泰安市泰山區(qū)2021年八年級下學期《數(shù)學》期中試題與參考答案

6/23泰安市泰山區(qū)2021年八年級下學期《數(shù)學》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共12個小題，每小題4分，共4分每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的請把正確答案的字母代號選出來填入下面答案欄的對應位置。1．若有意義，則（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件列不等式組求解．【解答】解：由題意可得，解得：x≥﹣且x≠1，故選：B．【點評】本題考查二次根式和分式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件（被開方數(shù)為非負數(shù)），分式有意義的條件（分母不能為零）是解題關鍵．2．下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．a(chǎn)x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【解答】解：A、是分式方程，故A錯誤；B、是二元二次方程，故B錯誤；C、a＝0時，是一元一次方程，故C錯誤；D、是一元二次方程，故D正確；故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．3．下列各式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，判斷即可．【解答】解：A、＝2，故A不符合題意；B、＝a，故B不符合題意；C、是最簡二次根式，故C符合題意；D、＝，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵．4．矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)是（）A．每一條對角線平分一組對角 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【分析】矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，因而平行四邊形具有的性質(zhì)就是矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)．【解答】解：矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)：對角線互相平分．故選：C．【點評】本題主要考查的是對矩形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)的理解．5．從菱形鈍角的頂點向?qū)堑膬舌忂呑鞔咕€，垂足恰好落在該邊中點，則該菱形內(nèi)角中鈍角的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．135° D．150°【分析】根據(jù)題意畫出圖形設角A為鈍角，作AE⊥BC，且E為BC的中點可以求證△ABC為等腰三角形，即AB＝AC，根據(jù)AB＝BC，即可求證△ABC為等邊三角形，則∠B＝60°，即可計算菱形的內(nèi)角中鈍角的度數(shù)．【解答】解：過A作AE⊥BC，由題意知AE⊥BC，且E為BC的中點，則△ABC為等腰三角形即AB＝AC，即AB＝AC＝BC，∴∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，本題中計算∠ABC＝60°是解題的關鍵．6．將一元二次方程x2+4x﹣5＝0轉(zhuǎn)化成（x+a）2＝b的形式，正確的是（）A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可．【解答】解：∵x2+4x﹣5＝0，∴x2+4x＝5，則x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9，故選：A．7．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個不等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定【分析】先根據(jù)方程的一般式得出a、b、c的值，再計算出Δ＝b2﹣4ac的值，繼而利用一元二次方程的根的情況與判別式的值之間的關系可得答案．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，∴有兩個相等的實數(shù)根，故選：B．【點評】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結論反過來也成立．8．順次連接對角線相等且垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到所得四邊形的對邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若鄰邊互相垂直且相等，那么所得四邊形是正方形．【解答】解：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，F(xiàn)G＝BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，F(xiàn)E＝FG，∴四邊形EFGH是正方形，故選：D．【點評】本題考查的是中點四邊形，三角形中位線定理以及正方形的判定，解題的關鍵是構造三角形利用三角形的中位線定理解答．9．已知xy＞0，化簡二次根式的正確結果（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式有意義的條件，結合已知得出x＜0，y＜0，進而化簡得出答案．【解答】解：由二次根式有意義的條件可得﹣＞0，∵xy＞0，∴x＜0，y＜0，∴＝＝．故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件以及二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．10．下列四個算式①；②；③；④，其中一定成立的是（）A．①②③④ B．①②④ C．①② D．①③【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法運算法則，分別判斷得出答案．【解答】解：①，成立；②，成立；③（a≥0，b≥0），故原式不成立；④，成立．故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．11．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝3，BC＝4，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到△AOD的面積為3，再根據(jù)S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面積為12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵對角線AC，BD交于點O，∴△AOD的面積為3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故選：C．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解題時注意：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等且互相平分．12．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推…、則正方形OB2019B2020C2020的頂點B2020的坐標是（）A．（21010，0） B．（0，21010） C．（0，﹣21010） D．（﹣21010，0）【分析】根據(jù)題意，可以從各個B點到原點的距離變化規(guī)律和所在象限的規(guī)律入手．【解答】解：由圖形可知，OB1＝，每一個B點到原點的距離依次是前一個B點到原點的距離的倍，同時，各個B點每次旋轉(zhuǎn)45°，則八次旋轉(zhuǎn)一周．∴頂點B2020到原點的距離（）2020＝21010，∵2020＝252×8+4，∴頂點B2020的恰好在x軸的負半軸上，∴頂點B2020的坐標是（﹣21010，0）．故選：D．二、填空題本大題共8個小題每小題4分，共32分。只要求填寫最后結果。13．計算：（﹣）2＝．【分析】直接利用有理數(shù)的乘法運算法則計算得出答案．【解答】解：（﹣）2＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了有理數(shù)的乘方運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．14．計算：[（+2）（﹣2）]2＝1．【分析】利用平方差公式進行運算，再進行平方運算即可．【解答】解：[（+2）（﹣2）]2＝[（）2﹣22]2＝（5﹣4）2＝1．【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用．15．已知x＝0是關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0的一個根，則a＝﹣1．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把x＝0代入原方程得到關于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定a的值．【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0，得a2﹣1＝0，解得a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定義．16．如果關于x的方程x2﹣x﹣2m＝0沒有實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是m＜﹣．【分析】由于方程沒有實數(shù)根，則其判別式Δ＜0，由此可以建立關于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍．【解答】解：由題意知Δ＝1+8m＜0，∴m＜﹣．故答案為：m＜﹣．【點評】本題考查了根的判別式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．17．已知菱形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于點O，若AC＝12，S菱形ABCD＝96，則菱形ABCD的周長為40．【分析】由菱形ABCD中對角線AC、BD相交于點O，若AC＝12，BD＝16，即可求得OA與OB的長，然后由股定理求得菱形的邊長．【解答】解：∵AC＝12，S菱形ABCD＝96，∴AC?BD＝×12BD＝96，解得：BD＝16，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝6，OB＝BD＝8，AC⊥BD，∴AB＝＝10．∴菱形ABCD的周長是40，故答案為：40．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是掌握菱形的對角線互相垂直且平分．18．觀察并分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律，則第n個數(shù)據(jù)應是．【分析】將這列數(shù)據(jù)化為，，，，，，…根據(jù)排列規(guī)律可得答案．【解答】解：這列數(shù)可化為：，，，，，，…即，，，，，，…所以第n個數(shù)據(jù)為，故答案為：．【點評】本題考查算術平方根，數(shù)字變化類，將原數(shù)列化為，，，，，，…是正確解答的關鍵．19．如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，則EF的長為1.5．【分析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求出DF的長，再利用三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，可求出DE的長，進而求出EF的長【解答】解：∵DE為△ABC的中位線，∴AD＝BD，∵∠AFB＝90°，∴DF＝AB＝2.5，∵DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1.5，故答案為：1.5．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半和三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．20．如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1，O2是其中兩個正方形的對角線交點．若把這樣的n+1個小正方形按如圖所示方式擺放，則重疊部分的面積為n．【分析】連接AO1，BO1，證明△AO1C≌△BO1D，進而得出兩個正方形重疊的面積是正方形面積的四分之一，進而求得結果．【解答】解：如圖，連接AO1，BO1，根據(jù)正方形性質(zhì)得，AO1＝BO1，∠AO1B＝∠CO1D＝90°，∠CAO1＝∠DBO1＝45°，∴∠AO1B﹣∠CO1B＝∠CO1D﹣∠CO1B，即：∠AO1C＝∠BO1D，在△AO1C和△BO1D中，，∴△AO1C≌△BO1D（AAS），∴＝＝S正方形＝1，∴當n＝2時，S重疊＝1，當n＝3，S重疊＝1×2＝2，當n＝4時，S重疊＝1×3＝3，..．當小正方形是n+1時，S重疊＝n，故答案是：n．三、解答題本大題共7個小題，滿分70分。解答應寫出計算過程、文字說明或推演步驟。21．（16分）計算：（1）；（2）；（3）；（4）；【分析】（1）先化為最簡二次根式，再利用分配律進行計算即可；（2）先將各根式化為最簡二次根式，再去括號，合并同類二次根式即可；（3）利用完全平方公式計算即可；（4）先利用平方差公式、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，再進行加減運算即可．【解答】解：（1）＝（2+2）×＝4+6；（2）＝（﹣3）﹣（﹣﹣4）＝﹣3﹣++4＝﹣；（3）＝24﹣2×2×+3＝27﹣12；（4）＝5﹣1+1﹣4＝1．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，掌握運算法則是解題的關鍵．注意：二次根式的運算結果要化為最簡二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．22．（10分）根據(jù)要求解下列方程（1）2x2﹣4x+1＝0（用配方法）；（2）3x2+5（2x﹣1）＝0．（用公式法）【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣2x＝﹣，配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，開方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（2）方程整理得：3x2+10x﹣5＝0，這里a＝3，b＝10，c＝﹣5，∵Δ＝102﹣4×3×（﹣5）＝100+60＝160＞0，∴x＝＝＝，解得：x1＝，x2＝．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，以及配方法，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．23．（8分）如圖（1），沿平行四邊形ABCD的對角線AC剪開，得到△ABC1和△ADC2，并將△ADC2繞點A旋轉(zhuǎn)至AC2∥BC1（如圖（2））．（1）求證：AC2平分∠C1AD；（2）若AC1∥DC2，問圖（1）中的四邊形ABCD是何種特殊的平行四邊形？并說明理由．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出△ABC1≌△ADC2，得出∠BC1A＝∠DAC2，由平行線的性質(zhì)得出∠BC1A＝∠C1AC2，證出∠DAC2＝∠C1AC2即可；（2）由平行線的性質(zhì)得出∠C1AC2＝∠AC2D，由∠DAC2＝∠C1AC2，得出∠AC2D＝∠C2AD，證出AD＝C2D，由平行四邊形的性質(zhì)得出C2D＝AB，得出AD＝AB，即可得出結論．【解答】（1）證明：由平行四邊形的性質(zhì)得：△ABC1≌△ADC2，∴∠BC1A＝∠DAC2，∵AC2∥BC1，∴∠BC1A＝∠C1AC2，∴∠DAC2＝∠C1AC2，∴AC2平分∠C1AD；（2）解：圖（1）中的四邊形ABCD是菱形；理由如下：∵AC1∥DC2，∴∠C1AC2＝∠AC2D，∵∠DAC2＝∠C1AC2，∴∠AC2D＝∠C2AD，∴AD＝C2D，∵C2D＝AB，∴AD＝AB，∴圖（1）中的四邊形ABCD是菱形．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，弄清角之間的關系是解決問題的關鍵．24．（6分）先化簡再求值：．【分析】先將括號內(nèi)的式子通分，然后計算括號外的除法即可將題目中的式子化簡，然后將m的值代入化簡后的式子計算即可．【解答】解：÷（1+）＝÷＝＝，當m＝﹣3時，原式＝＝．【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式混合運算的運算法則．25．（8分）已知關于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m為常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）若該方程有一個根為4，求m的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出Δ＝4＞0，由此即可證出：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）將x＝4代入原方程，即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出結論．【解答】（1）證明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，原方程可化為x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，∴不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解：將x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，解得：m1＝4，m2＝6．故m的值為4或6．【點評】本題考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）代入x＝4求出m值．26．（10分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，延長BC到點F，使得CF＝BE，連接DF，（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的長．【分析】（1）先證四邊形AEFD是平行四邊形，再證出∠AEF＝90°，然后由矩形的判定定理即可得到結論；（2）由菱形的性質(zhì)得BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OE＝OA＝2，AC＝2OE＝4，然后由勾股定理求出OB＝3，則BD＝2OB＝6，最后由菱形ABCD的面積＝BD×AC＝BC×AE，即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AB＝13，∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，∵菱形ABCD的面積＝BD×AC＝BC×AE，即×6×4＝13×AE，解得：AE＝12．【點評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；正確的識別圖形是解題的關鍵．27．（12分）如圖1，點E是正方形ABCD外的一點，以DE為邊構造正方DEFG，點M是△ADE邊AE上的動點，點N是△CDG的邊CG上的動點．（1）證明：△ADE≌△CDG；（2）如圖（1）：當DM和DN分別是△ADE和△CDG的中線時，試猜想DM和DN的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）類比猜想：①在（2）問中，當DM、DN分別是△ADE和△CDG的高（如圖2），其他條件不變時，問題（2）的結論是否仍然成立？（只寫出結論，不要求證明）②在（2）問中，當DM、DN分別是△ADE和△CDG的角平分線，其他條件不變時，問題（2）的結論是否仍然成立？（只寫出結論，不要求證明）【分析】（1）先由正方形的性質(zhì)得AD＝CD，∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝DG，則∠ADE＝∠CDG，由SAS即可得出△ADE≌△CDG；（2）由（1）得：△ADE≌△CDG，則∠DAE＝∠DCG，AE＝CG，再證△ADM≌△CDN（SAS），得DM＝DN，