江西省五市九校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考理科試卷掃描版

Page12江西省五市九校協(xié)作體2024屆第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試卷答案一．序號(hào)123456789101112答案DBDCDAAAABDD二．填空題13.18214.15.1016.6解答題：17.解（1）數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，，，，是方程的兩個(gè)根，解方程，得，，，，．（2）由（1）得：，，數(shù)列的前項(xiàng)和：，且對(duì)一切成立，，解得，最小正整數(shù)為2024．18.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，因?yàn)槭橇庑危?，且是的中點(diǎn)，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）解：取的中點(diǎn)，由四邊形是菱形，，則，是正三角形，，，又平面，所以以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在棱上存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角為，則，，，，，，則設(shè)，，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，，得平面的法向量可以為，，解得，所以，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離.19.（1）由頻率分步直方圖得，得分為17，18的人數(shù)分別為6人，12人，所以兩人得分之和不大于35分為兩人得分均為17分，或兩人中1人17分1人18分，所以.（2）又，所以正式測(cè)試時(shí)，，所以，①所以，所以人；②由正態(tài)分布模型，任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為，即，所以，所以，所以的分布列為0123所以.20（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，依據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形.又，所以而，所以，在四邊形中，，所以，在中，依據(jù)余弦定理得即化簡(jiǎn)得.所以橢圓的離心率；。。。。。。5分（2）因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為，所以，所以，又由（1）知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.在中，，，所以，從而，又為線段的中點(diǎn)，即，所以，因此，從而，依據(jù)題意可知直線的斜率肯定存在，設(shè)它的方程為，，，聯(lián)立消去得①，，依據(jù)韋達(dá)定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以舍去，于是直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，滿意關(guān)于的方程①有兩個(gè)不相等的解，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.。。。。。。12分21．(1)；(2)【分析】(1)在內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，等價(jià)于在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、.探討的單調(diào)性和零點(diǎn)狀況即可求出a的范圍；(2)設(shè)，由(1)知且，則，將a=代入要證的不等式，可將不等式化為，令，則不等式化為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在(0，1)恒成馬上可．(1)函數(shù)定義域?yàn)椋趦?nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，等價(jià)于在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、．設(shè)，由，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有，即，解得．易證，證明如下：令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，故，得證．∴，又，∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn)、，此時(shí)：00↓微小值↑極大值↓故在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)時(shí)，a的范圍為；(2)方法1：由(1)可知是的兩個(gè)零點(diǎn)，不防設(shè)，由且，得．∵．令，則，記，，則，令，．又，則，即，∴在上單調(diào)遞增，故，即成立．∴不等式成立．方法2：欲證，由，，則只需證：．不妨設(shè)，則且，則，∴，令，則，記，，由，即在上單調(diào)遞增，故，即成立.故．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)關(guān)鍵是找到x=1和x=，推斷，，從而依據(jù)零點(diǎn)存在性定理推斷在和上各有一個(gè)零點(diǎn)；其次問(wèn)的關(guān)鍵是利用是的兩個(gè)零點(diǎn)用替換a，再利用換元將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量進(jìn)行證明．22．(1)；(2).【分析】（1）求得的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可；（2）求得曲線的一般方程，結(jié)合的直角坐標(biāo)方程，求得交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)即可.【詳解】（1）對(duì)點(diǎn)，設(shè)其直角坐標(biāo)為，則，即其直角坐標(biāo)為，故在直角坐標(biāo)系下的方程為：，由可得：，故的極坐標(biāo)方程為：.（2）由題可得曲線的一般方程為：，聯(lián)立，可得，解得或，又，故，則，即曲線C與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，設(shè)其極坐標(biāo)為，則，，即曲線C與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.23、（1）當(dāng)a＝3時(shí)，即