13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題

第十三章三角形教學(xué)備注學(xué)生在課前完成自主學(xué)習(xí)部分1．復(fù)習(xí)引入（見(jiàn)幻燈片3教學(xué)備注學(xué)生在課前完成自主學(xué)習(xí)部分1．復(fù)習(xí)引入（見(jiàn)幻燈片3-4）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題．2．體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．重點(diǎn)：體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．難點(diǎn)：利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題．自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接1．如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？2．如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？3．在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實(shí)？（1）三角形的三邊關(guān)系：__________________________________；（2）直角三角形中邊的關(guān)系：______________________________．4．如圖，如何作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？教學(xué)備注配套PPT講授教學(xué)備注配套PPT講授2．探究點(diǎn)1新知講授（見(jiàn)幻燈片5-15）課堂探究要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：牧人飲馬問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題：如圖，牧馬人從點(diǎn)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ 數(shù)學(xué)問(wèn)題：在直線l上求作一點(diǎn)C，使AC+BC最短問(wèn)題．問(wèn)題1：現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？問(wèn)題2：如果點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？想一想：對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿(mǎn)足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？要點(diǎn)歸納：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．如圖所示．問(wèn)題3：你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？證明：練一練：如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊．欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）教學(xué)備注教學(xué)備注3．探究點(diǎn)2新知講授（見(jiàn)幻燈片16-24）典例精析例1：如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定方法總結(jié)：此類(lèi)求線段和的最小值問(wèn)題，找準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長(zhǎng)的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長(zhǎng)，而再根據(jù)已知條件求解．例2：如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）方法總結(jié)：求三角形周長(zhǎng)的最小值，先確定動(dòng)點(diǎn)所在的直線和固定點(diǎn)，而后作某一固定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，而后將其與另一固定點(diǎn)連線，連線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為三角形周長(zhǎng)最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置．探究點(diǎn)2：造橋選址問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題：如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？教學(xué)備注配套PPT講授教學(xué)備注配套PPT講授數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？想一想：我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？畫(huà)一畫(huà)：（1）把A平移到岸邊． （2）把B平移到岸邊．（3）把橋平移到和A相連． （4）把橋平移到和B相連．問(wèn)題解決：1．如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短．證明：另任作橋M1N1，連接AM1，BN1，A1N1．教學(xué)備注配套PPT講授5．課堂小結(jié)6．當(dāng)堂檢測(cè)（見(jiàn)幻燈片24-28）2．如圖，平移B到E，使BE等于河寬，連接教學(xué)備注配套PPT講授5．課堂小結(jié)6．當(dāng)堂檢測(cè)（見(jiàn)幻燈片24-28）要點(diǎn)歸納：解決最短路徑問(wèn)題的方法：在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱(chēng)、平移等變換把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇．二、課堂小結(jié)最短路徑問(wèn)題最短路徑問(wèn)題牧人飲馬問(wèn)題造橋選址問(wèn)題軸對(duì)稱(chēng)+線段公理平移當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)1．如圖，直線m同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，A、A′關(guān)于直線m對(duì)稱(chēng)，A、B關(guān)于直線n對(duì)稱(chēng)，直線m與A′B和n分別交于P、Q，下面的說(shuō)法正確的是（）A．P是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn)，Q是m上到A、B距離相等的點(diǎn)B．Q是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn)，P是m上到A、B距離相等的點(diǎn)C．P、Q都是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn)D．P、Q都是m上到A、B距離相等的點(diǎn)第1題圖第2題圖第3題圖2．如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10．若在OA、OB上分別有動(dòng)點(diǎn)Q、R，則△PQR周長(zhǎng)的最小值是（）A．10B．15C．20D．30教學(xué)備注3．如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD，若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是_____米．教學(xué)備注4．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（3，2），B（1，3）．點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，在圖中畫(huà)出點(diǎn)P．拓展提升：6．（1）如圖①，在AB直線一側(cè)C、D兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P，使C、D、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出此點(diǎn)；（2）如圖②，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)；（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、M、N，四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)．圖①圖②圖③

參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接1．解：②最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短．2．解：PC最短，因?yàn)榇咕€段最短．3．兩邊之和大于第三邊斜邊大于直角邊4．解：如圖．課堂探究要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：牧人飲馬問(wèn)題問(wèn)題1解：連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)C．根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求．問(wèn)題2利用軸對(duì)稱(chēng)，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′．問(wèn)題3證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．練一練D典例精析例1B解析：△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)．∵點(diǎn)F在AD上，故BF=CF．即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長(zhǎng)即為BF+EF的最小值．例2A解析：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，然后依據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B′的坐標(biāo)可得到BE、AE的長(zhǎng)，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．探究點(diǎn)2：造橋選址問(wèn)題畫(huà)一畫(huà)：（1）（2）如圖所示．（3）（4）如圖所示．問(wèn)題解決：1．證明：另任作橋M1N1，連接AM1，BN1，A1N1．由平移的性質(zhì)知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1．AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA1＋A1B，而AM1＋M1N1＋BN1轉(zhuǎn)化為AA1＋A1N1＋BN1．在△A1N1B中，因?yàn)锳1N1+B1＞A1B，因此AM1＋M1N1＋BN1＞AM+MN+BN．2．證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM，MN=CD，BD∥CE，BD=CE，所以A到B的路徑長(zhǎng)為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+