湖南省長沙市長郡十八校2024-2025學年高一上學期12月檢測數(shù)學試題（含答案）

1PAGE第13頁2024年秋季高一檢測卷數(shù)學（考試范圍：必修一第一章至第五章第1節(jié)《任意角和弧度制》時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的）1.已知全集，則（）A. B. C. D.2.已知弧長為的弧所對的圓心角為，則該弧所在的扇形面積為（）A. B. C. D.3.在平面直角坐標系中，若角與終邊關(guān)于軸對稱，則角與之間的關(guān)系滿足（）.A. B.C. D.4.已知函數(shù)（其中a，b為常數(shù)，且），若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個零點附近函數(shù)值用二分法逐次計算的結(jié)果如下表所示，11.51.251.3751.31250.8750.2246那么方程的一個近似根（精確度為0.1）為（）A.1 B.1.5 C.1.25 D.1.31257.已知，，，則、、大小關(guān)系為（）A. B. C. D.8.已知二次函數(shù)的值域為，則的最小值為（）A.6 B.8 C.10 D.12二、選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知命題，則命題成立的一個充分條件可以是（）A. B. C. D.10.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.若函數(shù)，則與是同一個函數(shù)B.是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于點1,0對稱D.的值域為11.已知定義域為的函數(shù)滿足：，且當時，，則（）A.B.的圖象關(guān)于軸對稱C.在上單調(diào)遞減D.不等式解集為三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知冪函數(shù)的定義域是，則______．13.在不考慮空氣阻力的條件下，飛行器在某星球的最大速度（單位：）和所攜帶的燃料的質(zhì)量（單位：kg）與飛行器（除燃料外）的質(zhì)量（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系式近似滿足（為常數(shù)）．當攜帶的燃料的質(zhì)量和飛行器（除燃料外）的質(zhì)量相等時，約等于，當攜帶的燃料的質(zhì)量是飛行器（除燃料外）的質(zhì)量的13倍時，約等于，則常數(shù)的值為______．14.已知函數(shù)關(guān)于的方程有四個相異的實數(shù)根，則的取值范圍是______．四、解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.計算：（1）；（2）．16.已知，且．（1）證明：；（2）求的最小值．17.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（e為自然對數(shù)底數(shù)，）（1）求的值及函數(shù)的值域；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在R上是增函數(shù)；（3）求不等式的解集．18.已知函數(shù)．（1）當時，若函數(shù)恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的值；（2）當時，若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．19.設(shè)集合是至少有兩個元素的實數(shù)集，集合且，稱集合為集合的積集．（1）當時，寫出集合的積集；（2）若是由4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，求其積集中元素個數(shù)的最小值；（3）若是由4個有理數(shù)構(gòu)成集合，積集，求集合中的所有元素之和．

2024年秋季高一檢測卷數(shù)學一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的）1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】C二、選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.【答案】ACD10.【答案】CD11.【答案】ABD三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.【答案】13.【答案】314.【答案】四、解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)的運算性質(zhì)計算可得所求代數(shù)式的值；（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式計算可得所求代數(shù)式的值.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.16.【解析】分析】（1）由基本不等式得到，從而得到，證明出結(jié)論；（2）變形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小問1詳解】已知，且，由基本不等式得，即，解得，當且僅當，即時，等號成立，證畢；【小問2詳解】因為，且，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為17.【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再求出函數(shù)值域.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推理證明.（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，再借助一元二次不等式求解.【小問1詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為，所以.所以因為，所以，所以.所以，因為，所以，即.所以函數(shù)的值域為：.【小問2詳解】設(shè)，則.因為，所以，于是，，，所以.所以即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】由.因為函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.所以所以.即所求不等式的解集為：18.【解析】【分析】（1）寫出，分，，，，，等情況，結(jié)合函數(shù)圖象，求出零點個數(shù)，得到；（2）根據(jù)函數(shù)的對稱軸和特殊點函數(shù)值，得到當，即時，在R上單調(diào)遞增；（3）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到當時，關(guān)于的方程有3個不等實根，即，所以，設(shè)，故只需，求出，求出實數(shù)的取值范圍是.【小問1詳解】時，，當時，的對稱軸為，當時，的對稱軸為，當時，，此時函數(shù)圖象如下：其中令，解得或0，滿足要求，令，解得，滿足要求，0舍去，故此時有3個零點，不合要求，舍去；當時，故，令得，滿足要求，令，解得或0（舍去），滿足恰有兩個不同的零點；當時，，令，解得或0（舍去），令，解得，滿足要求，滿足恰有兩個不同的零點；當時，，畫出函數(shù)圖象，如下：令，解得或，滿足要求，令得或0（舍去），滿足要求，此時有3個不同的零點，不合題意；當時，，畫出函數(shù)圖象，如下：令，解得或0（舍去），令得或0，滿足要求，此時有3個不同的零點，不合題意；當時，，畫出函數(shù)圖象，如下：其中令，解得或0（舍去），令，解得或0，故此時有3個零點，不合要求，舍去；綜上，恰有兩個不同的零點，則；【小問2詳解】時，，當時，的對稱軸為，當時，的對稱軸為，并且，故當，即時，在R上單調(diào)遞增；【小問3詳解】當時，，的解即為方程的解，當時，在R上單調(diào)遞增；故關(guān)于的方程不可能有三個不等的實根，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，關(guān)于的方程有3個不等實根，即，因為，所以，設(shè)，故只需，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，故，故若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，實數(shù)的取值范圍是.19.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到；（2）不妨設(shè)，推出中的元素個數(shù)大于等于5，再舉出實例，得到中元素個數(shù)最小值為5；（3）中的元素個數(shù)最多的情況是6個互不相同的數(shù)，同時中沒有兩個數(shù)互為相反數(shù)，的絕對值互不相等，不妨設(shè)，由此求出，.【小問1詳解】，故，，故；【小問2詳解】是由4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，不妨設(shè)，因為，故中的元素個數(shù)大于等于5，當時，此時，故中元素個數(shù)最小值為5；【小問3詳解】由條件可知，對于一個4元集合，中的元素個數(shù)最多的