河北省張家口市2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

河北省張家口市2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．已知集合U={x|1≤x≤10}，A={1，2，A．{4，5，C．{7，8，2．已知復(fù)數(shù)z?2i=5i2+i，則A．1?4i B．1+4i C．5?12i D．1?2i3．已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的上四分位數(shù)，在1，3，3，5，7，8，10，11中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)都小于a的概率為（）A．14 B．514 C．15284．已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)<0，則不等式A．(0，1) B．(0，2) C．5．石碾子是我國傳統(tǒng)糧食加工工具，如圖是石碾子的實(shí)物圖，石碾子主要由碾盤、碾滾（圓柱形）和碾架組成．碾盤中心設(shè)豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，以人推或畜拉的方式，通過碾滾在碾盤上的滾動達(dá)到碾軋加工糧食作物的目的．若推動拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動2周，碾滾的外邊緣恰好滾動了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計(jì)，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直徑之比約為（）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：36．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1≠0A．0 B．2 C．-1 D．17．過點(diǎn)P(1，1)作圓A．x+y?2=0 B．2x?y?1=0C．x?2y+1=0 D．x?2y+1=0或2x?y?1=08．設(shè)a=lnA．a(chǎn)<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c二、多選題9．以下命題正確的有（）A．一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越大，這組數(shù)據(jù)的離散程度越小B．一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定小于中位數(shù)C．樣本相關(guān)系數(shù)r的大小能反映成對樣本數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)的程度，而決定系數(shù)R2D．分層隨機(jī)抽樣所得各層的樣本量一定與各層的大小成比例10．已知橢圓C：x216+y212=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2A．|AF1B．△AF1C．|AM|+|AF1D．若M為AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為x+y?3=011．正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，A．直線A1D⊥B．直線AH∥平面BEFC．三棱錐H?EFB的體積為1D．三棱錐H?CFB的外接球的表面積為9π12．已知x>1，方程x?(x?1)2x=0，x?(x?1)logA．b?a=2a?C．a(chǎn)+b<4 D．b?a>1三、填空題13．已知向量a=(3，2)，b=(λ?214．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>015．已知直線l：y=kx+b是函數(shù)f(x)=ax2(a>0)與函數(shù)g(x)=ex的公切線，若(1，16．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=4，c=3b，則△ABC面積的最大值是；若r，R分別為△ABC的內(nèi)切圓和外接圓半徑，則rR的范圍為．四、解答題17．因疫情防控需要，某社區(qū)每天都要在上午6點(diǎn)到8點(diǎn)之間對全社區(qū)居民完成核酸采集，該社區(qū)有A，（1）由直方圖分別估計(jì)該社區(qū)居民核酸采集排隊(duì)時(shí)間的平均時(shí)長和在一次核酸采集中排隊(duì)時(shí)長超過16分鐘的居民比例；（2）另據(jù)調(diào)查，這100人中一次核酸采集排隊(duì)時(shí)間超過16分鐘的人中有20人來自A小區(qū)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，填寫完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.

排隊(duì)時(shí)間超過16分鐘排隊(duì)時(shí)間不超過16分鐘合計(jì)A小區(qū)B小區(qū)合計(jì)附表：a0.1000.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2=n參考數(shù)據(jù)：14×0.075=1.05，18×0.0375=0.675，18．已知Sn為數(shù)列{an}的前（1）證明：數(shù)列{a（2）求數(shù)列{nan}的前n19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為（1）求A；（2）如圖，在△ABC所在平面上存在點(diǎn)E，連接BE，CE，若EC=3AC，∠ACE=1200，20．如圖，在四棱錐P?ABCD，PC=PB=AB=BC=CD=DA=2，E為棱AP的中點(diǎn)，EB⊥BC．（1）證明：BC⊥PD；（2）若BE=32，求平面PDC與平面21．已知函數(shù)f(x)=?xe（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）證明：lnx+ax?1≥22．已知?jiǎng)訄AE過定點(diǎn)A(6，0)，且在y軸上截得的弦BD的長為12，該動圓的圓心E的軌跡為曲線（1）求曲線C的方程；（2）點(diǎn)P是曲線C上橫坐標(biāo)大于2的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓(x?1)2+y2=1的兩條切線分別與y

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由已知得，?UA={x|1<x≤10且所以(?故答案為：D.

【分析】先根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求出?U2．【答案】A【解析】【解答】由已知可得z=5i(2?i)(2+i)(2?i)+2i=1+2i+2i=1+4i故答案為：A.

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z=1+4i，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得出復(fù)數(shù)z.3．【答案】C【解析】【解答】上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)，因?yàn)?×75%=6，所以8個(gè)數(shù)中有6個(gè)數(shù)小于9，所以隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)都小于a的概率為p=C故答案為：C.

【分析】先根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式求出a，再根據(jù)古典概型的計(jì)算方法求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f'(x)<0，故偶函數(shù)f(x)在故f(x2?x)?f(x)>0所以|x2?x|<|x|解得：|x?1|<1，故x∈(0，故答案為：B

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)小于0，得到偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，從而對不等式變形后得到5．【答案】B【解析】【解答】由題意知，2×2πh=5×2πr；∴故答案為：B.

【分析】繞碾盤轉(zhuǎn)動2周的距離等于碾滾滾動5圈的距離，列出方程即可求解.6．【答案】A【解析】【解答】等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1≠0故答案為：A

【分析】由a9=0，代入7．【答案】C【解析】【解答】由題意可知：圓E：x2+y∵12∴點(diǎn)P在圓E上，又∵kPE=?1?1∴切線方程為y?1=12(x?1)故答案為：C.

【分析】由題意可得點(diǎn)P(1，8．【答案】D【解析】【解答】a?b=e2<2.8a?b>0，a>b，設(shè)f(x)=lnxx，則f'(a=ln22e2<8，所以e<e22綜上，b<a<c．故答案為：D．

【分析】作差后利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較a>b，構(gòu)造函數(shù)f(x)9．【答案】B,C【解析】【解答】對于A：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越大，這組數(shù)據(jù)的離散程度越大，A不符合題意；對于B：根據(jù)圖可知，中位數(shù)靠右大于平均數(shù)，B符合題意；對于C：樣本相關(guān)系數(shù)r是指樣本數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度，而決定系數(shù)R2對于D：分層隨機(jī)抽樣所得各層的樣本量不一定與各層的大小成比例，等比例分層隨機(jī)抽樣所得各層的樣本量一定與各層的大小成比例，D不符合題意；故答案為：BC【分析】根據(jù)方差，中位數(shù)，平均數(shù)，相關(guān)系數(shù)，分層抽樣等知識點(diǎn)分別判斷即可.10．【答案】A,C【解析】【解答】對于A選項(xiàng)，在橢圓C中，a=4，b=23，則c=a2?b由橢圓的定義可得|AF由基本不等式可得|AF1|?|A故|AF1|?|A對于B選項(xiàng)，∵S當(dāng)點(diǎn)A為橢圓C的短軸的頂點(diǎn)時(shí)，S△AF1∴r=S對于C選項(xiàng)，由橢圓的定義可得|AF所以，|AM|+|AF當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A為射線F2M與橢圓C的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，故|AM|+|AF對于D選項(xiàng)，∵2216+112<1，則點(diǎn)M若AB⊥x軸，則線段AB的中點(diǎn)在x軸上，不合乎題意，所以，直線AB的斜率存在，由題意可得x1由已知可得x1216即x1?x24所以，直線l的方程為y?1=?32(x?2)故答案為：AC

【分析】利用基本不等式可判斷A選項(xiàng)；由題意得r=S△AF11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由題知正方體ABCD?A關(guān)于A：取A1A，中點(diǎn)為T∵E，F(xiàn)，T分別為AD，∴EF∥AD且EF=1由于正方體ABCD?A∴ET=2∴ET，即A1若直線A1D⊥平面則A1A不符合題意；關(guān)于B：連接AD∵E，F(xiàn)，H分別為AD，∴EF∥AD∴四邊形BHD∴HD∵EF∥AD1，EF?平面EFB，∴AD1∥∵HD1∥BF，BF?平面EFB∴HD1∥∵AD1∩HD1=D∴平面EFB∥平面AHD∵AH?平面AHD∴AH∥平面BEF，B符合題意；關(guān)于C：取AB中點(diǎn)為Q，連接EQ，∵E，F(xiàn)，H，Q分別為∴EQ∥BD∥FH，∵FH?平面FHB，EQ?平面FHB，∴EQ∥平面FHB，∴V∵FD∥BH，BH?平面QBH，F(xiàn)D?平面∴FD∥平面QHB，∴V故VH?EFBC符合題意；關(guān)于D：分別取A1A，C1由圖可知三棱錐H?CFB的外接球即長方體ABCD?THGF的外接球，∵AB=2=AD，∴長方體ABCD?THGF的外接球半徑為22所以此外接球的表面積為4π×(D符合題意.故答案為：BCD

【分析】取A1A，中點(diǎn)為T，連接ET，TB，AD1，通過求三角形ETB各個(gè)邊長，可得ET，BE不相互垂直，即可證明A1D，BE不垂直，即可判斷選項(xiàng)A的正誤；連接AD1，H12．【答案】A,B,D【解析】【解答】已知兩方程化為xx?1=2x，xx?1=log2易知f(x)=2而函數(shù)y=xx?1=1+1x?1的圖象可以看作是由y=1x的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的，因此y=xx?1a=g(b)b?a=2又b=f(a)=2a=a+b=a+f(a)=a+2a=a+aa?1=a?1+1a?1+2≥4C不符合題意，b?a=a設(shè)h(x)h(85)=所以a∈(a>1時(shí)，y=1?a+1a?1是減函數(shù)，所以由a∈(所以b?a>16故答案為：ABD．

【分析】題意說明a，b分別是函數(shù)f(x)=2x和g(x)=lo13．【答案】-4【解析】【解答】∵a//b故答案為：-4.

【分析】根據(jù)平面向量基本定理計(jì)算.14．【答案】x【解析】【解答】∵漸近線的方程為y=?2x，∴?ba=?2由點(diǎn)到直線的距離公式知：23a2+b2=故答案為：x2

【分析】根據(jù)條件求出a，b，c即可.15．【答案】?【解析】【解答】f'(x)=2ax所以切線l的方程為y?a=2a(x?1)設(shè)直線l與g(x)相切的切點(diǎn)為(所以切線方程為y?y1=所以ex1=2a所以b=?a=?1故答案為：?1

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)=2ax，g'(x)=ex，由切點(diǎn)16．【答案】3；(【解析】【解答】因a，b，c在三角形中，則由三角形三邊關(guān)系可得c+b=4b>4c?b=2b<4cosA=b2則sinA=得S△ABCb2=52，即b=10對于第二空，因S△ABC則r=2又asin則rR=6b2則2<b+1<3.令f(x)=x+1x，其中x∈(2，則f(x)在(2，3)上單調(diào)遞增，故52故答案為：3；(3

【分析】對于第一空，利用余弦定理表示出cosA=10b2?166b2，再表示出17．【答案】（1）解：由直方圖估計(jì)該社區(qū)居民核酸采集排隊(duì)時(shí)間的平均時(shí)長為：(0=13.直方圖分別該社區(qū)居民在一次核酸采集中排隊(duì)時(shí)長超過16分鐘的居民比例為：(0.（2）解：這100人中A小區(qū)的人有100×9100人中B小區(qū)的人有100×11由題意知，排隊(duì)時(shí)長超過16分鐘的居民有100×0.其中20人來自于A小區(qū)，10人來自于B小區(qū)，排隊(duì)時(shí)長不超過16分鐘的居民有100?30=70（人），其中45?20=25人來自于A小區(qū)，55?10=45人來自于B小區(qū)，填表如下：

排隊(duì)時(shí)間超過16分鐘排隊(duì)時(shí)間不超過16分鐘合計(jì)A小區(qū)202545B小區(qū)104555合計(jì)3070100則由獨(dú)立性檢驗(yàn)K2故在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，能認(rèn)為排隊(duì)時(shí)間是否超過16分鐘與小區(qū)有關(guān)聯(lián).【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖平均數(shù)的計(jì)算代入即可得出答案；頻率分布直方圖中每個(gè)矩形的面積表示落在該組內(nèi)的頻率，由此可估計(jì)排隊(duì)時(shí)長超過16分鐘的居民比例；

（2）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)公式計(jì)算K218．【答案】（1）證明：由題知Sn∴a解得：a1=2，由Sn可得Sn?1=2a兩式相減可得：an=S所以an=2a所以an+4a所以數(shù)列{a（2）解：由(1)得數(shù)列{a所以an故an則na設(shè)bn=n×2則Pn=1×2+2×2Pn①-②可得：?==(1?n)2所以Pn所以T=3×((n?1)=3(n?1)2綜上：Tn【解析】【分析】(1)先求出a1=2，根據(jù)Sn=2an?4n+2，寫出Sn?1=2an?1?4(n?1)+2，n≥2，兩式相減即可得an=2an?1+4，所以an+419．【答案】（1）解：∵(sin(a+b)(a?b)=c(c+b)，即a2由余弦定理得：a2=b2+∴A=120（2）解：令∠ABC=α，四邊形內(nèi)角和為360°，由（1）的結(jié)論知：α+E=90在△ABC中，由正弦定理得：BCsin在△BCE中，ECsin又EC=3AC，∴4sin∵A=120°即α=15°，sin15°綜上，A=120°，【解析】【分析】（1）運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解；

（2）由（1）的結(jié)論，運(yùn)用正弦定理和條件計(jì)算出∠ACB=4520．【答案】（1）證明：取PD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖所示，則EG//AD，EG=1∵AB=BC=CD=DA=2∴四邊形ABCD為菱形，∴AD//BC∴EG//BC，EG=∴四邊形BEGC為梯形，∴BE與GC相交，又∵PC=CD，PB=BA∴CG⊥PD，BE⊥PA又∵BE⊥BC，AD//BC∴BE⊥AD又∵BE⊥PA，AD∩PA=A，AD、PA?面PAD，∴BE⊥面PAD∴BE⊥PD又∵CG⊥PD，BE與GC相交，BE、CG?面BEGC，∴PD⊥面BEGC，∴PD⊥BC（2）解：在Rt△BEA中，AE=AB2?B由（1）知，PD⊥BC，又∵AD//BC，∴AD⊥PD，∴在Rt△ADP中，PD=P取BC的中點(diǎn)F，連接GF，則EG//BF且∴四邊形BEGF為平行四邊形，∴BE又∵BE⊥BC，EG∴GE⊥GF由（1）知，PG⊥面BEGC，∴以G為原點(diǎn)，分別以GE、GF、GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系G－xyz，如圖所示，則P(0，0，32∴PC=(?1，3設(shè)面PDC的一個(gè)法向量為n1則n取x1=3，則y1=2，z設(shè)面PBC的一個(gè)法向量為n2則n取y2=1，則x2=0，z∴cos∴平面PDC與平面PBC夾角的余弦值為1313【解析】【分析】（1）通過證明線面垂直PD⊥面BEGC，來證明線線垂直PD⊥BC；

（2）以G為原點(diǎn)，分別以GE、GF、GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系G－xyz，分別求出平面PDC與平面PBC的法向量，通過坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果.21．【答案】（1）解：f'①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=?x，在R上單調(diào)遞減；②當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得當(dāng)x<?1a時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)③當(dāng)a<0時(shí)，令f'(x)=0，得當(dāng)