等比數(shù)列-教學設計

#等比數(shù)列的概念【教學目標】理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式；掌握等比中項的概念．逐步靈活應用等比數(shù)列的概念和通項公式解決問題．通過教學，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納、推理的能力，培養(yǎng)學生類比分析的能力．【教學重點】等比數(shù)列的概念及通項公式．【教學難點】靈活應用等比數(shù)列概念及通項公式解決相關問題．【教學方法】本節(jié)課主要采用類比教學法和自主探究教學法．充分利用現(xiàn)實情景，盡可能地增加教學過程的趣味性、實踐性．在教師的啟發(fā)指導下，強調學生的主動參與，讓學生在等差數(shù)列的基礎上用類比的方法自己去分析、探索，在探索過程中研究和領悟得出的結論，從而達到使學生既獲得知識又發(fā)展智能的目的．【教學過程】環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖導入復習提問：(1)等差數(shù)列的定義；(2)等差數(shù)列的通項公式；(3)計算公差d的方法；(4)等差中項的定義及公式.學生動手操作：把一張紙連續(xù)對折5次，試寫出每次對折后紙的層數(shù).通過學生動手操作可得折紙的層數(shù)是2,4,8,16,32.教師提出問題.學生思考回答.教師用問題引導學生觀察相鄰兩項的關系，根據(jù)前面所學等差數(shù)列的知識，嘗試給出等比數(shù)列的定義.回顧以前學過的知識，為知識遷移做準備.通過動手操作解答問題，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程.新課1.等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等比數(shù)列的公比.公比通常用字母“q”表示.練習一學生對比等差、等比兩數(shù)列的異同.培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，類比推導與歸納總結的能力.

新課搶答：下列」數(shù)列是否為等比數(shù)列？8,16,32,64,128,256,…；1,1,1,1,1,1,1,?…243,81,27,9,3,1,,,…；16,8,4,2,0,—2,…；1,—1,1,—1,1,—1,1,…；1,—10,100,—1000,….注意：1)求公比q一定要用后項除以前項，而不能用前項除以后項；2)等比數(shù)列中，各項和公比均不為0;3)q=1時，{叫為常數(shù)列.2.等比數(shù)列的通項公式首項是4,公比是q的等比數(shù)列U{an}的通項公式可以表示為an=a1qn—1?根據(jù)這個通項公式，只要已知首項a1和公比q，便可求得等比數(shù)列的任意項an.事實上，等比數(shù)列的通項公式中共有四個變量，知道其中三個，便可求出第四個.練習二已知一個等比數(shù)列的首項為1,公比為一1,求這個數(shù)列的第9項.練習三求下列等比數(shù)列的第4項和第8項：5,—15,45,…；1.2,2.4,4.8,…；,八2 1 33,2,8…；教師出示題目.學生思考、搶答.師問：你能說出練習一中，等比數(shù)列的公比嗎？教師出示練習一中的等比數(shù)列.學生說出各題的公比q.師：等比數(shù)列中，某一項可以為0嗎？公比q可以為0嗎？為什么？師：常數(shù)列是等比數(shù)列嗎？學生根據(jù)定義，得出結論.師：請仿照等差數(shù)列通項公式的推導過程，歸納總結等比數(shù)列的通項公式.學生分組探究.a2=a1q,a3=—q=——q=a1——,a4=—q=——q=a1——,an=a1——.練習時請個別學生在黑板上做題.教師訂正.學生做練習三.通過一組練習題，加深學生對等比數(shù)列定義的理解.用搶答的方式，激發(fā)學生的思維，調動學生的學習積極性.在教師的引導下，結合等比數(shù)列定義，歸納得出結論，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.引導學生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學生合理的推理能力和合作意識.鞏固加深對等比數(shù)列概念及其通項公式的理解，能運用等比數(shù)列解決一些簡單的實際問題.

新課(4)2,,1,亭，….例1已知一個等比數(shù)列的第3項和第4項分別是12和18,求它的第1項和第2項.解設這個數(shù)列的第一項是由,公比是q，貝Ua1q2=12， ①a1q3=18. ②解①②所組成的方程組，得3 16 16x3°q=2,a1=3，a?=a1q=3X2=8.即這個數(shù)列的第1項是號，第2項是8.練習四41.一個等比數(shù)列的第9項是9,公比是一3,求它的第1項.2.一個等比數(shù)列的第2項是10,第3項是20,求它的第1項和第4項.例2將20,50,100三個數(shù)分別加上相同的常數(shù)，使這三個數(shù)依次成等比數(shù)列，求它的公比q.解設所加常數(shù)為a，依題意20+a,50+a,100+a成等比數(shù)列，則50+a_100+a20+a—50+a'去分母，得(50+a)2=(20+a)(100+a),即2500+100a+a2=2000+120a+a2,解得a=25.番'50+a50+255七代入計算，得20+a=20+25=3,所以公比q=5.教師引導學生分析本題，已知什么？求什么？怎么求？教師啟發(fā)學生，當用一個式子解決不了問題的時候，考慮構成方程組來解決.教師板書解題過程.引導學生注意求公比的方法：兩式相除.學生解答練習四.請學生在黑板上做題.教師巡視指導.教師引導學生利用等比數(shù)列的定義列出方程.教師注重引導學生分析題意，教會學生思考問題、解決問題的思路與方法.通過練習，讓學生進一步掌握等比數(shù)列中，求公比的獨特方法.此題看似復雜，實際上學生自己可以完成.另外例2的思路與以下等比中項的思路一致，可以在講完等比中項以后讓學生再回顧此題.

新課.等比中項的定義在2與8之間插入一個數(shù)4,那么2,4,8成等比數(shù)列.一般地，如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項..等比中項公式如果G是a與b的等比中項，則G2=ab,即G=±yfOb.容易看出，一個等比數(shù)列從第2項起，每一項(有窮等比數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項.練習五求下列各組數(shù)的等比中項：(1)2,18； (2)16,4.由特殊數(shù)列2,4,8引出等比中項的定義.師：2,-4,8是否構成等比數(shù)列？一4是不是2和8的等比中項？學生思考、合作探究，得出等比中項公式.教師引導學生注意等比中項的值有兩個.學生口答練習五.師生統(tǒng)一訂正.培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，進行類比、推導以及歸納總結的能力.小結.等比數(shù)列的定義..等比數(shù)列的通項公式..等比中項的定義及公式..等比數(shù)列定義與通項公式的應用.學生閱讀課本P18?P20,暢談本節(jié)課的收獲.教師引導梳理，總結本節(jié)課的知識點和解題方法.教師鼓勵學生積極回答，培養(yǎng)學生的口頭表達能力和歸納概括能力.作業(yè)教材P23,習題第1,2題.學生課后完成.鞏固拓展.等比數(shù)列的前n項和【教學目標】.理解并掌握等比數(shù)列前n項和公式，并會應用公式解決簡單的問題..逐步熟練等比數(shù)列通項公式與前n項和公式的綜合應用，培養(yǎng)學生的運算能力..通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生觀察、猜想、歸納、分析、綜合推理的能力，滲透類比與轉化的思想．【教學重點】等比數(shù)列前n項和公式的應用.【教學難點】等比數(shù)列前n項和公式的推導和靈活運用.【教學方法】本節(jié)課在公式推導中宜采用類比教學法和自主探究教學法．師生共同參與整個教學活動，教師是活動的主導，學生是活動的主體，教師在引導的同時，讓學生在等差數(shù)列的基礎上用類比的方法自己去分析、探索，在探索過程中研究和領悟得出的結論，從而達到使學生既獲得知識又發(fā)展智能的目的．【教學過程】環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖導入印度一國王與國際象棋發(fā)明家的故事：發(fā)明者要國王在他的棋盤上的64格中的第1格放入1粒麥粒，第2格放入2粒麥粒，第3格放入4粒麥粒，第4格放入8粒麥?！瓎枒o發(fā)明家多少粒麥粒？教師講故事，并提出問題.學生分組合作探究.學生用計算器依次算出各項的值，然后再求和.教師對他們的這種思路給予肯定.利用學生好奇心理，讓學生去經歷知識的形成與發(fā)展過程，便于調動學生學習本節(jié)課的積極性.新課1.求數(shù)列1,2,4,…,262,263的各項和數(shù)列1,2,4,…，262,263是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，前面的問題應歸結為求這個數(shù)列前64項的和，可表示為S64=1+2+4+8+…+262+263. ①師：數(shù)列1,2,4,…，262,263是個什么數(shù)列？有何特征？前面的問題應歸結為什么數(shù)學問題呢？學生思考回答.師：讓我們尋找一種更簡單的解決這個問題的辦法吧.師：觀察①式中的各項有何聯(lián)系？學生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍.教學中，繁難的求解過程激起學生急于探求新方法的欲望，為后面的教學埋下伏筆.

新課2S64=2+4+8+…+263+264. ②①一②，得到S64―2S64=-264.即(1-2)S64=1-264.1—264S64=1-2.2.等比數(shù)列的前n項和公式.當qW1時，S=弟3;n 1—q當q=1時，Sn=na1.等比數(shù)列的前n項和公式，包含四個變量，只要知道其中任意三個，就可求出第四個.例1求等比數(shù)列1,1,1,…的前2 4 88項的和.1…… 1 4 1解因為a1=2,q=1=2,n=8,22[1-(2悶 255所以S8= 1 =256.1-2師：如果我們把每一項都乘公比2,得到②式，請觀察各項發(fā)生了什么變化？與①式有什么聯(lián)系？學生發(fā)現(xiàn)，除最后一項外，每一項都變成了①的后一項.教師繼續(xù)引導學生比較、探究：①、②兩式有許多相同的項，用什么辦法可以把相同的項消掉？學生會想到把兩式相減，消去相同的項.教師板書推導過程，得出求和公式.教師指出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程后反思：為什么①式兩邊要同乘2呢？教師順勢引導學生將結論一般化.等比數(shù)列的前n項和公式要分qW1與q=1時兩種情況討論.請學生說出公式中包含的變量：a],q,n,Sn.學生獨立思考，自主解題.師生共同總結解法.教師訂正評價.留出時間讓學生充分地比較，等比數(shù)列前n項和公式的推導關鍵是錯位相減，培養(yǎng)學生的辯證思維能力.讓學生在化繁為簡的過程中，充分感受到數(shù)學的簡潔性.培養(yǎng)學生分類討論的意識.在教師的引導下，讓學生從特殊到一般，完成公式的探究.通過對例題的解答，強化對公式的掌握.

新課練習根據(jù)下列各組條件，求相應的等比數(shù)列｛。"的年ai=3，q=2,n=6；a1=8，q=2，n=5.例2等比數(shù)列｛an｝的公比q=—3,前4項的和9,求這個等比數(shù)列的首項.解根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式及已知條件可得5”1一(-3)4]9= 1 ，一(一子解得a