2023-2024學(xué)年廣東省深圳市寶安區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題廣東省深圳市寶安區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月調(diào)研測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.2.三棱錐中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若，則=（）A. B.C. D.3.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，則（）A. B. C. D.34.已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且的斜率為，則的斜率為（）A.3或 B.3 C.或 D.5.設(shè)，則“直線與直線平行”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（）A.或 B.或C.或 D.或7.直線，分別過點(diǎn)，它們分別繞點(diǎn)P和Q旋轉(zhuǎn)，但保持平行，那么，它們之間的距離d的取值范圍是（）A. B.C. D.8.兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡長為（）A. B. C. D.二、多選題9.直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線在軸上的截距可能是（）A.3 B.0 C. D.110.已知，直線，與交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距為1B.不論為何值，直線一定過點(diǎn)C.點(diǎn)在一個(gè)定圓上運(yùn)動(dòng)D.直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱11.已知直線，圓，則下列命題正確的是（）A.，點(diǎn)在圓外B，使得直線與圓相切C.當(dāng)直線與圓相交于PQ時(shí)，交點(diǎn)弦的最小值為D.若在圓上僅存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，m的值為12.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A.直線的方向向量，平面的法向量是，則B.若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底C.若非零向量滿足，則有D.若是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面三、填空題13.若a，b為正實(shí)數(shù)，直線與直線互相垂直，則最大值為______.14.平行線與間距離為________．15.若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則此圓的半徑為________．16.直線被圓截得的最短弦長為________.四、解答題17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、．求：（1）邊上高所在直線的方程；（2）邊上的中線所在直線的方程．18.在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C過點(diǎn)，且圓心C在上．（1）求圓C的方程；（2）若點(diǎn)D為所求圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求直線DE的中點(diǎn)M的軌跡方程．20.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．（1）證明：；（2）若是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．21.已知兩圓和，求：（1）當(dāng)取何值時(shí)兩圓外切？（2）當(dāng)時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.22.已知四棱錐的底面是直角梯形，，，底面，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

廣東省深圳市寶安區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月調(diào)研測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而即可根據(jù)投影向量求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.2.三棱錐中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若，則=（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用給定的空間向量的基底，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算表示作答.【詳解】三棱錐中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，且，如圖，.故選：D3.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜率公式求得，結(jié)合直線的方向向量的定義，即可求解.【詳解】由點(diǎn)，可得直線的斜率為，因?yàn)榻?jīng)過兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，所以.故選：D.4.已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且的斜率為，則的斜率為（）A.3或 B.3 C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)的傾斜角為，由，即，解得或，因?yàn)?，所以，所以，易得的傾斜角為銳角，所以的斜率為3．故選:B.5.設(shè)，則“直線與直線平行”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一般式中兩直線平行滿足的條件，即可求解.詳解】若直線與直線平行，則，解得或，故“直線與直線平行”是“”的必要不充分條件，故選：B6.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】分截距不為0和截距為0兩種情況，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)方程為，將代入，可得，解得，故直線方程為，即；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)方程為，將代入，，解得，故直線方程為，即，故直線方程為或.故選：B7.直線，分別過點(diǎn)，它們分別繞點(diǎn)P和Q旋轉(zhuǎn)，但保持平行，那么，它們之間的距離d的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通過作圖分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)直線與直線，均垂直的時(shí)候，它們之間的距離即為，d的最大值，通過分析可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)是連續(xù)變化的，且，可以無限接近直線，因此，且d可以無限接近于0.【詳解】如圖所示：

當(dāng)直線與直線，均不垂直的時(shí)候，它們之間的距離即為，當(dāng)直線與直線，均垂直的時(shí)候，它們之間的距離即為，所以當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，d有最大值，可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)到一定程度時(shí)直線與直線，均無限接近的時(shí)候，d無限趨于0，但注意到直線，平行，且直線是連續(xù)旋轉(zhuǎn)的，因此直線，之間的距離d的取值范圍是.故選：A.8.兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意建立坐標(biāo)系，由題意可得點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而可得M點(diǎn)的軌跡長．【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)點(diǎn)，由，得，化簡(jiǎn)并整理得：，于是得點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其周長為，所以M點(diǎn)的軌跡長為.故選：A.二、多選題9.直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線在軸上的截距可能是（）A.3 B.0 C. D.1【答案】ABD【解析】【分析】通過討論直線截距是否為的情況，即可得出結(jié)論【詳解】由題意，直線過點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，當(dāng)直線的截距為0時(shí)，顯然滿足題意，為：；當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)橫、縱截距分別為，則直線方程為：，∴，解得：或，∴直線的縱截距可取.故選：ABD.10.已知，直線，與交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距為1B.不論為何值，直線一定過點(diǎn)C.點(diǎn)在一個(gè)定圓上運(yùn)動(dòng)D.直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BC【解析】【分析】A由解析式確定x軸上的截距判斷；由方程確定與相互垂直及所過定點(diǎn)坐標(biāo)判斷B、C；根據(jù)對(duì)稱軸為，互換其中一條直線的判斷是否與另一直線方程相同判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線在x軸上的截距為，故A錯(cuò)誤；直線，當(dāng)時(shí)恒成立，所以恒過定點(diǎn)，故B正確；因?yàn)椴徽撊『沃担本€與都互相垂直，且恒過定點(diǎn)，恒過定點(diǎn)，所以點(diǎn)在以和為直徑端點(diǎn)的圓上運(yùn)動(dòng)，故C正確；將方程中的互換得到，與直線的方程不一致，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知直線，圓，則下列命題正確的是（）A.，點(diǎn)在圓外B.，使得直線與圓相切C.當(dāng)直線與圓相交于PQ時(shí)，交點(diǎn)弦的最小值為D.若在圓上僅存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，m的值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷A，由直線系所過定點(diǎn)在圓內(nèi)判斷B，根據(jù)交點(diǎn)弦的性質(zhì)求解可判斷C，根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系判斷D.【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，得，所以點(diǎn)在圓外，故A正確；整理直線的方程為：，由解得，可知直線過定點(diǎn)，將定點(diǎn)代入圓的方程，可得，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓一定相交，故B錯(cuò)誤；當(dāng)圓心與直線所過定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)，交點(diǎn)弦長最小，此時(shí)圓心到直線的距離為，由勾股定理知，故C正確；當(dāng)圓心到直線的距離為1時(shí)，在圓上僅存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，即，解得，故D正確.故選：ACD.12.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A.直線的方向向量，平面的法向量是，則B.若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底C.若非零向量滿足，則有D.若是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理，以及直線方向向量與平面法向量的關(guān)系判斷即可.【詳解】對(duì)于A，直線的方向向量，平面的法向量是，此時(shí)，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槭强臻g的一組基底，所以對(duì)于空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組，使得，由空間向量的基本定理可知，向量也是空間一組基底，故B正確；對(duì)于C，若非零向量滿足，則與關(guān)系不定，有可能平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若是空間的一組基底，且，，由空間向量的基本定理可得，四點(diǎn)共面，故D正確.故選：BD.三、填空題13.若a，b為正實(shí)數(shù)，直線與直線互相垂直，則的最大值為______.【答案】##0.125【解析】【分析】由直線垂直的條件求得關(guān)系，再由基本不等式得最大值．【詳解】由題意，即，由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故答案為：．14.平行線與間的距離為________．【答案】##【解析】【分析】利用平行線間的距離公式計(jì)算可得答案.【詳解】將方程兩邊乘以2，得，所以兩平行線間的距離為．故答案為：．15.若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則此圓半徑為________．【答案】【解析】【分析】即圓心在直線上，代入解出即可求.【詳解】因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在直線上，得，得，所以，半徑為．故答案為：．16.直線被圓截得的最短弦長為________.【答案】【解析】【分析】求出直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線被圓截得的最短弦長，從而求出最短弦長.【詳解】直線，即，令，解得，所以直線恒過點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋?dāng)時(shí)直線被圓截得的最短弦長，最短弦長為.故答案為：四、解答題17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、．求：（1）邊上的高所在直線的方程；（2）邊上的中線所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求解邊AC所在直線的方程，再根據(jù)直線垂直斜率關(guān)系求解即可；（2）求解中點(diǎn)，結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系求解.【小問1詳解】因?yàn)?、，故，邊AC所在直線的方程為：，即為：，由，故所以AC邊上的高所在直線的斜率為，又，故為：，即；【小問2詳解】設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為D，則，即，故AC邊上的中線BD所在直線的方程的斜率為，故為：，即.18.在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可證明線面平行.（2）根據(jù)題意，利用空間向量的夾角的余弦表示，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由為直三棱柱，得平面，又，以的原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，且，分別是，的中點(diǎn)，得，于是，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，顯然，即平面，而平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，顯然軸垂直于平面，不妨取其法向量為，設(shè)二面角所對(duì)應(yīng)的平面角為，則，顯然二面角為銳二面角，則，即二面角的余弦值為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C過點(diǎn)，且圓心C在上．（1）求圓C的方程；（2）若點(diǎn)D為所求圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求直線DE的中點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先設(shè)出方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于參數(shù)的方程組，通過解方程組得到參數(shù)值，從而確定其方程；（2）首先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)得到點(diǎn)D坐標(biāo)，代入圓的方程整理化簡(jiǎn)得到的中點(diǎn)M的軌跡方程.【小問1詳解】由已知可設(shè)圓心，又由已知得，從而有，解得：．于是圓C的圓心，半徑．所以，圓C的方程為,【小問2詳解】設(shè)，則由M為線段ED的中點(diǎn)得：，解得，又點(diǎn)D在圓C：上，所以有，化簡(jiǎn)得：．故所求的軌跡方程為．20.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．（1）證明：；（2）若是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，則有，再證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因底面，底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為．21.已知兩圓和，求：（1）當(dāng)取何值時(shí)兩圓外切？（2）當(dāng)時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.【答案】（1）41（2）；【解析】【分析】（1）求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩圓外切的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用兩圓的方程作差求出公共弦所在直線的方程，然后利用弦長公式求解即可.【小問1詳解】和,化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，所以，因?yàn)閮蓤A外切，所以，即，所以；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，兩圓相減得：，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為:，圓心到直線距離為，所以公共弦長為.22.已知四棱錐的底面是直角梯形，