新疆維克孜勒蘇柯爾克孜自治州2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中試題文含解析

Page17新疆維克孜勒蘇柯爾克孜自治州2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中考試（文）試題（考試時間120分鐘滿分150分）一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知p：q：，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)與的相互推出狀況推斷出屬于何種條件.【詳解】當(dāng)時，，所以，所以充分性滿意，當(dāng)時，取，此時不滿意，所以必要性不滿意，所以是的充分不必要條件，故選：A.2.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別解一元二次不等式和指數(shù)不等式而得集合A，B，然后求A與B的交集即可得解.【詳解】解得，即，解得，即，于是有，所以.故選：B3.若直線與平行，則的值為（）A. B. C.或 D.或1【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線平行與系數(shù)之間的關(guān)系，列出等式，求解即可.【詳解】因為直線與平行故可得，且，解得.故選：【點睛】本題考查由直線的位置關(guān)系求參數(shù)值，屬簡潔題.4.如圖，在四棱錐中，平面，M，N分別為，上的點，且，，若，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】以為基底表示，由此求得，進而求得.【詳解】，所以.故選：B5.如圖所示，已知在一個的二面角的棱上，有兩個點，分別是在這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于的線段，且，，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的線性運算可得，兩邊平方，再由向量數(shù)量積的運算性質(zhì)即可得解.【詳解】∵，，∴，∵，∴．∵，∴．∴．故選：A．6.過點且與原點距離最大的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到過點且與垂直的直線為所求直線，再求直線方程即可.【詳解】由題知：過點且與原點距離最大的直線為過點且與垂直的直線.因為，故所求直線為，即.故選：A【點睛】本題主要考查直線方程的求解，數(shù)形結(jié)合為解題的關(guān)鍵，屬于簡潔題.7.三棱錐中，底面ABC，，，D為AB的中點，，則點D到面的距離等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在三角形SAB內(nèi)作AE⊥SB交SB于E，進而依據(jù)條件證明AE⊥面SBC，算出AE的長度，再依據(jù)D為AB的中點得到答案.【詳解】如圖，在三角形中，過A作AE⊥SB交SB于E，因為面，所以，又，，所以面，因為面，所以，而AE⊥SB，且，所以AE⊥面SBC.在三角形SAB中，由勾股定理易得，則由等面積法可得：，因為D為AB的中點，所以D到平面SBC的距離為：.故選：C.8.已知點?是雙曲線的左?右焦點，為坐標(biāo)原點，點在雙曲線的右支上，且滿意，，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，依據(jù)雙曲線的定義及可得，則，然后得出的取值范圍.【詳解】若點在雙曲線的右支上，且滿意，則，則，又因為，所以，即，所以，得，故，又，所以雙曲線離心率的取值范圍是.故選：C.【點睛】求解雙曲線的離心率及離心率的取值范圍時，先要依據(jù)題目條件找出等量關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)于，的齊次式，然后求解的值；解答離心率的取值范圍問題時，也可以通過取特別位置或特別點求解，然后確定離心率的取值范圍.9.已知f（.x）為定義在R上的奇函數(shù)。當(dāng)x>0時，，設(shè)方程f（x）-m=0有四個互不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.[-1，0）（0，1] B.（-1，1）C.（-4，0）（0，4） D.（-1，0）（0，1）【答案】D【解析】【分析】方程有4個互不相等的實根可得函數(shù)與直線有4個交點，結(jié)合圖像即可得出結(jié)果.【詳解】作出分段函數(shù)的圖像，如圖方程有4個互不相等的實根，則函數(shù)與直線有4個交點，當(dāng)時，符合題意，但是R上的奇函數(shù)，有，故，所以m的取值范圍是：.故選：D10.已知奇函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若正實數(shù)，滿意則的最小值是（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由奇函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，，可得，即，所以，化簡后利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】解：因為，所以，因為奇函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，所以，所以，即，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值是.故選：B11.設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先將化為同底數(shù)的冪，利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較、、三個數(shù)的大小關(guān)系，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，，即，由于函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，由于函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，涉及指數(shù)對數(shù)的運算和比較大小，考查推理實力，屬于中等題.關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為上的單調(diào)性再比較.12.懸鏈線是平面曲線，是柔性鏈條或纜索兩端固定在兩根支柱頂部，中間自然下垂所形成的外形.在工程中有廣泛的應(yīng)用，例如懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜都用到了懸鏈線的原理.當(dāng)微積分尚未出現(xiàn)的伽利略時期，伽利略揣測這種形態(tài)是拋物線.直到1691年萊布尼茲和伯努利利用微積分推導(dǎo)出懸鏈線的方程是，其中為有關(guān)參數(shù).這樣，數(shù)學(xué)上又多了一對與e有關(guān)的聞名函數(shù)——雙曲函數(shù)：雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù).關(guān)于雙曲函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（）A.，B.，C.D.【答案】D【解析】【分析】利用新定義分別求出即可推斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可推斷B；對因式分解即可推斷C；利用多項式的乘法法則和同底數(shù)冪的乘法法則即可推斷D.【詳解】A項，，，正確；B項，因為函數(shù)為增函數(shù)，所以，在上遞增，又，所以，即，正確；C項，，正確；D項，，錯誤.故選：D.二、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13.設(shè){i，j，k}是空間向量的單位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，則向量a與b的位置關(guān)系是________.【答案】【解析】【分析】由向量的數(shù)量積運算，易得a·b＝0，從而得垂直關(guān)系.【詳解】∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.∴a⊥b.答案：a⊥b．【點睛】本題主要是考查了向量垂直的條件：數(shù)量積為0，屬于基礎(chǔ)題.14.以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題：①設(shè)、是兩個定點，為非零常數(shù)，若，則的軌跡是雙曲線；②過定圓上肯定點作圓的弦，為原點，若，則動點的軌跡是橢圓；③方程兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線與橢圓有相同的焦點.其中正確命題序號為__________【答案】③④【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義可推斷①的正誤；推出點是的中點，利用垂徑定理和圓的定義可推斷②的正誤；求出方程的兩根，結(jié)合橢圓、雙曲線離心率的取值范圍可推斷③的正誤；求出雙曲線與橢圓的焦點坐標(biāo)，可推斷④的正誤.【詳解】①不正確，若動點的軌跡為雙曲線，則，當(dāng)點在的延長線上時，明顯這種曲線是射線，而非雙曲線；②不正確，，，則是的中點，依據(jù)垂徑定理，圓心與弦的中點連線垂直于這條弦，設(shè)圓心為，那么有，即恒為直角，由于是圓的半徑，為定值，而恒為直角，也就是說，在以為直徑的圓上運動，為直徑所對的圓周角，所以點的軌跡是一個圓；③正確，方程的兩根分別為和，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④正確，雙曲線與橢圓的焦點坐標(biāo)都是.故答案為：③④.【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：干脆將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：假如能確定動點的軌跡滿意某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點法：用動點的坐標(biāo)、表示相關(guān)點的坐標(biāo)、，然后代入點的坐標(biāo)所滿意的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)、之間的干脆關(guān)系難以找到時，往往先找尋、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.15.已知直線：，：，若，則實數(shù)的值為___________.【答案】【解析】【分析】分類探討直線斜率是否存在即可求解.【詳解】若直線的斜率存在，即，直線的斜率，，所以有，即，解得：，若直線的斜率不存在，即，此時，不滿意.綜上：故答案為：16.在中，為上一點，，為上任一點，若，則的最小值是_____________.【答案】.【解析】【分析】由已知結(jié)合向量的共線定理，求得，然后結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因為，且為上任一點，可得，如圖所示，由三點共線，可得，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時，即時，等號成立，所以的最小值是.故答案為：.三、解答題；本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在中，角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡原式，干脆利用余弦定理求的值即可；（2）由（1）可得，利用正弦定理求得．【小問1詳解】在中，由，整理得，又由余弦定理，可得；【小問2詳解】由（1）可得，又由正弦定理，及已知，可得；故.18.平面直角坐標(biāo)系中，圓C過點，，且圓心C在直線上，（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點A的圓C的切線方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)題意建立方程組，解之即可求出結(jié)果；（2）依據(jù)圓心C與點A所在直線的斜率，進而求出過點A的圓C的切線的斜率，然后依據(jù)點斜式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，則，解得，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因為直線的斜率為，則所求切線的斜率為，所以過點A的圓C的切線方程為，即.19.如圖，在直四棱柱中，，，，．求證：；【答案】證明見解析【解析】【分析】依據(jù)直四棱柱的性質(zhì)可得，，再由，即可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】證明：在直四棱柱中平面，平面．所以，．又，所以，，兩兩相互垂直，以點為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，．所以，所以．20.如圖，已知拋物線和拋物線的焦點分別為和，是拋物線上一點，過且與相切的直線交于，兩點，是線段的中點．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若點在以線段為直徑的圓上，求直線的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）依據(jù)拋物線的方程求出焦點的坐標(biāo)，干脆求解即可；（2）設(shè)直線的方程，與兩個方程分別聯(lián)立，利用一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、圓的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】解：（Ⅰ）由題意得，，，所以．（Ⅱ），設(shè)，設(shè)直線的方程為，所以，因此的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組，消去，得，因為直線與相切，所以，得，聯(lián)立方程組，消去，得，設(shè)，，，則，，所以，．因為點在以線段為直徑的圓上，所以，即，解得，經(jīng)檢驗滿意題意，故直線的方程是．【點睛】關(guān)鍵點睛：依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率是解題的關(guān)鍵.21.某地區(qū)上年度電價為0.8元/kw·h，年用電量為akw·h.本年度安排將電價降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kw·h.經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數(shù)為k)．該地區(qū)電力的成本價為0.3元/kw·h.（1）寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)k=0.2a，當(dāng)電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%?【答案】（1）；（2）0.60元/kw·h.【解析】【分析】(1)依據(jù)給定條件列出下調(diào)電價后年用電量的表達式，再列出收益函數(shù)關(guān)系即可作答.(2)由(1)的結(jié)論結(jié)合給定的條件列出不等式組，求解即可作答.【小問1詳解】設(shè)下調(diào)后的電價為x元/kw·h，依題意知，用電量增至()kw·h，電力部門的收益為：，所以電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式是：.【小問2詳解】依題意，，化簡整理得：，解此不等式組得：，所以當(dāng)電價最低定為0.60元/kw·h時，仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%.22.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的圖象過點．（Ⅰ）求的表達式；（Ⅱ）若方程，恰有個互異的實數(shù)根，求實數(shù)的取值集合；（Ⅲ）若對隨意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先利用已知條件得到的值，再利用奇函數(shù)得到，進而得到的值，經(jīng)檢驗即可得出結(jié)果；（Ⅱ）先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷的單調(diào)性，再利用奇偶性和單調(diào)性得到，把在恰有個互異的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為在恰與軸有兩個交點，求解即可；（Ⅲ）先利用函數(shù)為上的減函數(shù)且為奇函數(shù)，得到，把問題轉(zhuǎn)化為對隨意的恒成立，令，利用二次函數(shù)