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江西省撫州臨川市第二中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)二模試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),焦點(diǎn)為,則直線(xiàn)的斜率為()A. B. C. D.2.正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,它的底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.3.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.94.已知變量,滿(mǎn)足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.5.從拋物線(xiàn)上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為,且,設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,則直線(xiàn)的斜率為()A. B. C. D.6.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm37.如圖所示,正方體的棱,的中點(diǎn)分別為,,則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.8.函數(shù)fxA. B.C. D.9.學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)按照考生原始成績(jī)從高到低分為、、、、五個(gè)等級(jí).某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科,這兩科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中,這兩科等級(jí)均為的學(xué)生有人,這兩科中僅有一科等級(jí)為的學(xué)生,其另外一科等級(jí)為,則該班()A.物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人B.物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至少有人C.這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至多有人D.這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至少有人10.設(shè)復(fù)數(shù),則=()A.1 B. C. D.11.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,若拋物線(xiàn)上的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好在射線(xiàn)上,則直線(xiàn)被截得的弦長(zhǎng)為()A. B. C. D.12.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像.則在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_______.14.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,所有項(xiàng)的系數(shù)的和為_(kāi)_______15.已知函數(shù),對(duì)于任意都有,則的值為_(kāi)_____________.16.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像,則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最大值為,若,證明:.18.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線(xiàn)存在與軸垂直的切線(xiàn),求的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí),證明:.19.(12分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:.(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)已知件次品和件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率;(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元,設(shè)表示直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位:元),求的分布列.21.(12分)如圖,在直角梯形中,,,,為的中點(diǎn),沿將折起,使得點(diǎn)到點(diǎn)位置,且,為的中點(diǎn),是上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn),不重合).(Ⅰ)證明:平面平面垂直;(Ⅱ)是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值?若存在,確定點(diǎn)位置;若不存在,說(shuō)明理由.22.(10分)如圖1,四邊形為直角梯形,,,,,,為線(xiàn)段上一點(diǎn),滿(mǎn)足,為的中點(diǎn),現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2),使平面平面.(1)求證:平面平面;(2)能否在線(xiàn)段上找到一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為?若存在,試確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
先求出,再求焦點(diǎn)坐標(biāo),最后求的斜率【詳解】解:拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),,,,故選:A【點(diǎn)睛】考查拋物線(xiàn)的基礎(chǔ)知識(shí)及斜率的運(yùn)算公式,基礎(chǔ)題.2、C【解析】
如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計(jì)算長(zhǎng)度,設(shè)球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設(shè)球半徑為,則,解得,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的外接球問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.3、B【解析】
模擬程序運(yùn)行,觀(guān)察變量值可得結(jié)論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時(shí):,不滿(mǎn)足條件;,不滿(mǎn)足條件;,不滿(mǎn)足條件;,不滿(mǎn)足條件;,不滿(mǎn)足條件;,滿(mǎn)足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu),解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行,觀(guān)察變量值,從而得出結(jié)論.4、B【解析】
先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再利用幾何意義求最值.【詳解】解:由變量,滿(mǎn)足不等式組,畫(huà)出相應(yīng)圖形如下:可知點(diǎn),,在處有最小值,最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意知,焦點(diǎn),準(zhǔn)線(xiàn)方程,所以,解得,把點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程可得,,因?yàn)?,所以,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,代入斜率公式可得,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長(zhǎng)方體,下面是四棱柱;長(zhǎng)方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點(diǎn):三視圖和幾何體的體積.7、C【解析】
以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法求出直線(xiàn)EF與平面AA1D1D所成角的正弦值.【詳解】以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則,,,取平面的法向量為,設(shè)直線(xiàn)EF與平面AA1D1D所成角為θ,則sinθ=|,直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面角的正弦值的求法,也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用,屬于中檔題.8、A【解析】
由f12=e-14>0排除選項(xiàng)D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項(xiàng)D,f-1=-e【點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類(lèi)題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無(wú)路可循.解答這類(lèi)題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及x→09、D【解析】
根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為,化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為,化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù),結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,可得出合適的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可知,名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人(其中物理化學(xué)的有人,物理化學(xué)的有人),表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對(duì)于A選項(xiàng),物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)物理和,化學(xué)都是時(shí),或化學(xué)和,物理都是時(shí),物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少,至少為(人),B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),在表格中,除去物理化學(xué)都是的學(xué)生,剩下的都是一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生,因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人,所以一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生最多為(人),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),物理化學(xué)都是的最多人,所以?xún)煽浦挥幸豢频燃?jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生最少(人),D選項(xiàng)正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,考查推理能力,屬于中等題.10、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】復(fù)數(shù),則故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由焦點(diǎn)得拋物線(xiàn)方程,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱(chēng)可求出點(diǎn)的坐標(biāo),寫(xiě)出直線(xiàn)方程,聯(lián)立拋物線(xiàn)求交點(diǎn),計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,則,即,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,如圖:∴,解得,或(舍去),∴∴直線(xiàn)的方程為,設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為,由,解得或,∴,∴,故直線(xiàn)被截得的弦長(zhǎng)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),屬于中檔題.12、A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀(guān)圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
注意平移是針對(duì)自變量x,所以,再利用整體換元法求值域(最值)即可.【詳解】由已知,,,又,故,,所以的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題,涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.14、1【解析】
設(shè),令,的值即為所有項(xiàng)的系數(shù)之和。【詳解】設(shè),令,所有項(xiàng)的系數(shù)的和為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)的和的求法─賦值法。一般地,對(duì)于,展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和為,注意與“二項(xiàng)式系數(shù)之和”區(qū)分。15、【解析】
由條件得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,從而得到結(jié)果【詳解】∵f=f,∴x=是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的一條對(duì)稱(chēng)軸.∴f=±2.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,注意對(duì)稱(chēng)軸必過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)圖像的平移變換得到函數(shù)的解析式,再利用整體思想求函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移變換、值域的求解,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意整體思想的運(yùn)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類(lèi)討論求解不等式即可;(2)先利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】(1)①當(dāng)時(shí),恒成立,;②當(dāng)時(shí),,即,;③當(dāng)時(shí),顯然不成立,不合題意;綜上所述,不等式的解集為.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))上述三式相加可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),,故得證.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對(duì)值不等式的最值的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是掌握分類(lèi)討論解決帶絕對(duì)值不等式的方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)在上有解,,設(shè),求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值,得到答案.(2)證明,只需證,記,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最小值,得到證明.【詳解】(1)由題可得,在上有解,則,令,,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.所以是的最大值點(diǎn),所以.(2)由,所以,要證明,只需證,即證.記在上單調(diào)遞增,且,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以是的最小值點(diǎn),,則,故.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線(xiàn)問(wèn)題,證明不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.19、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)由已知可證明平面,從而得證面面垂直,再由,得線(xiàn)面垂直,從而得,由直角三角形得結(jié)論;(2)以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法示二面角.【詳解】(1)證明:連接,,.,,平面.平面,平面平面.,為的中點(diǎn),.平面平面,平面.平面,.為斜邊的中點(diǎn),,(2),由(1)可知,為等腰直角三角形,則.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,則,記平面的法向量為由得到,取,可得,則.易知平面的法向量為.記二面角的平面角為,且由圖可知為銳角,則,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線(xiàn)面垂直,從而得線(xiàn)線(xiàn)垂直,考查用空間向量法求二面角.在立體幾何中求異面直線(xiàn)成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角等空間角時(shí),可以建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求解空間角,可避免空間角的作證過(guò)程,通過(guò)計(jì)算求解.20、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率;(2)由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、,計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率,由此可得出隨機(jī)變量的分布列.【詳解】(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件,則;(2)由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為、、.則,,.故的分布列為【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算,同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)存在,此時(shí)為的中點(diǎn).【解析】
(Ⅰ)證明平面,得到平面平面,故平面平面,平面,得到答案.(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意,過(guò)作于,平面,過(guò)作于,連接,則,過(guò)作于,連接,是二面角的平面角,設(shè),,計(jì)算得到答案.【詳解】(Ⅰ)∵,,,∴平面.又平面,∴平面平面,而平面,,∴平面平面,由,知,可知平面,又平面,∴平面平面.(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意,過(guò)作于,由知,易證平面,所以平面,過(guò)作于,連接,則(
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