浙江省嘉興市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page18浙江省嘉興市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.立德中學(xué)高一年級(jí)共有學(xué)生640人，其中男生300人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的身高狀況，在抽取的樣本中，男生有30人，那么該樣本中女生的人數(shù)為（）A.30人 B.34人 C.60人 D.64人【答案】B【解析】【分析】依據(jù)干脆求解.【詳解】得故選：B2.若函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】用函數(shù)的求導(dǎo)法則、常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.3.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)兩直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，代入即可求解.【詳解】設(shè)所求的直線方程為，代入方程解得，所求的直線方程為.故選：D.4.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的面積為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)出過點(diǎn)A的直線方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程求出直線方程，從而可求出的面積【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)為，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得或，不妨設(shè)直線與圓交于由，得解得，得，同理可得所以的面積為，故選：A5.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)肯定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得到點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，即可得到.【詳解】因?yàn)?，所以，表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，所以故選：B6.跑步是一項(xiàng)常見的有氧運(yùn)動(dòng)，能增加人體新陳代謝和基礎(chǔ)代謝率，是治療和預(yù)防“三高”的有效手段.趙老師最近給自己制定了一個(gè)180千米的跑步健身安排，安排前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑千米，則他要完成該安排至少須要（）A.23天 B.24天 C.25天 D.26天【答案】C【解析】【分析】由題意可知天跑步的里程為，則，依據(jù)求解的最小值即可.【詳解】設(shè)須要天完成安排，由題意易知每天跑步的里程為，從第6項(xiàng)起先以為首項(xiàng)，0.4為公差的等差數(shù)列，所以,所以，化簡(jiǎn)可得：，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故滿意條件的最小.故選：C.7.設(shè)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)()可比較a，b，作出a與c的差，再構(gòu)造函數(shù)判定正負(fù)即可作答.【詳解】令，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，即，于是得，，令，，則當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，即，令，則當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，則，即，于是有，即成立，所以.故選：D8.1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》.他在書中提出了一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問題，發(fā)覺數(shù)列：，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩項(xiàng)均為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和，人們把這個(gè)數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合斐波那契數(shù)列性質(zhì)，逐項(xiàng)推斷即可得解.【詳解】因?yàn)?，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤；由AD知，故C錯(cuò)誤；下證B正確，因?yàn)?，所以，即，累加得，即，故B正確.故選:B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線必過定點(diǎn) B.與可能相離C.與可能相切 D.當(dāng)時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】【分析】求出直線過定點(diǎn)，由定點(diǎn)在圓上推斷ABC，再由弦長(zhǎng)公式推斷D.【詳解】直線，當(dāng)時(shí)，，則直線過定點(diǎn)，而且定點(diǎn)在圓上，則AC正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離，則被截得的弦長(zhǎng)為，故D正確；故選：ACD10.為喚起學(xué)生愛惜地球?愛護(hù)家園的意識(shí)，加強(qiáng)對(duì)節(jié)能減排的宣揚(yáng)，進(jìn)一步營(yíng)造綠色和諧的校內(nèi)環(huán)境，樹人中學(xué)確定舉辦環(huán)保學(xué)問競(jìng)賽.現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個(gè)班級(jí)參與，每個(gè)班級(jí)各派10位同學(xué)參賽，每位同學(xué)須要回答10道題，每題回答正確得1分，回答錯(cuò)誤得0分.若規(guī)定總得分達(dá)到70分且沒有同學(xué)得分低于5分的班級(jí)為“優(yōu)勝班級(jí)”，則依據(jù)以下甲?乙?丙?丁各班參賽同學(xué)的得分?jǐn)?shù)據(jù)信息，能推斷該班肯定為“優(yōu)勝班級(jí)”的是（）A.甲班同學(xué)平均數(shù)為8，眾數(shù)為8 B.乙班同學(xué)平均數(shù)為8，方差為4C.丙班同學(xué)平均數(shù)為7，極差為3 D.丁班同學(xué)平均數(shù)為7，標(biāo)準(zhǔn)差為0【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A，可舉例有得分低于5分的狀況，推斷其是否能推斷該班肯定為“優(yōu)勝班級(jí)”，同理可推斷B,對(duì)于C項(xiàng)，用反證法的思想來(lái)說(shuō)明其可能，對(duì)于D，干脆推斷得分狀況，可以說(shuō)明其可能性.【詳解】對(duì)于A，比如有一位同學(xué)得2分，三位同學(xué)得10分，其余六位同學(xué)都得8分，滿意平均數(shù)8，眾數(shù)為8，但不滿意總得分達(dá)到70分且沒有同學(xué)得分低于5分，故A不能保證該班肯定為“優(yōu)勝班級(jí)”；對(duì)于B，10位同學(xué)的得分可能是：4,6,6,8,8,8,10,10,10,10，此時(shí)滿意平均數(shù)為8，方差為4但不滿意總得分達(dá)到70分且沒有同學(xué)得分低于5分，故B不能保證該班肯定為“優(yōu)勝班級(jí)”；對(duì)于C，假如有同學(xué)得分低于5分，依據(jù)極差為3，那么就,會(huì)出現(xiàn)其他同學(xué)的得分不大于7，這樣平均分就低于7分，不符合丙班同學(xué)平均數(shù)為7，極差為3的條件，故這種狀況下不會(huì)有得分低于5分的同學(xué)，滿意總得分達(dá)到70分且沒有同學(xué)得分低于5分，故C能保證該班肯定為“優(yōu)勝班級(jí)”；對(duì)于D,丁班同學(xué)平均數(shù)為7，標(biāo)準(zhǔn)差為0,可知每位同學(xué)得分均為7分，故D能保證該班肯定為“優(yōu)勝班級(jí)”，故選：CD.11.函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)在內(nèi)肯定不存在最小值B.函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)微小值點(diǎn)C.函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極大值點(diǎn)D.函數(shù)在內(nèi)可能沒有零點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)圖像得導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定原函數(shù)的單調(diào)性，再依次推斷.【詳解】設(shè)的根為，且，則由圖可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增，在內(nèi)單調(diào)減，在內(nèi)單調(diào)增，在內(nèi)單調(diào)減；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有微小值，當(dāng)，時(shí)，是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最小值，所以A錯(cuò)，B正確；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值、，所以C正確；當(dāng)，，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以D正確.故選：BCD.12.已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為常數(shù)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.下列說(shuō)法中正確的有（）A.存在常數(shù)，使上全部的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為定值B.存在常數(shù)，使上全部的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之差的肯定值為定值C.存在常數(shù)，使上全部的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為定值D.存在常數(shù)，使上全部的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之差的肯定值為定值【答案】BC【解析】【分析】干脆法求出曲線方程，依據(jù)選項(xiàng)結(jié)合橢圓與雙曲線中a、b、c的關(guān)系干脆計(jì)算可得.【詳解】設(shè)M坐標(biāo)為，則，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為：由得，此時(shí)表示焦點(diǎn)為的雙曲線，故B正確，A錯(cuò)誤.由得，此時(shí)表示焦點(diǎn)為的橢圓，故C正確，明顯不管為何值都不行能是焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程是___________.【答案】【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合或點(diǎn)到直線的距離公式求出r，然后可解.【詳解】由點(diǎn)到直線的距離公式得，所以圓的方程為.故答案為：.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則其前項(xiàng)和___________.【答案】，【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和時(shí)采納分組求和法，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得答案.【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋海?5.已知橢圓，雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且與橢圓在四個(gè)象限的交點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)雙曲線和橢圓在第一象限得交點(diǎn)為，依據(jù)對(duì)稱性易得四邊形是矩形且面積為，只需聯(lián)立雙曲線和橢圓，求出交點(diǎn)表達(dá)式即可.【詳解】依題意得，雙曲線的焦點(diǎn)是，設(shè)雙曲線方程為，且，不妨設(shè)在第一象限，依據(jù)對(duì)稱性易得四邊形是矩形，且面積為：，聯(lián)立，解得，留意到，化簡(jiǎn)得，于是，所以四邊形面積為，又，取等號(hào)，則四邊形面積最大值為.故答案為：.16.已知不等式對(duì)隨意恒成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由得出且，令，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出其最值，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知，所以，則且，令，，由，可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可求得，同理可得，所以恒成立，即.故答案為：四?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，，記為其前項(xiàng)和，___________.給出下列三個(gè)條件：條件①；條件②成等比數(shù)列；條件③.試在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，完成下列兩問的解答：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：假如選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇①：由求和公式得出，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式；選擇②：由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式；選擇③：由等差數(shù)列的定義得出，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消求和法求和即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列得公差為d，選擇①：因?yàn)椋?選擇②：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所?選擇③：因?yàn)椋?，所以，【小?詳解】因?yàn)?，所?18.從某城市抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)覺他們的用電量都在50到350度之間，將數(shù)據(jù)依據(jù)分成6組，畫出的頻率分布直方圖如下圖所示.（1）求直方圖中的值和月平均用電量的眾數(shù)；（2）已知該市有200萬(wàn)戶居民，估計(jì)居民中用電量落在區(qū)間內(nèi)總戶數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】（1），眾數(shù)為度（2）萬(wàn)戶，理由見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)矩形面積之和為1可得x，由最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)估計(jì)眾數(shù)；（2）先求頻率，再由總體頻率可得.【小問1詳解】依據(jù)頻率和為1，可知，計(jì)算得.由圖可知，最高矩形的數(shù)據(jù)組為，所以眾數(shù)為度.【小問2詳解】由頻率分布直方圖知：用電量落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以用電量落在區(qū)間內(nèi)的總戶數(shù)為萬(wàn)戶.19.已知圓，圓.（1）若圓與圓外切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若圓與圓相交于兩點(diǎn)，弦的長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出圓心、半徑，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；（2）法一，聯(lián)立方程組，利用點(diǎn)到直線的距離公式，弦心距公式即可求解；法二，由題意知，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，利用弦心距公式即可求解.【小問1詳解】圓，即為，所以，圓，所以，因兩圓外切，所以，得，化簡(jiǎn)得，所以.【小問2詳解】法一：圓，即為，將圓與圓的方程聯(lián)立，得到方程組兩式相減得公共弦的方程為：，由于，得點(diǎn)到直線的距離：，所以，即，即，解得或者.法二：因?yàn)?，所以圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)?，得點(diǎn)到直線的距離：，所以，解得或者.20.已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列是遞減數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿意.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式，得出，再由等差數(shù)列的定義得出；（2）由錯(cuò)位相減法得出，再由不等式的性質(zhì)證明.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞減，所以因?yàn)?，成等差?shù)列，所以即化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，即，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列，即，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以①，所以②，兩式相減得所以，得證.21.如圖，已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)滿意的中點(diǎn)均在上.（1）求拋物線的方程；（2）記直線的斜率分別為，請(qǐng)問是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）利用準(zhǔn)線，即可求出，故可求得拋物線方程；（2）設(shè)中點(diǎn)為及直線的方程為，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，利用及可以求得，，將其代入，即可得到，同理設(shè)中點(diǎn)，直線的方程為：，依據(jù)上述方法能得到，由此可以得出，由即可求出的值.【小問1詳解】∵拋物線的準(zhǔn)線，∴，即，拋物線的方程為.【小問2詳解】方法①：設(shè)中點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，整理得∵直線的斜率不為零，令，∴直線的方程為：，聯(lián)立消得，則，，∵，即，，∴，化簡(jiǎn)得，同理設(shè)中點(diǎn)，直線的方程為：，聯(lián)立消得，則，，∵，即，，∴，化簡(jiǎn)得，則，是方程的兩根，即，又∵∴由得，，即，故存在滿意條件.方法②：設(shè)，中點(diǎn)為，則，消得，同理設(shè)中點(diǎn)，則，消得則，則、是方程的兩根，即，由和得，由得，又∵，即，，即，∴，又∵，且，∴，即，故存在滿意條件.22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若為方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，證明：（i）；（ii）.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）由，求導(dǎo)，