傳感器的基本特性與指標(biāo)

章傳感器技術(shù)基礎(chǔ)

--基本特性與指標(biāo)

理想傳感器和傳感器的誤差因素傳感器的一般數(shù)學(xué)模型傳感器的靜、動(dòng)態(tài)特性傳感器的互換性及其他特性要求2021/6/2711.理想傳感器應(yīng)具有的特點(diǎn)1）傳感器只敏感特定輸入量，輸出只對(duì)應(yīng)特定輸入；2）傳感器的輸出量與輸入量呈惟一、穩(wěn)定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最好為線性關(guān)系；3）傳感器的輸出量可實(shí)時(shí)反映輸入量的變化。實(shí)際中，傳感器在特定的、具體的環(huán)境中使用，其結(jié)構(gòu)、元器件、電路系統(tǒng)以及各種環(huán)境因素均可能影響傳感器的整體性能。2.1理想傳感器和傳感器的誤差因素2021/6/272影響傳感器性能的因素傳感器誤差通過傳感器得到的測(cè)量值與被測(cè)量的真值之差。傳感器的誤差來源：1)介入誤差

源于敏感元件的介入對(duì)被測(cè)系統(tǒng)的環(huán)境造成影響。2)應(yīng)用誤差

源于使用者對(duì)具體傳感器原理的認(rèn)識(shí)不足或設(shè)計(jì)缺陷。3)特性參數(shù)誤差源于傳感器本身的特性參數(shù)；生產(chǎn)傳感器和用戶考慮最多的誤差。4)動(dòng)態(tài)誤差源于被測(cè)參數(shù)變化時(shí)傳感器反應(yīng)滯后5)環(huán)境誤差各種環(huán)境參數(shù)變化均可能帶來誤差2021/6/2731．靜態(tài)模型

靜態(tài)時(shí)（輸入量對(duì)時(shí)間t的各階導(dǎo)數(shù)為零），可分析非線性系統(tǒng)，即有：x——輸入量；y——輸出量；a0——傳感器的零位誤差；a1——傳感器的靈敏度，常用K或S表示。a2,a3,…,an——待定常數(shù)（非線性項(xiàng)的系數(shù)）。2.2傳感器的一般數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型用于研究傳感器的輸出—輸入特性。一般將檢測(cè)靜態(tài)量和動(dòng)態(tài)量時(shí)的特性分開考慮。原因：檢測(cè)靜態(tài)量、動(dòng)態(tài)量的傳感器，需要以帶隨機(jī)變量的非線性微分方程作為數(shù)學(xué)模型，但造成數(shù)學(xué)分析困難。2021/6/274最理想的特性。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)化傳感器的理論分析、計(jì)算，為標(biāo)定和數(shù)據(jù)處理帶來很大方便，避免非線性補(bǔ)償環(huán)節(jié)，便于后續(xù)制作安裝、調(diào)試，提高測(cè)量精度。(a)(b)(c)2021/6/2752．動(dòng)態(tài)模型

傳感器靜態(tài)特性好，并不一定能很好地反映輸入量隨時(shí)間變化尤其是快速變化的狀況，可能因此而存在嚴(yán)重的動(dòng)態(tài)誤差。傳感器動(dòng)態(tài)分析常用的數(shù)學(xué)模型有時(shí)域的微分方程和對(duì)應(yīng)頻域的傳遞函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)以及狀態(tài)方程。線性系統(tǒng)的特點(diǎn)（疊加性、頻率保持性）使得動(dòng)態(tài)分析只分析線性系統(tǒng)。1）微分方程*采用微分方程描述傳感器：2021/6/2762）傳遞函數(shù)用拉氏變換將適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（微分方程）轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)域（S域）的數(shù)學(xué)模型，可得相應(yīng)的傳遞函數(shù)，以便于求解。由控制理論知，對(duì)上式所表示的傳感器，其傳遞函數(shù)為式中Y(s)、X(s)是初始條件為零時(shí)，輸出和輸入信號(hào)的拉氏變換。用途：表征傳感器的傳輸、轉(zhuǎn)換特性。它只與傳感器內(nèi)部參數(shù)有關(guān)，與輸入信號(hào)及傳感器的初始狀態(tài)無關(guān)。當(dāng)輸入為正弦信號(hào)，且傳感器穩(wěn)定時(shí)，可用jω代替s。

對(duì)多環(huán)節(jié)組成的串聯(lián)或并聯(lián)組成的傳感器或系統(tǒng)，如果各環(huán)節(jié)阻抗匹配適當(dāng)，求總的傳遞函數(shù)可略去相互間的影響。對(duì)于n個(gè)環(huán)節(jié)組成的串聯(lián)系統(tǒng):對(duì)于n個(gè)環(huán)節(jié)組成的并聯(lián)系統(tǒng)：2021/6/2772.3.1.靜態(tài)特性與指標(biāo)

一．線性度表征傳感器輸入-輸出的實(shí)際靜態(tài)標(biāo)定（校準(zhǔn)）曲線與所選參考（擬合）直線（作為工作直線）之間的吻合（或偏離）程度。

所選擬合直線不同，計(jì)算出的線性度數(shù)值不同。選擇擬合直線應(yīng)保證所得非線性誤差盡量小，且方便使用與計(jì)算。常用擬合方法:1．理論線性度：按系統(tǒng)的理論特性確定，與實(shí)測(cè)值無關(guān)。特點(diǎn)：簡(jiǎn)單方便，但通常估算值偏大。非線性誤差：

線性度常用引用誤差表示：式中，——輸出平均值曲線與基準(zhǔn)擬合直線間的最大誤差；

——理論滿量程輸出值。*標(biāo)定？2.3傳感器的靜、動(dòng)態(tài)特性2021/6/2782．端基線性度以校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的零點(diǎn)輸出平均值和滿量程輸出平均值連成的直線為參考直線所得的線性度式中，--滿量程輸出平均值；

--零點(diǎn)輸出平均值。

特點(diǎn):簡(jiǎn)單，但估計(jì)值偏大，零點(diǎn)不為零3．最小二乘線性度按最小二乘法原理擬合直線，使該直線與傳感器或系統(tǒng)的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的殘差平方和最小。思路：設(shè)擬合直線方程為得偏差：

式中，i=1,2,…,n.（n為測(cè)試點(diǎn)數(shù)）直線擬合原則：應(yīng)使為最小值。由分別對(duì)k和b求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即可求得k和b。圖端基線性度圖最小二乘線性度2021/6/279具體方法*：由式（1），（2）化簡(jiǎn)得（3）×n，（4）×得（1）（2）

（3）（4）

（5）

（6）

2021/6/2710（5）-（6）得（3）×，（4）×得（7）-（8）得（7）

（8）

2021/6/2711此外，擬合直線的斜率k和截距b也可由以下兩式求得：式中，（推導(dǎo)從略）特點(diǎn)：擬合精度高，在數(shù)據(jù)較多的情況下可由計(jì)算機(jī)處理，但其擬合出的直線與標(biāo)定曲線的最大偏差絕對(duì)值不一定最小，最大正負(fù)偏差的絕對(duì)值也不一定相等。例：圖中最小二乘擬合直線偏低，使，從而使估計(jì)值偏大。2021/6/27124．最佳直線線性度（獨(dú)立線性度）

以所謂“最佳直線”作擬合直線，以保證傳感器正反行程校準(zhǔn)曲線對(duì)該直線的正負(fù)偏差相等并且最小。圖中：

特點(diǎn)：擬合精度最高。通常，“最佳直線”可用圖解法或通過計(jì)算機(jī)解算來獲得。當(dāng)標(biāo)定曲線（或平均校準(zhǔn)曲線）為單調(diào)曲線，且測(cè)量上、下限處的正、反行程校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值相等時(shí)，“最佳直線”可采用端點(diǎn)連線平移來獲得，有時(shí)稱該法為端點(diǎn)平行線法。圖最佳直線線性度端點(diǎn)平行線法2021/6/2713二．遲滯誤差（回差）

傳感器或檢測(cè)系統(tǒng)的輸入量由小增大（正行程），繼而自大減?。ǚ葱谐蹋┑臏y(cè)試過程中，對(duì)應(yīng)于同一輸入量，輸出量往往有差別，這種現(xiàn)象稱為遲滯。產(chǎn)生原因：裝置內(nèi)的彈性元件、磁性元件以及機(jī)械部分的摩擦、間隙、積塞灰塵等。遲滯大小常用全量程中最大遲滯與滿量程輸出平均值之比的百分?jǐn)?shù)（引用誤差）表示：式中，為輸出值在正反行程中的最大差值。遲滯誤差2021/6/2714三．重復(fù)性誤差（最大引用隨機(jī)不確定度）

現(xiàn)象：多次重復(fù)測(cè)試時(shí)，在同是正行程或同是反行程中，對(duì)應(yīng)同一輸入的輸出量不同。

重復(fù)性：傳感器或系統(tǒng)在同一工作條件下，輸入量按同方向作全量程連續(xù)多次變動(dòng)時(shí)，所得特性曲線之間的一致程度。

如果用曲線中最大重復(fù)差值定義重復(fù)性誤差，則因標(biāo)定的循環(huán)次數(shù)不同使其最大偏差值不同。因此不可靠。

重復(fù)性誤差為隨機(jī)誤差，可定義如下：式中——為重復(fù)性誤差；

——各測(cè)量點(diǎn)極限誤差的最大值

——全部校準(zhǔn)點(diǎn)正行程與反行程輸出值的標(biāo)準(zhǔn)偏差中之最大值；

k——置信系數(shù)。說明：在校準(zhǔn)時(shí)，若有m個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)，正反行程共可求得2m個(gè)σ，應(yīng)取其中最大的，計(jì)算重復(fù)性誤差。2021/6/2715

標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的計(jì)算方法*（1）貝賽爾公式法：

式中：yi是某校準(zhǔn)點(diǎn)的輸出值；

是輸出值的算術(shù)平均值；n:測(cè)量次數(shù)。（2）極差法：極差：指某一校準(zhǔn)點(diǎn)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式為：式中：Wn是極差；dn極差系數(shù)，其值與測(cè)量次數(shù)n有關(guān)，查表可得。極差系數(shù)表

采用上述方法時(shí)，若有m個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)，正反行程共可求得2m個(gè)

，一般取其中最大者計(jì)算重復(fù)性誤差。n2345678910dn1.411.912.242.482.672.882.963.083.182021/6/2716四．靈敏度（K或S）

定義：輸出量增量與被測(cè)輸入量增量之比?；蛘f明：1°非線性系統(tǒng)的K不為常數(shù)，K用dy/dx表示；

2°靈敏度不是越大越好，靈敏度越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差。

3°有時(shí)用到相對(duì)靈敏度概念：輸出變化量Δy與被測(cè)量的相對(duì)變化率Δx/x之比：*靈敏度的單位問題：如何理解mV/V,V/V/mm？五．分辨力系統(tǒng)在規(guī)定測(cè)量范圍內(nèi)所能檢測(cè)出輸入量的最小變化量。有時(shí)用該值相對(duì)滿量程輸入值之百分?jǐn)?shù)表示，這時(shí)稱為分辨率。注意區(qū)分：分辨力：如1mV分辨率：如0.1%2021/6/2717六．量程又稱“滿度值”，表征傳感器或系統(tǒng)能承受最大輸入量的能力，其數(shù)值是測(cè)量系統(tǒng)示值范圍上、下限之差的模。當(dāng)輸入量在量程范圍以內(nèi)時(shí)，測(cè)量系統(tǒng)正常工作，并保證預(yù)定的性能。七．零位*

當(dāng)輸入量為零時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不為零的數(shù)值。零位值應(yīng)從測(cè)量結(jié)果中設(shè)法消除。八．閾值*（靈敏閾、靈敏限）

使輸出端產(chǎn)生可測(cè)變化量的最小輸入量，即零位附近的分辨力。有時(shí)在零位附近有嚴(yán)重的非線性，形成所謂的“死區(qū)”，則可將死區(qū)的大小作為閾值；更多情況下，閾值主要取決于噪聲大小，因而有時(shí)只給出噪聲電平即可。比較：分辨力--最小的可測(cè)輸入變化量。閾值--最小的可測(cè)輸入量。圖死區(qū)與噪聲電平2021/6/2718九．穩(wěn)定性

又稱長(zhǎng)期穩(wěn)定性，即傳感器或系統(tǒng)在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)保持其性能的能力。一般以室溫條件下經(jīng)過一規(guī)定的時(shí)間間隔后，系統(tǒng)輸出與起始標(biāo)定時(shí)的輸出之間的差異來表示，有時(shí)也用標(biāo)定的有效期來表示。十．漂移*在一定時(shí)間間隔內(nèi)，檢測(cè)系統(tǒng)輸出量存在著有與被測(cè)輸入量無關(guān)的，不需要的變化。常用指標(biāo)：零點(diǎn)（零位）漂移；靈敏度漂移。時(shí)漂（零點(diǎn)或靈敏度隨時(shí)間變化）；溫漂（溫度變化引起的漂移）。2021/6/2719十一.靜態(tài)誤差（精確度）滿量程內(nèi)系統(tǒng)任一點(diǎn)的輸出相對(duì)其理論值的可能偏離（逼近）程度—屬于評(píng)價(jià)靜態(tài)性能的綜合指標(biāo)，表示采用該傳感器或系統(tǒng)作靜態(tài)測(cè)量時(shí)所得數(shù)值的不確定度。一般用方和根或代數(shù)和法計(jì)算。用重復(fù)性、線性度、遲滯三項(xiàng)的方和根或簡(jiǎn)單代數(shù)和表示：

或當(dāng)一個(gè)傳感器或測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)完成并實(shí)際標(biāo)定后，人們有時(shí)以工業(yè)上儀表精度的定義給出其精度，也即以最大引用誤差來度量。2021/6/2720小結(jié)基本功能特性---決定系統(tǒng)的工作能力精度特性---決定系統(tǒng)在什么程度上能完成所要作的測(cè)量衡量傳感器基本功能特性的指標(biāo)--量程（測(cè)量范圍）、靈敏度、分辨力（率）、動(dòng)態(tài)范圍（跨度與絕對(duì)分辨力之比）；精度特性指標(biāo)--線性度、重復(fù)性、遲滯、死區(qū)、漂移、穩(wěn)定性、精確度。2021/6/27212.3.2動(dòng)態(tài)特性

1．傳感器動(dòng)態(tài)分析的特殊性*

測(cè)試動(dòng)態(tài)被測(cè)量時(shí)，要求傳感器不僅能精確測(cè)量被測(cè)信號(hào)幅值大小，還包括其隨時(shí)間變化過程的波形。

要求傳感器：能迅速、準(zhǔn)確和無失真地再現(xiàn)被測(cè)信號(hào)隨時(shí)間變化的波形，使輸出與輸入隨時(shí)間的變化一致，即良好的動(dòng)態(tài)特性。

動(dòng)態(tài)特性反映傳感器對(duì)隨時(shí)間變化的激勵(lì)(輸入)的響應(yīng)(輸出)特性。實(shí)際傳感器除有理想的比例特性環(huán)節(jié)外，還有阻尼、慣性環(huán)節(jié)，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)沒有完全相同的時(shí)間函數(shù)，這種輸出與輸入之差就是動(dòng)態(tài)誤差。動(dòng)態(tài)誤差越大，傳感器動(dòng)態(tài)性能越差。

動(dòng)態(tài)特性研究?jī)?nèi)容：分析動(dòng)態(tài)誤差及產(chǎn)生原因，提出改善動(dòng)態(tài)特性的措施。2021/6/27222．研究與分析傳感器動(dòng)態(tài)特性的方法

動(dòng)態(tài)誤差之一：輸出量達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后與理想輸出量之間的差值；之二：當(dāng)輸入量躍變時(shí)，輸出量由一個(gè)穩(wěn)態(tài)到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)之間的過渡狀態(tài)中的誤差。動(dòng)態(tài)特性分析方法

時(shí)域：瞬態(tài)響應(yīng)法；頻域：頻率響應(yīng)法實(shí)際測(cè)試時(shí)輸入量千變?nèi)f化，往往事先不知（或者以時(shí)間函數(shù)表達(dá)被測(cè)動(dòng)態(tài)信號(hào)的形式多種多樣），工程上以輸入標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)函數(shù)的方法來分析確立評(píng)定動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)。在進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，只能分析傳感器對(duì)特定輸入時(shí)間函數(shù)的響應(yīng)，常用標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)如階躍函數(shù)等。在頻域分析時(shí)一般由正弦輸入得到頻率響應(yīng)特性。

2021/6/27231）傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)*任何周期信號(hào)均可用傅里葉級(jí)數(shù)表示，也即用各階正弦信號(hào)疊加表示。傳感器對(duì)復(fù)雜周期輸入的響應(yīng)，可用對(duì)正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性表示。當(dāng)輸入正弦信號(hào)的振幅在傳感器的線性范圍內(nèi)，為方便運(yùn)算求解，傳感器的輸出可用傳遞函數(shù)H(s)求得。由動(dòng)態(tài)模型—微分方程可得H(s)的表達(dá)式為式中Y(s)、X(s)——初始條件為零的情況下，輸出信號(hào)的拉氏變換和輸入信號(hào)的拉氏變換，、；s＝σ+jω——拉氏變換的自變量。2021/6/2724

傳感器的傳遞函數(shù)表征了其傳輸、轉(zhuǎn)換特性。它只與傳感器內(nèi)部參數(shù)有關(guān)，而與輸入信號(hào)及傳感器的初始狀態(tài)無關(guān)。當(dāng)輸入為正弦信號(hào)，且傳感器穩(wěn)定時(shí)，σ=0，則可用jω代替s，則傳遞函數(shù)為稱為傳感器的頻率響應(yīng)函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻率響應(yīng)或頻率特性。2021/6/2725

上式可用指數(shù)形式表示，即：H(jω)=|H(jω)|=A(ω)

式中A—H(jω)的模，稱A=|H(jω)|=為系統(tǒng)的幅頻特性。物理意義：輸出信號(hào)幅值與輸入信號(hào)的幅值之比相對(duì)于信號(hào)頻率的關(guān)系。稱φ—H(jω)的相角，φ=arctan|H(jω)|=arctan為相頻特性。物理意義：輸出信號(hào)的相位與輸入信號(hào)的相位之差相對(duì)于信號(hào)頻率的關(guān)系。相頻和幅頻特性之間有一定的內(nèi)在聯(lián)系，主要用幅頻特性表相頻特性和頻域特性。2021/6/27263.傳感器典型環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性

動(dòng)態(tài)響應(yīng)也分為瞬態(tài)（階躍信號(hào)）和穩(wěn)態(tài)（正弦信號(hào)）響應(yīng)。傳感器通?？梢暈榱汶A、一階、二階系統(tǒng)或它們組合成的系統(tǒng)。1)

一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)*設(shè)一階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為，可得到瞬態(tài)響應(yīng)

右圖為階躍響應(yīng)曲線，根據(jù)此曲線，可定義各項(xiàng)指標(biāo)如下：(1)時(shí)間常數(shù)τ定義：輸出量上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時(shí)間。當(dāng)t=0時(shí)，響應(yīng)曲線的初始斜率為1/τ。τ越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快，穩(wěn)定時(shí)間越短。圖一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)2021/6/2727(2)響應(yīng)時(shí)間ts

*（調(diào)節(jié)時(shí)間，過渡過程時(shí)間）在響應(yīng)曲線上，系統(tǒng)輸出達(dá)到一個(gè)允許誤差范圍的穩(wěn)態(tài)值，并永遠(yuǎn)保持在這一范圍內(nèi)所需的最小時(shí)間。根據(jù)允許誤差范圍的不同有不同的響應(yīng)時(shí)間：可見，τ

越小，系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間越短。(3)．上升時(shí)間tr*

系統(tǒng)輸出響應(yīng)值從5%(或10%)到達(dá)95%(或90%)穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間。從5%～95%：從10%～90%：

tr不從0%開始計(jì)算，可避開閾值，易于確定起始位置。

tr與ts的區(qū)別：ts：永遠(yuǎn)落在誤差帶；

tr：第一次進(jìn)入誤差帶。（在高階系統(tǒng)中這兩個(gè)概念不同）允許誤差響應(yīng)時(shí)間系統(tǒng)輸出2%98.2%5%95%10%90%2021/6/2728(4)．延遲時(shí)間*（一階系統(tǒng)）輸出響應(yīng)值達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間：（t0.5—允許誤差為50%的ts）意義：當(dāng)輸入量不是嚴(yán)格的階躍信號(hào)時(shí)，粗略地表征傳輸延遲量。延遲時(shí)間

2021/6/27292)

二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)*

的二階系統(tǒng)在階躍輸入作用下的輸出響應(yīng)是單調(diào)曲線，其響應(yīng)指標(biāo)可參考一階系統(tǒng)定義。ζ<1的二階系統(tǒng)的過渡過程存在振蕩，其時(shí)域指標(biāo)除響應(yīng)時(shí)間、上升時(shí)間或延遲時(shí)間外，還有：(1)峰值時(shí)間tp：輸出達(dá)到第一個(gè)峰值所需時(shí)間，為阻尼振蕩周期的一半：

(2)超調(diào)量a式中y(tp)——第一次超過穩(wěn)態(tài)值的峰高。

(3)衰減率：衰減振蕩型（）二階系統(tǒng)過渡過程曲線上相差一個(gè)周期T的兩個(gè)峰值之比。4.穩(wěn)定誤差em無限長(zhǎng)時(shí)間后傳感器的穩(wěn)態(tài)輸出值與目標(biāo)值之差的相對(duì)值：em=(/yc)x100%2021/6/27303)

典型系統(tǒng)的頻域響應(yīng)與指標(biāo)

(1）零階系統(tǒng)數(shù)學(xué)表述：傳遞函數(shù)：式中K為靜態(tài)靈敏度頻率響應(yīng)函數(shù)：零階系統(tǒng)的輸出和輸入同步變化，無任何失真和延遲，是一種理想測(cè)試系統(tǒng)，如位移電位器（在不考慮摩察因素時(shí)）、電子示波器等。

(2）一階系統(tǒng)

數(shù)學(xué)表述傳遞函數(shù)

靜態(tài)靈敏度，時(shí)間常數(shù)，決定工作頻率范圍。2021/6/2731例：工程實(shí)際中，一個(gè)忽略了質(zhì)量的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，在施于A點(diǎn)的外力f(t)作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為頻率響應(yīng)函數(shù):（K=1,歸一化處理）負(fù)值表示相角的滯后一階系統(tǒng)的頻率特性：I.一階系統(tǒng)是一個(gè)低通環(huán)節(jié)。僅當(dāng)遠(yuǎn)小于1/時(shí)，幅頻響應(yīng)才接近1，因此一階系統(tǒng)只適用于被測(cè)量緩慢或低頻的參數(shù)。II.幅頻特性降為原來的0.707（即-3dB)，相位角滯后45o,時(shí)間常數(shù)

決定了測(cè)試系統(tǒng)適應(yīng)的工作頻率范圍。2021/6/2732幅頻、相頻特性Bode圖Nyquist圖2021/6/2733圖二階系統(tǒng)的幅頻特性(3）二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)表述傳遞函數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)幅頻、相頻特性靜態(tài)靈敏度,系統(tǒng)固有頻率,阻尼比

圖二階系統(tǒng)響頻特性，φ()=-arctan

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二階系統(tǒng)的頻響特性主要取決于系統(tǒng)的固有頻率ωn和阻尼比ζ。當(dāng)ζ<1，

<<

n時(shí)，二階系統(tǒng)有如下特點(diǎn)：①A(ω)≈1，幅頻特性平直，輸出與輸入之間為線性關(guān)系；②φ(ω)很小，φ(ω)與為線性關(guān)系。此時(shí)，y(t)能真實(shí)準(zhǔn)確地復(fù)現(xiàn)輸入x(t)的波形，這是傳感器應(yīng)有的性能。由頻域響應(yīng)圖和表達(dá)式可見，為得到精確的被測(cè)信號(hào)的幅值與波形，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，一般必須使其阻尼比ζ<1，固有角頻率

n至少應(yīng)大于被測(cè)信號(hào)頻率的3～5倍。如果被測(cè)信號(hào)為非周期信號(hào)，可將其分解為各次諧波，這時(shí)系統(tǒng)固有角頻率ωn不低于輸入信號(hào)諧波中最高頻率

max的3～5倍，這時(shí)系統(tǒng)可確保動(dòng)態(tài)測(cè)試精度。阻尼比ζ是傳感器設(shè)計(jì)和選用時(shí)要考慮的另一重要參數(shù)，ζ<1為欠阻尼；ζ=1為臨界阻尼；ζ>1為過阻尼。一般系統(tǒng)都工作于欠阻尼狀態(tài)。

綜合考慮，設(shè)計(jì)傳感器時(shí)，應(yīng)使ζ=0.6~0.8為宜。ωn/ω=5~10，可得到較小的動(dòng)態(tài)誤差。2021/6/2735

根據(jù)二階系統(tǒng)的頻響可得頻域指標(biāo)*：1．帶寬頻率

對(duì)數(shù)幅頻特性的dB值下降到頻率為零時(shí)對(duì)數(shù)幅頻特性以下-3dB時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率稱為帶寬頻率。2．工作頻率（0～ωgi）ωgi：截止頻率：誤差達(dá)到給定誤差(±1%,±2%,±5%,±10%）時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率（常用-3dB截止角頻率）。0～ωgi:工作頻帶：輸出不超過給定誤差。3．諧振頻率ωr

當(dāng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率。4．跟隨角當(dāng)時(shí)所對(duì)應(yīng)于相頻特性上的相角。相位誤差：在工作頻帶范圍內(nèi)，傳感器的實(shí)際輸出與所希望的無失真輸出間的相位差值，即為相位誤差。

2021/6/2736

為理解二階系統(tǒng)幅值誤差和相位誤差的概念，可參考下面例題。例：一個(gè)二階系統(tǒng)的力傳感器，其固有頻率ωn=800rad/s，阻尼ζ=0.4，用它測(cè)量頻率為ω=400rad/s的正弦變化力，求振幅誤差及相位偏移各為多少？若采用ωn’=1000rad/s，ζ=0.6的力傳感器，測(cè)量結(jié)果將有多大改善？解：二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)分別為因此，二階系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為2021/6/2737將ωn=800rad/s，ζ=0.4代入和的表達(dá)式中，得即幅值誤差為18%（振幅誤差），相位滯后為28°。若改選傳感器ωn’=1000rad/s，ζ=0.6，則有即振幅誤差降低為3%，相位滯后增為30°（一般，相位誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果無影響），故測(cè)量結(jié)果得到較大改善。2021/6/2738

4）

動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)實(shí)驗(yàn)確定方法*

傳感器研制成功之后，必須經(jīng)實(shí)驗(yàn)確定性能指標(biāo)；使用一段時(shí)間或修改后，必須對(duì)其技術(shù)性能指標(biāo)重新確定，即校準(zhǔn)。

時(shí)域測(cè)定法

通過測(cè)量單位階躍信號(hào)的響應(yīng)確定傳感器動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。

(1)一階系統(tǒng)

以單位階躍信號(hào)激勵(lì)一階系統(tǒng)得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。以輸出達(dá)穩(wěn)定值63.2％時(shí)所經(jīng)歷時(shí)間得到的時(shí)間常數(shù)τ僅取決于個(gè)別瞬時(shí)值，不涉及響應(yīng)全過程，準(zhǔn)確性較差?？煽糠椒ǎ阂浑A系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：y(t)=1-改寫上式，兩邊取對(duì)數(shù)得：

-t/τ=ln[1-y(t)]=z上式表明，ln[1-y(t)]與t成線性關(guān)系。根據(jù)測(cè)得的各時(shí)刻t所對(duì)應(yīng)的y(t)，做出ln[1-y(t)]-t曲線，根據(jù)曲線斜率值確定時(shí)間常數(shù)τ。求一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)

2021/6/2739(2)二階系統(tǒng)典型欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)為：

y(t)=1－()sin(ωdt+φ2)

這是一個(gè)以角頻率ωd=ωn作衰減振蕩的函數(shù)。ωd稱欠阻尼固有角頻率。按求極值的通用方法求得各振蕩峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t=0，π/ωd，2π/ωd，…將t=π/ωd代入上式，可得最大超調(diào)量M和阻尼比的關(guān)系式，即或

測(cè)得M，可按上式或者與之相應(yīng)的曲線圖求阻尼比ζ。如果測(cè)得的階躍響應(yīng)的過渡過程曲線較長(zhǎng)，可利用任意兩個(gè)超調(diào)量Mi和Mn+i求阻尼比ζ。設(shè)n為兩個(gè)峰值相隔的周期數(shù)，Mi峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間為ti，則Mi+n峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間為2021/6/2740二階系統(tǒng)(ζ<1)的階躍響應(yīng)

ζ—M關(guān)系

將它們代入前述公式得整理后得

式中，。當(dāng)ζ<0.1時(shí)，用1代替而不會(huì)產(chǎn)生過大的誤差(≤0.6％)，則上式可寫為若系統(tǒng)是準(zhǔn)確的二階系統(tǒng)，則n值采用任意正整數(shù)所得的ζ值不會(huì)有差別。反之，若n取不同的值，則可獲得不同的ζ值，這表明該系統(tǒng)不是線性二階系統(tǒng)。2021/6/2741頻域測(cè)定法利用正弦信號(hào)激勵(lì)，可得傳感器的幅頻特性，如圖所示，然后根據(jù)這兩個(gè)特性曲線可求得一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)τ、二階系統(tǒng)的固有頻率ωn和阻尼比ζ

。對(duì)于一階系統(tǒng)，由幅頻特性漸近線(斜率為0)與高頻漸近線(斜率為-20dB/10倍頻)交點(diǎn)處，向下作垂線，此垂線與幅頻特性相交處的A(ω)=0.707，與橫坐標(biāo)的相交點(diǎn)處ω=1/τ，由此得到τ=1/ω

。對(duì)于二階系統(tǒng)，利用對(duì)二階系統(tǒng)幅頻特性求極值的方法可得

ωr=ωn根據(jù)上式和二階系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)可得：

Ar=當(dāng)ω=0時(shí)，A(ω)=A0=1，因此

Ar/A0=

由一階系統(tǒng)幅頻特性求時(shí)間常數(shù)

二階系統(tǒng)(ζ<1)的幅頻特性

2021/6/27425）實(shí)現(xiàn)不失真測(cè)量的條件

任何測(cè)量系統(tǒng)都希望靈敏度高、頻率響應(yīng)特性好、響應(yīng)快和時(shí)間滯后小，但全面滿足這些要求困難而又矛盾。

動(dòng)態(tài)測(cè)量首先要求實(shí)現(xiàn)不失真。為此系統(tǒng)必須是一個(gè)單向環(huán)節(jié)，且其頻響特性滿足在允許誤差范圍內(nèi)為線性系統(tǒng)的條件。系統(tǒng)輸出y(t)和輸入x(t)之間，其幅值成比例增大(或衰減)，其相位僅滯后(或超前)一個(gè)時(shí)間，其關(guān)系式為式中A。和τ均為常數(shù)。此式表明：該系統(tǒng)的輸出波形精確地與輸入波形相似，但對(duì)應(yīng)的輸出與輸入的瞬時(shí)值放大了A0倍和滯后了一個(gè)時(shí)間τ。因此說，輸出無失真地復(fù)現(xiàn)了輸