駐馬店確山縣2022年八年級(jí)下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

9/23駐馬店市確山縣2022年八年級(jí)下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題每小題3分，共30分。下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的。1．（3分）下列各式：，，，中，一定是二次根式的個(gè)數(shù)是（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【考點(diǎn)】二次根式的定義．版權(quán)所有【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案．【解答】解：，，，中，一定是二次根式的是：，，共3個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2．（3分）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥0 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≥2【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件．版權(quán)所有【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x﹣2≥0，再解即可．【解答】解：由題意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．3．（3分）下列各組數(shù)中，能為直角三角形的三條邊長(zhǎng)的是（）A．2，3，4 B．5，6，8 C．1，，2 D．2，2，【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．版權(quán)所有【分析】求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、52+62≠82，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、12+（）2＝22，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；D、22+22≠（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．4．（3分）如圖，在?ABCD中，若∠A＝∠D+40°，則∠B的度數(shù)為（）A．110° B．70° C．55° D．35°【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．版權(quán)所有【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B＝∠D，∠A+∠D＝180°，即可求∠B的度數(shù)．【解答】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB∥CD，∠B＝∠D，所以∠A+∠D＝180°，因?yàn)椤螦＝∠D+40°，所以∠D＝70°，所以∠B＝70°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．5．（3分）若x為實(shí)數(shù)，在“（+1）□x”的“□”中添上一種運(yùn)算符號(hào)（在“+，﹣，×，÷”中選擇）后，其運(yùn)算的結(jié)果為有理數(shù)，則x不可能是（）A．+1 B．﹣1C．2 D．1﹣【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．版權(quán)所有【分析】根據(jù)題意，添上一種運(yùn)算符號(hào)后逐一判斷即可．【解答】解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本選項(xiàng)不合題意；B．（+1）＝2，故本選項(xiàng)不合題意；C．（+1）與無(wú)論是相加，相減，相乘，相除，結(jié)果都是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本選項(xiàng)不合題意．故選：C．6．（3分）如圖，在?ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，則圖中的平行四邊形共有（）A．8個(gè) B．9個(gè) C．7個(gè) D．5個(gè)【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)．版權(quán)所有【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，判定即可求得答案．【解答】解：設(shè)EF與NH交于點(diǎn)O，因?yàn)樵?ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，所以AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，則圖中的四邊BEON、DFOH、DHNC、BEFC、BAHN、AEOH、AEFD、ONCF都是平行四邊形，共8個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定．解題時(shí)可根據(jù)平行四邊形的定義，直接從圖中數(shù)出平行四邊形的個(gè)數(shù)，但數(shù)時(shí)應(yīng)有一定的規(guī)律，以避免重復(fù)．7．（3分）小明用四根長(zhǎng)度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為圖1所示菱形，并測(cè)得∠B＝60°，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2所示正方形，并測(cè)得對(duì)角線(xiàn)AC＝40cm，則圖1中對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)為（）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm【分析】在圖1，圖2中，連接AC．在圖2中，由勾股定理求出BC，在圖1中，只要證明△ABC是等邊三角形即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖1，2中，連接AC．在圖2中，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB＝BC，∠B＝90°，因?yàn)锳C＝40cm，所以AB＝BC＝AC＝40cm，在圖①中，因?yàn)椤螧＝60°，BA＝BC，所以△ABC是等邊三角形，所以AC＝BC＝40cm，故選：C．8．（3分）如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點(diǎn)A處繞著點(diǎn)O經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B．最終蕩到最高點(diǎn)C處，若∠AOC＝90°，點(diǎn)A與點(diǎn)B的高度差A(yù)D＝1米，水平距離BD＝4米，則點(diǎn)C與點(diǎn)B的高度差CE為（）米．A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根據(jù)AAS可證△AOF≌△OCG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根據(jù)勾股定理可求AO，可求OB，再根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系和等量關(guān)系可求點(diǎn)C與點(diǎn)B的高度差CE．【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，因?yàn)椤螦OC＝∠AOF+∠COG＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，所以∠COG＝∠OAF，在△AOF與△OCG中，，所以△AOF≌△OCG（AAS），所以O(shè)G＝AF＝BD＝4米，設(shè)AO＝x米，在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，解得x＝8.5．則CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．9．（3分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，給出證明三角形面積公式的出入相補(bǔ)法．如圖所示，在AABC中，分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F，將△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝5，AF＝4，則△ABC的面積是（）A．15 B．20 C．30 D．40【考點(diǎn)】矩形的判定；數(shù)學(xué)常識(shí)；三角形的面積；三角形中位線(xiàn)定理．版權(quán)所有【分析】根據(jù)圖形的拼剪，求出BC以及BC邊上的高即可解決問(wèn)題．【解答】解：由題意，BG＝CH＝AF＝4，DG＝DF，EF＝EH，所以DG+EH＝DE＝5，所以BC＝GH＝5+5＝10，所以△ABC的邊BC上的高為8，所以S△ABC＝×10×8＝40，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的拼剪，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考常考題型．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，若AB＝6，BC＝10，則GH的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．2【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．版權(quán)所有【分析】連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠A＝90°，AD∥BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD＝CF，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線(xiàn)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠A＝90°，AD∥BC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，AB＝6，BC＝10，所以AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，因?yàn)锳D∥BC，所以∠DPH＝∠FCH，在△PDH與△CFH中，，所以△PDH≌△CFH（AAS），所以PD＝CF＝5，CH＝PH，所以AP＝AD﹣PD＝5，所以PE＝＝＝，因?yàn)辄c(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，所以GH＝EP＝故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理，勾股定理，正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）若是整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的自然數(shù)n的值可以是11（答案不唯一）（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件．版權(quán)所有【分析】先確定n的取值范圍，再根據(jù)代數(shù)式是整式寫(xiě)一個(gè)滿(mǎn)足題意的n即可．【解答】解：因?yàn)?2﹣n≥0，所以n≤12，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以當(dāng)12﹣n＝1時(shí)，n＝11．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．（3分）已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為b．【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．版權(quán)所有【分析】利用數(shù)軸得出a+b的符號(hào)，進(jìn)而利用絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)得出即可．【解答】解：因?yàn)閨a|＞|b|，所以＝﹣a+（a+b）＝b．故答案為：b．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)O；③作射線(xiàn)AO，交BC于點(diǎn)D．若點(diǎn)D到AB的距離為1，則BC的長(zhǎng)為1+．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；特殊角的三角函數(shù)值；角平分線(xiàn)的性質(zhì)；等腰直角三角形．版權(quán)所有【分析】由題目作圖知，AD是∠CAB的平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，則CD＝DH＝1，進(jìn)而求解．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，則DH＝1，由題目作圖知，AD是∠CAB的平分線(xiàn)，則CD＝DH＝1，因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，故∠B＝45°，則△DHB為等腰直角三角形，故BD＝HD＝，則BC＝CD+BD＝1+，故答案為：1+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)，涉及到幾何作圖、等腰直角三角形的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度適中．14．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A、D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1、D1處，則整個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)為36cm．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．版權(quán)所有【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF，則陰影部分的周長(zhǎng)即為矩形的周長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF．則陰影部分的周長(zhǎng)＝矩形的周長(zhǎng)＝2（12+6）＝36（cm）．【點(diǎn)評(píng)】此題要能夠根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段相等，從而求得陰影部分的周長(zhǎng)．15．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，BC＝16，CD＝10，頂點(diǎn)A在y軸上，邊BC在x軸上，設(shè)點(diǎn)P是邊BC上（不與點(diǎn)B、C重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣，0）或（8，0）或（2，0）．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰三角形的判定；勾股定理．版權(quán)所有【分析】當(dāng)AB＝BP時(shí)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理解答．【解答】解：因?yàn)镈點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，CD＝10，所以O(shè)B＝＝8，如圖，當(dāng)AP＝BP時(shí)，BP＝AP＝OB﹣OP＝8﹣OP，由勾股定理得，OP2+OA2＝AP2，即（8﹣OP）2＝62+OP2，解得，OP＝，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0），當(dāng)AB＝AP＝10時(shí)，此時(shí)BO＝PO，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）；當(dāng)AB＝BP＝10時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）、（﹣18，0）（此時(shí)點(diǎn)P不在BC上，舍去），當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0）或（8，0）或（2，0）．故答案為：（﹣，0）或（8，0）或（2，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握平行四邊形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿(mǎn)分75分）16．（10分）計(jì)算：（1）4+﹣4÷；（2）（+1）2﹣（+1）（﹣1）．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；平方差公式．版權(quán)所有【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再算除法，最后算加減即可；（2）利用平方差公式及完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算，最后算加減即可．【解答】解：（1）4+﹣4÷＝+3﹣4＝4﹣2＝7﹣2；（2）（+1）2﹣（+1）（﹣1）＝2+2+1﹣（3﹣1）＝2+2+1﹣2＝2+1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．17．（9分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形．（1）在圖①中，畫(huà)一個(gè)直角三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；（2）在圖②中，畫(huà)一個(gè)直角三角形，使它的一邊長(zhǎng)是有理數(shù)，另外兩邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)；（3）在圖③中，畫(huà)一個(gè)直角三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù)．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；無(wú)理數(shù)；勾股定理；勾股定理的逆定理．版權(quán)所有【分析】（1）構(gòu)造邊長(zhǎng)3，4，5的直角三角形即可．（2）構(gòu)造直角邊為2，斜邊為4的直角三角形即可（答案不唯一）．（3）構(gòu)造三邊分別為2，，的直角三角形即可．【解答】解：（1）如圖①中，△ABC即為所求．（2）如圖②中，△ABC即為所求．（3）△ABC即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)，無(wú)理數(shù)，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．18．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線(xiàn)），使得四邊形AECF為平行四邊形，你添加的條件是AE＝CF；（2）添加了條件后，證明四邊形AECF為平行四邊形．【考點(diǎn)】平行四邊形的判定．版權(quán)所有【分析】（1）由題意添加條件即可；（2）證AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）添加條件為：AE＝CF，故答案為：AE＝CF；（2）證明：因?yàn)锳E⊥BD，CF⊥BD，所以AE∥CF，因?yàn)锳E＝CF，所以四邊形AECF為平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、平行線(xiàn)的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．19．（9分）某校秉承“學(xué)會(huì)生活，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)做人”的辦學(xué)理念，將本校的辦學(xué)理念做成宣傳牌（AB），放置在教室的黑板上面（如圖所示）．在三月雷鋒活動(dòng)中小明搬來(lái)一架梯子（AE＝5米）靠在宣傳牌（AB）A處，底端落在地板E處，然后移動(dòng)的梯子使頂端落在宣傳牌（AB）的B處，而底端E向外移到了1米到C處（CE＝1米）．測(cè)量得BM＝4米．求宣傳牌（AB）的高度（結(jié)果用根號(hào)表示）．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．版權(quán)所有【分析】直接利用勾股定理得出EM，AM的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：由題意可得：AE＝BC＝5米，BM＝4米，EC＝1米，在Rt△MBC中，MC＝＝3（米），則EM＝3﹣1＝2（米），在Rt△AEM中，AM＝＝（米），故AB＝AM﹣BM＝（﹣4）米，答：宣傳牌（AB）的高度為（﹣4）米．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．20．（9分）已知a，b，m都是實(shí)數(shù)，若a+b＝2，則稱(chēng)a與b是關(guān)于l的“平衡數(shù)”．（1）4與﹣2是關(guān)于l的“平衡數(shù)”，3﹣與﹣1+是關(guān)于l的“平衡數(shù)”；（2）若（m+）（1﹣）＝﹣2，判斷m+與2﹣是否是關(guān)于l的“平衡數(shù)”，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．版權(quán)所有【分析】（1）利用“平衡數(shù)”的定義判斷即可；（2）利用“平衡數(shù)”的定義判斷即可．【解答】解：（1）4與﹣2是關(guān)于l的“平衡數(shù)”，3﹣與﹣1+是關(guān)于l的“平衡數(shù)”；故答案為：﹣2；﹣1+；（2）（m+）（1﹣）＝﹣2，整理得：（1﹣）m＝1﹣，解得：m＝1，則1++2﹣＝3≠2，不是關(guān)于1的“平衡數(shù)”．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．21．（9分）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法，證法如下：把兩個(gè)全等的直角三角形（Rt△ACB≌Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于點(diǎn)F，點(diǎn)E在邊AC上，現(xiàn)設(shè)Rt△ACB兩直角邊長(zhǎng)分別為CB＝a、CA＝b，斜邊長(zhǎng)為AB＝c，請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理（1）請(qǐng)根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理（2）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線(xiàn)上的兩點(diǎn)）相距40千米，CD為兩個(gè)村莊（看作直線(xiàn)上的兩點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，則兩個(gè)村莊的距離為41千米．【考點(diǎn)】梯形；數(shù)學(xué)常識(shí)；勾股定理的證明．版權(quán)所有【分析】（1）根據(jù)三角形的面積和梯形的面積就可表示出．（2）連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，根據(jù)AD⊥AB，BC⊥AB得到BC＝AE，CE＝AB，從而得到DE＝AD﹣AE＝24﹣16＝8千米，利用勾股定理求得CD兩地之間的距離．【解答】解：（1）因?yàn)镾梯形ABCD＝a（a+b），S△EBC＝b（a﹣b），S四邊形AECD＝c2，它們滿(mǎn)足的關(guān)系式為：a（a+b）＝b（a﹣b）+c2，即a2+b2＝c2；（2）如圖2①，連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，因?yàn)锳D⊥AB，BC⊥AB，所以BC＝AE，CE＝AB，所以DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米，所以CD＝＝＝41（千米），所以?xún)蓚€(gè)村莊相距41千米．故答案為：41．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，是解本題的關(guān)鍵．構(gòu)造出直角三角形DEF是解本題的難點(diǎn)．22．（10分）如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線(xiàn)，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線(xiàn)AC上移動(dòng)，另一邊交DC于Q．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，猜想并寫(xiě)出PB與PQ所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，猜想并寫(xiě)出PB與PQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)所有【分析】（1）結(jié)論：PB＝PQ，如圖①中，過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．只要證明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．（2）結(jié)論不變，證明方法類(lèi)似．【解答】解：（1）結(jié)論：PB＝PQ，理由：如圖①中，過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．因?yàn)镻為正方形對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)，所以PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，所以PF＝PE，所以四邊形PECF為正方形．因?yàn)椤螧PE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，所以∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，所以Rt△PQF≌Rt△PBE，所以PB＝PQ；（2）結(jié)論：PB＝PQ．理由：如圖②，過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，因?yàn)镻為正方形對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)，所以PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，所以PF＝PE，所以四邊形PECF為正方形，因?yàn)椤螧PF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，所以∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，所以Rt△PQF≌Rt△PBE，所以PB＝PQ．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形