《電工電子學(xué)》課件第4章

第4章動態(tài)電路的時域分析

4.1換路定則及初始值的計(jì)算

4.2一階電路的零輸入響應(yīng)

4.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

4.4一階電路的全響應(yīng)

4.5一階電路的三要素法

4.6二階電路

4.1換路定則及初始值的計(jì)算

4.1.1過渡過程的概念

電路元件的伏安關(guān)系要用微分或積分形式來表述的元件稱為動態(tài)元件，如電容和電感就屬于動態(tài)元件。凡用一階微分方程描述的電路稱為一階電路。一階電路在結(jié)構(gòu)上只含有一個且僅有一個(或可等效成一個)動態(tài)元件。按照此概念可定義二階電路、三階電路等等。

如圖4-1所示電路。圖4-1實(shí)驗(yàn)電路4.1.2換路定則及初始值的確定

前已述及，若電容電流和電感電壓為有限值，則電容電壓和電感電流均不能發(fā)生躍變，即在換路的瞬間，有

(4-1)

式(4-1)表述的換路前后瞬間電容電壓和電感電流不能躍變的結(jié)果，通常稱為換路定則。獨(dú)立初始值，可通過作換路前t=0－的等效電路求得。具體步驟為：

(1)作t=0－等效電路，此時對于直流電路來說，電容C開路，電感L短路，求出uC(0－)和iL(0－)；

(2)根據(jù)換路定則確定出uC(0+)和iL(0+)。非獨(dú)立初始值，可通過作換路后t=0+等效電路來計(jì)算。具體步驟為：

(1)用電壓為uC(0+)的電壓源和電流為iL(0+)的電流源取代原電路中C和L的位置，可得t=0+等效電路；

(2)用t=0+等效電路求出所要求解的非獨(dú)立初始值。

【例4-1】圖4-2(a)所示電路中，已知US=18V，

R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，L=0.5H，C=4.7μF，開關(guān)S

在t=0時合上，設(shè)S合上前電路已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。試求i1(0+)、

i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。圖4-2例4-1圖

解第一步，作t=0－等效電路，如圖4-2(b)所示，這時電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路。

第二步，根據(jù)t=0－等效電路，計(jì)算換路前的電感電流和電容電壓：根據(jù)換路定則，可得

uC(0+)=uC(0－)=12V

iL(0+)=iL(0－)=6A

i2(0+)=6A

第三步，作t=0+等效電路，如圖4-2(c)所示，這時電

感L相當(dāng)于一個6A的電流源，電容C相當(dāng)于一個12V的電

壓源。第四步，根據(jù)t=0+等效電路，計(jì)算其他的非獨(dú)立初

始值：

【例4-2】圖4-3(a)所示電路在t=0時換路，即開關(guān)S由位置1合到位置2。設(shè)換路前電路已經(jīng)穩(wěn)定，求換路后的初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。圖4-3例4-2圖

解

(1)作t=0－等效電路，如圖4-3(b)所示，則有

(2)作t=0+等效電路，如圖4-3(c)所示，由此可得

4.2一階電路的零輸入響應(yīng)

4.2.1

RC電路的零輸入響應(yīng)

如圖4-4所示的電路，在開關(guān)S未閉合前，電容C已經(jīng)充電，電容電壓uC(0－)=U0。當(dāng)t=0時刻開關(guān)S閉合，RC電路接通，根據(jù)換路定則，有uC(0+)=uC(0－)=U0，電路在uC(0+)作用下產(chǎn)生的電流為根據(jù)圖4-4所示電路電流、電壓的參考方向，依據(jù)KVL，有

而由R和C的電壓電流關(guān)系，有圖4-4

RC電路的零輸入響應(yīng)將其代入上式可得

(4-2)

式(4-2)是一個常系數(shù)一階線性齊次微分方程。由高等數(shù)學(xué)知識可知其通解形式為uC(t)=Aept。其中，常數(shù)p是特征方程的根，A為待定的積分常數(shù)。特征方程為

特征根為

所以將初始條件uC(0+)=U0代入上式，可得A=U0，則

(4-3)

式(4-3)就是零輸入響應(yīng)，即電容放電過程中電容電壓uC隨時間變化規(guī)律的表達(dá)式。電路中的放電電流i(t)和電阻電壓uR(t)分別為

(4-4)

(4-5)

從式(4-3)、式(4-4)和式(4-5)中可以看出，電壓uC(t)、

uR(t)和電流i(t)都是按同一指數(shù)規(guī)律衰減的，它們隨時間變化的曲線如圖4-5(a)、(b)所示。圖4-5

RC電路的零輸入響應(yīng)曲線以上各式中的RC具有時間的量綱，因?yàn)?/p>

所以稱其為時間常數(shù)，并令

τ=RC

(4-6)引入時間常數(shù)τ后式(4-3)、式(4-4)和式(4-5)可表示為時間常數(shù)τ是表征電路過渡過程快慢的物理量。τ值越大，過渡過程的進(jìn)展越慢。RC電路的時間常數(shù)τ僅由電路的參數(shù)R和C來決定。當(dāng)R越大時，電路中放電電流就越小，

放電時間就越長；當(dāng)C越大時儲存的電場能量就越大，放電時間也就越長。τ對暫態(tài)過程的影響如圖4-6所示。圖4-6時間常數(shù)τ對暫態(tài)過程的影響現(xiàn)以電容電壓uC(t)為例來說明時間常數(shù)τ的意義。

將t=τ、2τ、3τ、…的不同時間的響應(yīng)uC值列于表4-1

之中。

【例4-3】如圖4-7(a)所示電路，在t=0時刻開關(guān)S閉合，S閉合前電路已穩(wěn)定。試求t≥0時的i1(t)、i2(t)和iC(t)。

解

(1)作t=0－時的等效電路，如圖4-7(b)所示，則有

uC(0+)=uC(0－)=2×3=6V圖4-7例4-3圖

(2)作t≥0時的電路，如圖4-7(c)所示，其等效電路如圖4-7(d)所示，則等效電阻

故電路的時間常數(shù)為

τ=RC=2×0.5=1s

根據(jù)式(4-3)可得

uC(t)=6e－tV

(t≥0)在圖4-7(c)所示電路中，可求得4.2.2

RL電路的零輸入響應(yīng)

如圖4-8(a)所示電路，開關(guān)S動作前電路已穩(wěn)定，則電感L相當(dāng)于短路，此時電感電流為圖4-8

RL電路的零輸入響應(yīng)在圖4-8(b)中，依KVL，可得

將電感的伏安關(guān)系代入上式，可得

(4-7)式(4-7)也是一個常系數(shù)一階線性齊次微分方程，與式(4-2)相似，其通解的形式為

其中，τ是RL電路的時間常數(shù)。特征方程和特征值分別為

Lp+R=0

則其中

代入初始條件iL(0+)=I0，可得A=I0，故電路的零輸入響應(yīng)為

(4-8)

電阻和電感上的電壓分別為

(4-9)

(4-10)從式(4-8)、式(4-9)和式(4-10)中可以看出，iL(t)、uR(t)

和uL(t)都是按同一時間常數(shù)的指數(shù)規(guī)律衰減的，它們隨時

間變化的曲線如圖4-9所示。圖4-9

RL電路零輸入響應(yīng)曲線圖從以上的分析可見，RC電路和RL電路中所有的零輸入響應(yīng)都是由初始值開始以指數(shù)規(guī)律衰減的，而且都可寫成相同的形式，即

(4-11)

【例4-4】如圖4-10(a)所示為一測量電路，已知

L=0.4H，R=1Ω，US=12V，電壓表的內(nèi)阻RV=10kΩ，量程為50V。開關(guān)S原來閉合，電路已處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時，將開關(guān)S打開，試求：

(1)電流i(t)和電壓表兩端的電壓uV(t)；

(2)t=0時(S剛打開)電壓表兩端的電壓。圖4-10例4-4圖

解

(1)t≥0時的電路如圖4-10(b)所示，是一個RL電路。電路的時間常數(shù)為

電感中電流的初始值為根據(jù)式(4-11)，可得電感電流的表達(dá)式為

電壓表兩端的電壓為

(2)當(dāng)t=0時，

uV=－12×104V

該數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過電壓表的量程，將損壞電壓表。在斷開電感電路時，必須先拆除電壓表。

從上例分析中可見，電感線圈的直流電源斷開時，線圈兩端會產(chǎn)生很高的電壓，從而出現(xiàn)火花甚至電弧，輕則損壞開關(guān)設(shè)備，重則引起火災(zāi)。因此工程上都采取一些保護(hù)措施，常用的辦法是在線圈兩端并聯(lián)續(xù)流二極管或接入阻容吸收電路，如圖4-11(a)、(b)所示。圖4-11

RL保護(hù)電路

4.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

4.3.1

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

如圖4-12所示RC串聯(lián)電路，開關(guān)S閉合前電容初始狀態(tài)為零，即uC(0－)=0，在t=0時開關(guān)S閉合，電路接通直流電源US，US向電容充電。在t=0+瞬間，根據(jù)換路定律，有uC(0+)=0，電容相當(dāng)于短路，電源電壓全部加在電阻R兩端，這時電流值為最大，即圖4-12

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)隨著時間的推移，電容被充電，電容電壓隨之升高，這時電路中的電流為

i逐漸減小，直到電容電壓uC=US，i=0，充電過程結(jié)束，電路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。根據(jù)圖4-12中S閉合后的電路，依KVL，有

將R與C的伏安關(guān)系uR=Ri和代入上式后，可得

(4-12)式(4-12)是一個常系數(shù)一階線性非齊次微分方程。由高等數(shù)學(xué)知識可知，它的解由其特解ucp和相應(yīng)齊次方程的通解uch兩部分組成，即

對應(yīng)于式(4-12)的齊次微分方程即式(4-2)，其通解為非齊次方程式(4-12)的特解為電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的解

因此uC(t)的全解為

將初始條件uC(0+)=0代入上式，可得則電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為

(4-13)

式(4-13)也就是充電過程中電容電壓的表達(dá)式。它表明了這一過程中電壓uC(t)隨時間變化的規(guī)律。令τ=RC，則

(4-14)充電電流i(t)和電阻電壓uR(t)為

(4-15)

(4-16)

uC(t)、uR(t)和i(t)隨時間變化的曲線如圖4-13(a)、(b)所示。圖4-13

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線4.3.2

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

如圖4-14所示RL串聯(lián)電路，開關(guān)S閉合前電路中的電流為零，即iL(0－)=0，在t=0時開關(guān)S閉合，電路接通直流電源US。在開關(guān)閉合后的初始時刻t=0+，根據(jù)換路定律，有iL(0+)=0，電感相當(dāng)于開路，電源電壓US加于電感的兩端，即uL(0+)=US。此后，電流逐漸增大，電阻兩端的電壓也隨之逐漸增大，則電感兩端的電壓逐漸減少。最后電感電壓uL=0，電感相當(dāng)于短路，電源電壓US全部加于電阻元件兩端，電路中的電流到達(dá)穩(wěn)態(tài)值圖4-14

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)圖4-14中S閉合后的電路，依KVL，有

(4-17)

式(4-17)也是一常系數(shù)一階線性非齊次微分方程，它的解同樣由其特解icp和相應(yīng)的齊次方程的通解ich組成，即其中，特解仍是電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的解

齊次微分方程的通解與RL串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)形式相同，即令故得

將iL(0+)=0代入上式可得則電路的零狀態(tài)響應(yīng)iL(t)為

(4-18)

電感電壓uL(t)和電阻電壓uR(t)分別為

(4-19)

iL(t)、uL(t)和uR(t)隨時間變化的波形曲線如圖4-15(a)、(b)

所示。圖4-15

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線由上述分析可知：RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)電壓uC(t)和RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)電流iL(t)都是由零狀態(tài)逐漸上升到新的穩(wěn)態(tài)值，而且都可以寫成相同的形式，即

(4-20)

式(4-20)中，f(∞)是響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。套用此式即可求得RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)電壓uC(t)和RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)電流iL(t)。

【例4-5】如圖4-16所示電路，t=0時開關(guān)S閉合。已知uC(0－)=0，求t≥0時的uC(t)、iC(t)和i(t)。圖4-16例4-6圖

解因?yàn)閡C(0－)=0，故換路后電路屬于零狀態(tài)響應(yīng)。因此電容電壓可套用式(4-20)求出。又因?yàn)殡娐贩€(wěn)定后，電容相當(dāng)于開路，所以

時間常數(shù)為根據(jù)式(4-20)得

則有

【例4-6】如圖4-17所示電路，換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，在t=0時開關(guān)S打開，求t≥0時的iL(t)和uL(t)。圖4-17例4-7用圖

解因?yàn)閕L(0－)=0，故換路后電路的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。因此電感電流表達(dá)式可套用式(4-20)。又因?yàn)殡娐贩€(wěn)定后，電感相當(dāng)于短路，所以

時間常數(shù)為根據(jù)式(4-20)得

則

4.4一階電路的全響應(yīng)

所謂全響應(yīng)，就是既有動態(tài)電路的初始儲能又有電路外加激勵時電路中所產(chǎn)生的響應(yīng)。

現(xiàn)以圖4-18所示的RC電路為例進(jìn)行討論。電路的初始狀態(tài)為uC(0+)=U0，t=0時開關(guān)S閉合，電路輸入直流電壓US。圖4-18

RC電路的全響應(yīng)根據(jù)圖4-19中S閉合后的電路，依KVL，有

(4-21)

對應(yīng)于式(4-21)的齊次微分方程的通解為

非齊次微分方程的特解為因此，微分方程式(4-21)的全解為

代入初始條件uC(0+)=U0，可得

A=U0－US

則全響應(yīng)為

(4-22)可以看出，上式右邊第一項(xiàng)是受輸入激勵制約的穩(wěn)態(tài)分量；第二項(xiàng)是隨時間增長而衰減的暫態(tài)分量。也就是說，電路的全響應(yīng)可分解為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量之和，即

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量

(4-23)

圖4-19中的(a)、(b)、(c)分別給出了U0<US、U0=US

、U0>US三種不同初始狀態(tài)下，RC電路的全響應(yīng)uC(t)的曲線。圖4-19三種情況下uC隨時間變化的曲線另外，還可將式(4-22)寫成下列形式:

可以看出，上式等號右邊第一項(xiàng)是uC(t)的零輸入響應(yīng)，第二項(xiàng)是uC(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，也就是說，電路的全響應(yīng)還可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加，即

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

(4-24)當(dāng)US=0時，響應(yīng)uC(t)′由初始狀態(tài)uC(0+)作用所產(chǎn)生，它就是零輸入響應(yīng)，則

當(dāng)uC(0+)=0時，響應(yīng)uC(t)″由外加激勵US所產(chǎn)生，它就是零狀態(tài)響應(yīng)，則

因此，電路的全響應(yīng)為

上式與式(4-22)完全相同，其分解的波形如圖4-20所示。圖4-20三種情況下uC隨時間變化的曲線

【例4-7】如圖4-21所示電路，在t=0時開關(guān)S打開，uC(0+)=5V。求t≥0后電路的全響應(yīng)uC(t)。圖4-21例4-8圖

解作t≥0時的電路，如圖4-21(b)所示。用響應(yīng)的兩種分解方法求全響應(yīng)uC(t)。

方法1：全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。

按圖4-21(b)所示電路，當(dāng)IS=0時，uC(0+)=5V，則電路的零輸入響應(yīng)為

故得出按圖4-21(b)所示電路，當(dāng)uC(0+)=0時，IS=1A，則電路的零狀態(tài)響應(yīng)為

電路的全響應(yīng)uC(t)為方法2：全響應(yīng)分解為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量的疊加。

穩(wěn)態(tài)分量為

暫態(tài)分量為

所以全響應(yīng)為4.5一階電路的三要素法

由于一階電路的全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和，所以全響應(yīng)是動態(tài)電路響應(yīng)的一般形式。若全響應(yīng)變量用f(t)表示，則全響應(yīng)可按下式求出:

(4-25)

【例4-8】如圖4-22(a)所示電路，在t=0時開關(guān)S打開，設(shè)S打開前電路已處于穩(wěn)態(tài)，已知US=24V，R1=8Ω，R2=4Ω，L=0.6H。求t≥0時的iL(t)和uL(t)，并畫出其波形。圖4-22例4-9圖

解

(1)求初始值iL(0+)、uL(0+)。作t=0－時的等效電路，如圖4-22(b)所示，則有

作t=0+時的等效電路，如圖4-22(c)所示。依KVL，可得

(2)求穩(wěn)態(tài)值iL(∞)、uL(∞)。作t=∞時的穩(wěn)態(tài)等效電路，如圖4-22(d)所示，則有

(3)求時間常數(shù)τ。先計(jì)算電感元件斷開后端口電路的輸入電阻，電路如圖4-22(e)所示，于是有

則時間常數(shù)為根據(jù)式(4-25)計(jì)算出各響應(yīng)量為

iL(t)和uL(t)的波形如圖4-22(f)所示。

【例4-9】如圖4-23(a)所示電路，在t=0時開關(guān)S閉合，S閉合前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。求t≥0時uC(t)、iC(t)和i(t)。圖4-23例4-10圖

解

(1)求初始值uC(0+)、iC(0+)和i(0+)。作t=0－時的等效電路，如圖4-23(b)所示，則有

uC(0+)=uC(0－)=20V

作t=0+時的等效電路，如圖4-23(c)所示。列出支路電流方程:聯(lián)立求解，可得

(2)求穩(wěn)態(tài)值uC(∞)、iC(∞)和i(∞)。作t=∞時的穩(wěn)態(tài)等效電路，如圖4-23(d)所示，則有

(3)求時間常數(shù)τ。將電容元件斷開，電壓源短路，如圖4-23(e)所示，求得等效電阻為

時間常數(shù)為

(4)根據(jù)式(4-25)得出電路的響應(yīng)電壓、電流分別為

【*例4-10】如圖4-24(a)所示含受控源電路，開關(guān)S

閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t=0時開關(guān)S閉合。求t≥0時的iL(t)、uL(t)和i(t)。圖4-24例4-11圖

解

(1)求iL(0－)。因此時電路已處于穩(wěn)態(tài)，2H電感相當(dāng)于短路線，故iL(0－)=1A。

(2)求初始值iL(0+)、uL(0+)和i(0+)。因iL(0－)=1A，故由換路定律得

iL(0+)=iL(0－)=1A

作t=0+時的等效電路，如圖4-24(b)所示，這時電感相當(dāng)于

1A的電流源。列出節(jié)點(diǎn)電位方程:解之，得

則

(3)求穩(wěn)態(tài)值iL(∞)、uL(∞)和i(∞)。作t=∞時的穩(wěn)態(tài)等效電路，如圖4-24(c)所示，則有

(4)求時間常數(shù)τ。先計(jì)算電感元件斷開后端口電路的輸入電阻，其等效電路如圖4-24(d)所示。圖中在端口外加電壓U，產(chǎn)生輸入電流為故

則時間常數(shù)為

(5)根據(jù)式(4-25)計(jì)算出各響應(yīng)量為

【*例4-11】如圖4-25(a)所示電路中，已知US=12V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，C=5μF，開關(guān)S原先斷開已久，電容中無儲能。t=0時將開關(guān)S閉合，經(jīng)0.02s后又重新打開，試求t≥0時的uC(t)及其波形。圖4-25例4-12圖

解由于開關(guān)S閉合后又打開，故電路的過渡過程分為兩個階段。

(1)t=0作為換路時刻，開關(guān)S閉合后，為電容的充電過程，利用三要素法求得電容電壓uC(t)的變化規(guī)律。

(2)以t=0.02s作為新的換路時刻，開關(guān)S打開后，電容的放電過程開始，利用三要素法求出電容放電時電壓的變化規(guī)律。

則

uC(t)的變化曲線如圖4-25(b)所示。*4.6二階電路

如圖4-26所示的RLC串聯(lián)電路，若電容電壓及電感電流的初始值分別為uC(0+)和iL(0+)，開關(guān)S在t=0時閉合，則儲能元件將通過電路進(jìn)行放電。這是一個零輸入響應(yīng)電路。下面對電路的響應(yīng)情況進(jìn)行分析。依KVL，得

uR+uL－uC=0圖4-26

RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)按圖中標(biāo)定的電壓、電流參考方向有將以上各式代入KVL方程，便可以得出以uC為響應(yīng)變量的微分方程:

(4-26)

式(4-26)為一常系數(shù)二階線性齊次微分方程，其特征方程為其特征根為

(4-27)

式中，α=R/2L稱為衰減系數(shù)，稱為固有振蕩角頻率。由式(4-27)可見，特征根由電路本身的參數(shù)R、L、C的數(shù)值來確定，反映了電路本身的固有特性。根據(jù)電路參數(shù)R、L、C數(shù)值的不同,特征根p1、p2可能出現(xiàn)以下四種情況。

(1)當(dāng)(R/2L)2>1/LC時，p1、p2為不相等的負(fù)實(shí)根，稱為過阻尼情況。特征根為

微分方程的通解為

(4-28)式中，待定常數(shù)A1、A2由初始條件來確定，其方法是當(dāng)t=0+時，由式(4-28)可得

uC(0+)=A1+A2(4-29)

對式(4-28)求導(dǎo)，可得t=0+時刻uC(t)對t的導(dǎo)數(shù)的初始值為

(4-30)

而電路中

i(0+)=0

聯(lián)立求解式(4-29)和式(4-30)，便可以解出A1、A2。根據(jù)(4-28)，零輸入響應(yīng)uC(t)是隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減的，為非振蕩性質(zhì)。uC(t)的波形如圖4-27所示。圖4-27過阻尼時的uC(t)波形

(2)當(dāng)(R/2L)2=1/LC時，p1、p2為相等的負(fù)實(shí)根，稱為臨界阻尼情況。特征根為

p1=p2=－α

微分方程的通解為

uC(t)=(A1+A2t)e－αt

(4-31)

式中，常數(shù)A1、A2由初始條件uC(0+)和uC′

(0+)來確定。

根據(jù)式(4-31)可知，這種情況的響應(yīng)也是非振蕩的。uC(t)隨時間變化的波形圖如圖4-28所示。圖4-28臨界阻尼情況下零輸入響應(yīng)uC(t)的波形圖

(3)當(dāng)(R/2L)2<1/LC時，p1、p2為具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)

根，稱為欠阻尼情況。特征根為