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核心考點4獨立性檢驗核心學(xué)問·精歸納假設(shè)有兩個分類變量X和Y,它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為:y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+dK2=eq\f(nad-bc2,a+ba+cb+dc+d)(其中n=a+b+c+d為樣本容量).典例研析·悟方法典例2(2024·全國一模)某學(xué)校號召學(xué)生參與“每天熬煉1小時”活動,為了了解學(xué)生參與活動的狀況,隨機調(diào)查了100名學(xué)生一個月(30天)完成熬煉活動的天數(shù),制成如下頻數(shù)分布表:天數(shù)[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]人數(shù)4153331116(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為,學(xué)生參與體育熬煉天數(shù)X近似聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值),且σ=6.1,若全校有3000名學(xué)生,求參與“每天熬煉1小時”活動超過21天的人數(shù)(精確到1);(2)調(diào)查數(shù)據(jù)表明,參與“每天熬煉1小時”活動的天數(shù)在(15,30]的學(xué)生中有30名男生,天數(shù)在[0,15]的學(xué)生中有20名男生,學(xué)校對當(dāng)月參與“每天熬煉1小時”活動超過15天的學(xué)生授予“運動達(dá)人”稱號.請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表:性別活動天數(shù)合計[0,15](15,30]男生女生合計并依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,能否認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運動達(dá)人”稱號有關(guān)聯(lián).假如結(jié)論是有關(guān)聯(lián),請說明它們之間如何相互影響.附:參考數(shù)據(jù):P(μ-α≤X≤μ+σ)=0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973.χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d)(n=a+b+c+d)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】(1)由頻數(shù)分布表知μ=eq\f(4×2.5+15×7.5+33×12.5+31×17.5+11×22.5+6×27.5,100)=14.9,則X~N(14.9,6.12),∵P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827,∴P(X>21)=P(X>14.9+6.1)=eq\f(1-0.6827,2)=0.15865,∴3000×0.15865=475.95≈476,∴參與“每天熬煉1小時”活動超過21天的人數(shù)約為476人.(2)由頻數(shù)分布表知,熬煉活動的天數(shù)在[0,15]的人數(shù)為:4+15+33=52,∵參與“每天熬煉1小時”活動的天數(shù)在[0,15]的學(xué)生中有20名男生,∴參與“每天熬煉1小時”活動的天數(shù)在[0,15]的學(xué)生中有女生人數(shù):52-20=32,由頻數(shù)分布表知,熬煉活動的天數(shù)在(15,30]的人數(shù)為31+11+6=48,∵參與“每天熬煉1小時”活動的天數(shù)在(15,30]的學(xué)生中有30名男生,∴參與“每天熬煉1小時”活動的天數(shù)在(15,30]的學(xué)生中有女生人數(shù):48-30=18,列聯(lián)表如下:性別活動天數(shù)合計[0,15](15,30]男生203050女生321850合計5248100零假設(shè)為H0:學(xué)生性別與獲得“運動達(dá)人”稱號無關(guān),χ2=eq\f(100×30×32-20×182,50×50×52×48)≈5.769>3.841,依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即:可以認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運動達(dá)人”稱號有關(guān);而且此推斷犯錯誤的概率不大于0.05,依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到,男生、女生中活動天數(shù)超過15天的頻率分別為:eq\f(30,50)=0.6和eq\f(18,50)=0.36,可見男生中獲得“運動達(dá)人”稱號的頻率是女生中獲得“運動達(dá)人”的稱號頻率的eq\f(0.6,0.36)≈1.67倍,于是依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理,我們可以認(rèn)為男生獲得“運動達(dá)人”的概率大于女生,即男生更簡單獲得運動達(dá)人稱號.方法技巧·精提煉獨立性檢驗的一般步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.(2)依據(jù)公式χ2=eq\f(nad-bc2,a+ba+cb+dc+d)計算.(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系,作統(tǒng)計推斷.加固訓(xùn)練·促提高(2024·日照模擬)第五代移動通信技術(shù)(簡稱5G)是最新一代蜂窩移動通信技術(shù),是實現(xiàn)人、機、物互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施.某市工信部門為了解本市5G手機用戶對5G網(wǎng)絡(luò)的滿足狀況,隨機抽取了本市200名5G手機用戶進行調(diào)查,所得狀況統(tǒng)計如下:滿足狀況年齡合計50歲以下50歲或50歲以上滿足95不滿足25合計120200(1)完成上述列聯(lián)表,并估計本市5G手機用戶對5G網(wǎng)絡(luò)滿足的概率;(2)依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,分析本市5G手機用戶對5G網(wǎng)絡(luò)滿足與年齡在50歲以下是否有關(guān).附:α0.100.050.0250.0100.001xα2.7063.8415.0246.63510.828χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d),其中n=a+b+c+d.【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下:滿足狀況年齡合計50歲以下50歲或50歲以上滿足9555150不滿足252550合計12080200所以本市5G手機用戶對5G網(wǎng)絡(luò)滿足的概率約為eq\f(150,200)=eq\f(3,4).(2)零假設(shè)為H0:本市5G手機用戶對5G網(wǎng)絡(luò)滿足與年齡在50歲以下無關(guān).依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計算可得χ2=eq\f(200×95×25-25×552,120
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