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廣東省惠州市惠港中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)押題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.2.已知函數(shù),若,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.3.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則()A. B. C. D.4.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為()A. B. C. D.6.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.如圖所示,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.8.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.9.已知為定義在上的奇函數(shù),且滿(mǎn)足當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.10.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.11.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng),每人只能去一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū),乙不去社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.512.一個(gè)四面體所有棱長(zhǎng)都是4,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球上,則球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.春天即將來(lái)臨,某學(xué)校開(kāi)展以“擁抱春天,播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng).已知某種盆栽植物每株成活的概率為,各株是否成活相互獨(dú)立.該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株,設(shè)為其中成活的株數(shù),若的方差,,則________.14.已知x,y>0,且,則x+y的最小值為_(kāi)____.15.已知四棱錐,底面四邊形為正方形,,四棱錐的體積為,在該四棱錐內(nèi)放置一球,則球體積的最大值為_(kāi)________.16.已知命題:,,那么是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品,每件產(chǎn)品不合格的概率均為,現(xiàn)工廠(chǎng)為提高產(chǎn)品聲譽(yù),要求在交付用戶(hù)前每件產(chǎn)品都通過(guò)合格檢驗(yàn),已知該工廠(chǎng)的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品,且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立.若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次,所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多,該工廠(chǎng)提出以下檢驗(yàn)方案:將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn),如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格,則說(shuō)明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格,若檢驗(yàn)不合格,則說(shuō)明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品,再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn),如此,每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次.設(shè)該工廠(chǎng)生產(chǎn)件該產(chǎn)品,記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為.(1)求的分布列及其期望;(2)(i)試說(shuō)明,當(dāng)越小時(shí),該方案越合理,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少;(ii)當(dāng)時(shí),求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù).18.(12分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在的范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.(1)求的值;(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)已知集合,.(1)若,則;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)在中,角、、的對(duì)邊分別為、、,且.(1)若,,求的值;(2)若,求的值.21.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)的參數(shù)方程為(t為參數(shù),).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.(l)求直線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程:(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于A(yíng),B兩點(diǎn),且.求直線(xiàn)的方程.22.(10分)已知點(diǎn)和橢圓.直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),.(1)當(dāng)時(shí),求的面積;(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】試題分析:由題意知,當(dāng)時(shí),由,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即等號(hào)是成立,所以函數(shù)的最小值為,當(dāng)時(shí),為單調(diào)遞增函數(shù),所以,又因?yàn)?,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故選C.考點(diǎn):函數(shù)的綜合問(wèn)題.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問(wèn)題,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱(chēng)命題與存在命題的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查,試題思維量大,屬于中檔試題,著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵.3、B【解析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】試題分析:由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以必有解,則,且,∴.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).(2)已知函數(shù)求極值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)―→下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極值,則f′(x0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.5、C【解析】
根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個(gè)三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過(guò)S作,連接BD,,再求得其它的棱長(zhǎng)比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個(gè)三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過(guò)S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.6、B【解析】
復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,可得關(guān)于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形,所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因?yàn)殡u蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點(diǎn)距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問(wèn)題,考查球體有關(guān)的知識(shí).在解答過(guò)程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問(wèn)題時(shí),可以采用軸截面的方法來(lái)處理.也就是畫(huà)出題目通過(guò)球心和最低點(diǎn)的截面,然后利用弦長(zhǎng)和勾股定理來(lái)解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.8、D【解析】
討論的取值范圍,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí),,故切線(xiàn)的斜率變小,當(dāng)時(shí),,故切線(xiàn)的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時(shí),,故切線(xiàn)的斜率變大,當(dāng)時(shí),,故切線(xiàn)的斜率變小,可排除C,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.9、C【解析】
由題設(shè)條件,可得函數(shù)的周期是,再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,則函數(shù)的周期是,所以,,又函數(shù)為上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性,由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
作出三棱錐的實(shí)物圖,然后補(bǔ)成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球,然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計(jì)算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示:將其補(bǔ)成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.11、B【解析】根據(jù)題意滿(mǎn)足條件的安排為:A(甲,乙)B(丙)C(?。?;A(甲,乙)B(丁)C(丙);A(甲,丙)B(?。〤(乙);A(甲,?。〣(丙)C(乙);A(甲)B(丙,?。〤(乙);A(甲)B(?。〤(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7種,選B.12、A【解析】
將正四面體補(bǔ)成正方體,通過(guò)正方體的對(duì)角線(xiàn)與球的半徑關(guān)系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長(zhǎng)都是4,∴正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體外接球問(wèn)題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線(xiàn),從而將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可知:,且,從而可得值.【詳解】由題意可知:∴,即,∴故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.14、1【解析】
處理變形x+y=x()+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x,y>0,且,則x+y=x()+y1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)x=4,y=2,取得最小值1.故答案為:1【點(diǎn)睛】此題考查利用均值不等式求解最值,關(guān)鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件,注意考慮等號(hào)成立的條件.15、【解析】
由題知,該四棱錐為正四棱錐,作出該正四棱錐的高和斜高,連接,則球心O必在的邊上,設(shè),由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知,設(shè),用和表示四棱錐的體積,解得和的關(guān)系,進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑,并求出半徑的最大值,進(jìn)而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè),,由球O內(nèi)切于四棱錐可知,,,則,球O的半徑,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積問(wèn)題,內(nèi)切球問(wèn)題,考查空間想象能力,屬于較難的填空壓軸題.16、真命題【解析】
由冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】已知命題:,,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,則,所以是真命題,故答案為:真命題【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷全稱(chēng)命題的真假,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析,(2)(i)見(jiàn)解析(ii)時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少,約為594次.【解析】
(1)由題意可得,的可能取值為和,分別求出其概率即可求出分布列,進(jìn)而可求出期望.(2)(i)由記,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證出;記,當(dāng)且取最小值時(shí),該方案最合理,對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】(1)由題,的可能取值為和,故的分布列為由記,因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增,故越小,越小,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少,該方案越合理記當(dāng)且取最小值時(shí),該方案最合理,因?yàn)?,,所以時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少,約為次.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望,考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.18、(1),,.(2)填表見(jiàn)解析;在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)(3)詳見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,即可得解;(2)由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表,再用的計(jì)算公式運(yùn)算即可;(3)獲獎(jiǎng)的概率為,隨機(jī)變量,再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖可知,,因?yàn)闃?gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,所以,解得,所以,.故,,.(2)獲獎(jiǎng)的人數(shù)為人,因?yàn)閰⒖嫉奈目粕c理科生人數(shù)之比為,所以400人中文科生的數(shù)量為,理科生的數(shù)量為.由表可知,獲獎(jiǎng)的文科生有6人,所以獲獎(jiǎng)的理科生有人,不獲獎(jiǎng)的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下:文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)61420不獲獎(jiǎng)74306380合計(jì)80320400所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).(3)由(2)可知,獲獎(jiǎng)的概率為,的可能取值為0,1,2,,,,分布列如下:012數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計(jì)案例和離散型隨機(jī)變量的分布列與期望,考查學(xué)生的閱讀理解能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)將代入可得集合B,解對(duì)數(shù)不等式可得集合A,由并集運(yùn)算即可得解.(2)由可知B為A的子集,即;當(dāng)符合題意,當(dāng)B不為空集時(shí),由不等式關(guān)系即可求得的取值范圍.【詳解】(1)若,則,依題意,故;(2)因?yàn)?,故;若,即時(shí),,符合題意;若,即時(shí),,解得;綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并集運(yùn)算,由集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍,注意討論集合是否為空集的情況,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2).【解析】
(1)利用余弦定理得出關(guān)于的二次方程,結(jié)合,可求出的值;(2)利用兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式可求出的值,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值,然后利用二倍角的正切公式可求出的值.【詳解】
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