第1講 有理數(shù)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)（學(xué)生版）-初中數(shù)學(xué)6年級自招班

有理數(shù)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)第一講

有理數(shù)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)第一講基本要求（1）有理數(shù)的分類，并準(zhǔn)確判斷一個數(shù)是哪一類有理數(shù)；（2）了解正數(shù)負(fù)數(shù)的實際意義、相反數(shù)、倒數(shù)、負(fù)倒數(shù)、絕對值的概念；（3）能熟練進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除及其混合運算；正確性和速度——兩手都要抓，兩手都要硬?、诺呢?fù)倒數(shù)是；的相反數(shù)是.⑵年元旦上海和北京的夜間氣溫分別是和，兩者相差.⑴；⑵⑴.⑵.⑴⑵有理數(shù)的認(rèn)識有理數(shù)：正數(shù)與負(fù)數(shù)正數(shù)：大于的數(shù)叫做正數(shù)，如、、．正數(shù)前面的“”可以省略，與表示是同一個正數(shù)．負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號“”的數(shù)叫做負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)小于．如、、．【注意】①數(shù)既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)．②一個數(shù)前面的“”，“”號叫做它的符號．③用正、負(fù)數(shù)表示相反意義的量：比如用正數(shù)表示向南，那么向北可以用負(fù)數(shù)表示為．有理數(shù)的定義整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（）,一切有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式.有理數(shù)的分類【注意】①正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；②負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；③正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)；④負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)．小數(shù)與有理數(shù)數(shù)軸定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．【注意】①原點、正方向、單位長度稱為數(shù)軸的三要素，三者缺一不可．②單位長度和長度單位是兩個不同的概念，前者指所取度量單位的長度，后者指所取度量單位的名稱，即單位長度是一條人為規(guī)定的代表“”的線段，這條線段可長可短，按實際情況來規(guī)定，同一數(shù)軸上的單位長度一旦確定，則不能再改變．有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來；注意：數(shù)軸上的點不都代表有理數(shù)，如；一般地，數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)．?dāng)?shù)軸畫法的常見錯誤舉例：錯例原因無原點沒有正方向單位長度不統(tǒng)一沒有單位長度相反數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．特別地，的相反數(shù)仍是．注意點：相反數(shù)必須成對出現(xiàn)，不能單獨存在．例如：與互為相反數(shù)，而與雖然符號不同，但它們不互為相反數(shù)．實數(shù)的相反數(shù)是，零的相反數(shù)是零；數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個點關(guān)于原點對稱；如果與互為相反數(shù)，那么，，；如果與互為相反數(shù)，且都不為零，那么．絕對值絕對值的意義代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；的絕對值是．幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離．?dāng)?shù)的絕對值記作．求字母的絕對值：①②③絕對值的非負(fù)性任何一個有理數(shù)的絕對值不是正數(shù)就是，即絕對值的結(jié)果都是非負(fù)的，記作【注意】①去絕對值也是一種運算，運算符號是“”，一個數(shù)的絕對值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對值符號．②任何一個有理數(shù)都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，如：的符號是負(fù)號，絕對值是．倒數(shù)倒數(shù)：乘積為的兩個數(shù)互為倒數(shù)．互為倒數(shù)，則；反之亦然．負(fù)倒數(shù)：乘積為的兩個數(shù)互為負(fù)倒數(shù)．若互為負(fù)倒數(shù)，則．反之亦然．【注意】①倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)；②互為倒數(shù)的兩個數(shù)乘積為；零沒有倒數(shù)；③如果與互為倒數(shù)，那么，，；④如果與互為負(fù)倒數(shù)，那么，，；⑤求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可．★☆☆☆☆在下表適當(dāng)?shù)目崭窭锎蛏稀啊獭碧枺麛?shù)分?jǐn)?shù)正數(shù)負(fù)數(shù)有理數(shù)非正數(shù)非負(fù)整數(shù)非正分?jǐn)?shù)★★☆☆☆⑴將，，，，，，這七個數(shù)，按照從小到大的順序排列為.⑵三個有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（）A.B.C.D.⑶已知，試比較，，，，，的大小，按照從大到小的順序排列為.★★☆☆☆⑴下列說法中錯誤的是（）A.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等B.有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示C.任何一個有理數(shù)都有相反數(shù)D.一切小數(shù)都是有理數(shù)⑵下列說法中，正確的序號是（）①一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；②倒數(shù)等于本身的數(shù)是和；③若一個數(shù)的絕對值是它本身，則這個數(shù)一定是正數(shù)；④零的絕對值和相反數(shù)都是它本身；⑤兩個負(fù)數(shù)，絕對值較大的負(fù)數(shù)反而小A.①②④B.①③④C.①③⑤D.①④⑤⑶下列說法中，正確的有（）句①一個有理數(shù)不是整數(shù)，就是分?jǐn)?shù)；②一個有理數(shù)不是正的，就是負(fù)的；③一個整數(shù)不是正的，就是負(fù)的；④一個分?jǐn)?shù)不是正的，就是負(fù)的；⑤沒有最大的非正數(shù)，也沒有最小的非負(fù)數(shù)；A.B.C.D.⑷和是滿足的有理數(shù)，下面四句話中，正確的有（）句①的相反數(shù)是；②的相反數(shù)是的相反數(shù)與的相反數(shù)的差；③的相反數(shù)是的相反數(shù)和的相反數(shù)的乘積；④的倒數(shù)是的倒數(shù)和的倒數(shù)的乘積A.B.C.D.⑸若三個數(shù)互不相等，則在，，中，正數(shù)一定有（）A.個B.個C.個D.個★★★☆☆⑴的相反數(shù)是.⑵已知的倒數(shù)是，則的負(fù)倒數(shù)為.⑶若，則；若，則.⑷已知，則的值是.★★★☆☆⑴數(shù)軸上有,,三點，點所對應(yīng)的數(shù)是，點到點的距離是，點到點的距離是，則點所對應(yīng)的數(shù)是.⑵數(shù)軸上點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為，則的中點對應(yīng)的數(shù)為.（用表示）⑶如圖所示，數(shù)軸上三個點對應(yīng)的數(shù)分別為，，，相鄰的兩個點之間的距離相等，且滿足，則.★★★☆☆三個互不相等的有理數(shù)，既可以表示為，，的形式，也可以表示為，，的形式，求的值.有理數(shù)的四則運算有理數(shù)的加法有理數(shù)加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．一個數(shù)同相加，仍得這個數(shù)．有理數(shù)加法的運算步驟：法則是運算的依據(jù)，根據(jù)有理數(shù)加法的運算法則，可以得到加法的運算步驟：①確定和的符號；②求和的絕對值，即確定是兩個加數(shù)的絕對值的和或差．有理數(shù)加法的運算律：加法交換律：兩個加數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，即.加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或先把后兩個數(shù)相加，和不變．即.有理數(shù)加法的運算技巧：①分?jǐn)?shù)與小數(shù)均有時，應(yīng)先化為統(tǒng)一形式；②帶分?jǐn)?shù)可分為整數(shù)與分?jǐn)?shù)兩部分參與運算；③多個數(shù)相加時，若有互為相反數(shù)的兩個數(shù)，可先結(jié)合相加得零；④若有可以湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時，可先結(jié)合相加；⑤若有同分母的分?jǐn)?shù)或易通分的分?jǐn)?shù)，應(yīng)先結(jié)合在一起；⑥符號相同的數(shù)可以先結(jié)合在一起．有理數(shù)的減法有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)，即有理數(shù)減法的運算步驟：①把減號變?yōu)榧犹枺ǜ淖冞\算符號）②把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)（改變性質(zhì)符號）③把減法轉(zhuǎn)化為加法，按照加法運算的步驟進(jìn)行運算．有理數(shù)加減混合運算的步驟：①把算式中的減法轉(zhuǎn)化為加法；②省略加號與括號；③利用運算律及技巧簡便計算，求出結(jié)果．【注意】根據(jù)有理數(shù)減法法則，減去一個數(shù)等于加上它的相反數(shù)，因此加減混合運算可以依據(jù)上述法則轉(zhuǎn)變?yōu)橹挥屑臃ǖ倪\算，即為求幾個正數(shù)，負(fù)數(shù)和的和，這個和稱為代數(shù)和．為了書寫簡便，可以把加號與每個加數(shù)外的括號均省略，寫成省略加號和的形式．例如：，它的含義是正，負(fù)，正，正，負(fù)的和．有理數(shù)的乘法有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)同相乘，都得．有理數(shù)乘法的運算步驟：先確定符號，再計算絕對值，有括號的先算括號里的數(shù).有理數(shù)乘法運算律：乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即．乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等，即．乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加，即．有理數(shù)乘法法則的推廣：幾個不等于的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負(fù)數(shù)．幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為，則積為．在進(jìn)行乘法運算時，若有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)，便于約分；若有小數(shù)及分?jǐn)?shù)，一般先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，或湊整計算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡化計算．“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用一：口訣“奇負(fù)偶正”在多處知識點中均提到過，它具體的應(yīng)用有如下幾點：①多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“－”的個數(shù)，例如：；．②有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：，而．有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：除以一個不等于的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)：（）；兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；除以任何一個不等于的數(shù)，都等于．有理數(shù)除法的運算步驟：首先確定商的符號，然后再求出商的絕對值．★★☆☆☆⑴下列說法正確的是（）A.兩個有理數(shù)的和一定大于任何一個加數(shù)B.兩個有理數(shù)的和一定大于其中的一個加數(shù)C.兩個有理數(shù)的和一定大于這兩個數(shù)的差D.較小的有理數(shù)減去較大的有理數(shù)的差一定是負(fù)數(shù)⑵個不全相等的有理數(shù)之和為，那么一定有結(jié)論（）A.至少有一個是零B.至少有個正數(shù)C.至少有一個負(fù)數(shù)D.至多有個負(fù)數(shù)⑶若，則下列四個結(jié)論中，正確的是（）A.一定是正數(shù)B.可能是負(fù)數(shù)C.一定是正數(shù)D.一定是正數(shù)★★★☆☆計算：⑴⑵⑶★★★☆☆⑴已知、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，為最大的負(fù)整數(shù)，為絕對值最小的數(shù)，則的值是.⑵已知且、互為相反數(shù)，、互為負(fù)倒數(shù)，的絕對值為，則代數(shù)式的值是.★★★☆☆如果個不同的正整數(shù)滿足，那么的值是多少？★★★★☆數(shù)軸上標(biāo)有個點對應(yīng)的都是整數(shù)（它們稱為整點），它們對應(yīng)的整數(shù)分別是，為了確保從這些整點中可以取出個，其中任何個點之間的距離不等于，問的最小值是多少？在整數(shù)之間填入符號和號，那么在所有可能的代數(shù)和中，最小的非負(fù)數(shù)是多少？在下列數(shù)中，哪些是整數(shù)？哪些是正數(shù)？哪些是非負(fù)整數(shù)？哪些是有理數(shù)？，，，，，，，，，，⑴學(xué)而思校車上原來有人，經(jīng)過個站點時上下車情況如下（上車為正，下車為負(fù)）：，，，，最后有人，橫線上應(yīng)填的數(shù)字是．⑵學(xué)而思老師進(jìn)行吃大米飯比賽，以碗為標(biāo)準(zhǔn)，超過次數(shù)用正數(shù)表示，不足的用負(fù)數(shù)表示，其中名老師的成績?nèi)缦卤恚簭埧】↑S孔孔王陽陽羅小小周虎虎吳瘋瘋方捷捷邢飛飛問：這名老師吃掉米飯的平均值是碗．⑴的相反數(shù)的倒數(shù)是，的相反數(shù)是.⑵已知，則.⑶已知的負(fù)倒數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，則.⑷已知的絕對值和倒數(shù)都等于本身，若，則⑴已知、都為有理數(shù)，且，，，則、、、的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.⑵有理數(shù)、在數(shù)軸上如圖所示，則（）A.B.C.D.⑶數(shù)軸上有，兩點，如果點對應(yīng)的數(shù)是，且，兩點的距離為，則點對應(yīng)的數(shù)的倒數(shù)為.⑷如圖，如果數(shù)到原點的距離是數(shù)到原點的距離的倍，則數(shù)軸的原點是,,,四點中的