第五章 三角函數(shù)（14類題型清單）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)單元速記（人教A版必修第一冊(cè)）

PAGE1第五章三角函數(shù)知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記1、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或2、軸線角的表示：①終邊落在軸非負(fù)半軸②終邊落在軸非負(fù)半軸③終邊落在軸非正半軸或④終邊落在軸非正半軸或⑤終邊落在軸⑥終邊落在軸或⑦終邊落在坐標(biāo)軸3、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，4、扇形中的弧長(zhǎng)公式和面積公式弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.5、任意角的三角函數(shù)定義如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,,它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)①正弦函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù),記作,即②余弦函數(shù)：把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù),記作,即

③正切函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切,記作,即()

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)6、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、平方關(guān)系：2、商數(shù)關(guān)系:（，）7、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；8、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)圖象定義域定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在每一個(gè)閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個(gè)閉區(qū)間(上都單調(diào)遞減在每一個(gè)閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個(gè)閉區(qū)間()上都單調(diào)遞減最值當(dāng)()時(shí)，;當(dāng)()時(shí)，;當(dāng)()時(shí)，;當(dāng)()時(shí)，;圖象的對(duì)稱性對(duì)稱中心為(),對(duì)稱軸為直線()對(duì)稱中心為(),對(duì)稱軸為直線()9、正切（型）函數(shù)的性質(zhì)正切函數(shù)正切型函數(shù)定義域由值域周期性奇偶性奇函數(shù)當(dāng)時(shí)是奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增當(dāng),時(shí)，由，解出單調(diào)增區(qū)間對(duì)稱性對(duì)稱中心：；無(wú)對(duì)稱軸令：，對(duì)稱中心為：，無(wú)對(duì)稱軸10、兩角和與差的余弦公式兩角和與差的余弦公式（1）（2）11、兩角和與差的正弦公式（1）（2）12、兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式（1）（2）13、二倍角的正弦、余弦正切公式①②；；③0303題型歸納題型一倍（分）角所在象限例題1．（23-24高一下·遼寧遼陽(yáng)·期中）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則是（

）A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角【答案】A【分析】根據(jù)角所在的象限，表示所在的象限.【詳解】由題意可知是第二象限角，，則,則是第一或第三象限角．故選：A例題2．（23-24高一下·上海黃浦·期中）已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【分析】由是第一象限角，可得，，進(jìn)而得到，，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵?，，所以，，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角，綜上所述，第一、三象限角.故選：B.鞏固訓(xùn)練1．（多選）（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知角是第一象限角，則角可能在以下哪個(gè)象限（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【分析】由所在的象限求出的范圍，再求出的范圍，最后對(duì)分類討論，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)榻鞘堑谝幌笙藿?，所以，，所以，，?dāng)，時(shí)，，，位于第一象限，當(dāng)，時(shí)，，，位于第二象限，當(dāng)，時(shí)，，，位于第三象限，綜上可得位于第一、二、三象限；故選：ABC2．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置．【答案】角的終邊落在第三象限、第四象限或軸的負(fù)半軸；角的終邊落在第一象限、第三象限【分析】根據(jù)象限角的知識(shí)確定正確答案.【詳解】由于角是第二象限角，所以，所以，，所以角的終邊落在第三象限、第四象限或軸的負(fù)半軸，角的終邊落在第一象限、第三象限.題型二扇形弧長(zhǎng)和面積例題1．（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知扇形的弧所對(duì)的圓心角為，且半徑為．求該扇形的弧長(zhǎng)和面積．【答案】弧長(zhǎng)：；面積：【分析】先將角度轉(zhuǎn)化成弧度，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式面積公式求解.【詳解】,根據(jù)弧長(zhǎng)公式，弧長(zhǎng)為：，面積為例題2．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長(zhǎng)為；(1)若，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大，最大值是多少？并求出此時(shí)的半徑.【答案】(1)(2)，，【分析】（1）利用弧長(zhǎng)公式可得答案；（2）利用周長(zhǎng)和面積公式，結(jié)合二次函數(shù)可得答案.【詳解】（1），.（2）由已知得，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，此時(shí)，所以.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高三下·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）扇形的半徑為2，圓心角所對(duì)的長(zhǎng)為4，則該扇形的面積是.【答案】4【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合扇形的面積公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，圓心角所對(duì)的長(zhǎng)為4，所以該扇形的面積是.故答案為：42．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）（1）一條弦的長(zhǎng)等于它所在圓的半徑，求弦和劣弧所組成的弓形的面積;（2）一扇形的周長(zhǎng)為，那么扇形的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大?并求出最大值?【答案】（1）；（2）扇形半徑，扇形圓心角為，扇形面積最大值.【分析】（1）要怕給定條件，求出劣弧所對(duì)的圓心角，再求出扇形面積及三角形面積即得.（2）設(shè)出扇形的半徑，結(jié)合已知建立函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)求解即得.【詳解】（1）如圖，在圓中，弦，則是正三角形，，邊上的高為，因此，而扇形面積為，所以弦和劣弧所組成的弓形的面積是.

（2）設(shè)扇形的半徑為，則扇形弧長(zhǎng)，扇形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以扇形半徑，扇形的圓心角為時(shí)，扇形面積取得最大值.題型三三角函數(shù)的定義例題1．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知角α的終邊上一點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)定義，求出，即可求出的值．【詳解】解：角的終邊上有一點(diǎn)，，故選：B．例題2．（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知角的終邊過點(diǎn)，求角的正弦、余弦、正切及余切值．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求解.【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，，，，鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·北京懷柔·期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則.【答案】/【分析】利用三角函數(shù)的定義易得正切值和余弦值.【詳解】依題意，，，則故答案為：；.2．（23-24高一·上海·課堂例題）已知為第二象限的角，其終邊上有一點(diǎn)，且．求．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義先算出，然后由正切函數(shù)值的定義求解.【詳解】由于為第二象限的角，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義，，解得，則題型四已知求其他分式或多項(xiàng)式例題1．（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知，求的值．【答案】.【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法計(jì)算即得.【詳解】，所以.例題2．（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知，求的值．【答案】【分析】分子分母同時(shí)除以即可.【詳解】由于有意義，則，對(duì)表達(dá)式分子分母同時(shí)除以，則鞏固訓(xùn)練1．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)將所求式子分子化為齊次式，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系化弦為切，最后代入切的值得結(jié)果.【詳解】.故選：D2．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將式子齊次化即可求解；（2）將1看做，再進(jìn)行齊次化即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，將式子的分子分母同時(shí)除以得：所以．（2）．題型五與的關(guān)系例題1．（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求得，再逐項(xiàng)分析判斷得解.【詳解】由，得，解得，對(duì)于A，，則，，A正確；對(duì)于D，，D正確；對(duì)于B，由，，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確.故選：B例題2．（多選）（23-24高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）設(shè)，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】將兩邊平方，結(jié)合平方關(guān)系求出A，即可判斷，則，即可判斷B、C，利用平方差公式判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，所以，故A錯(cuò)誤；又，，所以，則，則，所以，故B正確、C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：BD鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·山東威?！るA段練習(xí)）已知，且，則．【答案】【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求得的值．【詳解】，，則，故答案為：．2．（23-24高一·上海·課堂例題）（1）已知，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用商數(shù)關(guān)系，得到，再由條件，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件及平方關(guān)系，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，又，所?（2）因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)平方得到，整理得到，所以.題型六利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)例題1．（23-24高一下·陜西渭南·期中）已知是第三象限角，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知直接利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值；（2）利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】（1）因?yàn)槭堑谌笙藿牵?，所以，所以?）例題2．（23-24高一上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)；【答案】(1)0(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可；（2）由誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1），，則原式；（2）原式．鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·安徽亳州·階段練習(xí)）已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）先根據(jù)條件求出,然后把轉(zhuǎn)換成的形式代入即可.（2）把轉(zhuǎn)化成的形式代入即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所?所以.（2）.2．（23-24高一下·北京·期中）已知角為第二象限角，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；（2）法1，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，直接代入計(jì)算可得；法2，由（1）的結(jié)論求出，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得；【詳解】（1），∵角為第二象限角，∴．（2）法1：法2：易得，則題型七求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例題1．（2024高一下·上?！ｎ}練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【答案】．【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，整體代入法求解即可.【詳解】令，，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是:．故答案為:．例題2．（23-24高二上·云南文山·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)周期公式即可求函數(shù)的最小正周期；（2）根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性即可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)，它的最小正周期為；；（2）令，，求得，，即，．所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．例題3．（23-24高一·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間．【答案】答案見詳解【分析】根據(jù)周期公式求最小正周期，以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：的最小正周期；令，解得，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高二上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即x∈0,5π12故選：B.2．（24-25高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)，再應(yīng)用整體代換計(jì)算余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可.【詳解】，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：A．3．（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2).【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間【分析】（1）直接根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）首先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）由題意得，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；（2），由題意得，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.題型八三角函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性有關(guān)的問題例題1．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各點(diǎn)中，可以作為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得解.【詳解】對(duì)于AC，，AC不是；對(duì)于BD，，B是，D不是.故選：B例題2．（23-24高一下·山東威海·階段練習(xí)）已知函數(shù)，的圖象的對(duì)稱中心是．【答案】【分析】將看成整體角，利用正切函數(shù)的對(duì)稱中心即可求得.【詳解】由函數(shù)可得，，解得：，即的圖象的對(duì)稱中心是.故答案為：.例題3．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為．【答案】，，【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性直接求解可得．【詳解】由，，得，．由，，得，．故函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，，對(duì)稱中心為，．故答案為：；.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·上?！て谀┫铝泻瘮?shù)為奇函數(shù)，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槎x域?yàn)镽，其在上是嚴(yán)格減函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，定義域?yàn)镽，，為偶函數(shù)；B錯(cuò)誤；對(duì)于C，定義域?yàn)?，，為奇函?shù)，由正切函數(shù)性質(zhì)知在上是嚴(yán)格增函數(shù)，C正確；對(duì)于D，定義域?yàn)镽，，為偶函數(shù)；D錯(cuò)誤.故選：C.2．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，既在上單調(diào)遞增，又以為周期且為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性逐個(gè)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，為偶函數(shù)，且周期為，當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，因?yàn)榈膱D象是由在軸下方的圖象翻折上去、軸上方的圖象保持不變得到的，所以函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，而在上單調(diào)遞增，故D符合．故選：D．3．（23-24高一下·上?！て谥校┮阎瘮?shù)是奇函數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性解得，結(jié)合題中的范圍分析求解.【詳解】由題意可知：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知，且，所以.故答案為：.題型九與三角函數(shù)周期有關(guān)的問題例題1．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，以為最小正周期的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)于AD，根據(jù)圖象變換和周期公式分析判斷，對(duì)于BC，根據(jù)周期公式分析判斷.【詳解】對(duì)于A，的圖象是由把軸下方的圖象翻折上去、軸上方的圖象保持不變得到的，則最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的最小正周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的圖象是由把軸下方的圖象翻折上去、軸上方的圖象保持不變得到的，則最小正周期為，故D正確．故選：D．例題2．（24-25高三上·貴州黔東南·開學(xué)考試）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】由正弦函數(shù)與正切的函數(shù)的周期即可直接判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的最小正周期分別為，，所以的最小正周期為.故選：A.例題3．（多選）（22-23高一上·重慶合川·期末）下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】先用誘導(dǎo)公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再判別奇偶性及周期.【詳解】由，則該函數(shù)為偶函數(shù)，且周期為，故A正確；，∵，故該函數(shù)為偶函數(shù)，周期為周期的一半，故，故B正確；，故是偶函數(shù)，,周期，故C錯(cuò)誤；為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：AB.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高三上·河南·開學(xué)考試）函數(shù)的的一個(gè)周期為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)兩部分的周期，即可求得函數(shù)的周期.【詳解】易知，的最小正周期分別為，，則，的公倍數(shù)是的一個(gè)周期.故選：D2．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，周期為，且在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的最小正周期，并利用整體法驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，的最小正周期為，又時(shí)，，由于在上單調(diào)遞減，故A正確；B選項(xiàng)，的最小正周期為，又時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的最小正周期為，不合要求，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的最小正周期為，又時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；故選：A3．（多選）（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）下列函數(shù)中周期為π，且為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)周期的定義以及奇偶性的定義判斷A；根據(jù)是奇函數(shù)，的周期為，分別判斷BD；化簡(jiǎn),再判斷C.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?所以的周期為π,因?yàn)?所以是偶函數(shù),A符合題意；對(duì)于B,是奇函數(shù)，B不合題意；對(duì)于D,的周期為，所以D不合題意；對(duì)于C,因?yàn)槭桥己瘮?shù)，因?yàn)榈闹芷谑欠项}意.故選:AC.題型十三角函數(shù)的值域問題例題1．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，fx最小且最小值為．【答案】【分析】利用換元法令，由余弦型函數(shù)單調(diào)性可得的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得答案.【詳解】令，∴，．∵在上是減函數(shù)，∴當(dāng)，即時(shí)，．故答案為：，.例題2．（23-24高一下·江西上饒·期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值、最小值及相應(yīng)的的值．【答案】(1)，(2)的最小值為，此時(shí)；的最大值為，此時(shí)【分析】（1）由題意，利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性得出結(jié)論；（2）由題意，根據(jù)正弦型函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)在區(qū)間上的最值及相應(yīng)的的值.【詳解】（1）故；由令則故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，則，即，即在區(qū)間上的最小值和最大值分別為0，3，即時(shí)，即時(shí)有最小值0，當(dāng)，即時(shí)有最大值3．例題3．（23-24高一·上海·課堂例題）求下列函數(shù)的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時(shí)所有x的值：(1)；(2)，；(3)；(4)，.【答案】(1)時(shí)有最小值；時(shí)有最大值(2)時(shí)有最小值；時(shí)有最大值(3)時(shí)有最大值；時(shí)有最小值(4)時(shí)有最大值；時(shí)有最小值【分析】（1）利用配方法和三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（2）利用正弦的性質(zhì)可得答案；（3）利用配方法和三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（4）利用余弦的性質(zhì)可得答案；.【詳解】（1），因?yàn)?，所以?dāng)，即，或時(shí)，有最小值；所以當(dāng)，即時(shí)，有最大值；（2）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)即時(shí)，有最小值，為；當(dāng)即時(shí)，有最大值，為；（3），因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，有最大值；所以當(dāng)，即時(shí)，有最小值；（4），.因?yàn)?，所以，可得，?dāng)即時(shí)，有最大值，為；當(dāng)即時(shí)，有最小值，為.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·海南海口·期末）已知函數(shù)（），直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸.(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求函數(shù)的值域.【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性求出，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）根據(jù)的取值范圍，求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)橹本€是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，所以，解得，又，所以，所以，所以函數(shù)的最小正周期，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?，所以，所以，即在上的值域?yàn)?2．（23-24高一·上海·課堂例題）求函數(shù)，的最大值與最小值．【答案】最大值為，最小值為【分析】利用換元法，結(jié)合正切函數(shù)、二次函數(shù)等知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，函數(shù)，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.3．（24-25高一上·上?！卧獪y(cè)試）求下列函數(shù)的值域.(1)；(2)，；(3).【答案】(1)最小值，無(wú)最大值；(2)；(3).【分析】（1）令，用換元法得到，然后結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可；（2）將原式化為，，根據(jù)函數(shù)奇偶性，然后結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可；（3）令，用換元法得到，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，則.當(dāng)時(shí)，y取最小值，無(wú)最大值，（2），.由知為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，令，，當(dāng)時(shí)，y取最大值為；當(dāng)時(shí)，y取最小值為.故值域?yàn)?（3）令，則，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，即，所以，則，.由得，所以函數(shù)值域?yàn)?題型十一圖象平移與伸縮變換例題1．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【分析】將整理成，然后利用平移變換即可求解.【詳解】由于函數(shù)，故只需將函數(shù)的圖象向右平移可得函數(shù)的圖象.故選：D．例題2．（23-24高一下·上海普陀·期末）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】B【分析】先將兩個(gè)三角的名字根據(jù)誘導(dǎo)公式化為相同，然后再平移即可.【詳解】將函數(shù)向左平移個(gè)單位得：故選：B鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·期中）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【分析】根據(jù)圖象平移的規(guī)則判斷．【詳解】由，因此向左平行個(gè)單位得到圖象，故選：C．2．（23-24高一下·云南迪慶·期末）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平移變換的性質(zhì)即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故，故選：B題型十二求三角函數(shù)解析式例題1．（多選）（23-24高一下·貴州六盤水·期中）已知函數(shù)fx=Asinωx+φ（，，）的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

A．B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象【答案】ACD【分析】由圖象求出得解析式，然后利用正弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意可得，，，所以，所以，所以，又，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；令，解得，所以在單調(diào)遞減，而，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ACD例題2．（多選）（23-24高二下·廣東湛江·期中）函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π的部分圖象如圖，若

A．B．C．的零點(diǎn)形成的集合為D．的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，由周期即可求解；對(duì)于B，由得，再結(jié)合且在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)即可得解；對(duì)于C，令結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求解；對(duì)于D，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性令并求解即可得解.【詳解】對(duì)于A，由已知得最小正周期，又，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋矣蓤D可知在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A和B得，令得，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.例題3．（23-24高一下·新疆喀什·期中）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的表達(dá)式為．【答案】【分析】根據(jù)圖象求出，由周期公式可得，代點(diǎn)的坐標(biāo)可求得.【詳解】由題意可知，，函數(shù)的周期為：所以，由五點(diǎn)法作圖可知：，即，又因?yàn)椋?，所以函?shù)的表達(dá)式為.故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（多選）（23-24高一下·四川綿陽(yáng)·期末）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列正確的是（

）A．，B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．若，則D．函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)是奇函數(shù)【答案】ACD【分析】由題意可得，結(jié)合圖象過點(diǎn)，，可求函數(shù)解析式，進(jìn)而逐項(xiàng)計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】由題意可得，又因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)椋裕趾瘮?shù)的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得，故A正確；所以，由，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；若，則可得，所以，，故C正確；函數(shù)的最小正周期為，，所以，函數(shù)是奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.2．（多選）（2024·湖南·三模）已知是某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式，其部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）

A．B．這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相為或C．在上單調(diào)遞減D．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)【答案】AD【分析】由題意得，或，對(duì)分類討論求的符合題意的、，可判斷AB，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷C，由函數(shù)平移變換法則、偶函數(shù)定義判斷D.【詳解】對(duì)于AB，由題意，，因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)只能是當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)無(wú)解，綜上所述，，這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相為，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意，當(dāng)時(shí)，，而在上不單調(diào)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)，顯然，且的定義域（全體實(shí)數(shù)）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，故D正確.故選：AD.3．（23-24高一下·廣東廣州·期中）函數(shù)的部分圖象如圖所示，直線與這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為，則.【答案】/【分析】由圖象求得參數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合即可求值.【詳解】由圖知，，，點(diǎn)位于減區(qū)間內(nèi)，點(diǎn)位于增區(qū)間內(nèi)，且這兩個(gè)區(qū)間相鄰，則，而，解得，，函數(shù)的最小正周期，而，即，解得，于是，，，直線與這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為，觀察圖得，，所以.故答案為：題型十三五點(diǎn)法作圖例題1．（23-24高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點(diǎn)法”列表、描點(diǎn)、連線得到.(1)說(shuō)明圖象經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)的圖象；(2)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖.【答案】(1)答案見解析(2)作圖見解析【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論；（2）由可計(jì)算出的取值范圍，列表、描點(diǎn)、連線可作出函數(shù)在上的圖象.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，要得到函?shù)的圖象，可先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，將所得函數(shù)的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再將所得函數(shù)圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，可得到函數(shù)的圖象.（2）解：當(dāng)時(shí)，，列表如下：作出函數(shù)在上的圖象如下圖所示：例題2．（23-24高一下·海南海口·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且直線是其圖象的一條對(duì)稱軸.(1)求的值；(2)用“五點(diǎn)法”列表，并在圖中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）通過對(duì)稱軸之間的距離求出周期進(jìn)而求得，再通過直線是其圖象的一條對(duì)稱軸，代入整體的思想求出；（2）利用五點(diǎn)作圖法，列表、描點(diǎn)、連線可作函數(shù)在區(qū)間上的圖象.【詳解】（1）相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為的最小正周期.直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，.（2）由知0-1010故函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)在用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象時(shí)，列表如下：完成上述表格，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)圖表見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)“五點(diǎn)法”作圖的取點(diǎn)方式，分別求出對(duì)應(yīng)的x和，進(jìn)而填表，結(jié)合“五點(diǎn)法”畫出圖象即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間計(jì)算即可；（3）根據(jù)x的范圍求出的范圍，即可利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）0020-20函數(shù)圖象如圖所示，（2）令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）因?yàn)?，所以，所?當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?2．（23-24高一上·云南昆明·期末）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點(diǎn)法”列表、描點(diǎn)、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖．【答案】(1)答案見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得正確答案.（2）利用“五點(diǎn)法”畫出圖象.【詳解】（1）步驟1：把圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．（2）列表：題型十四三角函數(shù)綜合大題例題1．（23-24高一上·河南漯河·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)填寫下表，并用“五點(diǎn)法”畫出在上的圖象；(2)將的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，求的解析式.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)五點(diǎn)法作圖的步驟，列表，描點(diǎn)，連線即可完成.（2）將進(jìn)行平移和伸縮變換得最后解析式.【詳解】（1）由題意可得表格如下：可得圖象如下圖所示：（2）將的圖象向上平移個(gè)單位得到的圖象，再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的可得到的圖象，再向右平移個(gè)單位可得的圖象，即.例題2．（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換