自動控制原理 課件 4.3 廣義根軌跡

4.3廣義根軌跡180°根軌跡繪制規(guī)則，通常也稱為常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則，是基于負(fù)反饋條件下根軌跡增益K*變化時(shí)的根軌跡繪制方法。當(dāng)系統(tǒng)是基于正反饋條件下，或者其他參數(shù)作為變量（開環(huán)零、極點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)，反饋系數(shù)等）時(shí)的根軌跡（包括參數(shù)根軌跡和零度根軌跡），稱為廣義根軌跡。4.3.1參數(shù)根軌跡以非根軌跡增益K*（或開環(huán)增益K）為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的規(guī)則與繪制常規(guī)根軌跡的規(guī)則完全相同。只要在繪制參數(shù)根軌跡之前，引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，則常規(guī)根軌跡的所有規(guī)則均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。假設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為討論以參數(shù)β變化的根軌跡，將式（4-3-1）進(jìn)行等效變換，即根據(jù)式（4-3-2）得等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為

由式（4-3-3）可以繪制系統(tǒng)可變參數(shù)β的根軌跡。特別指出，等效開環(huán)傳遞函數(shù)是根據(jù)式（4-3-1）得來的。等效的含義僅在于其閉環(huán)極點(diǎn)相同，而閉環(huán)零點(diǎn)通常是不同的。因此，根據(jù)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的性能時(shí)，可以采用參數(shù)根軌跡上的閉環(huán)極點(diǎn)，但必須采用原來閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。（4-3-1）（4-3-2）（4-3-3）例4-11已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，求K=0.25時(shí)，參數(shù)α變化時(shí)的根軌跡。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為將上式整理后，得

等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

當(dāng)K=0.25時(shí),

⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3。有3條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2,3=-0.5，無開環(huán)零點(diǎn)。3條根軌跡分別始于3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2和p3，終止于無窮遠(yuǎn)處。解：⑶實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是（-∞,0]。⑷漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為

⑸根軌跡分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）解得分離點(diǎn)坐標(biāo)為

⑹根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

令s1行的元素全為零，得到系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)а=1，將其帶入輔助方程求得s1,2=±j0.5。繪制根軌跡如圖4-3-1所示。圖4-3-1例題4-11參量a的根軌跡4.3.2零度根軌跡開環(huán)零、極點(diǎn)有位于s右半平面的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)可能出現(xiàn)在有局部正反饋環(huán)節(jié)存在的情況。研究非最小相位系統(tǒng)有時(shí)不能采用180°根軌跡繪制規(guī)則來繪制系統(tǒng)的根軌跡，因?yàn)槠湎嘟亲裱瓧l件，而不是條件，故一般稱為零度根軌跡。設(shè)某正反饋控制系統(tǒng)如圖4-3-2所示。圖4-3-2正反饋控制系統(tǒng)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

根軌跡方程（閉環(huán)系統(tǒng)特征方程）為

即式（4-3-5）可以寫為

把式（4-3-6）稱為零度根軌跡方程。式（4-3-6）還可寫成模值方程和相角方程。（4-3-4）（4-3-5）（4-3-6）模值方程相角方程（4-3-8）（4-3-7）將式（4-3-7）和式（4-3-8）與常規(guī)根軌跡的式（4-1-6）和式（4-1-7）相比，僅相角方程不同。因此，應(yīng)用常規(guī)根軌跡繪制規(guī)則繪制零度根軌跡，對于與相角方程有關(guān)的一些規(guī)則需要進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，應(yīng)修改的規(guī)則如下。規(guī)則3實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上某區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。規(guī)則4根軌跡的漸近線若開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則(n-m)條漸近線與正實(shí)軸方向的夾角（傾角）為（4-3-9）規(guī)則6根軌跡的出射角和入射角除上述3個(gè)規(guī)則，其他規(guī)則不變。（4-3-10）（4-3-11）根據(jù)零度根軌跡的相角條件可求出、分別為例4-12已知單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試分別畫出正反饋和負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡圖，并指出它們的穩(wěn)定性有何不同。系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=-3，p2,3=-1±j，1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1=-2。⑴正反饋系統(tǒng)

①實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是。②漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為解：③根軌跡分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）

解得，④根軌跡的出射角

根據(jù)對稱性，則。（舍去）⑤根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

根據(jù)勞斯表可知，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為0<K*<3，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)s=0。繪制根軌跡如圖4-3-3(a)所示。⑵負(fù)反饋系統(tǒng)

①實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是。②漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為③根軌跡無分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）。④根軌跡的出射角

根據(jù)對稱性，則⑤根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

根據(jù)勞斯表可知，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為K*>0，根軌跡與虛軸無交點(diǎn)。繪制根軌跡如圖4-3-3(b)所示。綜上，對于正反饋系統(tǒng)，當(dāng)0<K*<3時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；對于負(fù)反饋系統(tǒng)，當(dāng)K*

>0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。(a)正反饋系統(tǒng)(b)負(fù)反饋系統(tǒng)圖4-3-3例4-12的根軌跡例4-13已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)⑴利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。⑵判斷是否在根軌跡上。⑶由根軌跡求出使系統(tǒng)阻尼比時(shí)的a值。4.3.2MATLAB實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為

等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

解：輸入以下MATLAB命令：clc;clearnum=[10];den=[1016];G=tf(num,den);%系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)rlocus(G)%繪制系統(tǒng)根軌跡%%計(jì)算阻尼比為0.707對應(yīng)參數(shù)asgrid(0.707,[])a=rlocfind(G)程序運(yùn)行結(jié)果如圖4-3-4所示。⑴繪制系統(tǒng)的根軌跡根據(jù)圖4-3-4可知，系統(tǒng)根軌跡是以開環(huán)零點(diǎn)為圓心，半徑為4的一個(gè)半圓。根軌跡的分離點(diǎn)d=-4，對應(yīng)的參數(shù)a=8。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為±j4，對應(yīng)參數(shù)a=0。因此系統(tǒng)穩(wěn)定條件為a>0。由圖4-3-4可知，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，沒在半圓上，所以不是根軌跡上的點(diǎn)。⑶由根軌跡求出使系統(tǒng)阻尼比ζ=0.707時(shí)的a值。閉環(huán)特征方程為

對應(yīng)求出ωn=4rad/s，a=5.656。⑵判斷是否在根軌跡上。Selectapointinthegraphicswindowselected_point=-2.8221+2.8236ia=5.6553由程序運(yùn)行結(jié)果可知，

ζ=0.707時(shí)，a=5.6553。例4-14已知單位正反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：輸入以下MATLAB命令clc;clearnum=[-1-1];den=conv(conv([100],[12]),[14]);G=tf(num,den);%系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)rlocus(G)%繪制系統(tǒng)根軌跡%%開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)p=pole(G);%%開環(huán)/閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)z=zero(G);%%計(jì)算漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)sigma=(sum(p)-sum(z))/(le