河南省周口市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

河南省周口市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（考試用時(shí)120分鐘試卷滿分150分）留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)科目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，橡皮擦干凈后，涂上其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容:選擇性必修一一、二章.第I卷（選擇題）一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.空間隨意四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，則等于（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量加法的三角形法則和向量減法的定義即可求出答案.【詳解】易知，.故選：D.2.如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】.故選：C.3.若向量，，且與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)等于（）.A.0 B.C.0或 D.0或【答案】C【解析】【分析】干脆利用空間向量夾角余弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，且與的夾角的余弦值為，所以，解得或.故選：C.4.如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后依據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則依據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.5.已知定直線的方程為，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的一條切線，是切點(diǎn)，是圓心，若面積的最小值為，則面積最小時(shí)直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，求得，即圓心到直線的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的值.【詳解】由題意可得直線的方程為，圓的圓心，半徑為，如圖，又，所以，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，此時(shí)，可得，，則，解得.故選：B.6.已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.1 B. C.1或 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡(jiǎn)求得，檢驗(yàn)后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當(dāng)時(shí)，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗(yàn)可知符合題意.故選：A7.已知，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】推斷出直線

經(jīng)過定點(diǎn)，分別求出，即可求解.【詳解】由于直線

的斜率為，

且經(jīng)過定點(diǎn)，

設(shè)此定點(diǎn)為.而直線

的斜率為

，

直線

的斜率為

，要使直線與線段有公共點(diǎn)，只需.故選

：C.8.從中任取一個(gè)實(shí)數(shù)，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)大于的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線被圓截得的弦長(zhǎng)大于2的等價(jià)條件，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題知所給圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，當(dāng)弦長(zhǎng)大于2時(shí)，圓心到直線的距離小于1，即，所以，故所求概率，故選A．二.多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分）9.在四面體ABCD中，E是棱BC的中點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】應(yīng)用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體用表示，即可確定x、y、z的值，進(jìn)而推斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】∵，∴，，則，故A，B，D錯(cuò)誤，C正確.故選：ABD.10.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）A.平面B.的大小可以為C.直線與直線恒為異面直線D.存在實(shí)數(shù)，使得成立【答案】ABD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量的方法逐一計(jì)算各個(gè)選項(xiàng).【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)所以又平面所以平面的法向量為因?yàn)樗运云矫婀收_對(duì)于B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)所以所以所以平面所以的大小可以為，故正確；對(duì)于當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線與共面，故不正確對(duì)于三點(diǎn)共線故正確.故選:ABD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿意，下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角是B.直線的傾斜角是C.最大時(shí)，的面積是D.最大時(shí)，的面積是6【答案】AD【解析】【分析】因?yàn)椋瑒t點(diǎn)在的垂直平分線上，所以，依據(jù)兩直線垂直的斜率關(guān)系可求得.最長(zhǎng)即為圓的直徑，用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，代入即可求得.【詳解】，在的垂直平分線上，又是圓的弦，圓心也在的垂直平分線上，則，，的斜率為，直線的傾斜角為.當(dāng)過圓心，即為直徑時(shí)，，此時(shí)的高為，且，故選：AD12.已知直線l1：x+y﹣4＝0與圓心為M（0，1）且半徑為3的圓相交于A，B兩點(diǎn)，直線l2：2mx+2y﹣3m﹣5＝0與圓M交于C，D兩點(diǎn)，則四邊形ACBD的面積的值可以是（）A. B. C. D.9（）【答案】BC【解析】【分析】寫出圓的方程，聯(lián)立直線方程與圓方程，求出A，B的坐標(biāo)，可知?jiǎng)又本€過AB的中點(diǎn)，則當(dāng)CD與AB垂直時(shí)四邊形ACBD面積最大，代入四邊形ACBD面積公式求解即可．【詳解】依據(jù)題意，圓M的圓心為M（0，1）且半徑為3，則圓M的方程為x2+（y﹣1）2＝9，即x2+y2﹣2y﹣8＝0，直線l1：x+y﹣4＝0與圓M相交于A，B兩點(diǎn)，則有，解可得：或，即A、B的坐標(biāo)分別為（3，1），（0，4），則|AB|＝＝3，且AB的中點(diǎn)為（，），直線l2：2mx+2y﹣3m﹣5＝0，變形可得m（2x﹣3）+2y﹣5＝0，直線l2恒過定點(diǎn)（，）設(shè)N（，），當(dāng)CD與AB垂直時(shí)，四邊形ACBD的面積最大，此時(shí)CD的方程為y﹣＝x﹣，變形可得y＝x+1，經(jīng)過點(diǎn)M（0，1），則此時(shí)|CD|＝6，故S四邊形ACBD的最大值＝S△ACB+S△ADB＝×6×3＝9，故S四邊形ACBD≤9，故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求得AB的中點(diǎn)與直線l2恒過定點(diǎn)是同一點(diǎn)，從而推斷當(dāng)CD與AB垂直時(shí)四邊形ACBD面積最大．Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在題中橫線上）13.已知點(diǎn)，，，若，，三點(diǎn)共線，則______.【答案】【解析】【分析】首先求出，的坐標(biāo)，再依據(jù)，，三點(diǎn)共線，即可得到，從而，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，即，所以，解得故答案為：14.設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，則____________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及兩直線垂直的關(guān)系，求實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，?故答案為：15.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)好玩的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬'問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處動(dòng)身，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，河岸線所在直線方程為，若將軍從點(diǎn)處動(dòng)身，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為_________．【答案】【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再依據(jù)的值求最值.【詳解】設(shè)，則，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，有因?yàn)?，關(guān)于直線，所以，解得，，即，故最短路徑為，故答案為：.16.已知圓C的圓心在y軸上，截直線所得弦長(zhǎng)為8，且與直線相切，則圓C的方程___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓C的圓心為，半徑為，分別求出圓心到直線和的距離，利用直線與圓的位置關(guān)系列出方程組，可得圓的方程．【詳解】設(shè)圓C圓心為，半徑為圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為則，即，解得則圓C的方程為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)線距公式，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是直線與圓相交時(shí)，半徑的平方與弦長(zhǎng)一半的平方和圓心到直線的距離的平方和相等，并利用直線與相切，列出方程組，解出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生邏輯思維實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，.（1）若，分別求與的值；（2）若，且與垂直，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)平行關(guān)系可得，由此構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（2）依據(jù)向量垂直和模長(zhǎng)可構(gòu)造方程組求得，由此得到.【詳解】（1）由得：，即，解得：；（2），，又，，即，由得：，.18.如圖，在三棱柱中，平面，且D為線段的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若到直線的距離為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面垂直的性質(zhì)可證得，理由勾股定理證得，再依據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，再依據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）過B作于H，連接，易證，則，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以；【小?詳解】解：過B作于H，連接，因?yàn)槠矫妫?，所以平面，又因平面，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，則，因?yàn)?，所?以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，同理可得平面的一個(gè)法向量為，則，由圖可知，二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.19.已知直線l1：x+y+2＝0；l2：mx+2y+n＝0.（1）若l1⊥l2，求m的值；（2）若l1//l2，且他們的距離為，求m，n的值.【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）由垂直得斜率互為負(fù)倒數(shù)，可求得；（2）由平行求得，再由距離求得．【詳解】（1）的斜率為，∵l1⊥l2，∴直線的斜率為，∴；（2）∵，∴，（時(shí)兩直線平行），的方程化為，∴兩平行間的距離為，解得．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直與平行的條件，考查兩平行線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．20.已知圓的圓心在直線，且過圓上一點(diǎn)的切線方程為．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)直線與圓交于另一點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)的直線的方程．【答案】（1）（2）5，或【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，過點(diǎn)的直徑所在直線方程為，進(jìn)而與直線聯(lián)立方程即可得圓心，進(jìn)而求解方程；（2）要使最大，則點(diǎn)滿意所在直線與所在直線垂直，再依據(jù)三角形面積公式計(jì)算，且所在直線方程為，再與圓的方程聯(lián)馬上可求得的坐標(biāo)為或，再分別探討求解方程即可.【小問1詳解】解：由題意，過點(diǎn)的直徑所在直線方程為，即．聯(lián)立，解得，∴圓心坐標(biāo)為，半徑，∴圓的方程為；【小問2詳解】解：，要使最大，則點(diǎn)滿意所在直線與所在直線垂直，此時(shí)的最大值為；∵，∴所在直線方程為，即，聯(lián)立，得或，即的坐標(biāo)為或，當(dāng)時(shí)，的方程為，即；當(dāng)時(shí)，的方程為，即．綜上所述，所在直線方程為或．21.如圖，圓內(nèi)有一點(diǎn)，AB為過點(diǎn)且傾斜角為的弦．（1）當(dāng)時(shí)，求AB的長(zhǎng)．（2）是否存在弦AB被點(diǎn)平分？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）求出直線AB的斜率即可寫出其點(diǎn)斜式方程，利用勾股定理可求得弦長(zhǎng)；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，AB與垂直，由此可求出直線AB的斜率，寫出其點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）依題意，直線AB的斜率為，又直線AB過點(diǎn)，所以直線AB的方程為：，圓心到直線AB的距離為，則，所以；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，AB與垂直，因?yàn)椋?，直線AB的點(diǎn)斜式方程為即.22.已知直線與圓交于兩點(diǎn).（1）求的斜率的取值范圍；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與的斜率分別為，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若