河南省鄭州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)文科二調(diào)試卷含解析

Page22河南省鄭州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)（文科）二調(diào)試卷（120分鐘150分）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解法求集合A，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性求集合B，再依據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】由題意得，，故．故選：C.2.已知，其中為虛數(shù)單位，則（）A.16 B.17 C.26 D.28【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等的概念運(yùn)算求值.【詳解】設(shè)，則，∵，即，則，故，解得，故．故選：B．3.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】D【解析】【詳解】試題分析：，,故選D.考點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系.4.已知在矩形中，，線段交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合向量的運(yùn)算性質(zhì)，從動(dòng)身進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)行合理的“插點(diǎn)”，使其能被表示即可.【詳解】依題意得，結(jié)合圖形有：.故選：D5.設(shè)實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出可行域如圖所示，表示斜率為的平行直線，平移可得過點(diǎn)時(shí)，取最小值，代入計(jì)算即可．【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示，可化簡(jiǎn)為，即斜率為的平行直線，由，解得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取最小值，.故選：C6.已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，若，，則A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】【分析】由S6＝9S3得公比肯定不是1，設(shè)公比為q，利用S6＝9S3建立公比q的方程求解出公比，再利用求得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由，得公比肯定不1，設(shè)公比為q，則，解得，因?yàn)?，所以，即，解得，所以故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)的最小正周期為，若，把的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到奇函數(shù)的圖象，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平移得的表達(dá)式，由為奇函數(shù)以及可得，進(jìn)而由可得，由代入即可求值.【詳解】∴，∵為奇函數(shù)，∴，即，∴．又，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選:A．8.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.已知，且為銳角，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合正弦定理邊化角可解得，即可求角，結(jié)合正弦定理邊化角之后再消元，可得，再結(jié)合的范圍即可得證【詳解】由正弦定理可知，，，又在中，，即，為銳角，，，所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即，故選：A9.已知函數(shù)，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，將化為，比較的大小關(guān)系即可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，故，所以，則在時(shí)單調(diào)遞增，由于因?yàn)?，而，，即，則，故選：B10.設(shè)，則最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】由已知可得出，利用基本不等式可求得該代數(shù)式的最小值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為6.故選：C.11.已知棱長都為3的正三棱柱中，分別為棱上的點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助于側(cè)面綻開圖分析可得當(dāng)，時(shí)，取得最小值時(shí)，利用平行將與平面所成的角轉(zhuǎn)化為與平面所成的角，再依據(jù)線面角的定義分析求解.【詳解】如圖1，沿著棱將棱柱的側(cè)面綻開成一個(gè)矩形，因?yàn)?，所以?dāng)取得最小值時(shí)，，，如圖2，在上取點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，則，，所以、與平面所成的角相等.取的中點(diǎn)為，連接、，因?yàn)?，，，平面，所以平面，則為與平面所成的角，即與平面所成的角，又，，所以故選：C.12.已知函數(shù)，若對(duì)隨意，，恒成立，則m的最大值為（）A.－1 B.0 C.1 D.e【答案】C【解析】【分析】對(duì)隨意，恒成立等價(jià)于對(duì)隨意，恒成立；可換元，設(shè)，令，則，即在恒成立，求導(dǎo)由單調(diào)性即可求出最值.【詳解】由題知對(duì)隨意，恒成立，等價(jià)于，即，即對(duì)隨意，恒成立，不妨設(shè)，令，則，則原式等價(jià)于，即在恒成立，設(shè)，，則，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，即m的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值，故選：C.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上.）13.已知曲線在處的切線方程為，則________________．【答案】.【解析】【分析】由求得，可得，代入切線方程求得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，由，解得，則，所以，代入切線方程，可得，即，所以，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)己知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3)已知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)利用求解.14.若向量滿意，則與的夾角為__________．【答案】##【解析】【分析】求得向量的模，求出向量的數(shù)量積，依據(jù)向量的夾角公司求得答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，由題意可知，所以，故，故答案為：15.數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于隨意的，總有，，成等差數(shù)列，又記，數(shù)列的前項(xiàng)和______．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)等差中項(xiàng)可得，再利用和的關(guān)系可得，進(jìn)而求得，所以，利用裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】由對(duì)于隨意的，總有，，成等差數(shù)列可得：，當(dāng)時(shí)可得，所以，所以，所以，由數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，又時(shí)，所以，所以，，.故答案為：.16.在長方體中，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面平行，當(dāng)三角形的面積最小時(shí)，三棱錐的外接球的體積是______．【答案】【解析】【分析】由直線與平面沒有公共點(diǎn)可知線面平行，補(bǔ)全所給截面后，易得兩個(gè)平行截面，從而確定點(diǎn)所在線段，可知當(dāng)時(shí)，三角形面積最小，然后證明，得到為三棱錐的外接球的直徑，進(jìn)一步求解得答案．【詳解】補(bǔ)全截面為截面如圖，設(shè)，直線與平面不存在公共點(diǎn)，平面，易知平面平面，，且當(dāng)與重合時(shí)，最短，此時(shí)的面積最小，由等面積法得，即，，，，平面，則，又，為三棱錐的外接球的直徑，長度為．三棱錐的外接球的半徑為，體積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法（1）求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何學(xué)問找尋幾何中元素間的關(guān)系求解．（2）若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段兩兩相互垂直，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，利用求解，考查學(xué)生的空間想象實(shí)力與思維實(shí)力，是中檔題．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知向量.（1）若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面對(duì)量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再由，得到，然后利用二倍角的余弦公式結(jié)合商數(shù)關(guān)系求解；（2）利用協(xié)助角公式將化簡(jiǎn)，即可得到的解析式，由的取值范圍求出的范圍，最終利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：，，，，即，，．【小問2詳解】解：因?yàn)?，所以，，，，，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?8.如圖，正三棱柱中，是的中點(diǎn)，．（1）求證：直線；（2）推斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析（2）平面，證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)正三棱柱的性質(zhì)得到，平面，即可得到，從而證明平面，即可得到，從而得證；（2）連接交于，連接，即可得到，從而得證.【小問1詳解】證明：因?yàn)檎庵校堑闹悬c(diǎn)，所以，平面，又平面，∴，又，平面，平面，所以平面，又平面，∴，又，所以；【小問2詳解】解：直線平面，證明：連接交于，則為的中點(diǎn)，連接，又是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.19.已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，求得，再求得首項(xiàng)和公差，即可寫出通項(xiàng)公式；（2）依據(jù)（1）中所求，解得，再利用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，易知，因?yàn)?，即，即，又，故為方程的兩根，解得或，又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，故可得，即，解得，故.【小問2詳解】，故即，則，作差可得，即，解得.20.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.（1）求角；（2）若，邊上的中線，求邊的長.【答案】（1）（2），或，.【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故，結(jié)合，從而求出；（2）依據(jù)及余弦定理得到，再由得到，結(jié)合余弦定理得到，，求出的長.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)?，由余弦定理知：，∵，∴，即，∵，∴，故，解得：，或?21.如圖，直三棱柱中，，，為棱的中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn).（1）試確定點(diǎn)位置，使得平面；（2）求點(diǎn)到平面距離的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，通過證明四邊形為平行四邊形得出即可；（2）利用等體積法可得出，求出面積的最小值即可.【小問1詳解】當(dāng)在中點(diǎn)處時(shí)，平面.證明如下：取中點(diǎn)，連接，.因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，全部且，因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)到平面距離.在中，，，在中，.又平面，，∴點(diǎn)到平面的的距離為..即，∴.取中點(diǎn)E，連接PE.當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，PE為異面直線與的公垂線段.∴.∴.所以，點(diǎn)到平面的距離的最大值為.22.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，函數(shù)的微小值為；（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值的定義進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)法、函數(shù)零點(diǎn)的定義，利用分類探討思想進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由題意，函數(shù)可得，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)增