第一步，先從4個(gè)視頻中選3個(gè)，有種方法；2篇文章全選，有種方法；第二步，2篇文章要相鄰，則可以先“捆綁”看成一個(gè)元素，內(nèi)部排列，有種方法；第三步，將“捆綁”元素與3個(gè)視頻進(jìn)行全排列，有種方法.故滿足題意的學(xué)法有種.16．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機(jī)器人自動(dòng)泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問(wèn)題．現(xiàn)有3輛車停放在7個(gè)并排的泊車位上，要求4個(gè)空位必須相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有（）種．A．16 B．18 C．24 D．32【答案】C【解析】從7個(gè)車位里選擇4個(gè)相鄰的車位，共有4種方式，停放的3個(gè)車輛，有種方式，則不同的泊車方案有種．17．（2024·江西九江·三模）考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結(jié)果是同樣的數(shù)字，只是調(diào)換了位置.若將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．144【答案】B【解析】第一步：將三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)整體，與三個(gè)奇數(shù)進(jìn)行全排列共種排法；第二步：將三個(gè)偶數(shù)進(jìn)行全排列共；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為.故選：D.題型五：插空法18．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）一個(gè)小型聯(lián)歡會(huì)要安排1個(gè)詩(shī)詞朗誦類節(jié)目，2個(gè)獨(dú)唱類節(jié)目，2個(gè)歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種【答案】A【解析】依題意五個(gè)節(jié)目全排列有種排法；若獨(dú)唱類節(jié)目相鄰，則有種排法；若歌舞類節(jié)目相鄰，則有種排法；若獨(dú)唱類節(jié)目相鄰且歌舞類節(jié)目也相鄰，則有種排法；綜上可得同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有種.故選：B19．一場(chǎng)文藝匯演中共有2個(gè)小品節(jié)目?2個(gè)歌唱類節(jié)目和3個(gè)舞蹈類節(jié)目，若要求2個(gè)小品類節(jié)目演出順序不相鄰且不在第一個(gè)表演，則不同的演出順序共有（

）A．480種 B．1200種 C．2400種 D．5040種【答案】C【解析】先排2個(gè)歌唱類節(jié)目和3個(gè)舞蹈類節(jié)目，共有種不同的演出順序；再排2個(gè)小品節(jié)目，共有種不同的演出順序.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有2400種不同的演出順序.20．某班畢業(yè)晚會(huì)有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單.其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰，這樣的節(jié)目單有（

）種A．36 B．40 C．32 D．42【答案】C【解析】將相聲，跳舞看成一個(gè)整體，與唱歌，雜技全排列共有種情況，3個(gè)節(jié)目有4個(gè)空，除去相聲旁邊的那個(gè)空，還剩3個(gè)空，小品選其一，有種，所以共有種排法.故選：A21．（2024·江西新余·二模）兩個(gè)大人和4個(gè)小孩站成一排合影，若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，則不同的站法有（

）種.A．240 B．360 C．420 D．480【答案】B【解析】若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，即兩個(gè)大人不相鄰，故共有種.故選：D.題型六：定序問(wèn)題（先選后排）22．某次數(shù)學(xué)獲獎(jiǎng)的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相，后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)，則共有多少種站法（

）A．36 B．90 C．360 D．720【答案】A【解析】6個(gè)高矮互不相同的人站成兩排，后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)的站法數(shù)為，故選：B23．由高矮不同的3名女生和4名男生站成一排，要求女生按從高到低的順序排列，則不同的排列方法有（

）A．720 B．840 C．1120 D．1440【答案】A【解析】由于女生按從高到低的順序排列，故只需將4名男生從7個(gè)位置中選取4個(gè)位置排好，即有種排列方法，故選：B.24．元宵節(jié)燈展后，懸掛有8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有（

）．A．32種 B．70種 C．90種 D．280種【答案】A【解析】因?yàn)槿魰r(shí)每次只能取一盞，所以每串燈必須先取下面的燈，即每串燈取下的順序確定，取下的方法有種．故選：B25．貼春聯(lián)、掛紅燈籠是我國(guó)春節(jié)的傳統(tǒng)習(xí)俗.現(xiàn)準(zhǔn)備在大門(mén)的兩側(cè)各掛四盞一樣的紅燈籠，從上往下掛，可以一側(cè)掛好后再掛另一側(cè)，也可以兩側(cè)交叉著掛，則掛紅燈籠的不同方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若盞燈籠任意掛，不同的掛法由種，又因?yàn)樽笥覂蛇叡K燈順序一定，故有種，故選：D26．如圖所示，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是A．6 B．10 C．12 D．24【答案】A【解析】將左邊的集裝箱從上往下分別記為1,2,3,右邊的集裝箱從上往下分別記為4,5.分兩種情況討論:若先取1,則有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6種情況;若先取4,則有45123,41235,41523,41253,共4種情況,故共有6+4=10種情況.題型七：列舉法27．定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1006，2023”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A．20 B．56 C．84 D．120【答案】C【解析】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù),所以按首位數(shù)字分別計(jì)算當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);則共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);故選:.28．設(shè)，，，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為（

）A．45 B．46 C．47 D．48【答案】C【解析】①當(dāng)時(shí)，，則，共1組；②當(dāng)時(shí)，，則，不同時(shí)為2，共組；③當(dāng)時(shí)，，則，為中任一元素，共組；④當(dāng)時(shí)，，則，不同時(shí)為0，共組．故滿足題意的有序數(shù)組共有47組．29．將一個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字順序顛倒，將所得到的數(shù)與原數(shù)相加，若和中沒(méi)有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)為“奇和數(shù)”.那么，所有的三位數(shù)中，奇和數(shù)有（

）個(gè).A．100 B．120 C．160 D．200【答案】C【解析】設(shè)三位奇和數(shù)百位、十位、各位上的數(shù)字分別為，，，則顛倒順序后的數(shù)與原數(shù)相加為．如果此數(shù)的每一位都為奇數(shù)，那么必為奇數(shù)，由于定為偶數(shù)，所以如果讓十位數(shù)為奇數(shù)，那么必須大于10．又當(dāng)時(shí)，百位上進(jìn)1，那么百位必為偶數(shù)，所以，則可取0，1，2，3，4．由于為奇數(shù)，且，所以滿足條件的有：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，9．當(dāng)時(shí)，，8．當(dāng)時(shí)，，7，9．當(dāng)時(shí)，，6，8．當(dāng)時(shí)，，5，7，9．當(dāng)時(shí)，，4，6，8．共有20種情況，由于可取0，1，2，3，4．故，共有100個(gè)三位奇和數(shù)．故選：A．題型八：多面手問(wèn)題30．在名工人中,有人只當(dāng)鉗工,人只當(dāng)車工,另外人既會(huì)鉗工又會(huì)車工，現(xiàn)從人中選出人當(dāng)鉗工,人當(dāng)車工,則共有（

）種不同的選法.A． B． C． D．【答案】B【解析】按即會(huì)鉗工又會(huì)車工的2人分類：2人都不選的情況有種，只選1人且當(dāng)鉗工的情況有種，只選1人且當(dāng)車工的情況有種，選2人其中1人鉗工1人車工的情況有種，選2人都當(dāng)鉗工的情況有種，選2人都當(dāng)車工的情況有種，由分類加法原理得選法有種.故選：D.31．某公園有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，現(xiàn)有3個(gè)大人和2個(gè)小孩打算同時(shí)分乘若干只小船，規(guī)定有小孩的船必須有大人，共有不同的乘船方法為A．36種 B．33種 C．27種 D．21種【答案】C【解析】第一類，船兩大人一小孩，船一大人一小孩：有種方法.第二類，船一大人兩小孩，船兩大人：有種方法.第三類，船一大人兩小孩，船一大人，船一大人：有種方法.第四類，船一大人一小孩，船一大人一小孩，船一大人：有種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的方法.故選C.考點(diǎn)：排列、組合、分類加法計(jì)數(shù)原理.32．有6名學(xué)生，其中有3名會(huì)唱歌，2名會(huì)跳舞，1名既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，現(xiàn)從中選出2名會(huì)唱歌的，1名會(huì)跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數(shù)為A．18 B．15 C．16 D．25【答案】A【解析】名會(huì)唱歌的從中選出兩個(gè)有種,名會(huì)跳舞的選出名有種選法,但其中一名既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有一個(gè),兩組不能同時(shí)用他,共有種，故選B.33．我校去年11月份，高二年級(jí)有9人參加了赴日本交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法【答案】216【解析】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的2人中入選的人數(shù)分類處理.第一類：2個(gè)只會(huì)跳舞的都不選，有種;第二類：2個(gè)只會(huì)跳舞的有1人入選，有種;第三類：2個(gè)只會(huì)跳舞的全入選，有種,所以共有216種不同的選法,故答案為：216.題型九：錯(cuò)位排列34．若5個(gè)人各寫(xiě)一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫(xiě)的卡片的方法數(shù)有（

）A．20 B．90 C．15 D．45【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2步分析：①先從5個(gè)人里選1人，恰好摸到自己寫(xiě)的卡片，有種選法，②對(duì)于剩余的4人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能拿自己寫(xiě)的卡片，因此第一個(gè)人有3種拿法，被拿了自己卡片的那個(gè)人也有3種拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有種.故選：.35．5個(gè)人站成一列，重新站隊(duì)時(shí)各人都不站在原來(lái)的位置上，共有種不同的站法（

）A．42 B．44 C．46 D．48【答案】A【解析】由題意，設(shè)五人分別為，重新站隊(duì)時(shí)，可從開(kāi)始，其中有種不同的選擇，比如占據(jù)了的位置，可再由選取位置，可分為兩類，1類：占據(jù)了的位置，則后面的重站，共有種站法；2類：沒(méi)有占據(jù)的位置，則有種站法，后面的重站，共有種站法，所以共有種不同的站法.故選：B.36．若5個(gè)人按原來(lái)站的位置重新站成一排，恰有1個(gè)人站在自己原來(lái)的位置，則不同的站法共有（

）A．45種 B．40種 C．55種 D．60種【答案】C【解析】先從5個(gè)人中選出站在自己原來(lái)的位置的有種選法設(shè)剩下的4個(gè)人為.則他們都不站自己原來(lái)的位置，分下列幾步完成:(1)假設(shè)先安排，則有種選法.(2)當(dāng)站好后，站的位置原來(lái)站的是誰(shuí)，接下來(lái)就安排這個(gè)人來(lái)選位置，有種選法.(3)接下來(lái)，剩下的兩個(gè)人和兩個(gè)位置中,至少有1人，他原來(lái)站的位置留下來(lái)了，都不站原來(lái)的位置，則只有1種站法.所以共有種選法.故選：A37．若4個(gè)人按原來(lái)站的位置重新站成一排，恰有一個(gè)人站在自己原來(lái)的位置，則共有（

）種不同的站法.A．4 B．8 C．12 D．24【答案】A【解析】根據(jù)題意，分2步分析：①先從4個(gè)人里選1人，其位置不變，其他三人的都不在自己原來(lái)的位置，有種選法；②對(duì)于剩余的三人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能站在原來(lái)的位置上，因此第一個(gè)人有兩種站法，被站了自己位置的那個(gè)人只能站在第三個(gè)人的位置上，因此三個(gè)人調(diào)換有2種調(diào)換方法．故不同的調(diào)換方法有，故選：B．題型十：涂色問(wèn)題38．（2024·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個(gè)等腰直角三角形?一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.【答案】【解析】由題意，一共4種顏色，板塊需單獨(dú)一色，剩下6個(gè)板塊中每2個(gè)區(qū)域涂同一種顏色.又板塊兩兩有公共邊不能同色，故板塊必定涂不同顏色.①當(dāng)板塊與板塊同色時(shí)，則板塊與板塊或板塊分別同色，共2種情況；②當(dāng)板塊與板塊同色時(shí)，則板塊只能與同色，板塊只能與同色，共1種情況.又板塊顏色可排列，故共種.故答案為：39．用4種不同顏色給一個(gè)正四面體涂色，每個(gè)面涂一種顏色，4個(gè)顏色都要用到，共有種涂色的方法．【答案】2【解析】不妨先規(guī)定其中一種顏色為底面（固定），其它面可以旋轉(zhuǎn)，正四面體展開(kāi)圖如下：此時(shí)再涂其他三種顏色，共有種方法.故答案為：2.40．（2024·高三·安徽合肥·期末）如圖所示的按照下列要求涂色，若恰好用3種不同顏色給個(gè)區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有種不同的涂色方案？【答案】18【解析】恰好用3種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域，則區(qū)域或區(qū)域或區(qū)域必同色，當(dāng)同色時(shí)，有種，同理、分別同色時(shí)各有6種，由分類加法計(jì)數(shù)原理得恰好用3種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域共種不同涂色的方案.故答案為：1841．有三種不同顏色供選擇，給圖中六個(gè)格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有種不同的涂色方案.【答案】96【解析】將格子自左向右編號(hào)為1，2，3，4，5,6格子1，2有種選法，當(dāng)格子3與格子1相同時(shí)，此時(shí)格子4，5，6都有2種選法，當(dāng)格子3與格子1不同時(shí)，此時(shí)格子3有1種選法，格子4，5，6都有2種選法，所以當(dāng)格子1和2顏色確定后，格子4，5，6共有種選法，所以不同的涂色方法有種，故答案為：96題型十一：分組問(wèn)題42．按下列要求分配6本不同的書(shū),各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【解析】（1）無(wú)序不均勻分組問(wèn)題.先選本有種選法;再?gòu)挠嘞碌谋局羞x本有種選法;最后余下的本全選有種選法.故共有(種)選法.（2）有序不均勻分組問(wèn)題.由于甲、乙、丙是不同三人,在題的基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配,共有.（3）無(wú)序均勻分組問(wèn)題.先分三步,則應(yīng)是種選法,但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書(shū)為,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,記該種分法為(,,),則種分法中還有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有種情況,而這種情況僅是,,的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有.（4）有序均勻分組問(wèn)題.在題的基礎(chǔ)上再分配給個(gè)人,共有分配方式(種).（5）無(wú)序部分均勻分組問(wèn)題.共有(種)分法.（6）有序部分均勻分組問(wèn)題.在題的基礎(chǔ)上再分配給個(gè)人,共有分配方式(種).（7）直接分配問(wèn)題.甲選本有種選法,乙從余下本中選本有種選法,余下本留給丙有種選法,共有(種)選法.43．將4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的不同小球全部放入4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)不同盒子中.求：(1)每個(gè)盒至少一個(gè)球，有多少種不同的放法？(2)恰好有一個(gè)空盒，有多少種不同的放法？(3)每盒放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種不同的放法？(4)把已知中4個(gè)不同的小球換成四個(gè)完全相同的小球（無(wú)編號(hào)），其余條件不變，恰有一個(gè)空盒，有多少種不同的放法？【解析】（1）根據(jù)題意知，每個(gè)盒子里有且只有一個(gè)小球，所求放法種數(shù)為（種）；（2）先將4個(gè)小球分為3組，各組的球數(shù)分別為2、1、1，然后分配給4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）；（3）考查編號(hào)為1的盒子中放入編號(hào)為1的小球，則其它3個(gè)球均未放入相應(yīng)編號(hào)的盒子，那么編號(hào)為2、3、4的盒子中放入的小球編號(hào)可以依次為3、4、2或4、2、3，因此，所求放法種數(shù)為（種）；（4）按兩步進(jìn)行，空盒編號(hào)有4種情況，然后將4個(gè)完全相同的小球放入其它3個(gè)盒子，沒(méi)有空盒，則只需在4個(gè)完全相同的小球所形成的3個(gè)空（不包括兩端）中插入2塊板，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）.44．設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)球和編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子，現(xiàn)將這5個(gè)球放入5個(gè)盒子內(nèi)．(1)只有1個(gè)盒子空著，共有多少種投放方法？(2)沒(méi)有1個(gè)盒子空著，但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同，有多少種投放方法？(3)每個(gè)盒子內(nèi)投放1球，并且至少有2個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，有多少種投放方法？【解析】（1）首先選定兩個(gè)不同的球，作為一組，選法有種，再將組排到個(gè)盒子，有種投放法．共計(jì)種方法；（2）沒(méi)有一個(gè)盒子空著，相當(dāng)于個(gè)元素排列在個(gè)位置上，有種，而球的編號(hào)與盒子編號(hào)全相同只有1種，所以沒(méi)有一個(gè)盒子空著，但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同的投法有種．（3）滿足的情形：第一類，五個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)全同的放法：1種；第二類，四個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法：0種；第三類，三個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法：種；第四類，兩個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法：種．所以滿足條件的放法數(shù)為：種．題型十二：分配問(wèn)題45．（2024·安徽·一模）樹(shù)人學(xué)校開(kāi)展學(xué)雷鋒主題活動(dòng)，某班級(jí)5名女生和2名男生，分配成兩個(gè)小組去兩地參加志愿者活動(dòng)，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（

）A．20種 B．40種 C．60種 D．80種【答案】C【解析】由題意可知兩名男生必須分開(kāi)在兩組，則有1女1男一組，余下一組；2女1男一組，余下一組；3女1男一組，余下一組；4女1男一組，余下一組；所以分配方法為.故選：C46．（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種【答案】A【解析】①A校去乙地有種；②A校與另一所學(xué)校去丙地有種，③A校單獨(dú)去丙地有種，所以共有種，故選：B．47．將5本不同的書(shū)分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書(shū)的不同分配方式共有（

）種.A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可先將5本不同的書(shū)分成三份，共有種方法，再將分好的三份書(shū)籍分發(fā)給3位同學(xué)的方法數(shù)有種，所以將5本不同的書(shū)分給3位同學(xué)共有種分法.48．（2024·高三·山西·開(kāi)學(xué)考試）基礎(chǔ)學(xué)科對(duì)于一個(gè)國(guó)家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競(jìng)爭(zhēng)力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵．其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門(mén)選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門(mén)，至少選一門(mén)，且已選過(guò)的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門(mén)選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（）．A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【解析】先將五門(mén)課程分成3,1,1和2,2,1這樣兩種情況，再安排到三個(gè)學(xué)年中，則共有種選修方式故選：A題型十三：隔板法49．現(xiàn)有6個(gè)三好學(xué)生名額，計(jì)劃分到三個(gè)班級(jí)，則恰有兩個(gè)班分到三好學(xué)生名額的概率為.【答案】【解析】將6個(gè)三好學(xué)生名額分到三個(gè)班級(jí)，有3種類型：第一種是只有一個(gè)班分到名額，有3種情況；第二種是恰好有兩個(gè)班分到名額，由隔板法得有種情況，第三種是三個(gè)班都分到了名額，由隔板法得有種情況，則恰有兩個(gè)班分到三好學(xué)生名額的概率為．故答案為：．50．以表示把件相同的物件分給個(gè)人的不同方法數(shù)，則.【答案】【解析】設(shè)第個(gè)人分得件物件，則且，等于不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，.故答案為：.51．已知集合，則A中的元素的個(gè)數(shù)為.【答案】【解析】，可轉(zhuǎn)化為將102個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個(gè)數(shù)為.故答案為：.52．各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（請(qǐng)用數(shù)字作答）．【答案】56【解析】設(shè)，，，對(duì)應(yīng)個(gè)位到千位上的數(shù)字，則，且，相當(dāng)于6個(gè)相同的球排成一排，每個(gè)球表示1，先拿一個(gè)球裝入，轉(zhuǎn)化為5個(gè)球裝入4個(gè)盒子，每盒可空，等價(jià)于9個(gè)球用3個(gè)隔板分成4組（各組不可為空），故共有種．故答案為：56．題型十四：數(shù)字排列53．（2024·上?！と＃┯?~9這九個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有個(gè)【答案】840【解析】1~9這九個(gè)數(shù)字中由5個(gè)奇數(shù)和4個(gè)偶數(shù)，要使四位數(shù)滿足各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)字必須為奇數(shù)，前三位數(shù)字由1個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)或3個(gè)奇數(shù)組成，所以，.故答案為：.54．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）各位數(shù)字之積為8的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.【答案】10【解析】滿足題意的三位數(shù)有：，共10個(gè).故答案為：1055．（2024·河北石家莊·二模）各位數(shù)字之和為的三位正整數(shù)的個(gè)數(shù)為.【答案】【解析】因?yàn)榛蚧蚧?，所以各位?shù)字之和為的三位數(shù)有，，，，，，，，，共個(gè).故答案為：題型十五：幾何問(wèn)題56．若一個(gè)正方體繞著某直線旋轉(zhuǎn)不到一周后能與自身重合，那么這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若正方體繞著直線旋轉(zhuǎn)不到一周能與自身重合，則必過(guò)正方體中心，否則，正方體繞著直線旋轉(zhuǎn)不到一周后，中心不能回到原來(lái)的位置；共有三種情況：如圖所示；當(dāng)過(guò)正方體的對(duì)角線兩頂點(diǎn)時(shí)，把正方體繞旋轉(zhuǎn)，正方體回到原來(lái)的位置，此時(shí)的直線共有條；當(dāng)過(guò)正方體兩相對(duì)棱中點(diǎn)時(shí)，把正方體繞旋轉(zhuǎn)，正方體回到原來(lái)的位置，此時(shí)直線共有條；當(dāng)過(guò)正方體對(duì)面中心時(shí)，把正方體繞旋轉(zhuǎn)，正方體回到原來(lái)的位置，此時(shí)直線共有條；綜上，符合條件的直線有條.故選：D.57．正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，選取4個(gè)共面的頂點(diǎn)，有種不同選法【答案】12【解析】從任意一個(gè)側(cè)棱出發(fā)，其它6個(gè)頂點(diǎn)中任選2個(gè)點(diǎn)都有3種共面的情況，所以，所有共面的情況有種，而每條棱均重復(fù)計(jì)數(shù)一次，綜上，正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，選取4個(gè)共面的頂點(diǎn)，有種.故答案為：1258．以三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)共可組成________個(gè)不同的三棱錐？【答案】12【解析】從個(gè)頂點(diǎn)中選出個(gè)的方法數(shù)有種，其中共面的有種（即個(gè)側(cè)面），故可以構(gòu)成不同三棱錐的方法數(shù)有種.故答案為：1259．在如圖所示的的方格紙上（每個(gè)小方格均為正方形），共有個(gè)矩形、個(gè)正方形．【答案】28060【解析】根據(jù)題意，7×4的方格紙上，有5條水平方向的線，8條豎直方向的線，在5條水平方向的線中任選2條，在8條豎直方向的線中任選2條，就可以組成一個(gè)矩形，則可以組成個(gè)矩形；設(shè)方格紙上的小方格的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為1時(shí)，有7×4=28個(gè)正方形，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為2時(shí)，有6×3=18個(gè)正方形，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為3時(shí)，有5×2=10個(gè)正方形，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為4時(shí)，有4×1=4個(gè)正方形，則有28+18+10+4=60個(gè)正方形；故答案為：280，60.題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題60．某小區(qū)的道路網(wǎng)如圖所示，則由A到C的最短路徑中，經(jīng)過(guò)B的走法有（

）A．6種 B．8種C．9種 D．10種【答案】C【解析】由題意，從點(diǎn)到點(diǎn)，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，共有種走法；從點(diǎn)到點(diǎn)，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，共有種走法，由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的走法.61．如圖為的網(wǎng)格圖，甲、乙兩人均從出發(fā)去地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到達(dá)任何一個(gè)位置（網(wǎng)格交點(diǎn)處）時(shí)向右走過(guò)的格數(shù)不少于向上走過(guò)的格數(shù)，記甲、乙兩人所走路徑的條數(shù)分別為、，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得從到需要走格，向上、向右分別走格，因此甲只需在次選擇中次選擇向右走，剩下的次選擇向上走即可，，乙只能在對(duì)角線下方（包括）走，所以，乙的走法的所有可能情況為：（右上右上右上）、（右上右右上上）、（右右上上右上）、（右右上右上上）、（右右右上上上），即，則，62．（多選題）在某城市中，A，B兩地之間有如圖所示的道路網(wǎng)．甲隨機(jī)沿路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從A地出發(fā)去往B地．下列結(jié)論正確的有（

）A．不同的路徑共有31條B．不同的路徑共有61條C．若甲途經(jīng)C地，則不同的路徑共有18條D．若甲途經(jīng)C地，且不經(jīng)過(guò)D地，則不同的路徑共有9條【答案】CCD【解析】由圖可知，從A地出發(fā)去往B地的最短路徑共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中，至少有1步向上，則不同的路徑共有條．若甲途經(jīng)C地，則不同的路徑共有條．若甲途經(jīng)C地，且不經(jīng)過(guò)D地，則不同的路徑共有條．故選：ACD．63．5400的正約數(shù)有______個(gè)【答案】48【解析】由，所以5400的正約數(shù)一定是由2的冪與3的冪和5的冪相乘的結(jié)果，設(shè)正約數(shù)為，其中取值為0，1，2，3共有4種；取值為0，1，2，3共有4種；取值為0，1，2共有3種；所以正約數(shù)個(gè)數(shù)為．故答案為：48題型十七：排隊(duì)問(wèn)題64．隨著北京冬殘奧會(huì)的開(kāi)幕，吉祥物“雪容融”火遍國(guó)內(nèi)外，現(xiàn)有3個(gè)完全相同的“雪容融”，甲?乙?丙3位運(yùn)動(dòng)員要與這3個(gè)“雪容融”站成一排拍照留念，則有且只有2個(gè)“雪容融”相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為．【答案】【解析】由題意，甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員站成一排，有種不同的排法；在三位運(yùn)動(dòng)員形成的4個(gè)空隙中選兩個(gè)，一個(gè)插入2個(gè)“雪容融”，一個(gè)插入1個(gè)“雪容融”，共有種排法.故答案為：.65．某醫(yī)院對(duì)9個(gè)人進(jìn)行核酸檢測(cè)，為了防止排隊(duì)密集，將9人分成兩組，第一組5人，排隊(duì)等候，由于甲、乙兩人不熟悉流程，故無(wú)論在哪一組，排隊(duì)都不在第一位，則第一組的不同排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】11760【解析】第一組的第一位排法種數(shù)為7，后4位的排法種數(shù)，故所有排法種數(shù)為.故答案為：11760．66．甲、乙、丙三人相約一起去做核酸檢測(cè)，到達(dá)檢測(cè)點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)有兩支正在等待檢測(cè)的隊(duì)伍，則甲、乙、丙三人不同的排隊(duì)方案共有種.【答案】24【解析】先進(jìn)行分類：①3人到隊(duì)伍檢測(cè)，考慮三人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；②2人到隊(duì)伍檢測(cè)，同樣要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；③1人到隊(duì)伍檢測(cè)，要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；④0人到隊(duì)伍檢測(cè)，要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；所以，甲、乙、丙三人不同的排隊(duì)方案共有24種.故答案為：2467．（2024·四川廣元·三模）有名男生、名女生排隊(duì)照相，個(gè)人排成一排．①如果名男生必須連排在一起，那么有種不同排法；②如果名女生按確定的某種順序，那么有種不同的排法；③如果女生不能站在兩端，那么有種不同排法；④如果名女生中任何兩名不能排在一起，那么有種不同排法；則以上說(shuō)法正確的有．【答案】②③④【解析】名男生必須連排在一起，則這4名男生當(dāng)成一個(gè)元素，共有，①不正確；名女生按確定的某種順序，只占3名女生的排列中的一種，共有，②正確；女生不能站在兩端，先讓兩名男生站兩端，共有，③正確；名女生中任何兩名不能排在一起，先排男生，將女生插空，共有，④正確.故答案為：②③④68．有七名同學(xué)排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測(cè)，其中小王站在正中間，并且小李?小張兩位同學(xué)要站在一起，則不同的排隊(duì)法有種.【答案】192【解析】當(dāng)小李和小張?jiān)谛⊥醯淖髠?cè)時(shí)共有（種）排列方法，同理，當(dāng)小李和小張?jiān)谛⊥醯挠覀?cè)時(shí)也有96種排列方法，∴共有192種排列方法.故答案為：192題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型69．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）從1，2，3，…，15中選取三個(gè)不同的數(shù)組成三元數(shù)組，且滿足，，則這樣的數(shù)組共有______個(gè).（用數(shù)字作答）【答案】56【解析】由，，得，，，當(dāng)時(shí)，可取中任一數(shù)，共有6種取法，則此時(shí)共有種取法；當(dāng)時(shí)，可取中的任一數(shù)，共有5種取法，則此時(shí)共有種取法；同理當(dāng)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的分別有10，6，3，1種取法.綜上，這樣的數(shù)組共有（個(gè)）.故答案為：56.70．（2024·上海長(zhǎng)寧·高三海市延安中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）從集合中選出4個(gè)數(shù)組成的子集，使得這4個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11，則這樣的子集個(gè)數(shù)是________.【答案】【解析】將和等于11放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．從每一小組中取一個(gè)，共有，故答案為：80．71．16名社區(qū)志愿者組成4行4列的方陣，現(xiàn)從中選出2人，要求他們既不在同一行又不在同一列，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_____________.【答案】72【解析】從16人中選出2人，共有種選法，若選出的2人既不在同一行又不在同一列，則共有種選法.故答案為：72.72．個(gè)人排成一個(gè)n行，n列的方陣，現(xiàn)要從中選出n個(gè)代表，要使得每一行，每一列都有代表，則有___________種不同的選法.【答案】【解析】從第行中選取一個(gè)代表，選法有種，從第行中選取一個(gè)代表，為保證每一列都有代表，選法有種，從第行中選取一個(gè)代表，為保證每一列都有代表，選法有種，從第行中選取一個(gè)代表，為保證每一列都有代表，選法有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選法數(shù)有：，故答案為：.73．某活動(dòng)中，有42人排成6行7列，現(xiàn)從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)____（用數(shù)字作答）．【答案】4200【解析】先按順序依次選三人共有，再去掉順序數(shù)：故答案為：4200.題型十九：環(huán)排問(wèn)題74．8人圍桌而坐，共有______種坐法.【答案】5040【解析】圍桌而坐與坐成一排不同，圍桌而坐沒(méi)有首尾之分，因此固定一人并從此位置把圓形展成直線，則其余7人共有（種）排法.故答案為：504075．5個(gè)女孩與6個(gè)男孩圍成一圈，任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．【答案】86400【解析】因?yàn)槿我?個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則有且僅有2個(gè)男孩站在一起，先把5個(gè)女孩排成一個(gè)圈，這是個(gè)圓形排列，因此排法共有(種)，把6個(gè)男孩按2，1，1，1，1分成5組有種分法，最后把5組男孩放入5個(gè)女孩構(gòu)成圓排列的5個(gè)間隔中有種方法，而站在一起的兩個(gè)男孩有順序性，有2種站法，所以，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的排法共有(種).故答案為：8640076．10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數(shù)為_(kāi)_________【答案】【解析】因?yàn)?0位男生全排列有種排法，因?yàn)槭菄梢蝗Γ圆环诸^尾，所以10位男生圍成一圈有種，再把10位女生插入男生間的空隙中共有種方法，所以10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，不同的排列數(shù)為.故答案為：.77．4個(gè)人圍坐在如圖所示的8張椅子中的4張椅子上聚餐，其中甲、乙兩人不能相對(duì)（如1與8叫做相對(duì)）而坐，共有__________種不同的坐法(用數(shù)字作答)【答案】1440【解析】因?yàn)榧?、乙兩人不能相?duì)（如1與8叫做相對(duì)）而坐，則甲、乙兩人不能同時(shí)坐在1與8位置或2與7位置或3與6位置或4與5，所以共有種不同的作法.故答案為：1440.1．將6棵高度不同的景觀樹(shù)種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀樹(shù)都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（

）A．20種 B．40種 C．80種 D．160種【答案】C【解析】一側(cè)的種植方法有種排法，另一側(cè)的種植方法有種排法再由分步計(jì)數(shù)原理得不同的種植方法共有種排法，故選:C.2．（2024·高三·重慶涪陵·開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無(wú)并列情況).甲、乙、丙去詢問(wèn)成績(jī).老師對(duì)甲說(shuō)：“你不是最差的.”對(duì)乙說(shuō)：“很遺憾，你和甲都沒(méi)有得到冠軍.”對(duì)丙說(shuō)：“你不是第2名.”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為