自動控制原理 課件 6.3 串聯(lián)校正

6.3串聯(lián)校正頻率法是分析設(shè)計控制系統(tǒng)最常用的方法。應(yīng)用頻率法對系統(tǒng)進(jìn)行校正，其目的是改變頻率特性的形狀，使校正后的系統(tǒng)頻率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿足所要求的性能指標(biāo)。當(dāng)系統(tǒng)的期望性能指標(biāo)是時域指標(biāo)時，需要將其轉(zhuǎn)化為頻域指標(biāo)。本節(jié)主要應(yīng)用超前校正裝置、滯后校正裝置和滯后-超前校正裝置實現(xiàn)串聯(lián)校正，介紹串聯(lián)校正綜合法的設(shè)計思想，并給出相應(yīng)的串聯(lián)校正示例。6.3.1頻率法校正設(shè)計從第五章的內(nèi)容可知，一個合理的控制系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線有如下特點：低頻段應(yīng)具有-20dB/dec或-40dB/dec的斜率，并有一定的高度，以滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的要求；中頻段應(yīng)以-20dB/dec的斜率穿過零分貝線，并占有足夠?qū)挼闹蓄l寬度，以滿足動態(tài)性能指標(biāo)要求；高頻段的頻率特性應(yīng)該盡快衰減，以削減噪聲影響。頻域法串聯(lián)校正的實質(zhì)是利用校正裝置改變系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性，使之符合三頻段的要求，從而達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。6.3.2串聯(lián)超前校正頻率法串聯(lián)超前校正的設(shè)計思想是利用超前網(wǎng)絡(luò)的相角超前特性，只要正確地將超前網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率1/(aT)和1/T置于待校正系統(tǒng)截止頻率的兩旁，并適當(dāng)選擇超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a和T，就可以提高校正后系統(tǒng)的相角裕度和截止頻率，從而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。用頻域法設(shè)計無源超前網(wǎng)絡(luò)的步驟如下。⑴根據(jù)給定的穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定開環(huán)增益K。⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc和相角裕度γ。當(dāng)，時，首先考慮超前校正。⑶根據(jù)給定的相角裕度，確定超前網(wǎng)絡(luò)的最大超前角為式（6-3-1）中，ε為補(bǔ)償角，用于補(bǔ)償因超前網(wǎng)絡(luò)的引入，使校正后系統(tǒng)截止頻率增大而導(dǎo)致的待校正系統(tǒng)的相角損失量。若待校正系統(tǒng)中頻段的斜率為-40dB/dec時，一般取ε=5°-10°，若待校正系統(tǒng)中頻段的斜率為-60dB/dec時，一般取ε=15°-20°。（6-3-1）⑷根據(jù)所確定的最大超前角，由式（6-2-5）求得超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a為⑸確定超前網(wǎng)絡(luò)最大超前角對應(yīng)的最大超前角頻率。為充分利用超前網(wǎng)絡(luò)相角超前特性，選擇作為校正后系統(tǒng)的截止頻率。此時根據(jù)式（6-2-6）可得⑹由式（6-2-4）確定超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)T為

（6-3-3）（6-3-2）（6-3-4）⑺根據(jù)已求得的超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a和T，由式（6-2-2）確定超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)Gc(s)。⑻驗算校正后系統(tǒng)的性能。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)的相角裕度為若驗算結(jié)果不滿足性能指標(biāo)要求，返回步驟⑶，適當(dāng)增大補(bǔ)償角ε，重新設(shè)計直到系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)要求。設(shè)計中也可以根據(jù)截止頻率的要求，選擇校正后系統(tǒng)的截止頻率。通過計算待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值，依據(jù)步驟⑸-步驟⑹，求出超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a和T。例6-3已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-3-1所示，要求設(shè)計串聯(lián)無源超前網(wǎng)絡(luò)，使得系統(tǒng)滿足如下指標(biāo)：⑴在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差；⑵截止頻率；⑶相角裕度。解：⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能要求，確開環(huán)增益K。由,取K=10，則待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc和相角裕度γ。繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-2中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應(yīng)有可求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=3.16rad/s（在ω≥1頻段內(nèi)）。待校正系統(tǒng)的相角裕度為

顯然，，，系統(tǒng)不滿足性能指標(biāo)要求。⑶確定超前網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。方法一由于待校正系統(tǒng)中頻段斜率為-40dB/dec，故取ε=10°。由式（6-3-1）得代入式（6-3-2），解得超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a為

根據(jù)式（6-3-3），可求得校正后系統(tǒng)的截止頻率，即解得。顯然，截止頻率滿足性能指標(biāo)要求。根據(jù)式（6-3-4），可得超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)T為

因此，串聯(lián)無源超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-2中Lc(ω)所示。⑷驗算系統(tǒng)性能指標(biāo)。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-2中所示。

校正后系統(tǒng)相角裕度為綜上，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度，穩(wěn)態(tài)誤差，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)相角裕度顯然，利用方法二所計算參數(shù)也滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。方法二根據(jù)系統(tǒng)截止頻率的要求，直接選取校正后系統(tǒng)截止頻率由式（6-3-3），可求得超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a，即解得a=3.75，則超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)因此串聯(lián)無源超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為通過例6-3可以看出，校正后曲線以-20dB/dec斜率穿過0dB線，并且在處具有較寬的頻段，相角裕度相對于校正前系統(tǒng)有了明顯的提高。在L(ω)的上方，對高頻信號的幅值衰減能力降低。由此可見，串聯(lián)超前校正主要用來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，但以犧牲系統(tǒng)的抗擾性能為代價。由于無源超前網(wǎng)絡(luò)最大超前角（a≤20），當(dāng)待校正系統(tǒng)的中頻段斜率為-60dB/dec（相角裕度γ<0，系統(tǒng)不穩(wěn)定）時，采用一級串聯(lián)超前校正將無法實現(xiàn)性能指標(biāo)的要求。另外，若待校正系統(tǒng)的截止頻率附近存在多個慣性環(huán)節(jié)，導(dǎo)致截止頻率滯后的相位迅速減小，不宜采用串聯(lián)超前校正。6.3.2串聯(lián)滯后校正頻率法串聯(lián)滯后校正的設(shè)計思想是利用滯后網(wǎng)絡(luò)的高頻幅值衰減特性，使校正后系統(tǒng)截止頻率下降，從而使系統(tǒng)獲得足夠的相角裕度。因此，在設(shè)計滯后網(wǎng)絡(luò)時應(yīng)避免最大滯后角發(fā)生在系統(tǒng)截止頻率附近。由于滯后網(wǎng)絡(luò)的高頻幅值衰減特性，減小了系統(tǒng)帶寬，降低了系統(tǒng)的快速性。因此，串聯(lián)滯后校正適用于快速性要求不高而抑制噪聲要求較高的系統(tǒng)。若待校正系統(tǒng)僅穩(wěn)態(tài)性能不滿足指標(biāo)要求時，也可以采用串聯(lián)滯后校正以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。用頻域法設(shè)計無源滯后網(wǎng)絡(luò)的步驟如下。⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定開環(huán)增益K。⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc和相角裕度γ。⑶根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，確定校正后系統(tǒng)的截止頻率，即滿足（6-3-5）式（6-3-5）中，為待校正系統(tǒng)在處的相角值，為滯后網(wǎng)絡(luò)在處引起的相位滯后量，一般取-6°。⑷確定滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b和T。

⑷確定滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b和T。由于滯后網(wǎng)絡(luò)在處的幅值衰減量為20lgb，要保證校正后系統(tǒng)的截止頻率為，則待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值應(yīng)滿足（6-3-6）由式（6-3-6）可確定滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b。由已確定的b值可根據(jù)式（6-2-11）計算滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)T。若求得的T值過大而難以實現(xiàn)，則可將式（6-2-11）中的系數(shù)適當(dāng)增大，即（6-3-7）相應(yīng)的的估計值應(yīng)在范圍內(nèi)確定。⑸校驗校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。例6-4已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)要求設(shè)計串聯(lián)滯后網(wǎng)絡(luò)，使得系統(tǒng)滿足如下指標(biāo)：⑴穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)；⑵相角裕度。解：⑴根據(jù)系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv要求，確定開環(huán)增益K。因為

取K

=5，則待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⑵根據(jù)已確定的K值，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-3中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應(yīng)有求得待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=2.24rad/s（在1≤ω<4頻段范圍內(nèi)）待校正系統(tǒng)相角裕度為

顯然，待校正系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且相角裕度不滿足性能指標(biāo)的要求。

⑶根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，確定校正后系統(tǒng)的截止頻率。由式（6-3-5）可得

根據(jù)待校正系統(tǒng)在處的相角可求得（在ω<1頻段范圍內(nèi)）。⑷確定滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b和T。根據(jù)式（6-3-6）可得

解得b=0.136。將和b=0.136帶入式（6-2-11），即

解得T=108.131s。因此串聯(lián)滯后網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-3中Lc(ω)所示。⑸校驗校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-3中所示。校正后系統(tǒng)的相角裕度為

綜上所述，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度，穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

=5，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。由圖6-3-3可以看出，校正前L(ω)曲線以-40dB/dec的斜率穿過0dB線，相角裕度不足，系統(tǒng)不穩(wěn)定；校正后曲線則以-20dB/dec的斜率穿過0dB線，相角裕度明顯增加，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性得到顯著改善。然而校正后比校正前ωc降低，因此,串聯(lián)滯后校正以犧牲截止頻率換取了相角裕度的提高。另外，由于滯后網(wǎng)絡(luò)高頻幅值衰減特性，使校正后系統(tǒng)曲線高頻段降低，抗高頻干擾能力提高。6.3.2串聯(lián)滯后-超前校正如果校正前系統(tǒng)不穩(wěn)定，且要求校正后系統(tǒng)有較高的響應(yīng)速度、相角裕度和穩(wěn)態(tài)精度，一般需采用串聯(lián)滯后-超前校正。頻率法串聯(lián)滯后-超前校正的設(shè)計思想是利用超前部分提高相角裕度，同時利用滯后部分改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，具有超前校正和滯后校正的優(yōu)點。用頻域法設(shè)計無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)的步驟如下。⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定開環(huán)增益K。⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc、相角裕度γ和幅值裕度h(dB)。⑶選擇待校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線斜率從-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率，作為校正網(wǎng)絡(luò)超前部分的轉(zhuǎn)折頻率ωb（ωb=1/Tb）。這里選擇ωb的原因，一是降低校正后系統(tǒng)的階次，二是保證校正后系統(tǒng)的中頻段斜率為-20dB/dec，且具有一定的寬度。⑷根據(jù)響應(yīng)速度的要求，選擇系統(tǒng)的截止頻率和校正網(wǎng)絡(luò)參數(shù)α。要保證校正后系統(tǒng)的截止頻率為所選的，應(yīng)滿足（6-3-8）式（6-3-8）中，為待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值，-20lgα為校正網(wǎng)絡(luò)最大幅值衰減值，為校正網(wǎng)絡(luò)超前部分在處的對數(shù)幅頻值。由式（6-3-8）可計算校正網(wǎng)絡(luò)參數(shù)α。⑸根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，估算校正網(wǎng)絡(luò)滯后部分的轉(zhuǎn)折頻率ωa（ωa=1/Ta）。⑹校驗校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。例6-5已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)要求設(shè)計串聯(lián)校正裝置，使得系統(tǒng)滿足如下指標(biāo)：⑴最大指令速度為180°/s時，位置滯后誤差不超過1°；⑵相角裕度；⑶幅值裕度；⑷動態(tài)過程調(diào)節(jié)時間。解：⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定開環(huán)增益K。當(dāng)系統(tǒng)輸入信號r(t)=180t時，其穩(wěn)態(tài)誤差。由題意，取K=180

則待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-4中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應(yīng)有求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=12.93rad/s（在ω≥6頻段內(nèi)）。待校正系統(tǒng)的相角裕度為

顯然，待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定。分析：如果采用串聯(lián)超前校正，要將待校正系統(tǒng)的相角裕度從-56°提高到45°，至少需要選用兩級無源超前網(wǎng)絡(luò)，并且還需要附加前置放大器，從而使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜化。另外，校正后系統(tǒng)的截止頻率將過大，響應(yīng)速度將過快，伺服電機(jī)來不及動作而出現(xiàn)飽和效應(yīng)。同時系統(tǒng)過大的帶寬，也會造成輸出噪聲電平過高。如果采用串聯(lián)滯后校正，可以使系統(tǒng)的相角裕度提高到45°左右，但是對于該例題要求的高性能系統(tǒng)，由于滯后網(wǎng)絡(luò)時間常數(shù)太大而無法實現(xiàn)，此外滯后網(wǎng)絡(luò)極大地減小了系統(tǒng)的截止頻率，使得系統(tǒng)的響應(yīng)遲緩。通過上述分析表明，超前校正和滯后校正都不宜采用，因此，應(yīng)當(dāng)選用串聯(lián)滯后-超前校正。⑶由待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)可知，其斜率從-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率為2rad/s，此頻率作為校正網(wǎng)絡(luò)超前部分的轉(zhuǎn)折頻率ωb，即ωb=2rad/s，相應(yīng)Tb=1/ωb=0.5s。⑷選擇系統(tǒng)的截止頻率和校正網(wǎng)絡(luò)參數(shù)α。根據(jù)系統(tǒng)相角裕度及調(diào)節(jié)時間的要求，代入

解得截止頻率考慮到要求中頻段斜率為-20dB/dec，故校正后系統(tǒng)截止頻率應(yīng)在3.2-6rad/s范圍內(nèi)選取。這里取由式（6-3-8）計算α，即解得α=51。因此串聯(lián)無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)可寫為

⑸根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，估算校正網(wǎng)絡(luò)滯后部分的轉(zhuǎn)折頻率ωa（ωa=1/Ta）。校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的相角裕度為

根據(jù)相角裕度的要求，取校正后系統(tǒng)的相角裕度，上式可寫為解得Ta=1.24（ωa=1/Ta=0.8065）則串聯(lián)無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-4中Lc(ω)所示。

⑹校驗校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-4中所示，校正后系統(tǒng)的相角裕度為

最后，驗算系統(tǒng)的幅值裕度，得到。綜上所述，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕量，穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)，幅值裕度，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。

由以上對串聯(lián)校正的三種校正方式的分析可知，串聯(lián)超前校正可提高系統(tǒng)的截止頻率和相角裕度，從而減小階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量；串聯(lián)滯后校正可以提高系統(tǒng)的相角裕度，降低系統(tǒng)的截止頻率，從而使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)超調(diào)量下降并提高系統(tǒng)的抗干擾能力；串聯(lián)滯后-超前校正兼有兩者的優(yōu)點，即可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度、降低超調(diào)量，又能抑制高頻噪聲。6.3.5串聯(lián)綜合法校正串聯(lián)綜合法校正的設(shè)計思想是根據(jù)給定的性能指標(biāo)，確定系統(tǒng)期望的開環(huán)頻率特性，然后與未校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性進(jìn)行比較，最后確定校正裝置的形式及參數(shù)。由于綜合法校正的主要依據(jù)是期望特性，因此又稱為期望特性法。應(yīng)當(dāng)指出，該方法一般僅適用于最小相位系統(tǒng)。設(shè)原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，串聯(lián)校正裝置的傳遞函數(shù)為Gc(s)，具有期望性能的開環(huán)傳遞函數(shù)為

，則相應(yīng)的對數(shù)幅頻特性為即為滿足給定性能指標(biāo)的“期望特性”。下面分析將頻域性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為期望頻率特性的方法。通常，具有較好性能的控制系統(tǒng)應(yīng)具有的期望開環(huán)頻率特性如圖6-3-5所示。由圖6-3-5可知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

相頻特性為則（6-3-9）

由，解得產(chǎn)生的角頻率（6-3-10）顯然ωm是轉(zhuǎn)折頻率ω1和ω2的幾何中心。將式（6-3-10）代入式（6-3-9），求得（6-3-11）

令中頻段的寬度為H，即，則式（6-3-11）可寫為

考慮到通常在極大值附近相角變化較小，特別是在開環(huán)截止頻率接近兩個轉(zhuǎn)折頻率的幾何中心時誤差很小，近似有。由諧振峰值和相角裕度之間的近似關(guān)系，可得由相角裕度與阻尼比的關(guān)系可知，Mr和H均是體現(xiàn)系統(tǒng)阻尼比的頻域指標(biāo)。

（6-3-11）當(dāng)ω2和ω3與滿足系統(tǒng)的閉環(huán)諧振峰值最小。由于中頻段對系統(tǒng)的動態(tài)性能起決定性作用，通常采用綜合法進(jìn)行系統(tǒng)校正時要留出一定的裕量，取由此可得期望頻率特性的兩個參數(shù)ω2和ω3，結(jié)合就可以確定期望頻率特性的中頻段。通常，為保證有足夠的相角裕度，一般取中頻寬度H≥10。為了使校正裝置較為簡單，需要結(jié)合原系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線確定期望頻率特性的低頻段和高頻段。可采用下面的步驟按期望特性對系統(tǒng)進(jìn)行串聯(lián)校正。⑴根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)性能的要求，確定系統(tǒng)的型別v和開環(huán)增益K，繪制期望特性的低頻段。⑵根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)確定期望截止頻率、期望相角裕度以及期望諧振峰值Mr。根據(jù)和Mr確定參數(shù)H、ω2和ω3，繪制期望特性的中頻段，使中頻段的斜率為-20dB/dec，并有足夠?qū)挾然驗?40dB/dec，且比較窄，以保證系統(tǒng)具有足夠的相角裕度。⑶繪制期望特性低、中頻段之間的銜接頻段，其斜率一般為-40dB/dec或-60dB/dec，為了簡化校正裝置，應(yīng)使直線的斜率盡量接近相鄰線段的斜率，以減少對系統(tǒng)性能的影響。⑷根據(jù)系統(tǒng)幅值裕度及高頻段抗擾能力的要求，繪制期望特性的高頻段。通常為了使校正裝置較為簡單且便于實現(xiàn)，一般期望特性的高頻段與原系統(tǒng)的高頻段斜率一致或完全重合。⑸繪制期望特性的中、高頻段之間的銜接頻段，其斜率一般取-40dB/dec。

⑹根據(jù)期望對數(shù)幅頻特性與原系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性之差，繪制校正裝置的對數(shù)幅頻特性Lc(ω)，求出校正裝置的傳遞函數(shù)Gc(s)。⑺校驗校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。例6-6已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

要求設(shè)計串聯(lián)校正裝置，使得系統(tǒng)滿足如下指標(biāo)：⑴當(dāng)r(t)=t時，穩(wěn)態(tài)誤差；⑵相角裕度；⑶開環(huán)截止頻率。解：由穩(wěn)態(tài)誤差，得開環(huán)增益K≥126，取K=126。繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應(yīng)有可求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=35.5rad/s（在10≤ω<60頻段內(nèi)）待校正系統(tǒng)相角裕度為

顯然，原系統(tǒng)不穩(wěn)定，不滿足性能指標(biāo)要求。下面繪制期望頻率特性。⑴低頻段系統(tǒng)為Ⅰ型，當(dāng)ω=1rad/s時，20lgK=42dB，過點(1,42)作斜率為-20dB/dec的直線與原系統(tǒng)的低頻段重合。⑵中頻段及銜接段根據(jù)的要求，可得，取Mr=1.7。由的要求，可以確定中頻段兩個轉(zhuǎn)折頻率的范圍，即求得ω2≤8.24rad/s，ω3≥31.76rad/s。為使期望頻率特性簡單，取ω2=5rad/s，ω3=50rad/s，則中頻段寬度H=ω2/ω3=10。在處作斜率為-20dB/dec的直線。為連接中頻段和低頻段，在中頻段ω2=5rad/s處作斜率為-40dB/dec的直線，其與低頻段的交點ω1，可由下式

解得ω1=0.79rad/s。⑶高頻段及銜接段為簡化校正裝置，在中頻段ω3=50rad/s處作斜率為-40dB/dec的直線，并與原系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)的高頻段交于ω4。ω>ω4時，取期望特性高頻段與原系統(tǒng)高頻特性一致。高頻段的交點ω4可由

解得ω4=75.6rad/s。繪制期望對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中所示。根據(jù)，求出校正裝置的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中Lc(ω)所示。

校正裝置傳遞函數(shù)為顯然校正裝置為滯后-超前網(wǎng)絡(luò)。最后校驗系統(tǒng)性能指標(biāo)。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中所示。校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度為

綜上所述，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度，穩(wěn)態(tài)誤差，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。6.3.6MATLAB實現(xiàn)借助MATLAB強(qiáng)大的計算功能，可以進(jìn)一步討論控制系統(tǒng)校正裝置的設(shè)計問題，以獲得滿意的系統(tǒng)性能。下面通過具體實例，說明MATLAB在控制系統(tǒng)校正中的應(yīng)用。1.超前校正的MATLAB實現(xiàn)例6-7針對例6-3所給系統(tǒng)和要求，試?yán)肕ATLAB確定串聯(lián)超前校正裝置，并比較校正前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=45;%期望相角裕度γ=45°epsilon=10;%補(bǔ)償角取ε=10°K=10;%開環(huán)增益G0=K*tf(1,[110]);%待校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)的穿越頻率和截止頻率GmdB=20*log10(Gm0);%待校正系統(tǒng)幅值裕度的對數(shù)值(dB)[mag0,phase0,w0]=bode(G0);%待校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的幅值、相位值和對應(yīng)頻率magdB=20*log10(mag0);%幅值的對數(shù)值phim=exp_gama-Pm0+epsilon;%最大超前角φma=(1+sind(phim))/(1-sind(phim));%求校正參數(shù)aadB=-10*log10(a);%a的對數(shù)值wc=spline(magdB,w0,adB);%校正后系統(tǒng)的截止頻率T=1/wc/sqrt(a);%校正參數(shù)TGc=tf([a*T1],[T1])%超前校正網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)G=Gc*G0;%校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)的穿越頻率和截止頻率figure(1)bode(G0)gridholdonbode(G)figure(2)G1=feedback(G0,1);step(G1)holdonG2=feedback(G,1);step(G2)校正前后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-3-7所示。系統(tǒng)校正前后的單位階躍響應(yīng)曲線如圖6-3-8所示。圖6-3-8例6-7的單位階躍響應(yīng)曲線由運(yùn)行結(jié)果可知，待校正系統(tǒng)的相角裕度γ=17.9642°，截止頻率ωc=3.0842rad/s，顯然不滿足要求。采用串聯(lián)超前校正，得到超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)的相角裕度，截止頻率，滿足性能指標(biāo)要求。校正前系統(tǒng)超調(diào)量σ%=60.4%，調(diào)節(jié)時間ts=7.31s，校正后系統(tǒng)的超調(diào)量σ%=22.4%，調(diào)節(jié)時間ts=1.23s。可見，系統(tǒng)動態(tài)性能得到了明顯改善。2.滯后校正的MATLAB實現(xiàn)例6-8針對例6-4所給系統(tǒng)和要求，試?yán)肕ATLAB確定串聯(lián)滯后校正裝置，并求出系統(tǒng)校正后的性能指標(biāo)。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=40;%期望相角裕度γ=40°phic=-6;%滯后角取φc(wc’)=-6°K=5;%開環(huán)增益G0=K*tf(1,conv([110],[0.251]));%待校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)的穿越頻率和截止頻率[mag0,phase0,w0]=bode(G0);%待校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的幅值、相位值和對應(yīng)頻率magdB=20*log10(mag0);%待校正系統(tǒng)幅值的對數(shù)值phi=exp_gama-180-phic;%待校正系統(tǒng)在期望截止頻率wc處的相位wc=spline(phase0,w0,phi);%校正后系統(tǒng)的截止頻率wcmag1=spline(w0,mag0,wc);%校正后系統(tǒng)截止頻率wc處的原系統(tǒng)幅值mag1mag1dB=20*log10(mag1);%mag1的對數(shù)值b=10^(-mag1dB/20);%校正參數(shù)bT=1/(b*0.1*wc);%校正參數(shù)TGmdB=20*log10(Gm0);%待校正系統(tǒng)幅值裕度的對數(shù)值(dB)Gc=tf([b*T1],[T1])%滯后校正裝置G=Gc*G0;%校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)的穿越頻率和截止頻率figure(1)margin(G0);grid;figure(2)margin(G);grid;校正前和校正后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性如圖6-3-9和圖6-3-10所示，待校正系統(tǒng)的幅值裕度20lgh≈0dB，相角裕度γ≈0°，ωc=2rad/s，待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，顯然不滿足要求。采用串聯(lián)滯后校正，得到校正裝置的傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)幅值裕度，相角裕度，，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)。由此可見，應(yīng)用MATLAB所得結(jié)果與例題6-5所求基本一致。3.滯后-超前校正的MATLAB實現(xiàn)例6-9針對例6-5所給系統(tǒng)和要求，試?yán)肕ATLAB確定串聯(lián)滯后-超前校正裝置，并比較校正前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=45;%期望相角裕度γ=45°exp_GmdB=10;%期望幅值裕度h(dB)=10K=180;%開環(huán)增益Mr=1/sind(exp_gama);%根據(jù)期望相角裕度計算諧振峰值ts=3;%調(diào)節(jié)時間exp_wc=pi*(2+1.5*(Mr-1)+2.5*(Mr-1)^2)/3;%根據(jù)調(diào)節(jié)時間、諧振峰值計算期望截止頻率G0=K*zpk([],[0-2-6],12);%待校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)的穿越頻率和截止頻率Gm0_dB=20*log10(Gm0