2025屆江蘇省宿遷市沭陽縣華沖高中高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆江蘇省宿遷市沭陽縣華沖高中高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知點(diǎn)在雙曲線上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側(cè)棱,直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)的過程中,有下列說法:(1)四面體EBCD的體積有最大值和最小值;(2)存在某個(gè)位置,使得;(3)設(shè)二面角的平面角為,則;(4)AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓.其中,正確說法的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.43.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個(gè)元素,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.4.已知雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知函數(shù),,若存在實(shí)數(shù),使成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.對(duì)于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.7.已知,,,則的最小值為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.復(fù)數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.11.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.12.函數(shù)滿足對(duì)任意都有成立,且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,則的值為()A.0 B.2 C.4 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,的外接圓半徑為,為邊上一點(diǎn),且,,則的面積為______.14.已知,,且,則的最小值是______.15.已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上,且,,則__________.16.定義,已知,,若恰好有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為:,曲線的參數(shù)方程為其中,為參數(shù),為常數(shù).(1)寫出與的直角坐標(biāo)方程;(2)在什么范圍內(nèi)取值時(shí),與有交點(diǎn).18.(12分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為4,且橢圓過點(diǎn),過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓與兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交軸于點(diǎn).(1)求的周長;(2)求面積的最大值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若,,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)時(shí),若對(duì)一切恒成立,求a的取值范圍.20.(12分)唐詩是中國文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機(jī)抽取了500篇,統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機(jī)抽取一篇,則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大,屬于哪個(gè)類別的可能性最小,并分別估計(jì)該唐詩屬于這兩個(gè)類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測值越大,排名就越靠前;設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對(duì)應(yīng)的觀測值分別為,,.已知,,請(qǐng)完成下面列聯(lián)表,并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63521.(12分)已知中,,,是上一點(diǎn).(1)若,求的長;(2)若,,求的值.22.(10分)如圖1,在邊長為4的正方形中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長,進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得,而雙曲線的半實(shí)軸,所以,得離心率,故選C.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

解:對(duì)于(1),當(dāng)CD⊥平面ABE,且E在AB的右上方時(shí),E到平面BCD的距離最大,當(dāng)CD⊥平面ABE,且E在AB的左下方時(shí),E到平面BCD的距離最小,∴四面體E﹣BCD的體積有最大值和最小值,故(1)正確;對(duì)于(2),連接DE,若存在某個(gè)位置,使得AE⊥BD,又AE⊥BE,則AE⊥平面BDE,可得AE⊥DE,進(jìn)一步可得AE=DE,此時(shí)E﹣ABD為正三棱錐,故(2)正確;對(duì)于(3),取AB中點(diǎn)O,連接DO,EO,則∠DOE為二面角D﹣AB﹣E的平面角,為θ,直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)的過程中,θ∈[0,π),∠DAE∈[,π),所以θ≥∠DAE不成立.(3)不正確;對(duì)于(4)AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P,P到BC的距離為:dP﹣BC,因?yàn)椋?,所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓.(4)正確.故選:C.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對(duì)應(yīng)的特征,以幾何體為載體,考查相關(guān)的空間關(guān)系,在解題的過程中,需要認(rèn)真分析,得到結(jié)果,注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用.3、B【解析】

由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

先求得的漸近線方程,根據(jù)沒有公共點(diǎn),判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)滿足的等量關(guān)系,代入后將方程變形,構(gòu)造函數(shù),并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,結(jié)合存在性問題的求法,即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù),,由題意得,即,令,∴,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,而,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問題的解法,屬于中檔題.6、A【解析】

由已知可得的單調(diào)性,再由可得對(duì)稱性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對(duì)于任意,函數(shù)滿足,因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)時(shí),是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?,所以?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對(duì)稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..7、B【解析】,選B8、B【解析】

構(gòu)造函數(shù),判斷出的單調(diào)性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),由解得,所以的定義域?yàn)?,且,所以為奇函?shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.9、C【解析】所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2)位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念,屬于簡單題.10、C【解析】

由題可知,設(shè)函數(shù),,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn),得出單調(diào)性,根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),結(jié)合圖象,可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù),,因?yàn)?,所以,或,因?yàn)闀r(shí),,或時(shí),,,其圖象如下:當(dāng)時(shí),至多一個(gè)整數(shù)根;當(dāng)時(shí),在內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù),只需,,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題,還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象,同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.11、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計(jì)算.【詳解】由可得,因?yàn)?,所以.故在方向上的投影為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.12、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱可得為奇函數(shù),結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù),利用及可得所求的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以為上的奇函數(shù).由可得,故,故是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)?,所?因?yàn)?,故,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函數(shù)滿足,那么是周期為的周期函數(shù),本題屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先由正弦定理得到,再在三角形ABD、ADC中分別由正弦定理進(jìn)一步得到B=C,最后利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】依題意可得,由正弦定理得,即,由圖可知是鈍角,所以,,在三角形ABD中,,,在三角形ADC中,由正弦定理得即,所以,,故,,,故的面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,要靈活運(yùn)用正弦定理公式及三角形面積公式,本題屬于中檔題.14、8【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為8,故答案為:8.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由題意可得,該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長方體的四個(gè)頂點(diǎn)上,設(shè)長方體的長寬高為,由題意可得:,據(jù)此可得:,則球的表面積:,結(jié)合解得:.點(diǎn)睛:與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑.16、【解析】

根據(jù)題意,分類討論求解,當(dāng)時(shí),根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無零點(diǎn),不合題意;當(dāng)時(shí),令,得,令,得或,再分當(dāng),兩種情況討論求解.【詳解】由題意得:當(dāng)時(shí),在軸上方,且為增函數(shù),無零點(diǎn),至多有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意;當(dāng)時(shí),令,得,令,得或,如圖所示:當(dāng)時(shí),即時(shí),要有3個(gè)零點(diǎn),則,解得;當(dāng)時(shí),即時(shí),要有3個(gè)零點(diǎn),則,令,,所以在是減函數(shù),又,要使,則須,所以.綜上:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù),指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點(diǎn)問題,還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),.(2)【解析】

(1)利用,代入可求;消參可得直角坐標(biāo)方程.(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程,與有交點(diǎn),可得,解不等式即可求解.【詳解】(1)(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得:與有交點(diǎn),即【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、直線與圓的位置關(guān)系的判斷,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)12(2)【解析】

(1)根據(jù)焦距得焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)定義;(2)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,設(shè),聯(lián)立直線和橢圓,結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積,即可求解最大值.【詳解】(1)設(shè)橢園的焦距為,則,故.則橢圓過點(diǎn),由橢圓定義知:,故,因此,的周長;(2)由(1)知:,橢圓方程為:設(shè),則,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)在短軸頂點(diǎn)處取等,故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)直線與橢圓的交點(diǎn)關(guān)系求三角形面積的最值,涉及韋達(dá)定理的使用,綜合性強(qiáng),計(jì)算量大.19、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)【解析】

(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.(2)解法一:分類討論:當(dāng)時(shí),觀察式子可得恒成立;當(dāng)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,可知;當(dāng)時(shí),令,由,,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得,進(jìn)而可得在上,單調(diào)遞減,即不滿足題意;解法二:通過分離參數(shù)可知條件等價(jià)于恒成立,進(jìn)而記,問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題,通過二次求導(dǎo),結(jié)合洛比達(dá)法則計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】(1)當(dāng),,,,令,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)解法一:當(dāng)時(shí),函數(shù),若時(shí),此時(shí)對(duì)任意都有,所以恒成立;若時(shí),對(duì)任意都有,,所以,所以在上為增函數(shù),所以,即時(shí)滿足題意;若時(shí),令,則,所以在上單調(diào)遞增,,,可知,一定存在使得,且當(dāng)時(shí),,所以在上,單調(diào)遞減,從而有時(shí),,不滿足題意;綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解法二:當(dāng)時(shí),函數(shù),又當(dāng)時(shí),,對(duì)一切恒成立等價(jià)于恒成立,記,其中,則,令,則,在上單調(diào)遞增,,恒成立,從而在上單調(diào)遞增,,由洛比達(dá)法則可知,,,解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題,考查了分類與整合的解題思想,涉及分離參數(shù)法等技巧、涉及到洛比達(dá)法則等知識(shí),注意解題方法的積累,屬于難題.20、(1)該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最??;屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為(2)填表見解析;選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序?yàn)椤盎ā?,“簾”【解析?/p>

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表算出頻率,比較大小即可判斷;(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表完成列聯(lián)表,算出觀測值,查表判斷.【詳解】(1)由上表可知,該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最小屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為;(2)列聯(lián)表如下:屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計(jì)含“花”的篇數(shù)60100160不含“花”的篇數(shù)40300340共計(jì)100400500計(jì)算得:;因?yàn)?,,所以有超過95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關(guān)系,故“花”

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