大學(xué)物理學(xué)(第三版)課后習(xí)題答案

1-4在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示.當(dāng)人以%(m-s-)

的速率收繩時(shí)，試求船運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的大小.

圖1-4

解：設(shè)人到船之間繩的長度為人此時(shí)繩與水面成。角，由圖可知

/2=/72+52

將上式對時(shí)間，求導(dǎo)，得

山d/

根據(jù)速度的定義，并注意到/,s是隨，減少的,

d/ds

ds1dliv

即匕“=---=-----=-v=——0

dr5drsncos。

或

將看臺(tái)再對/求導(dǎo)，即得船的加速度

1-6一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為a=4+3tm-s-2,開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，x=5m,v=0,求該質(zhì)點(diǎn)在/

=IOs時(shí)的速度和位置.

解：*.*a=—=4+3，

dr

別離變量，得dv=(4+3r)d/

2

積分，得v=4t+-t+c]

2

由題知，/=(),v0=0,???G=0

故v=4/+-/2

2

dr3

又因?yàn)関=—=4r+-r2

dr2

別離變量，dx=(4r+-r2)df

2

積分得X=272+-/3+C

2■2

由題知r=0,x0=5,Z.c2=5

故x=2r2+-z3+5

2

所以r=l()s時(shí)

1-10以初速度%=20nrs”拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60°的夾角,

求：（1）球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑為：（2）落地處的曲率半徑/?2?

（亮示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系）

解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示.

題1-10圖

⑴在最高點(diǎn)，

P\

vf(20xcos60°)?

?i

=10m

⑵在落地點(diǎn)，

v2=v0=20m-s

而an.=gxcos60"

(20)2

=80m

10xcos60°

-

1-13一船以速率v,=30km-鼠沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率v2=40km-h'

沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何？

解：(1)大船看小艇，那么有七依題意作速度矢量圖如題1T3圖(a)

(b)

題1-13圖

由圖可知-1

v2l==50kmh

口3

方向北偏西0=arctan—=arctan-=36.87°

匕4

⑵小船看大船，那么有戶口二目一弓，依題意作出速度矢量圖如題1T3圖(b),同上法，得

2-2一個(gè)質(zhì)量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面(傾角為。)上以初速度叫運(yùn)動(dòng)，％的方向與斜面底邊

的水平線平行，如下圖，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道.

解：物體置于斜面上受到重力機(jī)g,斜面支持力N.建立坐標(biāo)：取m方向?yàn)閄軸，平行斜而與X釉垂

⑷當(dāng)t=/時(shí)，其速度為

即速度減至1，0的1.

e

2-10一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為％m?s-1當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為

分（a-R）N（a,。為常數(shù)），其中/以秒為單位：（1）假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈

走完槍筒全長所需時(shí)間：（2）求子彈所受的沖量.（3）求子彈的質(zhì)量.

解：（1）由題意，子彈到槍口時(shí)，有

尸二（〃一次）二o,得/二q

b

⑵子彈所受的沖量

將，二q代入，得

b

⑶由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量

2/3以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在鐵錘擊第一次

時(shí)，能將小釘擊入木板內(nèi)1cm,問擊第二次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時(shí)的速度相同.

解：以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向內(nèi)為>坐標(biāo)正向，如題2-13圖，那么鐵釘所受阻力為

題2T3圖

第一錘外力的功為A

A=Jj'dy=[-fdy=￡ky^y=g①

式中廣是鐵錘作用于釘上的力，/是木板作用于釘上的力，在d/f0時(shí)，/'=-/.

設(shè)第二錘外力的功為那么同理，有

由題意，有

Ik

2

A2=,4=A(—mv)=5③

即-kyl-

2--22

所以，%=6

于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為

2-15一根勁度系數(shù)為尤的輕彈簧A的下端，掛一根勁度系數(shù)為心的輕彈簧8，8的下端

一重物C,。的質(zhì)量為M,如題2-15圖.求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長量之比和彈性勢

能之比.

觸：彈簧A、6及重物C受力如題2T5圖所示平衡時(shí)，有

題2-15圖

又入=3

所以靜止時(shí)兩彈簧伸長量之比為

彈性勢能之比為

2-17由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為/叫和"4的滑塊組成

如題277圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為左，自然長度等于水平距離3C,〃％與桌面間的摩擦系數(shù)為〃，

最初叫靜止于4點(diǎn)，AB=BC=h,繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下叫，求它下落到B處時(shí)的速率.

解:取3點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn)，那么由功能原理，有

式中△/為彈簧在A點(diǎn)時(shí)比原長的伸長量，那么

聯(lián)立上述兩式，得

題2-17圖

2-19質(zhì)量為M的大木塊具有w徑為R的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示.質(zhì)量為陽的小立方體從

曲面的頂端滑卜，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從靜止開始，求小木塊脫

離大木塊時(shí)的速度.

解：機(jī)從〃上下滑的過程中,機(jī)械能守恒，以，地球?yàn)橄到y(tǒng),以最低點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn),那么

有

又下滑過程，動(dòng)量守恒，以〃?，M為系統(tǒng)那么在機(jī)脫離M瞬間，水平方向有

聯(lián)立，以上兩式，得

習(xí)題八

8-1電量都是i7的三個(gè)點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn).試問：

⑴在這三角形的中心放一個(gè)什么樣的電荷，就可以使這四個(gè)電荷都

到達(dá)平衡(即每個(gè)電荷受其他三個(gè)電荷的庫侖力之和都為零)?⑵這

種平衡與三角形的邊長有無關(guān)系？

解：如題8-1圖示

(1)以A處點(diǎn)電荷為研究對象，由力平衡知：/為負(fù)電荷

解得正-圣

(2)與三角形邊長無關(guān).

題8-1圖題8-2圖

8-2兩小球的質(zhì)量都是〃z,都用長為/的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它們帶有

相同電量，靜止時(shí)兩線夾角為2。，如題8-2圖所示.設(shè)小球的半徑和

線的質(zhì)量都可以忽略不計(jì)，求每個(gè)小球所帶的電量.

解：如題8-2圖示

解得4=2/sine14%)mgtas夕

8-3根據(jù)點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式E=3,當(dāng)被考察的場點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近

4友仆廠

(r-O)時(shí)，那么場強(qiáng)一8,這是沒有物理意義的，對此應(yīng)如何理解?

解：人丁J務(wù)僅對點(diǎn)電荷成立，當(dāng)--0時(shí)，帶電體不能再視為點(diǎn)電

4兀4廠

荷，再用上式求場強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有一定形狀大小，考慮

電荷在帶電體上的分布求出的場強(qiáng)不會(huì)是無限大.

8-4在真空中有A,8兩平行板，相對距離為小板面積為S,其帶電

量分別為七和“.那么這兩板之間有相互作用力/,有人說尸上，

4在

又有人說，因?yàn)槭?，七二v，所以片Q.試問這兩種說法對嗎？

￡QSqS

為什么？/到底應(yīng)等于多少？

解:題中的兩種說法均不對.第一種說法中杷兩帶電板視為點(diǎn)電荷是

不對的，第二種說法把合場強(qiáng)芯=二看成是一個(gè)帶電板在另一帶電板

處的場強(qiáng)也是不對的.正確解容許為一個(gè)板的電場為后=工，另一

板受它的作用力/=這是兩板間相互作用的電場力.

24s2%S

8-5一電偶極子的電矩為「=〃，場點(diǎn)到偶極子中心0點(diǎn)的距離為?

矢量產(chǎn)與，的夾角為氏（見題8-5圖），Mr?Z.試證〃點(diǎn)的場強(qiáng)￡在廠方

向上的分量已和垂直于「的分量E,分別為

_“cos。_psin。

5

r2痛0，，,°4^37or

證:如題8-5所示，將"分解為與「平行的分量psin。和垂直于r的分量

psin。.

r?/

，場點(diǎn)尸在「方向場強(qiáng)分量

垂直于「方向，即，方向場強(qiáng)分量

題8-5圖題8-6圖

8-6長/=15.0cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度

2=5.0x10-90nfi的正電荷.試求：(1)在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線B

端相距%=5.0cm處尸點(diǎn)的場強(qiáng)；(2)在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中

點(diǎn)相距4二5.0cm處。點(diǎn)的場強(qiáng).

解：如題8-6圖所示

⑴在帶電直線上取線元1，其上電量四在p點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)為

用/=15cm,2=5.0xl0^Cm-1,a=12.5cm代入得

J=6.74xl()2NC一方向水平向右

(2)同理d4=—匚4V方向如題8-6圖所示

~4兀4x'+d；

由于對稱性jd4=0,即&只有y分量，

..]癡I

?4兀統(tǒng)/+d；舊+仇

-1

1^2=5.0x10^Cem,/=15cm,d2=5cm代入得

4=%=14.96x1()2NC。方向沿》軸正向

8一7一個(gè)半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為汨求環(huán)心處。點(diǎn)

的場強(qiáng).

解：如8-7圖在圓上取

題8-7圖

位/=2d/=R&@,它在。點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)大小為

筆方向沿半徑向外

那么d￡v=dEsinq)=---sin喝。

4TI%R

積分紇=工品小如心最

；.E=EK=-^—,方向沿x軸正向.

2軟￡小

8-8均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長為/,總電量為g.(1)求這正

方形軸線上離中心為廠處的場強(qiáng)E；(2)證明：在->>/處，它相當(dāng)于點(diǎn)

電荷“產(chǎn)生的場強(qiáng)E.

解:如8-8圖示，正方形一條邊上電荷里在p點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng)d片方向如圖,

4

大小為

d現(xiàn)在垂直于平面上的分量dE±=d昂cos￡

題8-8圖

由于對稱性，P點(diǎn)場強(qiáng)沿0P方向，大小為

8-9(1)點(diǎn)電荷“立于一邊長為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場

中穿過立方體的一個(gè)面的電通量；(2)如果該場源點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立

方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，這時(shí)穿過立方體各面的電通量是多少?*⑶如題

8-9(3)圖所示，在點(diǎn)電荷9的電場中取半徑為R的圓平面.4在該平面

軸線上的A點(diǎn)處，求：通過圓平面的電通量.Q=arctad)

x

解：⑴由高斯定理任小言

立方體六個(gè)面，當(dāng)夕在立方體中心時(shí)，每個(gè)面上電通量相等

，各面電通量中-4

6%

⑵電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立方體延伸為邊長2〃的立方體，使4處于邊長2〃

的立方體中心，那么邊長2〃的正方形上電通量中

6%

對于邊長〃的正方形，如果它不包含〃所在的頂點(diǎn)，那么①一詈―，

如果它包含4所在頂點(diǎn)那么①”0.

如題8-9(a)圖所示.題8-9(3)圖WJ

題8-9(a)圖題8-9(b)圖題8-9(c)圖

⑶;通過半徑為R的圓平面的電通量等于通過半徑為癡”的球

冠面的電通量，球冠面積*

?，①"/s一夕口工

4兀(R2+1)2/J.2+千2

*關(guān)于球冠面積的計(jì)算：見題8-9(c)圖

8-10均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm,外半徑10cm,電荷體密度為2Xio-5C-m-3

求距球心5cm,8cm,12cm各點(diǎn)的場強(qiáng).

解：高斯定理，后-dS=王,E4TU-2=21

當(dāng)廠=5cm時(shí)，＞q=(),左=0

r=8cm時(shí),〃與(J-扇

p-(r3-^)、

E=—----；—?3.48xl04NC-',方向沿半徑向外.

4兀4廣

廠=12cm時(shí)，=(%；-4)

p—[r^一肅)

E=—---------°4.10x1(VNCT沿半徑向外.

4兀加廣

8-11半徑為與和此(公>&)的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分

別帶有電量4和-4,試求：⑴Y&；(2)R,<r<R2;(3)/*>此處各

點(diǎn)的場強(qiáng).

解：高斯定理拄.d晨孕

取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積S=2“/

那么￡E?d5=E27tH

對(1)/<&>4=0,>=0

(2)&<r<R?￡q=/A

???E=4沿徑向向外廣“

2?！?。/°\%

(3)r>R2=0

??E=0

題8-12圖

A"

8-12兩個(gè)無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為力和

外,試求空間各處場強(qiáng).

解：如題872圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為③與

。2，

兩面間，后二，一(5—b,)萬巴面夕卜，E=(cr,*6)歷

2%2/-

“面外，后二」—(?十,而

2%

五:垂直于兩平面由6面指為內(nèi)面.

8-13半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為0,假設(shè)在球內(nèi)挖

去一塊半徑為的小球體，如題8-13圖所示.試求：兩球心。與。

點(diǎn)的場強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場是均勻的.

解:將此帶電體看作帶正電夕的均勻球與帶電-0的均勻小球的組合，

見題8T3圖(a).

(1)+夕球在o點(diǎn)產(chǎn)生電場鼠=o,

一

球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場及―70。

???。點(diǎn)電場Mod'\

3%d

-TU\'p

⑵“在。產(chǎn)生電場鼠，=^--.00'

4兀4d

“球在0,產(chǎn)生電場品，=0

o,點(diǎn)電場瓦=￡)

題8T3圖(a)題8-13圖(b)

⑶設(shè)空腔任一點(diǎn)。相對o的位矢為尸，相對。點(diǎn)位矢為尸(如題

873(b)圖)

那么及,=與，

一?，

3%

，腔內(nèi)場強(qiáng)是均勻的.

8-14一電偶極子由打l.OXl(r6c的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷組成，兩電荷

距離d=0.2cm,把這電偶極子放在1.0X10%?C?的外電場中，求外

電場作用于電偶極子上的最大力矩.

解：V電偶極子日在外場E中受力矩

==q區(qū)代入數(shù)字

8-15兩點(diǎn)電荷/=L5X1(TC,%=3.0義10一匕相距『42cm,要把它們

之間的距離變?yōu)镚=25cm,需作多少功？

解：4=「戶5=「^4=皿(，一，)

M幾4兀/廣4?！辍\r2

外力需作的功4=-4=-6.55xlO-6J

題8-16圖

8-16如題8T6圖所示，在A,B兩點(diǎn)處放有電量分別為+心-夕的點(diǎn)

電荷，A3間距離為2R,現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷夕。從。點(diǎn)經(jīng)過半圓弧

移到。點(diǎn)，求移動(dòng)過程中電場力作的功.

解：如題8T6圖示

q“q

??A=q0(Uo-Uc)=

%R

8-17如題8T7圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為之的正電

荷,兩直導(dǎo)線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于R.試求環(huán)中心。點(diǎn)處的

場強(qiáng)和電勢.

解：（1）由于電荷均勻分布與對稱性，A8和CQ段電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生的場

強(qiáng)互相抵消，取d/=Rd，

那么dq=2Rd。產(chǎn)生。點(diǎn)而如圖，由于對稱性，。點(diǎn)場強(qiáng)沿），軸負(fù)方向

題8T7圖

----x---Ls「in?(,--)萬-、sin—.乃J1

4兀以R22

⑵"電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生電勢，以心=0

同理C。產(chǎn)生U,=上一In2

4兀％

半圓環(huán)產(chǎn)生”二工-

4兀4R4%

，1112+上-

——a4%。

8-18一電子繞一帶均勻電荷的長直導(dǎo)線以2X10~?s"的勻速率作

圓周運(yùn)動(dòng).求帶電直線上的線電荷密度.（電子質(zhì)量加。=9.IX10⑹kg,

電子電量廠1.60X1019C）

解:設(shè)均勻帶電直線電荷密度為4,在電子軌道處場強(qiáng)

電子受力大小F”〃二白

?eAv2

??-------=m—

2兀r

得"空包貯=12.5x10』C.n「

e

8-19空氣可以承受的場強(qiáng)的最大值為片30kV?cml超過這個(gè)數(shù)值時(shí)

空氣要發(fā)生火花放電.今有一高壓平行板電容器，極板間距離為

j=0.5cm,求此電容器可承受的最高電壓.

解：平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場

/.t/=￡d=1.5xl04V

8-20根據(jù)場強(qiáng)左與電勢u的關(guān)系后,求以下電場的場強(qiáng)：（1）

點(diǎn)電荷9的電場；（2）總電量為"半徑為A的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn);

*（3）偶極子〃=夕/的〃>>/處（見題8-20圖）.

P（r.e）

/

解：（1）點(diǎn)電荷u=———"6——題8-20圖

，人一半釬為，.方向單位矢量.

or4?！辏ǎ敢?/p>

⑵總電量打半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)電勢

?云_HU-qx；

一嬴正嚴(yán)

⑶偶極子”/在〃>>/處的一點(diǎn)電勢

上6U“cos。

???Er=----=-------7

dr2nsQr

8-21證明：對于兩個(gè)無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板（題8-21圖）來說,

⑴相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相反；（2）相

背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相同.

證：如題8-21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體院8的四個(gè)平面均勻帶電的電荷

AB

(S)

d(I二二二二D

。2。3。4

p

面密度依次為O'],%,~-

題8-21圖

⑴那么取與平面垂直且底面分別在4、B內(nèi)部的閉合柱面為高斯面

時(shí)，有

cr2+<73=0

說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相反：

⑵在A內(nèi)部任取一點(diǎn)P,那么其場強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶

電平面產(chǎn)生的場強(qiáng)疊加而成的，即

又?.>(T2+(T3=0

??(7]=(T,

說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號(hào)相同.

8-22三個(gè)平行金屬板A,B和c的面積都是200cnKA和8相距4.0mm,

A與c相距2.0mm.B,C都接地，如題8-22圖所示.如果使A板帶正

電3.OX1(TC,略去邊緣效應(yīng)，問8板和C板上的感應(yīng)電荷各是多少?

以地的電勢為零，那么A板的電勢是多少？

解:如題8-22圖示，令4板左側(cè)面電荷面密度為內(nèi)，右側(cè)面電荷面密

度為g

題8-22圖

=%8d八8

且6+內(nèi)啜

,一0

IfU=~(y?S==—2x107C

-

qB=—(T2S=—lxIOC

(2)UA=EAC6AC=2d*=2.3x1()3V

￡Q

8-23兩個(gè)半徑分別為與和此［與＜小)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球

殼帶電氣，試計(jì)算：

⑴外球殼上的電荷分布及電勢大??；

⑵先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷

分布及電勢；

*⑶再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢的

改變量.

解：(1)內(nèi)球帶電“；球殼內(nèi)外表帶電那么為-小外外表帶電為+外

且均勻分布，其電勢

題8-23圖

⑵外殼接地時(shí)，外外表電荷“入地，外外表不帶電，內(nèi)外表電荷仍

為-q.所以球殼電勢由內(nèi)球+鄉(xiāng)與內(nèi)外表M產(chǎn)生：

(3)設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為那么外殼內(nèi)外表帶電量為-/,外殼外

外表帶電量為(電荷守恒)，此時(shí)內(nèi)球殼也勢為零，且

得/4q

K2

外球殼上電勢

8-24半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相

距為d=3R處有一點(diǎn)電荷+小試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量.

解：如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為“，那么球接地時(shí)電勢

%=0

8-24圖

由電勢疊加原理有：

得人；

8-25有三個(gè)大小相同的金屬小球，小球1,2帶有等量同號(hào)電荷，相距

甚遠(yuǎn)，其間的庫侖力為F。.試求：

⑴用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1,2后移去，小球1,2

之間的庫侖力；

⑵小球3依次交替接觸小球1,2很屢次后移去，小球1,2之間的庫

侖力.

解：由題意知片廣上

4?！┊a(chǎn)

⑴小球3接觸小球1后，小球3和小球1均帶電0=3，

小球3再與小球2接觸后，小球2與小球3均帶電＜=%

4

3

?itq2c

?.?此時(shí)小球1與小球2間相互作用力—="

⑵小球3依次交替接觸小球1、2很屢次后，每個(gè)小球帶電量均為

22

一q—qA

，小球1、2間的作用力5=—=：玲

4兀名廠9

*8-26如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S,相距為

d,分別維持電勢UJU,UjO不變.現(xiàn)把一塊帶有電量4的導(dǎo)體薄片

平行地放在兩極板正中間，片的面積也是S,片的厚度略去不計(jì).求

導(dǎo)體薄片的電勢.

解:依次設(shè)A,C,8從上到下的6個(gè)外表的面電荷密度分別為6,%,

%，a，%,%如下圖.由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持外,=。

可得以下6個(gè)方程

題8-26圖

解得力=。6=箓

ND

所以C8間電場邑二里二匕+古

%d2%S

注意：因?yàn)镃片帶電，所以假設(shè)。片不帶電，顯然〃

8-27在半徑為用的金屬球之外包有一層外半徑為6的均勻電介質(zhì)球

殼，介質(zhì)相對介電常數(shù)為乙，金屬球帶電0?試求：

（1）電介質(zhì)內(nèi)、外的場強(qiáng)；

⑵電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢；

⑶金屬球的電勢.

解:利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理停短=27

⑴介質(zhì)內(nèi)因＜廠＜七）場強(qiáng)人名&=產(chǎn)1；

4兀廠4兀

介質(zhì)外（一＜凡）場強(qiáng)人號(hào)以=事

4兀廠4兀斗廣

（2）介質(zhì)外（-＞與）電勢u=J；嬴t=#-

介質(zhì)內(nèi)（凡＜/＜七）電勢

{/=「左內(nèi)位+『嬴.西⑶金屬球的電勢u暇顯.近+「用卜?西

8-28如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對介電

常數(shù)為3的電介質(zhì).試求：在有電介質(zhì)局部和無電介質(zhì)局部極板上自

由電荷面密度的比值.

解:如題8-28圖所示,充滿電介質(zhì)局部場強(qiáng)為瓦，真空局部場弓雖為后,

自由電荷面密度分別為外與巧

由，力.d?=Z＜/o彳導(dǎo)A=6，D?=cr2

而=々E],。2=依后

?o"D'

■■——二——=8r

題8-28圖題8-29圖

8一29兩個(gè)同軸的圓柱面，長度均為/,半徑分另U為弋和&（及2＞與），且

/＞＞此-0兩柱面之間充有介電常數(shù)￡的均勻電介質(zhì).當(dāng)兩圓柱面分別

帶等量異號(hào)電荷Q和-。時(shí)，求：

⑴在半徑廠處（與＜「＜此=,厚度為dr,長為/的圓柱薄殼中任一點(diǎn)

的電場能量密度和整個(gè)薄殼中的電場能量；

⑵電介質(zhì)中的總電場能量；

⑶圓柱形電容器的電容.

解:取半徑為廠的同軸圓柱面⑸

那么壞.#=2.仍

當(dāng)（a＜廣＜?。r(shí)，￡q=Q

⑴電場能量密度吁a=苧市

1￡8兀2夕2/2

薄殼中dW=vvdu=——g,227rrdrl=0”

&2夕2/2而人/

⑵電介質(zhì)中總電場能量w=]dW=r"=Qln8

JuJ/?,4兀功/471HR1

⑶電容：???卬=宜

2C

.廠。_271d

??c=—=-------

2W\n(RJR})

*8-30金屬球殼A和3的中心相距為-4和3原來都不帶電.現(xiàn)在A的

中心放一點(diǎn)電荷％,在3的中心放一點(diǎn)電荷私，如題8-30圖所示.試

求：

(1)/對生作用的庫侖力，陰有無加速度；

⑵去掉金屬殼B,求/作用在處上的庫侖力，此時(shí)私有無加速度.

解：(1)小作用在％的庫侖力仍滿足庫侖定律，即

但外處于金屬球殼中心，它受合?力?為零，沒有加速度.

⑵去掉金屬殼3,%作用在％上的庫侖力仍是尸=/—華，但此時(shí)生

4兀%廣

受合力不為零，有加速度.

題8-30圖題8-31圖

8-31如題8-31圖所示,?〃20//F.上電

G=025F,C2=0.15AF,C=0.G

壓為50V.求：uAB.

解：電容G上電量

電容c2與c3并聯(lián)c23=c2+g

其上電荷03=Qi

?_。23_G5_25x50

??u）=--------=------------=----------------

6123。2335

8-32G和J兩電容器分另IJ標(biāo)明“200pF、500V〃和“300pF、900V〃,

把它們串聯(lián)起來后等值電容是多少?如果兩端加上1000V的電壓，

是否會(huì)擊穿？

解：（1）G與c2串聯(lián)后電容

⑵串聯(lián)后電壓比

"=G=H而q+u,=iooo

12

U2C,2

/.t/,=600V,力=400V

即電容G電壓超過耐壓值會(huì)擊穿，然后G也擊穿.

8-33將兩個(gè)電容器c和a充電到相等的電壓u以后切斷電源，再將每

一電容器的正極板與另一電容器的負(fù)極板相聯(lián).試求：

⑴每個(gè)電容器的最終電荷；

⑵電場能量的損失.

解：如題8-33圖所示，設(shè)聯(lián)接后兩電容器帶電分別為e%

題8-33圖

/+%=/0一夕20二°|。一。2〃

那么魚=G￡k

%。2〃2

U\=U?

解得⑴/=半瀉〃%二半瀉U

⑵電場能量損失

8-34半徑為叫=2.0cni的導(dǎo)體球，外套有?同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、

外半徑分別為此=4.0cm和%=5.0cm,當(dāng)內(nèi)球帶電荷°二3.0X10KC

時(shí)，求：

⑴整個(gè)電場儲(chǔ)存的能量；

⑵如果將導(dǎo)體殼接地，計(jì)算儲(chǔ)存的能量；

⑶此電容器的電容值.

解:如圖，內(nèi)球帶電。,外球殼內(nèi)外表帶電-°,外外表帶電。

題8-34圖

⑴在,?＜與和R2＜r＜R3區(qū)域

在《＜廠＜七時(shí)耳=Qr.

4花廣

…時(shí)人聲

4兀4廠

，在N＜廠＜此區(qū)域

在廠＞&區(qū)域

總能量W=W1+W,=-^-(-——-+—)

128兀4R&R；

⑵導(dǎo)體殼接地時(shí)，只有與＜「＜凡時(shí)后=上1,W-0

4兀4廣

O?11

W=W.=*—(----------)=I.01xl04J

8兀4R1R2

⑶電容器電容C=W=4/*-《)

Q-RR?

習(xí)題九

9-1在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)片的數(shù)值是否都相等?為何不把作用于運(yùn)

動(dòng)電荷的磁力方向定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度月的方向？

解：在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)月的數(shù)值一般不相等.因?yàn)榇艌鲎饔糜?/p>

運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度月的方向有關(guān)，而且與電荷速

度方向有關(guān)，即磁力方向并不是唯一由磁場決定的，所以不把磁力

方向定義為月的方向.

9-2（1）在沒有電流的空間區(qū)域里，如果磁感應(yīng)線B?

是平行直線，磁感應(yīng)強(qiáng)度月的大小在沿磁感應(yīng)線和a

垂直它的方向上是否可能變化（即磁場是否一定是殖1

均勻的）？_

⑵假設(shè)存在電流，上述結(jié)論是否還對？

解：（1）不可能變化，即磁場一定是均勻的.

如圖作閉合回路時(shí)〃可證明區(qū)=瓦

⑵假設(shè)存在電流，上述結(jié)論不對.如無限大均勻帶電平面兩側(cè)之磁

力線是平行直線，但方方向相反，即月尸瓦.

9-3用安培環(huán)路定理能否求有限長一段載流直導(dǎo)線周圍的磁場？

答：不能，因?yàn)橛邢揲L載流直導(dǎo)線周圍磁場雖然有軸對稱性，但不是

穩(wěn)恒電流，安培環(huán)路定理并不適用.

9-4在載流長螺線管的情況下,我們導(dǎo)出其內(nèi)部8=4?！?,外面B=0,

所以在載流螺線管

外面環(huán)繞一周（見題9-4圖）的環(huán)路積分

%.?d/=0

但從安培環(huán)路定理來看，環(huán)路L中有電流I穿過，環(huán)路積分應(yīng)為

上瓦卜?=

這是為什么？

解:我們導(dǎo)出%=〃。山建外=。有一個(gè)假設(shè)的前提，即每匝電流均垂直于

螺線管軸線.這時(shí)圖中環(huán)路L上就一定沒有電流通過，即也是

J=A）^/=0,與（瓦卜.d'/OT'O是不矛盾的.但這是導(dǎo)線橫截面

積為零，螺距為零的理想模型.實(shí)際上以上假設(shè)并不真實(shí)存在，所

以使得穿過L的電流為/,因此實(shí)際螺線管假設(shè)是無限長時(shí)，只是以

的軸向分量為零，而垂直于軸的圓周方向分量少=皿,「為管外一點(diǎn)

2加

到螺線管軸的距離.

題9-4圖

9-5如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，能否肯定這個(gè)區(qū)域

中沒有磁場?如果它發(fā)

生偏轉(zhuǎn)能否肯定那個(gè)區(qū)域中存在著磁場？

解：如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，不能肯定這個(gè)區(qū)

域中沒有磁場，也可能存在互相垂直的電場和磁場，電子受的電場

力與磁場力抵消所致.如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)乜不能肯定那個(gè)區(qū)域存在著

磁場，因?yàn)閮H有電場也可以使電子偏轉(zhuǎn).

9-6磁感應(yīng)強(qiáng)度8=2.0Wb?m2的均勻磁場，方向沿工軸正方向，

如題9-6圖所示.試求：（1）通過圖中心〃面的磁通量；（2）通過圖中

人階面的磁通量；（3）通過圖中回4面的磁通量.

解：如題9-6圖所示

⑴通過"〃面積S1的磁通是

⑵通過WC面積邑的磁通量

⑶通過a雨面積S3的磁通量

.=月S=2X().3X().5xcosG=2x().3x().5x-=0.24Wb(或曰一0.24Wb)

題9-7圖一4.哈)

9-7如題9-7圖所示，AN、co為長直導(dǎo)線，與c為圓心在。點(diǎn)的一段圓

弧形導(dǎo)線，其半徑為R.假設(shè)通以電流/,求。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

解：如題9-7圖所示，。點(diǎn)磁場由43、Rc、co三局部電流產(chǎn)生.其

中

A3產(chǎn)生片=0

CD產(chǎn)生B一”,方向垂直向里

-12/?

f

段產(chǎn)生反二也4(sin9O0-sin60')=M(l-也)，方向_L向里

4〃2.2

2

J綜=4+生+層=然(1-4+夕，方向J?向里?

2成26

9-8在真空中，有兩根互相平行的無限長直導(dǎo)線乙和人,相距0.1m,

通有方向相反的電流，/尸20八，/2=10A,如題9-8圖所示.A,8兩點(diǎn)

與導(dǎo)線在同平面內(nèi).這兩點(diǎn)與導(dǎo)線4的距離均為5.0cm.試求A,B

兩點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，以及磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)的位置.

Zi=20A

Z2=10A

題9~8圖

解：如題9-8圖所示，瓦方向垂直紙面向里

⑵設(shè)月=0在人外側(cè)距離4為「處

那么———必=0

2萬。.十0.1）2m.

解得r=0.1m

9-9如題9-9圖所示，兩根導(dǎo)線沿半徑方向引向鐵環(huán)上的A,B兩點(diǎn),

并在很遠(yuǎn)處與電源相連.圓環(huán)的粗細(xì)均勻，求環(huán)中心。的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

解：如題9-9圖所示，圓心。點(diǎn)磁場由直電流As和碗及兩段圓弧上

電流與所產(chǎn)生，但Aoo和38在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為零。且

人二電阻R?二9

77"電阻R|-2n-0?

人產(chǎn)生5方向J_紙面向外

_4（/（21一。）

產(chǎn)生反方向JL紙面向里

?用_/1（2乃一0）_

■■------------------1

B2120

有為=瓦十瓦=0

9-10在一半徑R=1.0cm的無限長半圓柱形金屬薄片中，自上而下

地有電流/二5.0A通過，電流分布均勻,如題9To圖所示.試求圓柱

軸線任一點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

e-B*題9-10圖

解：因?yàn)榻饘倨瑹o限長，所以圓柱軸線上任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向

都在圓柱截面上，取坐標(biāo)如題9-10圖所示，取寬為出的一無限長直

電流d/='d/,在軸上尸點(diǎn)產(chǎn)生此與R垂直，大小為

??■氏士嘿普蠕sin*n(勺/3.T

月=6.37x10-5：1

9-11氫原子處在基態(tài)時(shí)，它的電子可看作是在半徑4=0.52X10，^的軌道上

作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率產(chǎn)2.2Xl(Tcm?sT.求電子在軌道中心所產(chǎn)生的磁感應(yīng)

強(qiáng)度和電子磁矩的值.

解：電子在軌道中心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

如題9-11圖，方向垂直向里，大小為

電子磁矩匕在圖中也是垂直向里，大小為

題9-11圖題9-12圖

9-12兩平行長直導(dǎo)線相距d=40cni,每根導(dǎo)線載有電流/尸，2=20A,如

題9-12圖所示.求：

⑴兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)與該兩導(dǎo)線等距的一點(diǎn)A處的磁感應(yīng)強(qiáng)度;

⑵通過圖中斜線所示面積的磁通量.(wlOcm,/=25cm).

解：⑴%=上今+上今=4x21方向J.紙面向外

2*)2%)

⑵取面元dS=/dr

9/3一根很長的銅導(dǎo)線載有電流1OA,設(shè)電流均勻分布.在導(dǎo)線內(nèi)部作

一平面S,如題9-13圖所示.試計(jì)算通過S平面的磁通量(沿導(dǎo)線長度

方向取長為1m的一段作計(jì)算).銅的磁導(dǎo)率〃=〃。.

解：由安培環(huán)路定律求距圓導(dǎo)線軸為「處的磁感應(yīng)強(qiáng)度

題

9-13圖

磁通量中,”=］從用=紐=10-6Wb

J(s)J。2成24乃

9-14設(shè)題9-14圖中兩導(dǎo)線中的電流均為8A,對圖示的三條閉合曲線

分別寫出安培環(huán)路定理等式右邊電流的代數(shù)和.并討論：

⑴在各條閉合曲線上，各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度占的大小是否相等？

⑵在閉合曲線c上各點(diǎn)的月是否為零?為什么？

解：pdZ=8MO

⑴在各條閉合曲線上，各點(diǎn)月的大小不相等.

⑵在閉合曲線。上各點(diǎn)月不為零.只是2的環(huán)路積分為零而非每點(diǎn)

月二0.

題9-14圖題9-15圖

9-15題9-15圖中所示是一根很長的長直圓管形導(dǎo)體的橫截面，內(nèi)、

外半徑分別為明好導(dǎo)體內(nèi)載有沿軸線方向的電流/,且,均勻地分

布在管的橫截面上.設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率試證明導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)

（〃<「<〃）的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小由下式給出：

解：取閉合回路/=271r（a<r<b）

那么｛月.（17=B271r

■氏

??-2/rr（b2-a2）

9-16一根很長的同軸電纜，由一導(dǎo)體圓柱（半徑為Q和一同軸的導(dǎo)

體圓管（內(nèi)、外半徑分別

為〃，C）構(gòu)成，如題9T6圖所示.使用時(shí)，電流/從一導(dǎo)體流去，從另

一導(dǎo)體流回.設(shè)電流都是均勻地分布在導(dǎo)體的橫截面上，求：（1）導(dǎo)

體圓柱內(nèi)（-Vo）,（2）兩導(dǎo)體之間（?！磸S<〃），⑶導(dǎo)體圓筒內(nèi)（〃<

「Vc）以及⑷電纜外（->c）各點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小

解：￡月&=舊

..［產(chǎn)

（1）r<aB271r=u（］—-

R2

（2）a<r<bB271r=

（3）b<r<cB271r="http://0/—------+//0/

C-b~

（4）r>cBlm'=0

R

題9T6圖題9T7圖

9-17在半徑為R的長直圓柱形導(dǎo)體內(nèi)部，與軸線平行地挖成一半徑為

「的長直圓柱形空腔，兩軸間距離為明且橫截面如題9T7圖所

示.現(xiàn)在電流I沿導(dǎo)體管流動(dòng)，電流均勻分布在管的橫截面上，而電

流方向與管的軸線平行.求：

(1)圓柱軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。?/p>

⑵空心局部軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小.

解：空間各點(diǎn)磁場可看作半徑為R,電流力均勻分布在橫截面上的圓

柱導(dǎo)體和半徑為,?電流-/2均勻分布在橫截面上的圓柱導(dǎo)體磁場之

和.

⑴圓柱軸線上的。點(diǎn)泮的大?。?/p>

電流6產(chǎn)生的片=。，阻流-人產(chǎn)生的磁場

-R―M2

02皿R?一戶)

⑵空心局部軸線上。，點(diǎn)3的大小:

電流右產(chǎn)生的用=0,

電流/產(chǎn)生的右旦々

2乃(R?--)

??=2萬面_，)

題9-18圖

9-18如題9T8圖所示，長直電流"附近有一等腰直角三角形線框,

通以電流小二者

共面.求△"C的各邊所受的磁力.

解：FAH=\\dlxB

尸"八〃的=*方向垂直A8向左

271d1.71(1

鼠=J》d7x月方向垂直4c向下，大小為

同理心方向垂直8。向上，大小

?.?d/=上

cos45

...七二廣上里色_=叫1上

J02acos45°及兀d

B

9-19在磁感應(yīng)強(qiáng)度為月的均勻磁場中，垂直于磁場方向的平面內(nèi)有一

段載流彎曲導(dǎo)線，電流為/,如題9-19圖所示.求其所受的安培力.

解：在曲線上取此

那么成乂月

???d7與月夾角＜〃，與＞=［不變，月是均勻的.

2

?一廣〃一pb——~~*一

??工/，=Jjd/xB=/(Jd/)xB=MZ?xB

方向_L向上，大小%=BIab

D.

題9-20圖z：

9-20如題9-20圖所示，在長直導(dǎo)線A8內(nèi)通以電流/120A,在矩形線圈

C。瓦'中通有電流，2=10A,45與線圈共面，且C。，石F都與AB平

行.?=9.0cm,/?=20.Ocm,d=i,0cm,求：

⑴導(dǎo)線"的磁場對矩形線圈每邊所作用的力；

⑵矩形線圈所受合力和合力矩.

解：（1）%方向垂直CD向左，大小

同理心方向垂直在向右，大小

心方向垂直b向上，大小為

戶初方向垂直石。向下，大小為

-5

FED=FCF=9.2X10N

（2）合力F=&FFE+%+%方向向左，大小為

合力矩而=2「月

?.,線圈與導(dǎo)線共面

???PJIB

M-0.

B

題9-21圖

9-21邊長為/=0.Im的正三角形線圈放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的均勻

磁場中，線圈平面與磁場方向平行.如題9-21圖所示，使線圈通以電

流/二10A,求：

(1)線圈每邊所受的安培力；

(2)對。0,軸的磁力矩大?。?/p>

⑶從所在位置轉(zhuǎn)到線圈平面與磁場垂直時(shí)磁力所作的功.

解：(1)Fhc=IlxB=O

%="x月方向，紙面向夕卜，大小為

月=底片方向JL紙面向里,大小

⑵P-￡

后x月沿9方向，大小為

⑶磁力功A=/g-/)

?0.=0①、『B

1-4

22

/.A=/—4/B=4.33XI0-J

9-22一正方形線圈，由細(xì)導(dǎo)線做成，邊長為“，共有N匝，可以繞通

過其相對兩邊中點(diǎn)的一個(gè)豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng).現(xiàn)在線圈中通有電流/,

并把線圈放在均勻的水平外磁場月中，線圈對其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為人

求線圈繞其平衡位置作微小振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)周期T.

解：設(shè)微振動(dòng)時(shí)線圈振動(dòng)角度為。(0=<P?,B>),那么

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律J^-=-NIa2Bs\n0、-NIa2B6

即d-0NkrB八八

-dt-2+----J---0=0

，振動(dòng)角頻率(!)=

周期

9-23—長直導(dǎo)線通有電流\=20A,旁邊放一導(dǎo)線外，其中通有電流

/2=10A,且兩者共面，如題9-23圖所示.求導(dǎo)線他所受作用力對。點(diǎn)

的力矩.

解：在M上取dr,它受力

d戶向上，大小為

d1對。點(diǎn)力矩dM=『