2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章第03講等比數(shù)列及其前n項和(九大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第03講等比數(shù)列及其前n項和目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：等比數(shù)列的基本運算 2題型二：等比數(shù)列的判定與證明 2題型三：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用 3題型四：等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 3題型五：奇偶項求和問題的討論 3題型六：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 4題型七：等比數(shù)列的范圍與最值問題 5題型八：等比數(shù)列的實際應(yīng)用 6題型九：公共項與插項問題 602重難創(chuàng)新練 803真題實戰(zhàn)練 11題型一：等比數(shù)列的基本運算1．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知是等比數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·江西·二模）已知等比數(shù)列的前項和為，，且，則（

）A．120 B．40 C．48 D．60題型二：等比數(shù)列的判定與證明4．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；5．已知數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；6．已知非零向量列滿足：，，（，）.證明：數(shù)列是等比數(shù)列.7．已知數(shù)列和滿足：，，，，其中．證明：數(shù)列是等比數(shù)列；題型三：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則的值為.9．已知是正項等比數(shù)列，若則的最小值等于.10．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則的最小值為．11．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知等比數(shù)列的首項為，且，則.題型四：等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)12．（2024·上海閔行·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，，則.13．已知一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為341，偶數(shù)項之和為682，則這個數(shù)列的項數(shù)為14．已知數(shù)列的前項和，若此數(shù)列為等比數(shù)列，則．題型五：奇偶項求和問題的討論15．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．16．?dāng)?shù)列滿足，，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．17．（2024·高三·河南南陽·期中）已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求的前30項和．18．（2024·高三·河北張家口·期末）已知數(shù)列滿足，.(1)若，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前2n項和．19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足且．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)求數(shù)列的前100項和．題型六：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用20．（2024·山東青島·三模）已知等差數(shù)列的公差，首項，是與的等比中項，記為數(shù)列的前項和，則21．（2024·湖北黃岡·二模）已知等差數(shù)列的前項和為是等比數(shù)列，若，且，則的最小值為.22．已知函數(shù)的兩個零點分別為，，若，，三個數(shù)適當(dāng)調(diào)整順序后可為等差數(shù)列，也可為等比數(shù)列，則（

）A．1 B． C． D．題型七：等比數(shù)列的范圍與最值問題23．（多選題）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為前項積為并滿足條件，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值24．（多選題）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．是數(shù)列中的最小值25．（多選題）（2024·高三·江西·期中）在等比數(shù)列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（

）A．為單調(diào)遞增數(shù)列 B．C．為的最大項 D．無最大項26．（多選題）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足，，則下列選項正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最小項 D．當(dāng)時，的最小值為4045題型八：等比數(shù)列的實際應(yīng)用27．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）某人從銀行貸款100萬，貸款月利率為年還清，約定采用等額本息按月還款(即每個月還相同數(shù)額的款，240個月還清貸款的利息與本金)，則每月大約需還款（

）(參考數(shù)據(jù)：A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元28．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復(fù)雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實踐課上某同學(xué)將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A． B． C． D．29．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（

）A．14 B．15 C．16 D．1730．（2024·高三·四川·期中）剪紙和折紙都是中華民族的傳統(tǒng)藝術(shù)，在折紙界流傳著“折不過8”的說法，為了驗證這一說法，有人進(jìn)行了實驗，用一張邊長為的正方形紙，最多對折了13次.記第一次對折后的紙張厚度為，第2次對折后的紙張厚度為，以此類推，設(shè)紙張未折之前的厚度為毫米，則（

）A． B． C． D．題型九：公共項與插項問題31．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列的通項公式為，將數(shù)列與的公共項按它們在原來數(shù)列中的先后順序排成一個新數(shù)列數(shù)列的通項公式為．32．（2024·廣西·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項和為，對任意正整數(shù)n，有．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對所有正整數(shù)m，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數(shù)列，求的前91項和．33．（2024·高三·天津·期末）已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求；(3)若在數(shù)列任意相鄰兩項之間插入一個實數(shù)，從而構(gòu)成一個新的數(shù)列．若實數(shù)滿足，求數(shù)列的前項和．34．（2024·浙江嘉興·二模）已知是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若數(shù)列與中有公共項，即存在，使得成立.按照從小到大的順序?qū)⑦@些公共項排列，得到一個新的數(shù)列，記作，求.35．（2024·吉林通化·一模）記為公比不為1的等比數(shù)列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，若由與的公共項從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項和．1．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前項和．若，則“”是“數(shù)列存在最小項”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件2．（2024·天津和平·三模）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．4．（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房……以此類推，用表示蜜蜂爬到號蜂房的方法數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．5．（2024·重慶·模擬預(yù)測）在半徑為1的圓中作內(nèi)接正方形，作正方形的內(nèi)切圓，再作圓的內(nèi)接正方形，依此方法一直繼續(xù)下去．我們定義每作出一個正方形為一次操作，則至少經(jīng)過（

）次操作才能使所有正方形的面積之和超過．A．9 B．10 C．11 D．126．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．7．（2024·江西南昌·三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則的值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．158．（2024·北京·三模）為公差不為零的等差數(shù)列，是其前項和，是等比數(shù)列，是其前項和，則下列說法正確的是（

）A．對任意，，如果，那么B．存在，，滿足，且C．對任意，，如果，那么D．存在，，滿足，且9．（多選題）（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，設(shè)圖②中第n行白心圈的個數(shù)為，黑心圈的個數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列D．圖②中第2023行的黑心圈的個數(shù)是10．（多選題）（2024·江西南昌·三模）已知是單調(diào)遞減的等比數(shù)列，若，前3項和，則下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．11．（多選題）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法不正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且其前項的和，則B．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項和，則，，，…成等比數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，則最小12．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知某種細(xì)菌培養(yǎng)過程中，每小時1個正常細(xì)菌分裂成2個正常細(xì)菌和1個非正常細(xì)菌），1個非正常細(xì)菌分裂成2個非正常細(xì)菌.則1個正常細(xì)菌經(jīng)過8小時的培養(yǎng)，可分裂成的細(xì)菌的個數(shù)為（用數(shù)字作答）.13．（2024·山東青島·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則.14．（2024·河北·模擬預(yù)測）下圖數(shù)陣的每一行最右邊數(shù)據(jù)從上到下形成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，每行的第個數(shù)從上到下形成以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，則該數(shù)陣第行所有數(shù)據(jù)的和.15．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．16．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.17．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項積為，數(shù)列滿足，徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．3．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項的和為．4．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．5．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知為等比數(shù)列，，，則.6．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結(jié)論的序號是．7．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知等比數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.8．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．9．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．10．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.11．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．12．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．第03講等比數(shù)列及其前n項和目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：等比數(shù)列的基本運算 2題型二：等比數(shù)列的判定與證明 3題型三：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用 4題型四：等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 5題型五：奇偶項求和問題的討論 6題型六：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 9題型七：等比數(shù)列的范圍與最值問題 10題型八：等比數(shù)列的實際應(yīng)用 13題型九：公共項與插項問題 1402重難創(chuàng)新練 1803真題實戰(zhàn)練 29題型一：等比數(shù)列的基本運算1．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知是等比數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，得到，所以，由，得到，所以，故選：C.2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由題設(shè)易知，公比，設(shè)，從而由得，，由得，，則，故選：D．3．（2024·江西·二模）已知等比數(shù)列的前項和為，，且，則（

）A．120 B．40 C．48 D．60【答案】B【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，若，則，此時，由已知，即，解得，不成立，所以；因為，，則有：，解得，，所以.故選：B題型二：等比數(shù)列的判定與證明4．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；【解析】，則，，故是以首項為3，公比為3的等比數(shù)列．5．已知數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；【解析】數(shù)列成等比數(shù)列.根據(jù)得；，，，即數(shù)列成等比數(shù)列.6．已知非零向量列滿足：，，（，）.證明：數(shù)列是等比數(shù)列.【解析】證明：因為，（，），所以，（，），故，故，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列.7．已知數(shù)列和滿足：，，，，其中．證明：數(shù)列是等比數(shù)列；【解析】由數(shù)列滿足，，可得，顯然，即又由，，可得，所以數(shù)列是以首項，公比等于的等比數(shù)列.題型三：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則的值為.【答案】9【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知：，，，所以，又，所以.故答案為：99．已知是正項等比數(shù)列，若則的最小值等于.【答案】/【解析】由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取等號，故的最小值為，故答案為：10．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則的最小值為．【答案】/【解析】由題意知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），，又（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故的最小值為．故答案為：11．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知等比數(shù)列的首項為，且，則.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式的計算得到：，所以.由等比數(shù)列的性質(zhì)得到：.故答案為128.題型四：等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)12．（2024·上海閔行·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，，則.【答案】5【解析】由題意得，，因為，，，，成等比數(shù)列，故，即，解得，則，所以，，故.故答案為：13．已知一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為341，偶數(shù)項之和為682，則這個數(shù)列的項數(shù)為【答案】10【解析】設(shè)等比數(shù)列項數(shù)為項，公比為，由題意可求出，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)和前項和公式可知，進(jìn)而可求出項數(shù).設(shè)等比數(shù)列項數(shù)為項，公比為，則，，由，解得，因為是公比為的等比數(shù)列，則，即，解得，故答案為:10.14．已知數(shù)列的前項和，若此數(shù)列為等比數(shù)列，則．【答案】【解析】因為數(shù)列的前項和，所以，；又，因為數(shù)列為等比數(shù)列，則也滿足，即，解得.故答案為題型五：奇偶項求和問題的討論15．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，，記的前n項和為，則.故選：A16．?dāng)?shù)列滿足，，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為且為奇數(shù)時，所以所有奇數(shù)項構(gòu)成為首項，為公差的等差數(shù)列，又因為且為偶數(shù)時，，即所有偶數(shù)項構(gòu)成為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.故選：D.17．（2024·高三·河南南陽·期中）已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求的前30項和．【解析】（1）由題意得，即，且，所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，故；（2）．18．（2024·高三·河北張家口·期末）已知數(shù)列滿足，.(1)若，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前2n項和．【解析】（1）由題意，得，，故，所以，即，又，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）由上知，故，所以．設(shè)，故．19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足且．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)求數(shù)列的前100項和．【解析】（1）由題意，得當(dāng)時，，①．②將①代入②，得，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以．又因為，所以，所以．令，則，而，，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以．所以．（2）．題型六：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用20．（2024·山東青島·三模）已知等差數(shù)列的公差，首項，是與的等比中項，記為數(shù)列的前項和，則【答案】105【解析】等差數(shù)列中，，是與的等比中項，設(shè)公差為，所以，即，解得或（不合題意，舍去）；所以．故答案為：．21．（2024·湖北黃岡·二模）已知等差數(shù)列的前項和為是等比數(shù)列，若，且，則的最小值為.【答案】5【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可知，且，則，即，所以；又因為是等比數(shù)列，且，則，顯然，可得，則，所以最小值為5.故答案為：5.22．已知函數(shù)的兩個零點分別為，，若，，三個數(shù)適當(dāng)調(diào)整順序后可為等差數(shù)列，也可為等比數(shù)列，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)，由韋達(dá)定理可知，，，故，所以調(diào)整順序后，，或，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，所以且，，，，，故，故選：D．題型七：等比數(shù)列的范圍與最值問題23．（多選題）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為前項積為并滿足條件，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】AB【解析】由可得，由可知，，當(dāng)時，則，不成立，故，且，故，A正確；，故B正確；是數(shù)列中的最大值，C，D錯誤.故選：AB24．（多選題）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．是數(shù)列中的最小值【答案】AB【解析】當(dāng)時，則，不合乎題意；當(dāng)時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A正確；對任意的，，且有，可得，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得，，故，，∴，故B正確；因為，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以是數(shù)列中的最大值，故CD錯誤.故選：AB.25．（多選題）（2024·高三·江西·期中）在等比數(shù)列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（

）A．為單調(diào)遞增數(shù)列 B．C．為的最大項 D．無最大項【答案】BC【解析】由，因此.又因為則.當(dāng)時，，則，，則，與題意矛盾.因此.則為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項A錯誤.而，故，選項B正確.又因為為單調(diào)遞減數(shù)列，則，由可知，，，所以當(dāng)時，，則.當(dāng)時，，則.因此的最大項為，則選項C正確，選項D錯誤.故答案為：BC.26．（多選題）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足，，則下列選項正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最小項 D．當(dāng)時，的最小值為4045【答案】BC【解析】因為，所以，則各項為正數(shù)，所以，即為遞增數(shù)列，A錯誤；由A項及可得，則，故B正確；由上可知，故，即C正確；由，顯然的最小值不為4045，即D錯誤.故選：BC.題型八：等比數(shù)列的實際應(yīng)用27．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）某人從銀行貸款100萬，貸款月利率為年還清，約定采用等額本息按月還款(即每個月還相同數(shù)額的款，240個月還清貸款的利息與本金)，則每月大約需還款（

）(參考數(shù)據(jù)：A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元【答案】B【解析】設(shè)每月需還款萬元，第一期還款后，還欠銀行萬元，第二期還款后，還欠銀行萬元，設(shè)第期還款后，還欠銀行萬元，則，且，所以是公比為1.005的等比數(shù)列，所以.令，解得，即每月大約需還款7165元.故選：B.28．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復(fù)雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實踐課上某同學(xué)將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，對折后的等腰直角三角形的腰長成等比數(shù)列，且首項為，公比為，故對折6次后，得到腰長為的等腰直角三角形，所以斜邊長為.故選：A．29．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，列不等式，即，又，可得.故選：B30．（2024·高三·四川·期中）剪紙和折紙都是中華民族的傳統(tǒng)藝術(shù)，在折紙界流傳著“折不過8”的說法，為了驗證這一說法，有人進(jìn)行了實驗，用一張邊長為的正方形紙，最多對折了13次.記第一次對折后的紙張厚度為，第2次對折后的紙張厚度為，以此類推，設(shè)紙張未折之前的厚度為毫米，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意數(shù)列是等比數(shù)列，公比是2，且，∴，故選：C．題型九：公共項與插項問題31．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列的通項公式為，將數(shù)列與的公共項按它們在原來數(shù)列中的先后順序排成一個新數(shù)列數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】由，可得，解得，當(dāng)時，，即，可得數(shù)列是首項和公比均為3的等比數(shù)列，所以，設(shè)是的第m項，則，因為，所以不是中的項，因為，所以是中的項，所以所以.故答案為：.32．（2024·廣西·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項和為，對任意正整數(shù)n，有．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對所有正整數(shù)m，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數(shù)列，求的前91項和．【解析】（1）當(dāng)時，．又時，得，也滿足上式，故．（2）由，所以，又，所以前91項中有87項來自，所以．33．（2024·高三·天津·期末）已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求；(3)若在數(shù)列任意相鄰兩項之間插入一個實數(shù)，從而構(gòu)成一個新的數(shù)列．若實數(shù)滿足，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）由已知，得，解得，；（2）記，所以，，作差得：，；（3）由（1）得，則，所以.34．（2024·浙江嘉興·二模）已知是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若數(shù)列與中有公共項，即存在，使得成立.按照從小到大的順序?qū)⑦@些公共項排列，得到一個新的數(shù)列，記作，求.【解析】（1）由題意可得：，而，變形可得：，故是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.從而，即.（2）由題意可得：，，令，則，此時滿足條件，即時為公共項，所以.35．（2024·吉林通化·一模）記為公比不為1的等比數(shù)列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，若由與的公共項從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，即，即，所以，又，即，解得，所以.（2）由（1）可得，則數(shù)列為、、、、，偶數(shù)組成的數(shù)列，又，令，則為正偶數(shù)，所以，，，，，所以為以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.1．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前項和．若，則“”是“數(shù)列存在最小項”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，，因為，所以此時數(shù)列遞增，存在是最小項，當(dāng)且，，當(dāng)，時，可知數(shù)列遞增，存在是最小項，當(dāng)，時，可知數(shù)列還是遞增，存在是最小項，綜上“”是“數(shù)列存在最小項”的充分條件；當(dāng)，，不妨?。?，，則，,當(dāng)時，，即此時是最小項，即“”不是“數(shù)列存在最小項”的必要條件，綜上可知：“”是“數(shù)列存在最小項”的充分不必要條件，故選：A.2．（2024·天津和平·三模）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，由于，則，所以，所以數(shù)列是以2為公比，2為首項的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，時，，兩式相減得，，即，，因為，即，所以數(shù)列是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，則．故選：B．4．（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房……以此類推，用表示蜜蜂爬到號蜂房的方法數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】依題意，（），，當(dāng)時，，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.故選：A.5．（2024·重慶·模擬預(yù)測）在半徑為1的圓中作內(nèi)接正方形，作正方形的內(nèi)切圓，再作圓的內(nèi)接正方形，依此方法一直繼續(xù)下去．我們定義每作出一個正方形為一次操作，則至少經(jīng)過（

）次操作才能使所有正方形的面積之和超過．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】第一個正方形的邊長為，面積為，第二個正方形的邊長為，面積為，第三個正方形的邊長為，面積為，……以此類推，正方形的面積是首項為，公比為的等比數(shù)列，由，，所以，所以至少經(jīng)過次操作才能使所有正方形的面積之和超過．故選：C6．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，又，令，可得，解得，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，整理得，故．故選：C．7．（2024·江西南昌·三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則的值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．15【答案】B【解析】因為，且，則，化簡可得，若，則，且，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以，則，排除D；若，則，即，且，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以，則，排除A；再由計算，，即，解得或，取，，即，解得或，取，，即，解得或，取，，即，解得或，取，此時，排除C；故選：B8．（2024·北京·三模）為公差不為零的等差數(shù)列，是其前項和，是等比數(shù)列，是其前項和，則下列說法正確的是（

）A．對任意，，如果，那么B．存在，，滿足，且C．對任意，，如果，那么D．存在，，滿足，且【答案】C【解析】對于A：是首項為，公差為，則滿足，但不滿足，故A錯誤；對于B：若，則可得或或或，不妨取，由等差數(shù)列的前項和公式可得，所以，故B錯誤；對于C：若，則或或或，顯然公比，由等比數(shù)列前項和公式可得，故，所以必為偶數(shù)，可得，所以，故C正確；對于D：，則等比數(shù)列的公比為，則，故，故D錯誤.故選：C.9．（多選題）（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，設(shè)圖②中第n行白心圈的個數(shù)為，黑心圈的個數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列D．圖②中第2023行的黑心圈的個數(shù)是【答案】ACD【解析】由題可得，，故A正確，B錯誤；，，，且有，，故有所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，為常數(shù)列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數(shù)列，故C正確；由上可得故所以，故D正確.故選：ACD.10．（多選題）（2024·江西南昌·三模）已知是單調(diào)遞減的等比數(shù)列，若，前3項和，則下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由題意，設(shè)等比數(shù)列公比為，則，解得或，由因為數(shù)列為單調(diào)遞減的等比數(shù)列，所以，所以，.故選：AD.11．（多選題）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法不正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且其前項的和，則B．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項和，則，，，…成等比數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，則最小【答案】CD【解析】對于A，由，得，數(shù)列為等比數(shù)列，則，解得，經(jīng)驗證符合題意，A正確；對于B，等比數(shù)列中，由，得，則，B正確；對于C，等比數(shù)列的公比，為偶數(shù)時，，，，，…不成等比數(shù)列，C錯誤；對于D，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，整理得，當(dāng)時，沒有最小值，D錯誤.故選：CD12．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知某種細(xì)菌培養(yǎng)過程中，每小時1個正常細(xì)菌分裂成2個正常細(xì)菌和1個非正常細(xì)菌），1個非正常細(xì)菌分裂成2個非正常細(xì)菌.則1個正常細(xì)菌經(jīng)過8小時的培養(yǎng)，可分裂成的細(xì)菌的個數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】設(shè)經(jīng)過小時，有個正常細(xì)菌，個非正常細(xì)菌，則，.又，，所以，，則，所以，所以是首項和公差均為的等差數(shù)列，所以，所以，所以，即1個正常細(xì)菌經(jīng)過8小時的培養(yǎng)，可分裂成個細(xì)菌.故答案為：.13．（2024·山東青島·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則.【答案】【解析】因為，所以，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則，記的前項和為，則.故答案為：14．（2024·河北·模擬預(yù)測）下圖數(shù)陣的每一行最右邊數(shù)據(jù)從上到下形成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，每行的第個數(shù)從上到下形成以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，則該數(shù)陣第行所有數(shù)據(jù)的和.【答案】【解析】因為每行的第n個數(shù)從上到下形成以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，所以,所以.故答案為：.15．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．【解析】（1），即，即，則，即，即，又，故數(shù)列是以為首項、以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）易得，即，則，則，有，則，故.16．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題可知：，又，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，即.（2），，且當(dāng)趨于時，趨近于1，所以由恒成立，可知，解得.17．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項積為，數(shù)列滿足，（，）．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)將數(shù)列，中的公共項從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．【解析】（1），，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，而，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為；若數(shù)列滿足，（，），則，從而數(shù)列的通項公式為；（2）令，解得，這表明，從而只能，所以，所以數(shù)列的通項公式為.18．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列滿足：．(1)請寫出的值，給出一個你的猜想，并證明；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）因為，可得，，，因此猜想是以1為首項，為公比的等比數(shù)列；下面證明：因為，即，又因為，故是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，當(dāng)時，，累加得，所以，當(dāng)時，滿足題意，所以對成立；故，可得其中，設(shè)，則，兩式相減得，即，綜上可得，數(shù)列的前項和．19．（2024·山西太原·三模）已知等比數(shù)列的前項和為，且也是等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由是等比數(shù)列得，或(舍去)，.（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，.1．（多選題）（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）漢代劉歆設(shè)計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．【答案】2357.5/【解析】設(shè)升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.3．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項的和為．【答案】48384【解析】方法一：設(shè)前3項的公差為，后