福建省2025屆高三高考模擬數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024-2025學(xué)年高三畢業(yè)班高考模擬試題數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解一元二次不等式，得到集合中元素具體范圍，再由集合運(yùn)算求得.【詳解】集合，集合，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得解.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.3.已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】借助向量坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.【詳解】，，由，則有，解得.故選：D.4.方程在內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡，整體替換得到方程的根；【詳解】由題意，，即，可得或，解得或又因?yàn)椋?，故選：D.5.已知某圓臺(tái)上下底面半徑（單位：cm）分別為2和5，高（單位：cm）為3，則該圓臺(tái)的體積（單位：）是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，直接利用圓臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)上下底面半徑分別為2cm和5cm，高為3cm，所以該圓臺(tái)的體積為.故選：C6.對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A.或 B.或 C.或 D.【答案】A【解析】【分析】通過轉(zhuǎn)換主參變量的方法來求得的取值范圍.【詳解】依題意，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，整理得，令，則，解得或.故選：A7.在鈍角中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理、兩角差的正弦公式和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由正弦定理得，所以，因?yàn)殁g角中，，當(dāng)為銳角時(shí)，，得，則，所以，則，所以；當(dāng)為鈍角時(shí)，，得，則，所以，則，所以；綜上：．故選：C.8.當(dāng)時(shí)，恒成立，則整數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先說明時(shí)不等式對(duì)恒成立，再說明時(shí)不等式對(duì)不成立，即可說明整數(shù)的最大值為.【詳解】若，則對(duì)任意，由，知，故原不等式對(duì)x>1恒成立；若，則由，知，故原不等式對(duì)不成立.所以整數(shù)的最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量X，Y，其中，已知隨機(jī)變量X的分布列如下表X12345pmn若，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由分布列的性質(zhì)和期望公式求出可判斷ABC；由方差公式可判斷D.【詳解】由可得：①，又因?yàn)?，故C正確.所以，則②，所以由①②可得：，故A正確，B錯(cuò)誤；,，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列命題中正確的是（）A.函數(shù)的周期是B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在上是減函數(shù)D.函數(shù)的最大值為【答案】AD【解析】【分析】A：根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可；B：根據(jù)余弦型函數(shù)對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可C：利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可；D：根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合余弦弦型函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】A：由正弦型函數(shù)的周期公式可知：該函數(shù)的周期為，故本命題是真命題；B：，令：，，所以不是該函數(shù)的對(duì)稱軸，因此本命題是假命題；C：，由，即，所以該函數(shù)在上是增函數(shù)，所以本命題是假命題；D：，顯然該函數(shù)的最大值為，因此本命題是真命題，故選：AD11.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（）A.雙曲線的離心率B.為定值C.AB的最小值為3D.若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則【答案】ABD【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離求出，可求出離心率，判斷A，利用點(diǎn)到線距離結(jié)合在雙曲線上證明為定值判斷B，聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)求出的距離的最小值判斷C，對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)、，則，由，兩式相加和兩式相減化簡可得，，從而得到，可判斷D.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，圓與漸近線相切，則，即，所以，則，故A正確；由A選項(xiàng)可得雙曲線的兩條漸近線方程為，設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到兩漸近線的距離，，所以為定值，故B正確；過與漸近線垂直的方程分別與漸近線組成方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，，解得交點(diǎn)，同理得，因?yàn)闉殡p曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)、，則，又、在雙曲線的兩條漸近線上，則，兩式相減可得，即，兩式相加可得，即，又，，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，最小值與最大值之和為________．【答案】【解析】【分析】先利用三角函數(shù)恒等變換將函數(shù)化為的形式，再由可得的兩個(gè)零點(diǎn)為，再結(jié)合可求出函數(shù)的最小正周期，從而可求出，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】，由，得，得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，所以的最小正周期為，所以，得，所以，由，得，則，所以，得，所以，所以最小值與最大值之和為，故答案為：.13.已知雙曲線，，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于Ax1,y1，Bx2,y2兩點(diǎn)，若，【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義分析可知為等腰直角三角形，且，，結(jié)合勾股定理列式求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，，且，可知為等腰直角三角形，則，，且，即，整理可得，所以雙曲線的離心率.故答案為：.14.已知平面向量，的夾角為，與的夾角為，，和在上的投影為x，y，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知與的夾角為，從而根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)投影的定義表示出，最后對(duì)化簡變形通過正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄浚膴A角為，與的夾角為，所以與的夾角為，所以根據(jù)正弦定理可得，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以在上的投影為，在上的投影為，所以因?yàn)椋?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，所以的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查平面向量的綜合問題，考查向量投影，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量投影的概念表示出，考查計(jì)算能力，屬于難題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知銳角ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，．（1）求角B的大小；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性求出角B.（2）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解即得.【小問1詳解】在銳角中，，則，，于是，即，而，則，所以.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，由正弦定理得，而，則，，所以的取值范圍是.16.由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，且【解析】【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，即可得線面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可用未知數(shù)表示出直線與平面所成的角的正弦值，計(jì)算即可得解.【小問1詳解】連接、，由分別為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，故平面，正四棱臺(tái)中，且，則四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；【小問2詳解】正四棱臺(tái)中，上下底面中心的連線底面，底面為正方形，故，故可以為原點(diǎn)，、、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，側(cè)面與底面所成角為，則，則，，，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)滿足題設(shè)，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，，即，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，故，解得或（舍），故，故線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，此時(shí)線段的長為.17.小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發(fā)給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C，如果C猜中，A、B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)A、B、C猜中的概率分別為，，，且A、B、C是否猜中互不影響．（1）求A恰好獲得8元的概率；（2）設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；（2）求出X的可能取值，分別計(jì)算其概率，列出分布列，再利用期望公式求出期望即可；【小問1詳解】若A恰好獲得8元紅包，則結(jié)果為A未猜中，B未猜中，C猜中，故A恰好獲得8元的概率為；【小問2詳解】X的可能取值為0，8，12，24，則，，，，所以X的分布列為：X081224P數(shù)學(xué)期望為18.設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù),如果對(duì)任意的,均成立,則稱是“平緩函數(shù)”.（1）若,試判斷是否為“平緩函數(shù)”并說明理由;（2）已知的導(dǎo)函數(shù)存在,判斷下列命題的真假:若是“平緩函數(shù)”,則,并說明理由.（3）若函數(shù)是“平緩函數(shù)”,且是以為周期的周期函數(shù),證明:對(duì)任意的,均有.【答案】（1）不是,證明見解析（2）真命題,證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）可令,根據(jù)“平緩函數(shù)”的定義判斷即可;（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義,令,結(jié)合“平緩函數(shù)”的定義即可證明;（3）因?yàn)槭且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù),不妨設(shè),分為,根據(jù)函數(shù)是“平緩函數(shù)”即可證明;【小問1詳解】令,因?yàn)?則,,不滿足對(duì)任意的,均成立,故不是“平緩函數(shù)”.【小問2詳解】命題為真命題.因?yàn)?不妨令,因?yàn)槭恰捌骄徍瘮?shù)”,則,所以,故命題為真命題.【小問3詳解】因?yàn)槭且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù),不妨設(shè),當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)是“平緩函數(shù)”,則;當(dāng)時(shí),不妨設(shè),則,因?yàn)槭且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù),則,因?yàn)楹瘮?shù)是“平緩函數(shù)”,所以所以對(duì)任意的,均有,因?yàn)槭且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù),所以對(duì)任意的,均有.【點(diǎn)睛】本題主要是根據(jù)函數(shù)是“平緩函數(shù)”定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷和證明,考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力,關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:第二問借助導(dǎo)函數(shù)的定義進(jìn)行證明;第三問利用是以為周期的周期函數(shù)得,進(jìn)行適當(dāng)放縮即可證明.19.點(diǎn)列，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)按照一定關(guān)系進(jìn)行排列．過曲線上的點(diǎn)作曲線的切線與曲線交于，過點(diǎn)作曲線的切線與曲線交于點(diǎn)，依此類推，可得到點(diǎn)列：，，，…，，…，已知．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）記點(diǎn)到直線（即直線）的距離為，（I）求證：；（II）求證：，若值與（I）相同，則求此時(shí)的最小值．【答案】（1），；（2）（I）證明見解析；（II）證明見解析，最小值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再聯(lián)立切線方程與曲線方程求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）（I）求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求出，再利用等比數(shù)