高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題22：雙曲線的漸近線問題

第第頁參考答案1．A【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據(jù)得出，根據(jù)雙曲線的定義得出，再然后根據(jù)得出以及，根據(jù)得出，最后將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線中，通過化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【解析】設(shè)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為雙曲線的上焦點(diǎn)，繪出雙曲線的圖像，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn),因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，即，且，所以，，故，，因?yàn)椋?，，將代入雙曲線中，即，化簡(jiǎn)得，，，，，解得或（舍去），，，則該雙曲線的漸近線方程為，故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，考查雙曲線定義以及等面積法的靈活應(yīng)用，考查計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.2．B【分析】作出圖形，可知與拋物線相切時(shí)，取得最小值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用雙曲線定義求出2a，結(jié)合，可求得，再利用求得結(jié)果.【解析】由拋物線的對(duì)稱性，設(shè)為拋物線第一象限內(nèi)點(diǎn)，如圖所示：故點(diǎn)作垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B，由拋物線的定義知，易知軸，可得當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最小值，此時(shí)與拋物線相切，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立，整理得，其中，解得：，由為拋物線第一象限內(nèi)點(diǎn)，則則，解得：，此時(shí)，即或所以點(diǎn)的坐標(biāo)且由題意知，雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為2a，則，，又，則故漸近線斜率的平方為故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查求雙曲線的漸近線斜率，方法如下：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用漸近線的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．3．B【分析】由同起點(diǎn)的向量做加法想到平行四邊形法則，從而取的中點(diǎn)E，由已知可知，由三線合一知三角形為等腰三角形，再由余弦的定義表示的余弦值，又由雙曲線的定義表示，最后在中，由余弦定理構(gòu)建方程，求得，將其代入漸近線方程，得答案.【解析】取線段的中點(diǎn)E，連接，因?yàn)?，所以，故三角形為等腰三角形，且．在中，，連接，又，點(diǎn)Q在雙曲線C上，所以由雙曲線的定義可得，，故．在中，由余弦定理得，．整理可得，所以，故雙曲線C的漸近線方程為．故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查由幾何關(guān)系求雙曲線的漸近線，由余弦定理構(gòu)建方程，還考查了平面向量加法的平行四邊形法則和垂直關(guān)系，屬于難題.4．D【分析】由M是三角形外心可得，根據(jù)圓周角與圓心角關(guān)系得∠F1PF2＝，根據(jù)余弦定理、雙曲線的定義得，由三角形面積公式，即可確定的數(shù)量關(guān)系，寫出漸近線方程即可.【解析】由△PF1F2的外心M，知：，∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，∴，即，∴，而，∴由題意知：，故雙曲線的漸近線方程為：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用外接圓的性質(zhì)求∠F1PF2，由余弦定理、雙曲線的定義及三角形面積公式求焦點(diǎn)三角形的面積，進(jìn)而確定雙曲線參數(shù)的數(shù)量關(guān)系.5．C【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于為定值，由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時(shí)，的外接圓面積取得最小值，也等價(jià)于取得最大值，利用兩角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線計(jì)算得到答案.【解析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于為定值，由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時(shí)，的外接圓面積取得最小值，也等價(jià)于取得最大值，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)最大，此時(shí)的外接圓面積取最小值，點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，可得，即，即．所以雙曲線的漸近線方程為：．故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求雙曲線漸近線方程，及利用基本不等式求最值，解題時(shí)先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c及漸近線之間的關(guān)系，求出的值即可，考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題6．C【分析】如圖所示：切點(diǎn)為，連接，作軸于，計(jì)算，，，，根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【解析】如圖所示：切點(diǎn)為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據(jù)勾股定理：，解得.故選：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.7．A【分析】由雙曲線的定義和內(nèi)切圓的性質(zhì)：圓外一點(diǎn)向圓引切線，則切線長相等，結(jié)合雙曲線的定義，可求出漸進(jìn)線方程.【解析】如圖所示：設(shè)分別為三邊與其內(nèi)切圓的切點(diǎn)，圓心為.已知≌，≌,≌.即由雙曲線的定義有：.則.所以,即.又.所以，又，解得.雙曲線的漸近線方程為：.故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義、性質(zhì)和漸進(jìn)線方程，考查圓的切線性質(zhì)，屬于中檔題.8．A【分析】設(shè)，得到，聯(lián)立方程組，求得的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解．【解析】設(shè)點(diǎn)，則，即，由雙曲線的漸近線方程為，則由，解得，由，解得，所以，所以．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，求得A、B的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積的公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．9．B【分析】設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，則點(diǎn)，利用，可得出，解出即可.【解析】設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，則點(diǎn)，，，，即，即，，解得，故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線離心率的求解，同時(shí)也涉及到漸近線方程，在求解離心率時(shí)，充分利用公式可簡(jiǎn)化計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10．A【分析】設(shè)圓與的三邊、、分別相切于點(diǎn)，連接,，，可看作三個(gè)高均為圓半徑的三角形利用三角形面積公式，代入已知式，化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合雙曲線的定義與漸近線方程可得所求．【解析】如圖，設(shè)圓與的三邊、、分別相切于點(diǎn)，連接，則，，，它們分別是，，的高，，，，其中是的內(nèi)切圓的半徑．，，兩邊約去得：，，根據(jù)雙曲線定義，得，，，，，可得雙曲線的漸近線方程為,即為，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的定義以及雙曲線的漸近線，著重考查了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，屬于中檔題．解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.11．D【解析】分析：先根據(jù)三角形切的關(guān)系化簡(jiǎn)條件得,再通過坐標(biāo)關(guān)系表示，最后根據(jù)點(diǎn)C在雙曲線上化簡(jiǎn)得a,b關(guān)系，即得雙曲線的漸近線的方程.詳解：因?yàn)橹兴栽O(shè)C(x,y),所以因此雙曲線的漸近線的方程為選D.點(diǎn)睛：熟記一些常用結(jié)論或方法：1.已知雙曲線方程求漸近線：2.中12．B【解析】，由雙曲線的對(duì)稱性知在軸上，設(shè)，由，得，則，又到直線的距離小于，則，解得，則雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是，故選B.13．A【解析】如圖所示，，設(shè)則菱形的面積為則，即漸近線的方程為，故雙曲線的漸近線方程為選A14．C【解析】，故，即，故點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，且，故，且，故點(diǎn)在雙曲線的右支上，，則在中，由勾股定理可得，，即，解得，故，故雙曲線的漸近線方程為，故選C.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.本題中，利用雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，以及構(gòu)造的齊次式，從而可求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出漸近線方程的.15．B【解析】設(shè)拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，且，所以，解得，則該雙曲線的漸近線方程為，即；故選B.點(diǎn)睛：在處理拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，要注意利用拋物線的定義將拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互化；已知雙曲線方程求漸近線方程，學(xué)生往往記不清漸近線方程的形式，記住以下結(jié)論即可，雙曲線的漸近線方程為.16．C【解析】試題分析：因?yàn)檫^作圓的切線分別交雙曲線的左右兩支于點(diǎn)，且，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則利用三角形的相似可得，所以，所以，代入雙曲線的方程，整理可得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選C.考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì).【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，其中解答中涉及到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，相似三角形、以及雙曲線的漸近線的方程的求解等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，本題的解答中根據(jù)相似三角形，列出比例關(guān)系式，得到點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，試題運(yùn)算較大，屬于中檔試題.17．【分析】取特殊位置軸，此時(shí)，，，將代入拋物線得，所以，，可得，分別討論，，可得，進(jìn)而可求得漸近線方程為.【解析】如圖：因?yàn)楹愠闪ⅲ√厥馕恢幂S時(shí)，此時(shí)，所以，在中，，雙曲線中，，將代入雙曲線方程得，整理可得：，取點(diǎn)位于第一象限，所以，則，所以，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不符合題意，故不成立，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不符合題意，故不成立，當(dāng)時(shí)，，所以，即，可得，所以，所以，，所以雙曲線的漸近線方程為，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是去特殊位置軸時(shí)，可得計(jì)算其正切值可得，經(jīng)過討論求出離心率.18．【分析】設(shè),求出直線的方程,分別與聯(lián)立,進(jìn)而求出的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,求出,則可求的值.【解析】解:設(shè)則，即.由題意知直線分別與平行則.所以,將直線與聯(lián)立得,解得將直線與聯(lián)立得,解得即,.所以,所以.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離求解,考查了圓錐曲線的綜合計(jì)算.本題的難點(diǎn)及易錯(cuò)點(diǎn)在于計(jì)算.對(duì)于此類填空題,有一個(gè)技巧可能會(huì)減少運(yùn)算量,即已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn),不妨設(shè)該點(diǎn)是特殊點(diǎn),如頂點(diǎn),可減少運(yùn)算量.19．【分析】根據(jù)，可知，即為直角三角形.利用雙曲線的定義，題意所給已知條件，和