寧德市壽寧縣2023年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/24寧德市壽寧縣2023年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1．（3分）下列x的值中，是不等式x＞3的解的是（）A．﹣3 B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)不等式解集的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)椴坏仁絰＞3的解集是所有大于3的數(shù)，所以3是不等式的解．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解是解答此題的關(guān)鍵．2．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，則∠A的度數(shù)為（）A．34° B．44° C．124° D．134°【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則∠B+∠A＝90°，因?yàn)椤螧＝56°，所以∠A＝90°﹣56°＝34°，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．3．（3分）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)≠1 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)≠0【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：a﹣1≠0，解得：a≠6，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是分式有意義的條件，熟記分式的分母不等于零是解題的關(guān)鍵．4．（3分）把多項(xiàng)式a2+2a分解因式得（）A．a(chǎn)（a+2） B．a(chǎn)（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）【答案】A【分析】直接提取公因式a，進(jìn)而分解因式得出答案．【解答】解：a2+2a＝a（a+6）．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．5．（3分）若等腰三角形邊長分別為6cm和3cm，則該等腰三角形的周長是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm【答案】C【分析】根據(jù)已知條件和三角形三邊關(guān)系可知；等腰三角形的腰長不可能為3cm，只能為6cm，然后即可求得等腰三角形的周長．【解答】解：①6cm為腰，3cm為底；②2cm為底，3cm為腰，故舍去．故其周長是15cm．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況．已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．6．（3分）下列分式中，屬于最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．【解答】解：A、原式＝，故本選項(xiàng)不符合題意；B、原式＝﹣1，故本選項(xiàng)不符合題意；C、原式＝，故本選項(xiàng)不符合題意；D、該式子是最簡分式；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了分式的基本性質(zhì)和最簡分式，能熟記分式的化簡過程是解此題的關(guān)鍵．7．（3分）已知ab＝﹣3，a+b＝2，則a2b+ab2的值是（）A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】將a2b+ab2變形為ab（a+b），再代入計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)閍b＝﹣3，a+b＝2，所以a4b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×6＝﹣6，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查提公因式法分解因式和代數(shù)式求值，將a2b+ab2變形為ab（a+b）是正確解答的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，已知△ABC，按以下步驟作圖：①分別以B、C為圓心BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M、N，連接CD．若∠B＝30°，∠A＝55°（）A．65° B．60° C．55° D．45°【答案】A【分析】先根據(jù)題意得出MN是線段BC的垂直平分線，故可得出CD＝BD，即∠B＝∠BCD，再由∠B＝30°、∠A＝55°知∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝95°，根據(jù)∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD可得答案．【解答】解：因?yàn)楦鶕?jù)題意得出MN是線段BC的垂直平分線，所以CD＝BD，所以∠B＝∠BCD＝30°．因?yàn)椤螧＝30°，∠A＝55°，所以∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝95°，所以∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝65°，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．9．（3分）如果點(diǎn)P（3﹣m，1）在第二象限，那么關(guān)于x的不等式（2﹣m）（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＜1【答案】B【分析】先由點(diǎn)P在第二象限得出m＞3，據(jù)此知2﹣m＜0，繼而根據(jù)不等式的性質(zhì)求解可得．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)P（3﹣m，1）在第二象限，所以4﹣m＜0，解得：m＞3，則7﹣m＜0，因?yàn)椋?﹣m）x+7＞m，所以（2﹣m）x＞m﹣2，所以x＜﹣5，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號特點(diǎn)及不等式的性質(zhì)．10．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，AE交BC于點(diǎn)E，BF交AC于點(diǎn)F，連接IC．若ID＝h，AB＝c，AC＝b，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠ACI＝∠BCI；②∠BIC＝90°+∠BAC；③；  ④當(dāng)∠ACB＝60°時(shí)；⑤當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，；其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．①④⑤【答案】D【分析】作IG⊥AC于點(diǎn)G，IH⊥AB于點(diǎn)H，由角平分線的性質(zhì)得IF＝IH，ID＝IH，所以IF＝ID，則CI平分∠ACB，所以∠ACI＝∠BCI，可判斷①正確；由∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，可推導(dǎo)出∠BIC＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC≠90°+∠BAC，可判斷②錯(cuò)誤；由IF＝IH＝ID＝h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，得S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI＝AB?IH+BC?ID+AC?IF＝h（a+b+c），則h＝≠，可判斷③錯(cuò)誤；在AB上截取AL＝AF，連接IL，當(dāng)∠ACB＝60°時(shí)，可證明∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝120°，則∠AIF＝∠BIE＝180°﹣∠AIB＝60°，可證明△AIL≌△AIF，則∠AIL＝∠AIF＝60°，所以∠BIL＝∠BIE＝60°，再證明△BIL≌△BIE，得BL＝BE，則AF+BE＝AL+BL＝AB，可判斷④正確；當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，則四邊形IDCG是正方形，所以CG＝CD＝ID＝h，可證明Rt△AIG≌Rr△AIH，得AG＝AH，再證明Rt△BID≌Rr△BIH，得BD＝BH，可證明h＝，可判斷⑤正確，于是得到問題的答案．【解答】解：如圖1，作IG⊥AC于點(diǎn)G，因?yàn)锳E平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，所以IF＝IH，因?yàn)锽F平分∠ABC交AC于點(diǎn)F，ID⊥BC于點(diǎn)D，所以ID＝IH，所以IF＝ID，所以點(diǎn)I在∠ACB的平分線上，所以CI平分∠ACB，所以∠ACI＝∠BCI，故①正確；因?yàn)椤螴BC＝∠ABC∠ACB，所以∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），因?yàn)椤螦BC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，所以∠BIC＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+，故②錯(cuò)誤；因?yàn)镮F＝IH＝ID＝h，AB＝c，AC＝b，所以S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI＝AB?IH+AC?IF＝，所以h＝≠，故③錯(cuò)誤；如圖8，在AB上截取AL＝AF，因?yàn)椤螦CB＝60°，所以∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝120°，因?yàn)椤螴AB＝∠BAC∠ABC，所以∠IAB+∠IBA＝（∠BAC+∠ABC）＝，所以∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣60°＝120°，所以∠AIF＝∠BIE＝180°﹣∠AIB＝180°﹣120°＝60°，在△AIL和△AIF中，，所以△AIL≌△AIF（SAS），所以∠AIL＝∠AIF＝60°，所以∠BIL＝∠AIB﹣∠AIL＝120°﹣60°＝60°，所以∠BIL＝∠BIE，在△BIL和△BIE中，，所以△BIL≌△BIE（ASA），所以BL＝BE，所以AF+BE＝AL+BL＝AB，故④正確；如圖8，∠ACB＝90°，作IG⊥AC于點(diǎn)G，IH⊥AB于點(diǎn)H，因?yàn)椤螴GC＝∠IDC＝∠DCG＝90°，所以四邊形IDCG是矩形，因?yàn)镮G＝ID＝IH，所以四邊形IDCG是正方形，所以CG＝CD＝ID＝h，在Rt△AIG和Rr△AIH中，，所以Rt△AIG≌Rr△AIH（HL），所以AG＝AH，在Rt△BID和Rr△BIH中，，所以Rt△BID≌Rr△BIH（HL），所以BD＝BH，所以CG+CD＝2h＝BC+AC﹣AG﹣BD＝BC+AC﹣（AH+BH）＝BC+AC﹣AB＝a+b﹣c，所以h＝，故⑤正確，故選：D．二、填空題本題共6小題，每小題2分，共12分．11．（2分）化簡＝2y．【答案】2y．【分析】分子分母同時(shí)提取公因式5xy，再約分即可．【解答】解：＝＝8y．故答案為：2y．12．（2分）用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是鈍角”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)一個(gè)三角形中有兩個(gè)角是鈍角．【答案】有兩個(gè)角是鈍角．【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答．【解答】解：用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是鈍角”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形有兩個(gè)角是鈍角，故答案為：有兩個(gè)角是鈍角．【點(diǎn)評】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．13．（2分）若關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+mx﹣6能因式分解為（x﹣2）（x+3），則m＝1．【答案】1．【分析】根據(jù)整式合并后單項(xiàng)式的系數(shù)相等，可得答案．【解答】解：x2+mx﹣6因式分解得（x﹣8）（x+3），得x2+mx﹣2＝（x﹣2）（x+3），x5+mx﹣6＝x2+x﹣2，所以m＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的意義，利用因式分解得出相等整式是解題關(guān)鍵．14．（2分）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b與正比例函數(shù)y＝kx在同一平面坐標(biāo)系的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式ax+b＞kx的解集為x＞﹣1．【答案】x＞﹣1．【分析】當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＝kx的函數(shù)圖象在y＝ax+b的下方，從而可得到不等式的解集．【解答】從圖象可看出當(dāng)x＞﹣1，直線l2的圖象在直線l5的上方，不等式ax+b＞kx．故答案為：x＞﹣1．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，通過圖象求解，當(dāng)圖象在上方時(shí)大于，在下方時(shí)小于．15．（2分）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是3．【答案】3．【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程兩邊都乘（x﹣1），得m﹣3＝x﹣8，因?yàn)樵匠淘龈鶠閤＝1，所以把x＝1代入整式方程，得m＝2．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．16．（2分）如圖，△ABE是等腰直角三角形，∠ABE＝90°，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，交AE的延長線于點(diǎn)F，則EF＝4．【答案】4．【分析】作FH⊥CE，交CE延長線于H，由△ABE是等腰直角三角形，得到∠BAE＝∠AEB＝45°，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠BAD，由余角的性質(zhì)得到∠CDG＝∠CAB，因此∠CDG＝∠BAD，由對頂角的性質(zhì)得到∠FDE＝∠CDG，因此∠FDH＝∠BAD，即可推出∠DAE＝∠DFE，得到AD＝DF．又∠ABD＝∠DHF＝90°，即可證明△DHF≌△ABD（AAS），得到HF＝BD＝4，由等腰直角三角形的性質(zhì)，得到EF＝FH＝4．【解答】解：作FH⊥CE，交CE延長線于H，因?yàn)椤鰽BE是等腰直角三角形，所以∠BAE＝∠AEB＝45°，因?yàn)锳BE＝90°，AC＝AD，所以∠BAC＝∠BAD，因?yàn)镈G⊥AC，所以∠CDG+∠C＝∠CAB+∠C＝90°，所以∠CDG＝∠CAB，所以∠CDG＝∠BAD，因?yàn)椤螰DE＝∠CDG，所以∠FDH＝∠BAD，因?yàn)椤螧AD+∠DAE＝∠BAE＝45°，∠EDF+∠DFE＝∠AEB＝45°，所以∠DAE＝∠DFE，所以AD＝DF．因?yàn)椤螦BD＝∠DHF＝90°，所以△DHF≌△ABD（AAS），所以HF＝BD＝4，因?yàn)椤螰EH＝∠AEB＝45°，所以△EFH是等腰直角三角形，所以EF＝FH＝6．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查等腰直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形．三、解答題：本題共8小題，共58分．17．（8分）因式分解：（1）x2﹣4；（2）3x2﹣6xy+3y2．【答案】（1）（x+2）（x﹣2）；（2）3（x﹣y）2．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x+2）（x﹣2）；（2）原式＝7（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2．【點(diǎn)評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．18．（6分）化簡分式：，其中．【答案】；．【分析】先利用分式的運(yùn)算法則化簡分式，再代入求值．【解答】解：＝÷＝?＝．當(dāng)時(shí)，原式＝＝＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了分式的化簡求值，掌握分式的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．19．（6分）如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，且AB＝CD，BE＝CF．求證：Rt△ABF≌Rt△DCE．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由于△ABF與△DCE是直角三角形，根據(jù)直角三角形全等的判定的方法即可證明．【解答】證明：因?yàn)锽E＝CF，所以BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，因?yàn)椤螦＝∠D＝90°，所以△ABF與△DCE都為直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，所以Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．【點(diǎn)評】此題考查了直角三角形全等的判定，解題關(guān)鍵是由BE＝CF通過等量代換得到BF＝CE．20．（6分）求不等式組的解集，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】x＞3，解集在數(shù)軸上表示見解答．【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：由2x+5≤4x+6得：x≥﹣1，由＞得：x＞2，則不等式組的解集為x＞3，將解集表示在數(shù)軸上如下：【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．21．（8分）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”．某校準(zhǔn)備舉行“第19屆亞運(yùn)會(huì)”知識競賽活動(dòng)，計(jì)劃購買杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物作為競賽獎(jiǎng)品．某商店有甲、乙兩種規(guī)格，用700元購買甲規(guī)格與用900元購買乙規(guī)格的數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格；（2）若學(xué)校計(jì)劃用不超過2300元的經(jīng)費(fèi)購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格吉祥物共30套，那么最多可以購進(jìn)乙規(guī)格吉祥物多少套？【答案】（1）甲規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格為70元，乙規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格為90元；（2）最多可以購進(jìn)乙規(guī)格吉祥物70套．【分析】（1）設(shè)甲規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格為x元，則乙規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格為（x+20）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用700元購買甲規(guī)格與用900元購買乙規(guī)格的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出甲規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格，再將其代入（x+20）中，即可求出乙規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格；（2）設(shè)購進(jìn)乙規(guī)格吉祥物m套，則購進(jìn)甲規(guī)格吉祥物（30﹣m）套，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過2300元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格為x元，則乙規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格為（x+20）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝70，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝70是所列方程的解，所以x+20＝70+20＝90．答：甲規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格為70元，乙規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格為90元；（2）設(shè)購進(jìn)乙規(guī)格吉祥物m套，則購進(jìn)甲規(guī)格吉祥物（30﹣m）套，根據(jù)題意得：70（30﹣m）+90m≤2300，解得：m≤10，所以m的最大值為10．答：最多可以購進(jìn)乙規(guī)格吉祥物70套．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．22．（6分）已知：線段a，h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，寫出作圖的結(jié)論）【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先作線段BC＝a，再作BC的垂直平分線l，垂足為D，再在l上截取DA＝b，然后連接AB、AC，則△ABC滿足條件．【解答】解：如圖，△ABC為所作．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．23．（9分）閱讀下列材料：求分式方程的解，不妨設(shè)k＝ab，可得x1＝a，x2＝b是該分式方程的解．例如：求分式方程的解，可發(fā)現(xiàn)k＝6＝（﹣2）×（﹣3）（﹣2）+（﹣3），容易檢驗(yàn)x1＝﹣2，x2＝﹣3是該方程的解．根據(jù)以上材料回答下列問題：（1）求分式方程的解；（2）若x1＝m，x2＝n是分式方程的兩個(gè)解，求的值；（3）設(shè)a為常數(shù)且a≠0，若關(guān)于x的分式方程的兩個(gè)解分別為x1，x2，求的值．【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝﹣5；（2）﹣；（3）4．【分析】（1）類比題目中“閱讀材料”的答題方法即可求解．（2）結(jié)合運(yùn)用“閱讀材料”即可求出m和n的值，并代數(shù)運(yùn)算即可求解；（3）善于觀察并分析方程，即可求出x1和x2的值，代入運(yùn)算即可求解．【解答】解：（1）可化為x+，所以x1＝﹣3，x2＝﹣5．經(jīng)檢驗(yàn)x4＝﹣1，x2＝﹣4是該方程的解．（2）由已知得mn＝﹣3，m+n＝4，所以+＝＝＝﹣．（3）原方程變?yōu)閤+7+＝a+（a+8），所以x1+1＝a，x3+1＝a+2，所以x2＝a﹣1，x2＝a+3，所以x1﹣x2＝a﹣8﹣（a+1）＝﹣2，所以＝（﹣8）2＝4．【點(diǎn)評】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，分式方