第2課時基本不等式的綜合應(yīng)用(學(xué)案)-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)教材配套學(xué)案(人教A版2019必修第一冊)含答案及解析_第1頁
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文檔簡介

2.2基本不等式第2課時基本不等式的綜合應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.能夠運用基本不等式解決生活中的最值問題(難點);2.能夠?qū)κ阶舆M(jìn)行變形,構(gòu)造定值;3.會用基本不等式解決恒成立問題(重點)。1、邏輯推理2、數(shù)學(xué)運算3、數(shù)學(xué)建?!咀灾鲗W(xué)習(xí)】一.基本不等式與最值已知x、y都是正數(shù),1.若積xy等于定值P,那么當(dāng)x=y時,和x+y有最小值_____.2.若和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時,積xy有最大值_____.二.運用基本不等式求最值的三個條件:1.“一正”:x,y必須是;2.“二定”:求積xy的最大值時,應(yīng)看和x+y是否為;求和x+y的最小值時,應(yīng)看積xy是否為.3.“三相等”:當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,等號成立。三.通過變形構(gòu)造定值的方法如果題目中基本不等式不能滿足“和為定值”或“積為定值”,就不能直接用基本不等式求最值。需要通過變形,構(gòu)造定值,常見方法有:配項法;配系數(shù)法;分式型基本不等式;常值代換法“1”的代換?!拘≡嚺5丁克急娼馕?正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若a>0,b>0,且a+b=16,則ab≤64.()(2)若ab=2,則a+b的最小值為2eq\r(2).()(3)當(dāng)x>1時,函數(shù)y=x+eq\f(1,x-1)≥2eq\r(\f(x,x-1)),所以函數(shù)y的最小值是2eq\r(\f(x,x-1)).()(4)若x∈R,則x2+2+eq\f(1,x2+2)≥2.()【經(jīng)典例題】題型一利用基本不等式求最值例1當(dāng)x>0時,y=eq\f(12,x)+4x的最小值為()A.4B.8C.8eq\r(3) D.16【跟蹤訓(xùn)練】1已知x<0,求最大值。思路點撥:利用基本不等式求最值要滿足“一正”、“二定”、“三相等”,現(xiàn)在x<0,通過變形再利用基本不等式求最值。題型二變形構(gòu)造定值—配項法點撥:求和的最小值時,可以通過配項,使兩個因式的積為定值。一般情況下,兩個因式會為整式和分式,將整式部分配成分式分母的形式。變形的過程中要保證恒等變形。例2當(dāng)x>1時,求函數(shù)y=x+eq\f(1,x-1)最小值?!靖櫽?xùn)練】2若x<3,則實數(shù)f(x)=eq\f(4,x-3)+x的最大值為________.題型三變形構(gòu)造定值—配系數(shù)法點撥:求積的最大值時,通過因式中的系數(shù)變形,使兩個因式的和為定值。變形的過程中要保證恒等變形。例3已知0<x<eq\f(1,2),求f(x)=eq\f(1,2)x(1-2x)的最大值。【跟蹤訓(xùn)練】3若0<x<eq\f(1,2),則函數(shù)y=xeq\r(1-4x2)的最大值為()A.1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)題型四變形構(gòu)造定值—分式型基本不等式點撥:分式型基本不等式有兩種形式當(dāng)分子次數(shù)高于分母次數(shù)時,將分母當(dāng)成整體,將分子改寫成含有分母整體的形式,便可構(gòu)造出積為定值的形式,利用基本不等式求解。當(dāng)分子次數(shù)低于分母次數(shù)時,分子分母同時除以分子,將分子化為常數(shù),分母利用基本不等式求解。例4已知x>0,則函數(shù)的最小值為_______.【跟蹤訓(xùn)練】4已知x>0,求y=eq\f(2x,x2+1)的最大值.題型五變形構(gòu)造定值—常值代換法“1”的代換點撥:對于已知題型,通常采用這種方法。(其中a,b均為正數(shù))例5?!靖櫽?xùn)練】5已知x>0,y>0且eq\f(1,x)+eq\f(9,y)=1,則x+y的最小值為________.題型六利用基本不等式解決實際問題例6如圖,動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間,一面可利用原有的墻,其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.(1)現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料,每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時,可使每間虎籠面積最大?(2)若使每間虎籠面積為24m2,則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時,可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最?。俊靖櫽?xùn)練】6某食品廠定期購買面粉,已知該廠每天需用面粉6噸,每噸面粉的價格1800元,面粉的保管費及其他費用為平均每噸每天3元,購買面粉每次需支付運費900元.求該廠多少天購買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費用最少?【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.設(shè)x,y為正數(shù),則(x+y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(4,y)))的最小值為()A.6B.9C.12 D.152.若-4<x<1,則y=eq\f(x2-2x+2,2x-2)()A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1 D.有最大值-13.已知a>0,b>0,若不等式eq\f(2,a)+eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a+b)恒成立,則m的最大值等于()A.10B.9C.8 D.74.已知x,y>0,且滿足eq\f(x,3)+eq\f(y,4)=1,則xy的最大值為________.5.已知正數(shù)x,y滿足x+y=1,則eq\f(4,x+2)+eq\f(1,y+1)的最小值為________.6.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x=________噸.7.(1)已知x<3,求f(x)=eq\f(4,x-3)+x的最大值;(2)設(shè)x>0,y>0,且2x+8y=xy,求x+y的最小值.

【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】2PS24【小試牛刀】(1)√(2)×(3)×(4)×【經(jīng)典例題】例1C解析:∵x>0,∴eq\f(12,x)>0,4x>0.∴y=eq\f(12,x)+4x≥2eq\r(\f(12,x)·4x)=8eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(12,x)=4x,即x=eq\r(3)時取最小值8eq\r(3),∴當(dāng)x>0時,y的最小值為8eq\r(3).【跟蹤訓(xùn)練】1解:∵x<0,∴通過變形,∵∴當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,取得最大值。例2解:通過配項得;當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2時,等號成立,取得最小值3.【跟蹤訓(xùn)練】2-1解析:∵x<3,∴x-3<0,∴f(x)=eq\f(4,x-3)+x=eq\f(4,x-3)+(x-3)+3=-eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3-x)+3-x))+3≤-2eq\r(\f(4,3-x)·3-x)+3=-1,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4,3-x)=3-x,即x=1時取“=”號.∴f(x)的最大值為-1.例3解:因為0<x<eq\f(1,2),所以1-2x>0,f(x)=eq\f(1,2)x(1-2x)=eq\f(1,4)·2x(1-2x)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x+(1-2x),2)))eq\s\up12(2)=eq\f(1,16),當(dāng)且僅當(dāng)2x=1-2x,即x=eq\f(1,4)時等號成立,所以f(x)的最大值為eq\f(1,16).【跟蹤訓(xùn)練】3C解析:∵0<x<eq\f(1,2),∴1-4x2>0,∴xeq\r(1-4x2)=eq\f(1,2)×2xeq\r(1-4x2)≤eq\f(1,2)×eq\f(4x2+1-4x2,2)=eq\f(1,4),當(dāng)且僅當(dāng)2x=eq\r(1-4x2),即x=eq\f(\r(2),4)時等號成立.例4-2解析:∵x>0,∴當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,等號成立?!靖櫽?xùn)練】4解:y=eq\f(2x,x2+1)=eq\f(2,x+\f(1,x)).∵x>0,∴x+eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))=2,∴0<y≤eq\f(2,2)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=eq\f(1,x),即x=1時,等號成立.故y的最大值為1.例5解:當(dāng)且僅當(dāng)【跟蹤訓(xùn)練】516解析:法一(1的代換):因為eq\f(1,x)+eq\f(9,y)=1,所以x+y=(x+y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(9,y)))=10+eq\f(y,x)+eq\f(9x,y).因為x>0,y>0,所以eq\f(y,x)+eq\f(9x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))=6,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)=eq\f(9x,y),即y=3x①時,取“=”.又eq\f(1,x)+eq\f(9,y)=1,②解①②可得x=4,y=12.所以當(dāng)x=4,y=12時,x+y的最小值是16.法二(消元法):由eq\f(1,x)+eq\f(9,y)=1,得x=eq\f(y,y-9).因為x>0,y>0,所以y>9.所以x+y=eq\f(y,y-9)+y=y(tǒng)+eq\f(y-9+9,y-9)=y(tǒng)+eq\f(9,y-9)+1=(y-9)+eq\f(9,y-9)+10.因為y>9,所以y-9>0,所以(y-9)+eq\f(9,y-9)≥2eq\r((y-9)·\f(9,y-9))=6.當(dāng)且僅當(dāng)y-9=eq\f(9,y-9),即y=12時,取“=”,此時x=4,所以當(dāng)x=4,y=12時,x+y的最小值是16.例6解:(1)設(shè)每間虎籠長xm,寬為ym,則由條件知4x+6y=36,即2x+3y=18.設(shè)每間虎籠面積為S,則S=xy.由于2x+3y≥2eq\r(2x·3y)=2eq\r(6xy),∴2eq\r(6xy)≤18,得xy≤eq\f(27,2),即S≤eq\f(27,2),當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時,等號成立.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+3y=18,,2x=3y,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=4.5,,y=3.))故每間虎籠長為4.5m,寬為3m時,可使面積最大.(2)由條件知S=xy=24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l,則l=4x+6y.∵2x+3y≥2eq\r(2x·3y)=2eq\r(6xy)=24,∴l(xiāng)=4x+6y=2(2x+3y)≥48,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時,等號成立.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x=3y,,xy=24,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=6,,y=4.))故每間虎籠長6m,寬4m時,可使鋼筋網(wǎng)總長最小.【跟蹤訓(xùn)練】6解設(shè)該廠每隔x天購買一次面粉,其購買量為6x噸.由題意可知,面粉的保管等其他費用為3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1).設(shè)平均每天所支付的總費用為y1元,則y1=eq\f(1,x)[9x(x+1)+900]+6×1800=9x+eq\f(900,x)+10809≥2eq\r(9x·\f(900,x))+10809=10989(元),當(dāng)且僅當(dāng)9x=eq\f(900,x),即x=10時,等號成立.所以該廠每10天購買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費用最少.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.B解析:(x+y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(4,y)))=x·eq\f(1,x)+eq\f(4x,y)+eq\f(y,x)+y·eq\f(4,y)=1+4+eq\f(4x,y)+eq\f(y,x)≥5+2eq\r(\f(4x,y)·\f(y,x))=9.2.D解析:∵-4<x<1,∴x-1>0,∴當(dāng)且僅當(dāng)x-1=eq\f(1,x-1),即x=0時等號成立.3.B解析:因為a>0,b>0,所以2a+b>0,所以要使eq\f(2,a)+eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a+b)恒成立,只需m≤(2a+b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)+\f(1,b)))恒成立,而(2a+b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)+\f(1,b)))=4+eq\f(2a,b)+eq\f(2b,a)+1≥5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立,所以m≤9.4.3解析:∵x,y>0,∴eq\f(x,3)+eq\f(y,4)=1≥2eq\r(\f(xy,12)),得xy≤3,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,3)=eq\f(y,4)即x=eq\f(3,2),y=2時,取“=”號,∴xy的最大值為3.5.eq\f(9,4)解析:正數(shù)x,y滿足x+y=1,即有(x+2)+(y+1)=4,則eq\f(4,x+2)+eq\f(1,y+1)=eq\f(1,4)[(x+2)+(y+1)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x+2)+\f(1,y+1)))=eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5+\f(x+2,y+1)+\f(4(y+1),x+2)))≥eq\f(1,

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