自動(dòng)控制原理 課件全套 田茸 第1章 緒論、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-非線性控制系統(tǒng)分析

第1章緒論1.1引言

1.2自動(dòng)控制的一般概念

1.3自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成1.4自動(dòng)控制系統(tǒng)的控制方式1.5自動(dòng)控制系統(tǒng)實(shí)例1.6自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類(lèi)1.7對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)性能的基本要求本章要點(diǎn)：⑴自動(dòng)控制的一般概念。⑵自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成。⑶自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本控制方式。⑷自動(dòng)控制應(yīng)用實(shí)例。⑸自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類(lèi)。⑹對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)性能的要求。⑴掌握自動(dòng)控制的一般概念及相關(guān)名詞術(shù)語(yǔ)。⑵理解自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成及各組成部分的作用。⑶掌握開(kāi)環(huán)控制、閉環(huán)控制和復(fù)合控制系統(tǒng)的工作原理、特點(diǎn)及適用場(chǎng)合，深入理解負(fù)反饋原理。⑷了解自動(dòng)控制系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用，學(xué)會(huì)利用所學(xué)控制原理分析控制系統(tǒng)。⑸理解自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本分類(lèi)方法。⑹理解自動(dòng)控制系統(tǒng)的性能要求。⑺了解自動(dòng)控制理論的發(fā)展，認(rèn)識(shí)自動(dòng)控制技術(shù)在國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中的重要作用，增強(qiáng)學(xué)科自信，明確學(xué)習(xí)本課程的目的。學(xué)習(xí)目標(biāo)：本章重點(diǎn)：⑴自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本概念。⑵自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本控制方式，反饋控制原理及特點(diǎn)。⑶由系統(tǒng)工作原理圖繪制方框圖。⑷自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本分類(lèi)方法。⑸自動(dòng)控制系統(tǒng)性能要求。1.1引言

隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，自動(dòng)控制技術(shù)和理論已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)療衛(wèi)生、環(huán)境監(jiān)測(cè)、交通管理、軍事裝備、空間技術(shù)、核技術(shù)和人工智能等領(lǐng)域，成為現(xiàn)代化社會(huì)不可缺少的重要組成部分。采用自動(dòng)控制技術(shù)不僅可以提高勞動(dòng)生產(chǎn)率，降低生產(chǎn)成本，改善勞動(dòng)條件，將人們從繁重的體力勞動(dòng)和大量重復(fù)性的操作中解放出來(lái)，還為人類(lèi)探索自然、利用自然提供了有力的保障。近年來(lái)，控制科學(xué)已經(jīng)滲透到多個(gè)科學(xué)，不僅在自然和工程科學(xué)領(lǐng)域，而且在政治、經(jīng)濟(jì)等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用，成為多個(gè)科學(xué)和領(lǐng)域的發(fā)展動(dòng)力。

自動(dòng)控制理論是研究有關(guān)自動(dòng)控制共同規(guī)律的一門(mén)技術(shù)科學(xué)，它是在解決實(shí)際技術(shù)問(wèn)題的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展起來(lái)的。根據(jù)發(fā)展的不同階段，大致分為經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和智能控制理論。

經(jīng)典控制理論始于19世紀(jì)初，到了20世紀(jì)50年代，經(jīng)典控制理論已經(jīng)發(fā)展到相當(dāng)成熟的地步，形成了相對(duì)完整的理論體系。以傳遞函數(shù)作為描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，以時(shí)域法、根軌跡法和頻域法為主要方法，構(gòu)成了經(jīng)典控制理論的基本框架。經(jīng)典控制理論主要研究單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。

20世紀(jì)50年代中期，空間技術(shù)的發(fā)展迫切要求解決更復(fù)雜的多變量、非線性、時(shí)變等控制問(wèn)題。同時(shí)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展也為控制理論的發(fā)展提供了條件，到20世紀(jì)60年代初，以狀態(tài)方程作為描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，以貝爾曼的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、龐特里亞金的極小值原理以及卡爾曼濾波為核心的新的控制理論和方法的確定，使得現(xiàn)代控制理論應(yīng)運(yùn)而生?，F(xiàn)代控制理論主要研究具有高性能、高精度和多耦合回路的多變量系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。

20世紀(jì)70年代以后，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展，出現(xiàn)了自適應(yīng)控制、專(zhuān)家系統(tǒng)、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、大系統(tǒng)理論等自動(dòng)控制科學(xué)分支，控制理論正向著以控制論、信息論、仿生學(xué)為基礎(chǔ)的智能控制理論深入?？刂评碚摰陌l(fā)展，必將有力地推動(dòng)社會(huì)生產(chǎn)力的進(jìn)步，提高人民的生活水平，促進(jìn)人類(lèi)社會(huì)的共同發(fā)展。

本書(shū)主要介紹經(jīng)典控制理論的相關(guān)內(nèi)容，以求為進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)自動(dòng)控制有關(guān)課程及其相關(guān)科學(xué)奠定良好的基礎(chǔ)。1.2自動(dòng)控制的一般概念

什么是控制？什么是自動(dòng)控制？為了說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，首先看一個(gè)人工控制實(shí)例。

圖1-2-1是人工控制的水箱水位控制系統(tǒng)示意圖，該系統(tǒng)中水箱是被控對(duì)象，水位的高度是被控量，控制的任務(wù)是保持水位的高度在期望值上。當(dāng)出水流量和入水流量平衡時(shí)，水位高度維持在期望值上。當(dāng)出水流量或入水流量發(fā)生變化時(shí)，水位必定偏離期望值，這時(shí)就需要操作者對(duì)水箱進(jìn)行必要的控制。圖1-2-1水箱水位人工控制示意圖

具體操作步驟如下，首先，操作者用眼睛連續(xù)地觀察實(shí)際水位，大腦將實(shí)際水位與期望水位進(jìn)行比較，得到偏差，然后大腦根據(jù)偏差的大小，指揮手臂調(diào)節(jié)進(jìn)水閥門(mén)的開(kāi)度，最終使實(shí)際水位達(dá)到期望的水位高度，從而實(shí)現(xiàn)控制任務(wù)。

可以看出，整個(gè)控制過(guò)程，是一個(gè)利用偏差產(chǎn)生控制作用，并不斷使偏差減小直至消除的過(guò)程，同時(shí)，為了取得偏差信號(hào)，必須要有實(shí)際水位的反饋信息，兩者結(jié)合起來(lái)，就構(gòu)成了反饋控制。顯然，反饋控制實(shí)質(zhì)上是一個(gè)按偏差進(jìn)行控制的過(guò)程。水箱水位人工控制工作原理可用圖1-2-2所示的方框圖表示。圖1-2-2水箱水位人工控制方框圖

通過(guò)上述人工控制的水箱水位控制過(guò)程可以看出，產(chǎn)生控制作用的機(jī)構(gòu)是人的眼睛、大腦和手臂。如果將控制裝置有機(jī)地組合在一起，代替人的職能，就構(gòu)成了自動(dòng)控制系統(tǒng)。

圖1-2-3是水箱水位自動(dòng)控制系統(tǒng)示意圖，該系統(tǒng)中浮子代替了人的眼睛，對(duì)實(shí)際水位進(jìn)行測(cè)量；連桿和電位器類(lèi)似于人的大腦，它將期望水位與實(shí)際水位兩者進(jìn)行比較，得出偏差的大小和極性；電動(dòng)機(jī)和減速器相當(dāng)于人的手臂，調(diào)節(jié)進(jìn)水閥門(mén)開(kāi)度，對(duì)水位實(shí)施控制。圖1-2-3水箱水位自動(dòng)控制示意圖控制過(guò)程可用圖1-2-4所示的方框圖表示。由此可見(jiàn)，為了完成控制任務(wù)，控制裝置必須具備測(cè)量、比較、執(zhí)行三個(gè)基本的職能部件。圖1-2-4水箱水位自動(dòng)控制方框圖

綜上所述，所謂自動(dòng)控制就是指在沒(méi)有人直接參與的情況下，利用控制裝置操縱被控對(duì)象，使被控量自動(dòng)地按照預(yù)定的規(guī)律運(yùn)行。自動(dòng)控制系統(tǒng)是指能夠完成自控控制任務(wù)的設(shè)備，一般由被控對(duì)象和控制裝置構(gòu)成。1.3自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成

自動(dòng)控制系統(tǒng)根據(jù)被控對(duì)象和具體用途不同，可以有各種不同的結(jié)構(gòu)形式。

一個(gè)典型的自動(dòng)控制系統(tǒng)組成可用圖1-3-1所示方框圖表示，主要包括被控對(duì)象、給定元件、測(cè)量元件、比較元件、放大元件、執(zhí)行元件以及校正元件等。每一個(gè)功能元件都有自己的職能，各組成部分既要完成各自任務(wù)，又要共同協(xié)作才能使控制系統(tǒng)具有良好的控制性能。圖1-3-1典型自動(dòng)控制系統(tǒng)組成方框圖被控對(duì)象：一般指控制系統(tǒng)中接受控制的設(shè)備或生產(chǎn)過(guò)程。給定元件：用于給出與期望的輸出相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸入量，是產(chǎn)生輸入指令的元件。測(cè)量元件：用于對(duì)系統(tǒng)的被控量進(jìn)行檢測(cè)，并把它轉(zhuǎn)換成與參考輸入相同的物理量后，送入比較環(huán)節(jié)。比較元件：用于將測(cè)量元件檢測(cè)的被控量實(shí)際值與給定元件給出的輸入量進(jìn)行比較，求出它們之間的偏差。放大元件：用于將比較元件給出的偏差信號(hào)進(jìn)行放大，以推動(dòng)執(zhí)行元件動(dòng)作。執(zhí)行元件：直接對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行操作，使被控量發(fā)生變化。常用來(lái)作為執(zhí)行元件的有閥門(mén)、電動(dòng)機(jī)、液壓馬達(dá)等。校正元件：也稱控制器，它是結(jié)構(gòu)或參數(shù)便于調(diào)整的元部件，用串聯(lián)或反饋的方式連接在系統(tǒng)中，以改善系統(tǒng)的性能。最簡(jiǎn)單的校正元件是由電阻、電容組成的無(wú)源或有源網(wǎng)絡(luò)，復(fù)雜的則用計(jì)算機(jī)。輸入信號(hào)：是指參考輸入，又稱給定量、給定值或輸入量，它是控制輸出量的指令信號(hào)。輸出信號(hào)：是指被控對(duì)象中要求按一定規(guī)律變化的物理量，又稱被控量或輸出量，它與輸入信號(hào)之間滿足一定的函數(shù)關(guān)系。反饋信號(hào)：由系統(tǒng)輸出端取出并反向送回系統(tǒng)輸入端的信號(hào)稱為反饋信號(hào)。若反饋信號(hào)與輸入信號(hào)相減，使產(chǎn)生的偏差越來(lái)越小，則稱為負(fù)反饋；反之，則稱為正反饋。偏差信號(hào)：是指輸入信號(hào)與反饋信號(hào)之差，簡(jiǎn)稱偏差。擾動(dòng)信號(hào)：簡(jiǎn)稱擾動(dòng)或干擾，它與控制作用相反，是一種不希望的、影響系統(tǒng)輸出的不利因素。擾動(dòng)信號(hào)既可來(lái)自系統(tǒng)內(nèi)部，又可來(lái)自系統(tǒng)外部，前者稱為內(nèi)部擾動(dòng)，后者稱為外部擾動(dòng)。1.4自動(dòng)控制系統(tǒng)的控制方式

自動(dòng)控制系統(tǒng)的控制方式包括開(kāi)環(huán)控制、閉環(huán)控制和復(fù)合控制，它們都有其各自的特點(diǎn)和不同的適用場(chǎng)合。1.4.1開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)

開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)是指被控量對(duì)控制作用不產(chǎn)生影響的系統(tǒng)。在開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)中，不對(duì)被控量進(jìn)行任何檢測(cè)，在輸出端和輸入端之間不存在反饋聯(lián)系，信號(hào)從輸入端到輸出端之間的傳遞是單向進(jìn)行的。

許多現(xiàn)代化設(shè)備如CD播放機(jī)、計(jì)算機(jī)磁盤(pán)驅(qū)動(dòng)器和錄音機(jī)等都需要電動(dòng)機(jī)以恒定的轉(zhuǎn)速帶動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)。圖1-4-1所示的轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)屬于開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)，通過(guò)調(diào)節(jié)電位器的滑臂，使其輸出參考電壓

ur，經(jīng)放大器放大后成為

ua，加到直流電動(dòng)機(jī)的電樞兩端，從而控制電動(dòng)機(jī)以恒定的轉(zhuǎn)速帶動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)。圖1-4-1轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)示意圖

在本系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)臺(tái)是被控對(duì)象，轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速是被控量即輸出量，參考電壓為系統(tǒng)的輸入量，整個(gè)控制過(guò)程可用圖1-4-2所示的方框圖表示，從圖中可以看出，只有輸入量對(duì)輸出量的單向控制作用，而輸出量對(duì)輸入量卻沒(méi)有任何影響和聯(lián)系，這種系統(tǒng)稱為開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)。圖1-4-2轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)方框圖

該系統(tǒng)在理想條件下，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速

ω

與電樞電壓

ua成正比，只要改變給定電壓

ur，便可得到期望的轉(zhuǎn)速

ω

。然而由于電動(dòng)機(jī)磨損或磁盤(pán)發(fā)熱、振動(dòng)、噪聲以及元器件老化等因素會(huì)使轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速偏離期望值，這些使被控量偏離期望值的因素稱為干擾或擾動(dòng)，系統(tǒng)在受到干擾的影響后，輸出量無(wú)法反映到系統(tǒng)輸入端從而對(duì)

ua產(chǎn)生影響，也就無(wú)法消除干擾對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速的影響，因此該系統(tǒng)控制精度較差。

一般來(lái)說(shuō)，開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，成本較低，但對(duì)可能出現(xiàn)的被控量偏離給定值的偏差沒(méi)有任何修正能力，抗干擾能力差，控制精度不高。一般適用于在控制精度要求不高或擾動(dòng)影響較小的場(chǎng)合，如自動(dòng)洗衣機(jī)、步進(jìn)電機(jī)控制及水位調(diào)節(jié)等系統(tǒng)。1.4.2閉環(huán)控制系統(tǒng)

閉環(huán)控制系統(tǒng)是指被控量對(duì)控制作用產(chǎn)生影響的系統(tǒng)。在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，輸入端和輸出端之間，除了有一條從給定值到被控量方向傳遞信息的前向通道外，還有一條從被控量到比較環(huán)節(jié)傳遞信號(hào)的反饋通道。圖1-4-2轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)方框圖

圖1-4-3所示的轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速為閉環(huán)控制系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速

ω

由轉(zhuǎn)速計(jì)測(cè)量并轉(zhuǎn)換成與之成比例的電壓信號(hào)

uc，再反饋到系統(tǒng)的輸入端，與給定電壓

ur進(jìn)行比較，得到偏差電壓

。

經(jīng)直流放大器放大后驅(qū)動(dòng)直流電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)，從而使轉(zhuǎn)臺(tái)速度ω

始終保持在給定的精度范圍內(nèi)。若采用精密元件，則轉(zhuǎn)臺(tái)速度與期望速度間的誤差可降低到開(kāi)環(huán)系統(tǒng)誤差的百分之一。

整個(gè)控制過(guò)程可用圖1-4-4所示的方框圖表示，從圖中清晰地表明，由于采用了反饋回路，信號(hào)的傳輸路徑形成閉合回路，輸出量反過(guò)來(lái)直接影響控制作用，這種系統(tǒng)稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)。圖1-4-4轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制系統(tǒng)方框圖

綜上所述，閉環(huán)控制系統(tǒng)的控制實(shí)質(zhì)是將系統(tǒng)的被控量經(jīng)測(cè)量后反饋到系統(tǒng)輸入端，與給定值相比較，利用偏差信號(hào)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，從而達(dá)到減小偏差或消除偏差的目的。由于閉環(huán)控制系統(tǒng)是根據(jù)負(fù)反饋原理按偏差進(jìn)行控制的，因此也叫作反饋控制系統(tǒng)或偏差控制系統(tǒng)。

閉環(huán)控制是自動(dòng)控制系統(tǒng)最基本的控制方式，也是應(yīng)用最廣泛的一種控制方式。這種控制方式控制精度較高，因?yàn)闊o(wú)論是干擾的作用，還是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化，只要被控量偏離給定值，系統(tǒng)就會(huì)自行糾正偏差。因此，閉環(huán)控制系統(tǒng)在控制工程中得到了廣泛的應(yīng)用。但由于閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，建造困難，參數(shù)如果匹配得不好，會(huì)造成被控量有較大擺動(dòng)，甚至系統(tǒng)無(wú)法正常工作。1.4.3復(fù)合控制系統(tǒng)

復(fù)合控制就是開(kāi)環(huán)控制和閉環(huán)控制相結(jié)合的一種控制方式。實(shí)質(zhì)上，它是在閉環(huán)控制回路的基礎(chǔ)上，附加了輸入信號(hào)或擾動(dòng)作用的順饋通路，來(lái)提高系統(tǒng)的控制精度。順饋通路通常由對(duì)輸入信號(hào)的補(bǔ)償裝置或?qū)_動(dòng)作用的補(bǔ)償裝置組成，分別稱為按輸入信號(hào)補(bǔ)償和按擾動(dòng)作用補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)，如圖1-4-5所示。(a)按輸入作用補(bǔ)償(b)按擾動(dòng)作用補(bǔ)償圖1-4-5復(fù)合控制方框圖1.5自動(dòng)控制系統(tǒng)實(shí)例

溫度是工業(yè)控制中比較常見(jiàn)的被控量，在冶金、化工、電力工程、造紙、機(jī)械制造和食品加工等諸多生產(chǎn)過(guò)程中，需要對(duì)各類(lèi)加熱爐的溫度進(jìn)行檢測(cè)和控制。圖1-5-1為某工廠加熱爐溫度控制系統(tǒng)示意圖。該加熱爐采用電加熱方式運(yùn)行，電阻絲所產(chǎn)生的熱量與調(diào)壓器電壓的平方成正比，調(diào)壓器電壓的高低由調(diào)壓器滑動(dòng)觸點(diǎn)的位置決定，該觸點(diǎn)由直流伺服電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)。1.5.1加熱爐溫度控制系統(tǒng)加熱爐的實(shí)際溫度經(jīng)過(guò)熱電偶測(cè)量后與給定電壓進(jìn)行比較，由于擾動(dòng)（如電源電壓波動(dòng)或加熱物件增減等）影響，爐溫偏離了給定值，其偏差電壓經(jīng)電壓放大器、功率放大器放大后驅(qū)動(dòng)直流伺服電動(dòng)機(jī)，電動(dòng)機(jī)經(jīng)減速器帶動(dòng)調(diào)壓器滑動(dòng)觸點(diǎn)的移動(dòng)，改變電阻絲的供電電壓，從而達(dá)到控溫的目的。圖1-5-1加熱爐溫度控制系統(tǒng)示意圖

系統(tǒng)中加熱爐是被控對(duì)象，爐溫是被控量，期望的爐溫由給定電位器設(shè)定的電壓表征。整個(gè)控制過(guò)程可用圖1-5-2所示的方框圖表示。圖1-5-2加熱爐溫度控制原理方框圖1.5.2導(dǎo)彈發(fā)射架方位控制系統(tǒng)

導(dǎo)彈發(fā)射架方位控制系統(tǒng)如圖1-5-3所示，圖中電位器P1、P2并聯(lián)后接到同一電源E0的兩端，其滑臂分別與輸入軸和輸出軸相連接，組成方位角的給定元件和測(cè)量反饋元件。輸入軸由手輪操縱，輸出軸則由直流電動(dòng)機(jī)經(jīng)減速后帶動(dòng)，電動(dòng)機(jī)采用電樞控制的方式工作。圖1-5-3導(dǎo)彈發(fā)射架方位控制系統(tǒng)示意圖

當(dāng)導(dǎo)彈發(fā)射架的方位角與輸入軸方位角一致時(shí)，系統(tǒng)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)搖動(dòng)手輪使電位器P1的滑臂轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)輸入角θi

的瞬間，由于輸出軸

的轉(zhuǎn)角，于是出現(xiàn)一個(gè)誤差角

，該誤差角通過(guò)電位器P1、P2轉(zhuǎn)換成偏差電壓

，

經(jīng)放大后驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，在驅(qū)動(dòng)導(dǎo)彈發(fā)射架轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，通過(guò)輸出軸帶動(dòng)電位器P2的滑臂轉(zhuǎn)過(guò)一定的角度，直至

時(shí)，偏差電壓

，電動(dòng)機(jī)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。只要

，偏差就會(huì)產(chǎn)生調(diào)節(jié)作用，使得發(fā)射架的方位角始終跟隨輸入角的變化而變化。

整個(gè)控制過(guò)程可用圖1-5-4所示的方框圖表示。圖1-5-4導(dǎo)彈發(fā)射架方位控制原理方框圖1.5.3神舟飛船與天宮一號(hào)交會(huì)對(duì)接控制系統(tǒng)

2011年11月3日1時(shí)36分6秒，神舟八號(hào)和天宮一號(hào)實(shí)現(xiàn)了精準(zhǔn)空間交會(huì)對(duì)接，這標(biāo)志著中國(guó)成為繼美國(guó)、俄羅斯之后，世界上第三個(gè)掌握空間交會(huì)對(duì)接技術(shù)的國(guó)家。該技術(shù)是實(shí)現(xiàn)空間站、航天飛機(jī)、太空平臺(tái)和空間運(yùn)輸系統(tǒng)的空間裝配、回收、補(bǔ)給、維修、航天員交換及營(yíng)救等在軌服務(wù)的先決條件。圖1-5-5神舟飛船與天宮一號(hào)交會(huì)對(duì)接

在神舟飛船與天宮一號(hào)的交會(huì)對(duì)接任務(wù)中，神舟飛船作為追蹤器，天宮一號(hào)作為目標(biāo)器，追蹤器和目標(biāo)器的位置和姿態(tài)信息通過(guò)敏感器測(cè)量后送到控制器（星載計(jì)算機(jī)）中，控制器根據(jù)敏感器輸入的測(cè)量值計(jì)算控制量并輸出至執(zhí)行機(jī)構(gòu)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力和力矩作用于追蹤器和目標(biāo)器，不斷修正兩者之間的偏差，從而實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)對(duì)接。對(duì)接過(guò)程可用圖1-5-6所示的方框圖表示。圖1-5-6神舟飛船與天宮一號(hào)交會(huì)對(duì)接原理方框圖空間交會(huì)對(duì)接是世界航天領(lǐng)域內(nèi)公認(rèn)的最復(fù)雜、最難公關(guān)的技術(shù)。自2011年首次成功對(duì)接至今，我國(guó)航天精準(zhǔn)可靠對(duì)接經(jīng)歷了從無(wú)人到有人、從自動(dòng)到手控、從幾天到幾小時(shí)、從軸向?qū)拥綇较驅(qū)拥囊淮未蝿?chuàng)新突破。1.6自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類(lèi)

自動(dòng)控制系統(tǒng)除了按控制方式分為開(kāi)環(huán)控制、閉環(huán)控制和復(fù)合控制外，還有多種分類(lèi)方法，下面介紹幾種常見(jiàn)的分類(lèi)方法。1.6.1按輸入信號(hào)形式分類(lèi)

恒值控制系統(tǒng)的特點(diǎn)是輸入信號(hào)為某一常值，要求系統(tǒng)的被控量亦等于一個(gè)常值。系統(tǒng)面臨的主要問(wèn)題是存在使被控量偏離給定值的擾動(dòng)，因此，恒值控制系統(tǒng)的任務(wù)是克服各種擾動(dòng)的影響，使被控量維持在給定值附近。一般工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中廣泛應(yīng)用的溫度、壓力、流量、液位等參數(shù)的控制，大都是采用恒值控制系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。1.恒值控制系統(tǒng)

隨動(dòng)控制系統(tǒng)又稱伺服系統(tǒng)或跟蹤系統(tǒng)，其輸入信號(hào)是預(yù)先未知的隨時(shí)間任意變化的函數(shù)，要求被控量能夠快速準(zhǔn)確地跟蹤輸入信號(hào)的變化。在隨動(dòng)系統(tǒng)中，擾動(dòng)的影響是次要的，系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是研究被控量跟蹤輸入量的快速性和準(zhǔn)確性。雷達(dá)天線的自動(dòng)跟蹤系統(tǒng)和高炮自動(dòng)瞄準(zhǔn)系統(tǒng)就是典型的隨動(dòng)系統(tǒng)。2.隨動(dòng)控制系統(tǒng)

程序控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)是預(yù)先規(guī)定的時(shí)間函數(shù)。用于機(jī)械加工的數(shù)控機(jī)床是典型的程序控制系統(tǒng)。3.程序控制系統(tǒng)1.6.2按傳遞信號(hào)類(lèi)型分類(lèi)

連續(xù)系統(tǒng)是指系統(tǒng)中各處的信號(hào)都是隨時(shí)間連續(xù)變化的信號(hào)。這類(lèi)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般用微分方程來(lái)描述。1.連續(xù)系統(tǒng)2.離散系統(tǒng)

系統(tǒng)中只要有一處的信號(hào)是以脈沖序列或數(shù)碼形式出現(xiàn)，該系統(tǒng)即為離散系統(tǒng)。這類(lèi)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般用差分方程來(lái)描述，工業(yè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)就是典型的離散系統(tǒng)。關(guān)于離散系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)將在第七章中講解。1.6.3按描述元件特性分類(lèi)

系統(tǒng)各元件輸入輸出特性具有線性特性，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用線性微分（或差分）方程描述，稱這類(lèi)系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)滿足疊加原理，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只決定于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而和系統(tǒng)的初始條件無(wú)關(guān)。1.線性系統(tǒng)

系統(tǒng)中只要有一個(gè)元件的輸入輸出特性是非線性的，這類(lèi)系統(tǒng)就稱為非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由非線性微分（或差分）方程來(lái)描述。嚴(yán)格地說(shuō)，構(gòu)成系統(tǒng)的元部件都具有不同程度的非線性特性，由于非線性方程在數(shù)學(xué)處理上較為困難，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，往往對(duì)非線性程度不太嚴(yán)重的元部件，可采用在一定范圍內(nèi)線性化，從而將非線性控制系統(tǒng)近似為線性控制系統(tǒng)。對(duì)于某些非線性程度嚴(yán)重的元部件，不能作線性化處理，一般采用第八章中介紹的分析非線性系統(tǒng)的方法來(lái)研究。2.非線性系統(tǒng)1.6.4按系統(tǒng)參數(shù)特性分類(lèi)

如果描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程或差分方程的系數(shù)均為常數(shù)，則稱這類(lèi)系統(tǒng)為定常系統(tǒng)，又稱時(shí)不變系統(tǒng)。這類(lèi)系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)的響應(yīng)特性只取決于輸入信號(hào)和系統(tǒng)的特性，而與輸入信號(hào)施加的時(shí)刻無(wú)關(guān)。1.定常系統(tǒng)2.時(shí)變系統(tǒng)

如果系統(tǒng)的參數(shù)或結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化，則稱這類(lèi)系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。這類(lèi)系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)的響應(yīng)特性不僅取決于輸入信號(hào)和系統(tǒng)的特性，而且還與輸入信號(hào)施加的時(shí)刻有關(guān)。對(duì)于同一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)，當(dāng)相同的輸入信號(hào)在不同時(shí)刻作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)是不同的。1.7對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)性能的基本要求

自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本任務(wù)是克服各種擾動(dòng)的影響，使系統(tǒng)的被控量能夠按照預(yù)定的規(guī)律變化。由于實(shí)際系統(tǒng)中一般含有慣性或儲(chǔ)能元件，這些元件的能量不可能突變，因此控制系統(tǒng)在受到擾動(dòng)或輸入量變化時(shí)，其被控量不可能立即達(dá)到給定值，而有一個(gè)變化過(guò)程。通常把系統(tǒng)受到外作用后，被控量隨時(shí)間變化的全過(guò)程，稱為動(dòng)態(tài)過(guò)程或稱過(guò)渡過(guò)程。過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后的輸出響應(yīng)稱為穩(wěn)態(tài)過(guò)程。

控制系統(tǒng)的性能，可以用系統(tǒng)輸出響應(yīng)的特性來(lái)衡量，考慮到輸出響應(yīng)在不同階段的特點(diǎn)，工程上常以穩(wěn)定性、快速性、準(zhǔn)確性三個(gè)方面來(lái)評(píng)價(jià)自動(dòng)控制系統(tǒng)的總體性能。1.7.1穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是保證一個(gè)控制系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件，也是對(duì)控制系統(tǒng)最基本的要求。一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，其被控量偏離給定值的偏差應(yīng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)逐漸減小并趨于零。反之，不穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，其被控量偏離給定值的偏差將隨時(shí)間的增長(zhǎng)而發(fā)散。圖1-7-1控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性曲線

在圖1-7-1所示的系統(tǒng)中，系統(tǒng)在外力作用下，輸出

逐漸與給定值

一致，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，如曲線①所示；反之，輸出如曲線②發(fā)散，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。1.7.2快速性

快速性是指動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行的時(shí)間長(zhǎng)短。動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)間越短，說(shuō)明系統(tǒng)快速性越好，反之說(shuō)明系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，難以跟蹤快速變化的指令信號(hào)。圖1-7-2所示曲線①的快速性要優(yōu)于曲線②。圖1-7-2控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性曲線1.7.3準(zhǔn)確性

準(zhǔn)確性是指系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束后，被控量與給定值的偏差，這一偏差稱為穩(wěn)態(tài)誤差，它是衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的指標(biāo)，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)之一是盡量減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者使穩(wěn)態(tài)誤差小于某一容許值。

若在動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束后，被控量能夠達(dá)到給定值，說(shuō)明該系統(tǒng)具有很好的準(zhǔn)確性，如圖1-7-3曲線①所示；若被控量在動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束后不能達(dá)到給定值，存在很大的誤差，說(shuō)明該系統(tǒng)的準(zhǔn)確性很差，如曲線②所示。圖1-7-3控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性曲線

一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、快速性、準(zhǔn)速性的要求往往是相互制約的。提高動(dòng)態(tài)過(guò)程的快速性，可能會(huì)引起系統(tǒng)的強(qiáng)烈振蕩，改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，控制過(guò)程又可能很遲緩，甚至?xí)瓜到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度很差，分析和解決這些矛盾，是本門(mén)課程的重要內(nèi)容。

自動(dòng)控制理論不是研究某一個(gè)或某一類(lèi)被控量的控制問(wèn)題，而是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的普遍性、一般性的規(guī)律。本門(mén)課程沿著自動(dòng)控制系統(tǒng)建模、分析和設(shè)計(jì)這條主線展開(kāi)。在對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時(shí)，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在已知系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型前提下，研究控制系統(tǒng)的性能并尋找系統(tǒng)性能與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)之間的關(guān)系，稱為控制系統(tǒng)的分析。如果已知對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，尋找合理的控制方案，這類(lèi)問(wèn)題稱為控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)或校正。分析和設(shè)計(jì)是兩個(gè)完全相反的命題，分析系統(tǒng)的目的在于了解和認(rèn)識(shí)已有的系統(tǒng)。而設(shè)計(jì)系統(tǒng)的目的是改造那些性能指標(biāo)未達(dá)到要求的系統(tǒng)，使其能夠完成確定的工作。第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的微分方程

2.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

2.4控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖2.5典型反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)本章要點(diǎn)：⑴控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程。⑵控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)。⑶控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換。⑷控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖及梅森公式。⑸典型反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。⑴理解建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟和方法；會(huì)利用拉氏變換法求解微分方程；理解非線性微分分程線性化的思想。⑵掌握傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)、局限性及不同形式的表達(dá)式；理解典型元部件傳遞函數(shù)的建立方法；掌握典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)。⑶掌握控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立步驟和方法；掌握結(jié)構(gòu)圖等效變換法則，能利用結(jié)構(gòu)圖等效變換求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。⑷掌握信號(hào)流圖的概念和繪制方法；熟練掌握利用梅森公式求取傳遞函數(shù)的方法。⑸掌握典型反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)的概念及求取方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)：⑴傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)及不同形式的表達(dá)式；典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。⑵結(jié)構(gòu)圖等效變換。⑶信號(hào)流圖及梅森公式。⑷典型反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。本章重點(diǎn)：第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，其建立方法一般有解析法和實(shí)驗(yàn)法兩種。

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不是唯一的，根據(jù)不同需要，往往具有不同的形式。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型有時(shí)域中的微分方程，復(fù)頻域中的傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖，頻域中的頻率特性等；離散系統(tǒng)類(lèi)似，有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖等。而在現(xiàn)代控制理論中，無(wú)論連續(xù)還是離散系統(tǒng)，普遍采用狀態(tài)空間方程來(lái)描述。

本章討論利用解析法建立線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖及信號(hào)流圖的方法。2.1控制系統(tǒng)的微分方程

控制系統(tǒng)的微分方程描述的是系統(tǒng)的輸出變量與輸入變量之間的數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系，它中包含有輸出變量和輸入變量的時(shí)間函數(shù)以及它們對(duì)時(shí)間的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)。微分方程中輸出變量導(dǎo)數(shù)的最高階次是微分方程的階數(shù)，也稱為系統(tǒng)的階數(shù)。建立步驟：

（1）分析系統(tǒng)的工作原理，將系統(tǒng)分解為若干環(huán)節(jié)或元部件，根據(jù)需要設(shè)定一些中間變量，確定系統(tǒng)和各環(huán)節(jié)或元部件的輸入、輸出變量。（2）從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各環(huán)節(jié)或元部件所遵循的基本定律建立相應(yīng)的微分方程。

（3）將各環(huán)節(jié)或元部件的微分方程聯(lián)立，消去中間變量，化簡(jiǎn)得到僅包含系統(tǒng)輸入、輸出變量的微分方程。

（4）整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程，即將輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)放在微分方程的左端，輸入變量及其各階導(dǎo)數(shù)放在微分方程的右端，并按降冪排列。2.1.1控制系統(tǒng)微分方程的建立解：例2-1如圖示

無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，試建立以

為輸入、

為輸出的微分方程。設(shè)如圖所示電流

、

作為中間變量，根據(jù)電路理論中的伏安特性和基爾霍夫定律，可列出消去中間變量，整理得令

，則可見(jiàn)：

無(wú)源網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型是一個(gè)二階線性常微分方程。所以，該無(wú)源網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)二階線性定常系統(tǒng)。解：分析這類(lèi)系統(tǒng)時(shí)，首先要根據(jù)彈簧、阻尼器的物理意義對(duì)與其連接的質(zhì)量塊的受力情況進(jìn)行分析，然后利用牛頓第二定律列寫(xiě)質(zhì)量塊對(duì)應(yīng)的合力方程，從而得到系統(tǒng)的微分方程。例2-2由彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)如圖示，試建立質(zhì)量塊上所受外力

與其相對(duì)位移

之間的微分方程。圖中，

為質(zhì)量塊的質(zhì)量，

為彈簧的彈性系數(shù)，

為阻尼器的阻尼系數(shù)。設(shè)彈簧的彈力

和阻尼器的阻力

作為中間變量，根據(jù)牛頓第二定律，可得假設(shè)彈簧是線性的，則彈簧力與位移成正比，即阻尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦的阻尼裝置，其阻力與質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)速度成正比，即可見(jiàn)：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也是一個(gè)二階線性常微分方程。所以，該系統(tǒng)也是一個(gè)二階線性定常系統(tǒng)。消去中間變量，整理得例2-3電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的原理圖如圖示，試建立以電樞電壓

為輸入、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速

為輸出的微分方程。圖中，

、

分別是電樞電路等效的電感和電阻；

分別是電動(dòng)機(jī)與負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性摩擦系數(shù)；

是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩，為系統(tǒng)的擾動(dòng)量；

為勵(lì)磁電流，在電樞控制方式下為常數(shù)。解：電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)是控制系統(tǒng)中常用的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其工作原理為：輸入的電樞電壓

在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流

，通電的電樞轉(zhuǎn)子繞組在磁場(chǎng)作用下產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩

，從而帶動(dòng)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)。同時(shí)，電樞旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生反電勢(shì)

，其與

極性相反。根據(jù)電路理論中伏安特性和基爾霍夫定律，可列出電樞回路電壓平衡方程設(shè)電樞電流

、電樞反電勢(shì)

、電磁轉(zhuǎn)矩

作為中間變量。式中，電樞反電勢(shì)

的大小與轉(zhuǎn)速成正比，即

為反電勢(shì)系數(shù)。根據(jù)安培定律，可列出電磁轉(zhuǎn)矩方程

為反電勢(shì)系數(shù)?？梢?jiàn)：這是一個(gè)二階線性常微分方程。根據(jù)牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可列出電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程消去中間變量，整理得在工程實(shí)際中，電樞電路的等效電感

通常很小，可忽略不計(jì)，因而上式可簡(jiǎn)化為式中，

為電動(dòng)機(jī)時(shí)間常數(shù)；

、

分別為電動(dòng)機(jī)對(duì)有用輸入和擾動(dòng)的傳遞系數(shù)。這是一個(gè)一階微分方程。因此，在工程中，為便于分析問(wèn)題，常忽略一些次要因素而使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型變得簡(jiǎn)單。若電樞電路的等效電阻

和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

都很小，可忽略不計(jì)，且只考慮有用輸入

的作用，則進(jìn)一步可得即電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速

與電樞電壓

成正比。這時(shí)，電動(dòng)機(jī)可作為測(cè)速發(fā)電機(jī)使用。若以電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角

為輸出，可得這是一個(gè)二階微分方程。所以，對(duì)于同一系統(tǒng)，若分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題的角度不同，建立的數(shù)學(xué)模型也是不同的。解：例2-4試建立如圖示由運(yùn)算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路的微分方程。設(shè)如圖所示電壓

、

作為中間變量，根據(jù)理想運(yùn)放虛斷虛短的概念及電路理論中伏安特性和基爾霍夫定律，可列出消去中間變量，整理得可見(jiàn):運(yùn)算放大器控制系統(tǒng)模擬電路的數(shù)學(xué)模型仍是一個(gè)二階線性常微分方程。所以，此控制系統(tǒng)也是一個(gè)二階線性定常系統(tǒng)。

綜合以上例題可以看出，不同物理特性的系統(tǒng)可具有形式相同的數(shù)學(xué)模型。把這種具有相同形式數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)，它揭示了不同物理特性間的相似關(guān)系。當(dāng)研究一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)或不易進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)時(shí)，可以用一個(gè)與它相似的簡(jiǎn)單系統(tǒng)模型來(lái)代替，從而使問(wèn)題的研究簡(jiǎn)單化。

實(shí)際物理元部件或系統(tǒng)都是非線性的，只是非線性的程度不同。對(duì)于某些嚴(yán)重的非線性，不能作線性化處理，一般用第八章中介紹的分析非線性系統(tǒng)的方法來(lái)研究。而對(duì)于一些非線性程度較弱的元部件，工程上通常有兩種線性化的處理方法。一種是在一定條件下，忽略這些非線性因素的影響，把它們假定為線性元部件，建立的微分方程就是線性微分方程，這是微分方程線性化通常使用的一種方法；另一種稱為小偏差法或切線法，它是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來(lái)代替，這種方法特別適合于具有連續(xù)變化的非線性特性方程。2.1.2非線性微分方程的線性化

1.具有一個(gè)自變量的非線性方程設(shè)某元部件或系統(tǒng)的非線性方程為其非線性特性如圖示。若輸入

與輸出

在某平衡點(diǎn)

附近做微小變化，即當(dāng)

時(shí)

，且方程

在該點(diǎn)連續(xù)可微，則可將此非線性方程在點(diǎn)

處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)由于

很小，所以高次冪項(xiàng)可忽略，因此有式中，

為曲線

在平衡點(diǎn)

的切線斜率。令

且略去增量符號(hào)

，即可得非線性方程

在平衡點(diǎn)

附近的線性化方程為設(shè)具有兩個(gè)自變量的非線性方程為2.具有兩個(gè)自變量的非線性方程在某平衡點(diǎn)

附近可展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)忽略高次冪項(xiàng)，并令

，

，

，

，

，可得非線性方程

在平衡點(diǎn)

附近的線性化增量方程為對(duì)于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)，小偏差法都是可以應(yīng)用的。2.1.3微分方程的求解

拉普拉斯變換法求解線性常微分方程的步驟:（1）利用拉普拉斯變換的時(shí)域微積分性質(zhì)，考慮初始條件，對(duì)微分方程兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為

域的代數(shù)方程；（2）求解

域代數(shù)方程，得到系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換表達(dá)式；（3）取拉普拉斯逆變換，求出輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的解析解，也是微分方程所描述系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：在例2-1中已建立出微分方程為例2-5在例2-1中，若已知

，

，

，電感上的初始電流

，電容上的初始電壓

，輸入電壓

。試求輸出電壓

。兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，得式中解得代入給定的元件參數(shù)和初始條件，且

，整理可得對(duì)其進(jìn)行部分分式分解可得取拉普拉斯逆變換，得2.1.4MATLAB實(shí)現(xiàn)MATLAB提供了

域表達(dá)式

的部分分式展開(kāi)式和

分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)之間轉(zhuǎn)換的函數(shù)residue()，其調(diào)用格式如下。[r,p,k]=residue(num,den)%由

分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)求取

的部分分式展開(kāi)式。其中，num、den分別為

分子、分母多項(xiàng)式按降冪排列的系數(shù)向量，r為部分分式展開(kāi)式的系數(shù)，p為極點(diǎn)，k為多項(xiàng)式的系數(shù)，若

為真分式，則k為空向量。若r中有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，則也可以應(yīng)用cart2pol()函數(shù)把共軛復(fù)數(shù)表示成模和相角的形式，其調(diào)用格式為[TH,R]=cart2pol(X,Y)，其中X、Y為笛卡爾坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)，TH是極坐標(biāo)的相角，單位為弧度，R為極坐標(biāo)的模[num,den]=residue(r,p,k)%由

的部分分式展開(kāi)式求取

分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)解：系統(tǒng)零輸入響應(yīng)部分分式展開(kāi)式的MATLAB程序如下：num=[12];den=[111];[r,p,k]=residue(num,den)例2-6利用MATLAB求例2-5系統(tǒng)響應(yīng)的部分分式展開(kāi)式。運(yùn)行結(jié)果為r=0.5000-0.8660i0.5000+0.8660ip=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660ik=[]所以，零輸入響應(yīng)部分分式展開(kāi)式為取拉普拉斯逆變換，得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)部分分式展開(kāi)式的MATLAB程序如下：num=[1];den=[1110];[r,p,k]=residue(num,den)運(yùn)行結(jié)果為r=-0.5000+0.2887i-0.5000-0.2887i1.0000p=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660i0k=[]所以，零狀態(tài)響應(yīng)部分分式展開(kāi)式為取拉普拉斯逆變換，得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為2.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)是用來(lái)描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，利用它可以方便地研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的根軌跡法和頻率法，就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來(lái)的，它是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。1.傳遞函數(shù)的定義定義：零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。2.2.1傳遞函數(shù)的定義和表達(dá)式

控制系統(tǒng)的零初始條件有兩層含義：一是指系統(tǒng)輸入是在

時(shí)才作用于系統(tǒng)，所以，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在

時(shí)均為零；二是指輸入作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)工作狀態(tài)是穩(wěn)定的，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在

時(shí)也為零。2.傳遞函數(shù)的表達(dá)式（1）有理分式形式表達(dá)式設(shè)階線性定常系統(tǒng)的微分方程為

式中，

是系統(tǒng)的輸出量；

是系統(tǒng)的輸入量；

和

都是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的常系數(shù)。在零初始條件下，兩端取拉普拉斯變換得若用

表示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則根據(jù)定義有這是一個(gè)關(guān)于復(fù)變量

的有理分式，即為傳遞函數(shù)的有理分式形式表達(dá)式。（2）零極點(diǎn)形式表達(dá)式令對(duì)

和

進(jìn)行因式分解，可得傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式表達(dá)式為式中，

稱為零極點(diǎn)形式表達(dá)式的傳遞系數(shù)。這種形式表達(dá)式在根軌跡法中

使用較多，所以

又稱根軌跡增益；

是

的

個(gè)根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；

是

的

個(gè)根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可能是實(shí)數(shù)，也可能是共軛復(fù)數(shù)。將零、極點(diǎn)分別用“

”和“

”表示在

平面上的圖形，稱為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖。（3）時(shí)間常數(shù)形式表達(dá)式若

中有

個(gè)極點(diǎn)為0，則傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)形式表達(dá)式為

式中，一次因子對(duì)應(yīng)于不為0的實(shí)數(shù)零極點(diǎn)，二次因子對(duì)應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零極點(diǎn)；

，

；

和

稱為時(shí)間常數(shù)；

稱為時(shí)間常數(shù)形式表達(dá)式的傳遞系數(shù)，其與根軌跡增益

之間的關(guān)系為這種形式表達(dá)式在頻率法中使用較多，

又稱開(kāi)環(huán)增益。例2-7試求例2-1

網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

，并畫(huà)出零極點(diǎn)圖。已知

，

，

。解：在例2-1中已建立出微分方程為在零初始條件下兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，得根據(jù)傳遞函數(shù)的定義并代入給定的元件參數(shù)有畫(huà)出零極點(diǎn)分布圖如圖示。2.2.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)

傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)

（1）傳遞函數(shù)是由拉普拉斯變換定義的，拉普拉斯變換是一種線性變換，因此傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。

（2）傳遞函數(shù)是復(fù)變量

的有理分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。實(shí)際系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子階次

總是小于或等于分母階次

，即

，且所有系數(shù)都為實(shí)數(shù)。

（3）傳遞函數(shù)表示的是系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的表達(dá)式，不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)輸入量和輸出量的形式和大小無(wú)關(guān)，因此它表征了系統(tǒng)本身的特性。一個(gè)具有傳遞函數(shù)

的線性系統(tǒng)可以用如圖示的方框圖表示。

（4）傳遞函數(shù)與微分方程有相對(duì)應(yīng)的關(guān)系。微分方程左端和右端各階導(dǎo)數(shù)及其系數(shù)分別與相應(yīng)傳遞函數(shù)分母和分子多項(xiàng)式

的各次方及其系數(shù)相對(duì)應(yīng)。

（5）傳遞函數(shù)

與單位脈沖響應(yīng)

是一對(duì)拉普拉斯變換對(duì)，它們分別從復(fù)域和時(shí)域的角度表征了同一系統(tǒng)的特性。

單位脈沖響應(yīng)

定義為，零初始條件下單位脈沖信號(hào)

作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。

此時(shí)

，所以有

反之，有

（6）傳遞函數(shù)具有一定的局限性。一是它只能描述單輸入、單輸出系統(tǒng)，對(duì)于多輸入、多輸出系統(tǒng)需采用現(xiàn)代控制理論中的傳遞函數(shù)矩陣來(lái)描述；二是它只表示系統(tǒng)輸入量和輸出量之間的關(guān)系，而不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息，針對(duì)這一不足，可以用現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)變量法進(jìn)行彌補(bǔ)；三是它只能研究零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，而對(duì)非零初始條件下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性，需通過(guò)傳遞函數(shù)寫(xiě)出微分方程，然后在考慮非零初始條件后進(jìn)一步進(jìn)行分析。解：（1）在例2-3中已建立出電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為例2-8（1）試求例2-3電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)

和

。

（2）若忽略擾動(dòng)的影響，確定電動(dòng)機(jī)的單位脈沖響應(yīng)。當(dāng)

單獨(dú)作用時(shí)，有零初始條件下兩端進(jìn)行拉普拉斯變換并整理得當(dāng)

單獨(dú)作用時(shí)，有零初始條件下兩端進(jìn)行拉普拉斯變換并整理得（2）電動(dòng)機(jī)的單位脈沖響應(yīng)為1.比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)或無(wú)慣性環(huán)節(jié)）微分方程為2.2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)為式中

，為比例系數(shù)或增益。比例環(huán)節(jié)的實(shí)例有電位器、理想運(yùn)算放大器、齒輪系、以電樞電壓為輸出轉(zhuǎn)子角速度為輸入的測(cè)速發(fā)電機(jī)等。2.積分環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的實(shí)例有運(yùn)放構(gòu)成的積分調(diào)節(jié)器、以轉(zhuǎn)子角位移為輸出量且忽略了電樞電路的等效電阻和電感及電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的電樞控制直流電動(dòng)機(jī)等。3.慣性環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)的實(shí)例有電加熱爐、以轉(zhuǎn)子角速度為輸出量且忽略了電樞電路的等效電感的電樞控制直流電動(dòng)機(jī)、兩相伺服電動(dòng)機(jī)等。式中

，為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。4.振蕩環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為振蕩環(huán)節(jié)的實(shí)例有

無(wú)源網(wǎng)絡(luò)、彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)、雙容水槽等。式中

，為阻尼系數(shù)或阻尼比；

為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)；

為無(wú)阻尼振蕩角頻率。5.微分環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為工程上，理想的微分環(huán)節(jié)是難以實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際的元部件或系統(tǒng)普遍存在慣性，因此實(shí)際的微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，其傳遞函數(shù)為微分環(huán)節(jié)的實(shí)例有以電壓為輸出電流為輸入的電感、以電樞電壓為輸出轉(zhuǎn)子角位移為輸入的測(cè)速發(fā)電機(jī)等。實(shí)際中，除微分環(huán)節(jié)外，還有一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)。它們的微分方程分別為傳遞函數(shù)為式中

，為阻尼系數(shù)或阻尼比；

為微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。6.延遲環(huán)節(jié)（時(shí)滯環(huán)節(jié)或時(shí)延環(huán)節(jié)）微分方程為傳遞函數(shù)為延遲環(huán)節(jié)的實(shí)例有很多，如管道壓力和流量等物理量的控制過(guò)程、皮帶輸送裝置、燃料輸送過(guò)程等都存在延遲環(huán)節(jié)。式中

為延遲時(shí)間。2.2.4MATLAB實(shí)現(xiàn)（1）傳遞函數(shù)模型傳遞函數(shù)模型用MATLAB提供的tf()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式如下。sys=tf(num,den)%建立連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型sys。其中，num、den分別為傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式按降冪排列的系數(shù)向量。注意，若某項(xiàng)系數(shù)為0，向量中不可空缺，應(yīng)寫(xiě)為0；若傳遞函數(shù)的分子或分母為多項(xiàng)式相乘的形式，則可以用MATLAB提供的多項(xiàng)式乘法函數(shù)conv()得到分子或分母多項(xiàng)式向量，且conv()函數(shù)允許多級(jí)嵌套使用。sys=tf(num,den,Ts)%建立離散時(shí)間系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)模型sys，Ts是采樣周期。sys=tf(num,den,’InputDelay’,tao)%建立帶延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型sys。其中，InputDelay為關(guān)鍵詞，tao為系統(tǒng)延遲時(shí)間。1.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在MATLAB中的描述經(jīng)典控制理論中，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在MATLAB中常用傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)模型來(lái)描述。解：MATLAB程序如下：clc;clearnum=[154];den=conv([13],conv([105],[1710]));sys=tf(num,den)例2-9已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用MATLAB建立其傳遞函數(shù)模型。運(yùn)行結(jié)果為sys=s^2+5s+4--------------------------------------------s^5+10s^4+36s^3+80s^2+155s+150Continuous-timetransferfunction.解：MATLAB程序如下：clc;clearsys=tf([14],conv([11],[1710]),'InputDelay',0.35)例2-10已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用MATLAB建立其傳遞函數(shù)模型。運(yùn)行結(jié)果為sys=s+4exp(-0.35*s)*-----------------------s^3+8s^2+17s+10Continuous-timetransferfunction.（2）零極點(diǎn)模型零極點(diǎn)模型用MATLAB提供的zpk()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式如下。sys=zpk(z,p,k)%建立連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型sys。其中，z、p、k分別為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)向量、極點(diǎn)向量和增益。注意，若無(wú)零、極點(diǎn)，則用[]表示。sys=zpk(z,p,k,Ts)%建立離散時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型sys，Ts是采樣周期。sys=zpk(z,p,k,’InputDelay’,tao)%建立帶延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型sys。其中，InputDelay為關(guān)鍵詞，tao為系統(tǒng)延遲時(shí)間。解：MATLAB程序如下：clc;clearz=[-1-4];p=[0-2i*sqrt(3)-i*sqrt(3)];k=5;sys=zpk(z,p,k)例2-11已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用MATLAB建立其零極點(diǎn)模型。運(yùn)行結(jié)果為sys=5(s+1)(s+4)-----------------s(s+2)(s^2+3)Continuous-timezero/pole/gainmodel.解：MATLAB程序如下：clc;clearsys=zpk([-4],[-1-2-5],1,'InputDelay',0.35)例2-12用MATLAB建立例2-10系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型。運(yùn)行結(jié)果為sys=(s+4)exp(-0.35*s)*-----------------(s+1)(s+2)(s+5)Continuous-timezero/pole/gainmodel.2.傳遞函數(shù)模型與零極點(diǎn)模型的相互轉(zhuǎn)換MATLAB提供了傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)模型之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)tf2zp()和zp2tf()，其調(diào)用格式如下。[z,p,k]=tf2zp(num,den)%將分子系數(shù)向量為num、分母系數(shù)向量為den的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零點(diǎn)向量為z、極點(diǎn)向量為p、增益為k的零極點(diǎn)模型[num,den]=zp2tf(z,p,k)%將零點(diǎn)向量為z、極點(diǎn)向量為p、增益為k的零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換為分子向量為num、分母向量為den的傳遞函數(shù)模型。注意，z和p必須是列向量。解：MATLAB程序如下：clc;clearnum=[154];den=[1103680155150];[z,p,k]=tf2zp(num,den)例2-13已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為用MATLAB將其轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)模型。運(yùn)行結(jié)果為z=-4-1p=-5.0000+0.0000i-0.0000+2.2361i-0.0000-2.2361i-3.0000+0.0000i-2.0000+0.0000ik=1即系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型為若運(yùn)行程序[num,den]=zp2tf([-1;-4],[-2;-3;-5;i*sqrt(5);-i*sqrt(5)],1)結(jié)果為num=000154den=1.000010.000036.000080.0000155.0000150.0000即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是用來(lái)描述系統(tǒng)各環(huán)節(jié)或元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的一種圖示數(shù)學(xué)模型，是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)捷方法，具有形象、直觀等特點(diǎn)。它既可以用來(lái)描述線性系統(tǒng)，也可以用于描述非線性系統(tǒng)。定義：將系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)或元部件用標(biāo)明其傳遞函數(shù)的方框表示，并根據(jù)它們之間信號(hào)的流動(dòng)方向用信號(hào)線把各方框依次連接起來(lái)所得的圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。2.3.1結(jié)構(gòu)圖的定義和組成組成：由信號(hào)線、比較點(diǎn)（綜合點(diǎn)或相加點(diǎn)）、引出點(diǎn)（分支點(diǎn)或測(cè)量點(diǎn)）和方框四個(gè)基本元素組成。（1）信號(hào)線：用帶有箭頭的直線表示，箭頭表示信號(hào)的流動(dòng)方向，在直線旁標(biāo)明信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)，如圖示。（2）比較點(diǎn)（綜合點(diǎn)或相加點(diǎn)）：表示對(duì)兩個(gè)及兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算，“

”號(hào)表示信號(hào)相加，“

”號(hào)表示信號(hào)相減，通?！?/p>

”號(hào)可以省略，但“

”號(hào)必須標(biāo)明，如圖示。（3）引出點(diǎn)（分支點(diǎn)或測(cè)量點(diǎn)）：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置，從同一點(diǎn)引出的信號(hào)完全相同,如圖示。（4）方框：表示對(duì)環(huán)節(jié)或元部件的輸入與輸出信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換，方框中寫(xiě)入環(huán)節(jié)或元部件的傳遞函數(shù),如圖示。則有2.3.2結(jié)構(gòu)圖的繪制

繪制步驟：

（1）按系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解各環(huán)節(jié)或元部件，確定其輸入、輸出信號(hào)，并列寫(xiě)它們的微分方程。

（2）通過(guò)拉普拉斯變換，將各微分方程在零初始條件下變換成

域的代數(shù)方程。

（3）將每個(gè)

域代數(shù)方程（代表一個(gè)環(huán)節(jié)或元部件）用一個(gè)方框表示。

（4）根據(jù)各環(huán)節(jié)或元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線將各方框依次連接即可。例2-14

繪制例2-1

網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。解：在例2-1中已經(jīng)列出了系統(tǒng)各元件的微分方程為在零初始條件下進(jìn)行拉普拉斯變換，得分別繪制各元件的方框如圖示。用信號(hào)線按信號(hào)流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來(lái)，得到

網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。例2-15繪制例2-3電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)圖。解：在例2-3中已經(jīng)列出了系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程為在零初始條件下進(jìn)行拉普拉斯變換，得分別繪制各元件的方框如圖示。用信號(hào)線按信號(hào)流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來(lái)，得到電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。1.結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化原則

結(jié)構(gòu)圖在簡(jiǎn)化時(shí)必須遵循等效變換的原則。所謂等效變換，即對(duì)結(jié)構(gòu)圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前后的輸入量、輸出量及其相互之間的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。2.3.3結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化環(huán)節(jié)的串聯(lián)是指前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)，依次順序連接,如圖示。2.結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化的基本規(guī)則由圖可得則串聯(lián)后的傳遞函數(shù)為即串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。其等效結(jié)構(gòu)圖如圖示。（2）并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化環(huán)節(jié)的并聯(lián)是指各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)相同，輸出信號(hào)等于各環(huán)節(jié)輸出信號(hào)的代數(shù)和，如圖示。由圖可得則并聯(lián)后的傳遞函數(shù)為即并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。其等效結(jié)構(gòu)圖如圖示。（3）反饋連接環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化由圖可得環(huán)節(jié)的反饋連接是指將環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)返回到輸入端與輸入信號(hào)進(jìn)行比較，從而構(gòu)成閉環(huán)的連接方式，如圖示圖?！?/p>

”號(hào)表示負(fù)反饋，“

”號(hào)表示正反饋。即則反饋連接環(huán)節(jié)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其等效結(jié)構(gòu)圖如圖示。（4）比較點(diǎn)的移動(dòng)由圖可得比較點(diǎn)的移動(dòng)通常有比較點(diǎn)前移、比較點(diǎn)后移及比較點(diǎn)的交換和合并等。前移移動(dòng)前，如圖示。移動(dòng)后，如圖示。由圖可得可見(jiàn)：兩者等效。后移移動(dòng)前，如圖示。移動(dòng)后，如圖示。交換和合并交換和合并前，如圖示。交換后，如圖示。合并后，如圖示。（5）引出點(diǎn)的移動(dòng)引出點(diǎn)的移動(dòng)通常也有前移、后移及交換和合并等。移動(dòng)前，如圖示。后移由圖可得引出點(diǎn)信號(hào)為移動(dòng)后，如圖示。由圖可得引出點(diǎn)信號(hào)為可見(jiàn)：兩者等效。移動(dòng)前，如圖示。移動(dòng)后，如圖示。前移交換和合并交換和合并前，如圖示。交換后，如圖示。合并后，如圖示。教材表2-3-1列出了結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化的基本規(guī)則，以便查看。例2-16通過(guò)結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化求取例2-1

網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

。解：該結(jié)構(gòu)圖具有兩重負(fù)反饋連接，可采用先內(nèi)反饋后外反饋的方法，逐級(jí)簡(jiǎn)化反饋連接環(huán)節(jié)。在例2-14中已繪制出

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖為首先，

和

構(gòu)成負(fù)反饋連接，簡(jiǎn)化后如圖示。然后，

和

構(gòu)成串聯(lián)連接，簡(jiǎn)化后如圖示。此為一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，可求得傳遞函數(shù)為例2-17某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示，試對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，并求取該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

。解：首先將

后面的引出點(diǎn)前移，簡(jiǎn)化后如圖示。然后根據(jù)并聯(lián)和反饋連接規(guī)則，簡(jiǎn)化后如圖示。最后根據(jù)串聯(lián)和反饋連接規(guī)則即可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例2-18某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示，試對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，并求取該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

。其中

，

，

，

，

，

。解：首先將

前面的引出點(diǎn)后移，

后面的比較點(diǎn)前移，

前面的比較點(diǎn)后移，并將三個(gè)比較點(diǎn)合并，簡(jiǎn)化后如圖示。然后根據(jù)串聯(lián)和并聯(lián)連接規(guī)則，簡(jiǎn)化后如圖示。最后根據(jù)串聯(lián)和反饋連接規(guī)則即可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為代入給定的各子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例2-19某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示，試對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，并求取該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

和

。解：當(dāng)

單獨(dú)作用時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。根據(jù)反饋連接規(guī)則，簡(jiǎn)化后如圖示?？汕蟮孟到y(tǒng)的傳遞函數(shù)為當(dāng)

單獨(dú)作用時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。首先將

前面的比較點(diǎn)后移，簡(jiǎn)化后如圖示。然后根據(jù)反饋連接規(guī)則，簡(jiǎn)化后如圖示。其次將

后面的比較點(diǎn)后移并將兩個(gè)比較點(diǎn)合并，簡(jiǎn)化后如圖示。最后根據(jù)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接規(guī)則可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2.3.4MATLAB實(shí)現(xiàn)1.串聯(lián)連接兩個(gè)系統(tǒng)的串聯(lián)連接用MATLAB提供的series()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為sys=series(sys1,sys2)%將系統(tǒng)sys1和sys2進(jìn)行串聯(lián)連接。此連接方式相當(dāng)于sys=sys1×sys2。2.并聯(lián)連接兩個(gè)系統(tǒng)的并聯(lián)連接用MATLAB提供的parallel()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為sys=parallel(sys1,sys2)%將系統(tǒng)sys1和sys2進(jìn)行并聯(lián)連接。此連接方式相當(dāng)于sys=sys1＋sys2。3.反饋連接兩個(gè)系統(tǒng)的反饋連接用MATLAB提供的feedback()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為sys=feedback(sys1,sys2,sign)%將系統(tǒng)sys1和sys2進(jìn)行反饋連接。其中sys1是前向通道子系統(tǒng)，sys2是反饋通道子系統(tǒng)，字符串sign指定反饋的極性，sign=1時(shí)表示正反饋，sign=-1或缺省時(shí)表示負(fù)反饋。解：MATLAB程序如下：clc;clearG1=tf([2],[1]);numG2=[3];denG2=[10];G2=tf(numG2,denG2);numG3=[5];denG3=conv([10],[61]);G3=tf(numG3,denG3);G4=1;H1=tf([4],[1]);H2=1;G31=tf(denG3,numG3);%G3前面的引出點(diǎn)后移G21=tf(denG2,numG2);%G2后面的比較點(diǎn)前移例2-20利用MATLAB求例2-18系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

。sys1=series(G2,G3);sys2=series(H1,G31);sys3=series(G1,H2);sys4=series(G4,G21);sys5=parallel(sys2,sys3);sys6=parallel(G1,sys4);sys7=feedback(sys1,sys5);sys=series(sys6,sys7)運(yùn)行結(jié)果為sys=75s+450-------------------------------90s^3+1095s^2+180s+450Continuous-timetransferfunction.即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2.4控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖

信號(hào)流圖是由美國(guó)數(shù)學(xué)家S.J.Mason（梅森）于20世紀(jì)50年代提出的，用來(lái)表示線性代數(shù)方程組的一種圖示方法。在控制理論中，它是描述系統(tǒng)元部件間信號(hào)傳遞關(guān)系的另一種圖示數(shù)學(xué)模型。與結(jié)構(gòu)圖相比，信號(hào)流圖具有符號(hào)簡(jiǎn)單、便于繪制、直觀形象等特點(diǎn)，但它只能用來(lái)描述線性系統(tǒng)。1.信號(hào)流圖的定義和組成2.4.1信號(hào)流圖的概念（1）節(jié)點(diǎn)：表示系統(tǒng)中信號(hào)或變量的點(diǎn)，用符號(hào)“o”表示。定義：由節(jié)點(diǎn)和有向支路構(gòu)成的，能表示信號(hào)流動(dòng)方向與系統(tǒng)功能的圖，稱為系統(tǒng)的信號(hào)流圖。組成：由節(jié)點(diǎn)、支路和支路增益三個(gè)基本元素組成，如圖示。（2）支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段，用符號(hào)“

”表示，箭頭表示信號(hào)流動(dòng)的方向。在信號(hào)流圖中，信號(hào)是單方向流動(dòng)的。（3）支路增益：表示支路上信號(hào)或變量的傳遞關(guān)系，用寫(xiě)在支路旁邊的函數(shù)“

”表示，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中某個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。有2.信號(hào)流圖中的常用術(shù)語(yǔ)在信號(hào)流圖中，常使用一些專(zhuān)用的名詞術(shù)語(yǔ)。下面以圖示信號(hào)流圖為例進(jìn)行介紹。（1）源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)

。它通常是系統(tǒng)的輸入信號(hào)。（2）阱節(jié)點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)

。它通常是系統(tǒng)的輸出信號(hào)。（3）混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)

、

和

。它通常是系統(tǒng)的中間變量。對(duì)于任意一個(gè)混合節(jié)點(diǎn)，都可以通過(guò)引出一條支路增益為1的支路將其變?yōu)橼骞?jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)

。（4）前向通路及其增益：從源節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿支路箭頭方向（不能是相反方向），連續(xù)經(jīng)過(guò)相連支路而到達(dá)阱節(jié)點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅一次的路徑稱為前向通路。將前向通路上各支路增益的乘積稱為前向通路增益。如圖中有兩條前向通路：一條是

，其前向通路增益為

；另一條是

，其前向通路增益為

。（5）回路及其增益：從某一節(jié)點(diǎn)出發(fā)，順著信號(hào)流動(dòng)的方向又回到該節(jié)點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)其余節(jié)點(diǎn)僅一次的閉合路徑稱為回路。將回路中各支路增益的乘積稱為回路增益。只有一條支路的回路稱為自回路。如圖中有四個(gè)回路：第一個(gè)是

，其回路增益為

；第二個(gè)是

，

,其回路增益為

；第三個(gè)是

，其回路增益為

；第四個(gè)是

，其回路增益為

，此為一個(gè)自回路。（6）不接觸回路：沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)或兩個(gè)以上回路稱為不接觸回路。如圖中有一對(duì)互不接觸回路：

和

。3.信號(hào)流圖的性質(zhì)（1）信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)。（2）節(jié)點(diǎn)表示的變量是所有流進(jìn)該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和，而從同一節(jié)點(diǎn)流出到各支路的信號(hào)均用該節(jié)點(diǎn)變量表示。（3）支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，乘以支路增益而變?yōu)榱硪恍盘?hào)。（4）信號(hào)只能在支路上沿箭頭方向單向傳遞。（5）對(duì)于給定系統(tǒng)，信號(hào)流圖不是唯一的。信號(hào)流圖具有以下基本性質(zhì):2.4.2信號(hào)流圖的繪制

繪制步驟：（1）通過(guò)拉普拉斯變換，將微分方程組變換成

域的代數(shù)方程組。（2）將系統(tǒng)每個(gè)變量用一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示，并根據(jù)信號(hào)傳遞的方向從左向右排列。（3）按照方程中各變量的因果關(guān)系，用標(biāo)有支路增益的支路將各節(jié)點(diǎn)變量連接即可。1.已知系統(tǒng)的微分方程，繪制信號(hào)流圖解：例2-21畫(huà)出圖示

無(wú)源濾波網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖。以如圖所示電流

、

和

為中間變量，根據(jù)伏安特性和基爾霍夫定律，可列出系統(tǒng)的微分方程組為在零初始條件下進(jìn)行拉普拉斯變換，得然后，對(duì)變量

、

、

、

及

設(shè)置五個(gè)節(jié)點(diǎn)并自左向右順序排列。第三步，按照方程中各變量的因果關(guān)系，用標(biāo)有相應(yīng)支路增益的支路將各節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，便得到

無(wú)源濾波網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖如圖示。繪制步驟：（1）確定節(jié)點(diǎn)：將結(jié)構(gòu)圖中的輸入變量設(shè)為源節(jié)點(diǎn)，輸出變量設(shè)為阱節(jié)點(diǎn)，每個(gè)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)均各設(shè)為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，但應(yīng)注意：①比較點(diǎn)和比較點(diǎn)之后的引出點(diǎn)只需在比較點(diǎn)后設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)即可；②比較點(diǎn)和比較點(diǎn)之前的引出點(diǎn)需各設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別表示兩個(gè)變量，它們之間的支路增益是1。（2）將各個(gè)節(jié)點(diǎn)按照結(jié)構(gòu)圖上的位置依次排列。（3）用標(biāo)有傳遞函數(shù)的有向線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，即為信號(hào)流圖的支路，這樣就得到了系統(tǒng)的信號(hào)流圖。2.已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，繪制信號(hào)流圖解：在例2-14中已畫(huà)出該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。例2-22畫(huà)出例2-1中

網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖。在圖中

、A、B、C及

處設(shè)五個(gè)節(jié)點(diǎn)，并依次排列，然后按結(jié)構(gòu)圖中給出的關(guān)系畫(huà)出各節(jié)點(diǎn)的支路，得到

網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖如圖示。梅森增益公式的一般表達(dá)式為2.4.3梅森增益公式

在控制工程中，對(duì)于信號(hào)流圖，通常利用梅森增益公式直接獲得系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)。：從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)（或系統(tǒng)總增益）:特征式，:所有不同回路的回路增益之和：所有兩個(gè)互不接觸回路的回路增益乘積之和:所有三個(gè)互不接觸回路的回路增益乘積之和：從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)的前向通路總數(shù):從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)的第

條前向通路的總增益:第

條前向通路的特征余因子式，即將特征式

中與第

條前向通路相接觸的回路增益項(xiàng)（包括回路增益的乘積項(xiàng)）除去以后剩余的部分例2-23利用梅森增益公式求例2-1中

網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

。解：在例2-22中已畫(huà)出該網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖如圖示。該系統(tǒng)有兩個(gè)回路：

、

；無(wú)互不接觸回路；所以系統(tǒng)的特征式為有一條前向通路:；根據(jù)梅森增益公式可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為特征余因子式:例2-24某系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖示，試?yán)妹飞鲆婀酱_定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

。解：該系統(tǒng)有四個(gè)回路：所以系統(tǒng)的特征式為和

互不接觸：有兩條前向通路:根據(jù)梅森增益公式可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例2-25某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。（1）試?yán)L制系統(tǒng)的信號(hào)流圖；（2）試?yán)妹飞鲆婀酱_定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

。（1）繪制出系統(tǒng)信號(hào)流圖如圖示。解：（2）①求傳遞函數(shù)

，令

。有三個(gè)回路：和

互不接觸：所以特征式為有三條前向通路:根據(jù)梅森增益公式可得（2）②求傳遞函數(shù)

，令

。同①有兩條前向通路:根據(jù)梅森增益公式可得2.5典型反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

實(shí)際的反饋控制系統(tǒng)通常都會(huì)受到兩種輸入信號(hào)的作用。一種是有用信號(hào)，另一種是擾動(dòng)信號(hào)。一個(gè)典型反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。圖中，

為有用輸入信號(hào)，

為擾動(dòng)信號(hào)，

為系統(tǒng)輸出信號(hào)，

為誤差信號(hào)，

為反饋信號(hào)。2.5.1系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可見(jiàn)：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。對(duì)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)。定義：若不考慮擾動(dòng)的作用（

），將主反饋通道

的輸出端斷開(kāi)時(shí)，輸入信號(hào)

到反饋信號(hào)

之間的傳遞函數(shù)。即注意，這里的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)而言的，而非開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.5.2系統(tǒng)的