《等式與不等式》名師課件

日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系，如：長、短大、小輕、重高、矮請同學(xué)們舉幾個與不等關(guān)系相關(guān)的生活實例?復(fù)習(xí)引入湘教版同步教材名師課件等式與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)通過具體實例體會不等式在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模掌握比較法的解題步驟數(shù)學(xué)運(yùn)算理解不等式的性質(zhì)及證明邏輯推理通過具體實例體會不等式在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)1.通過具體情景，讓學(xué)生感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在的不等關(guān)系，理解和掌握列不等式的步驟；2.能靈活用作差法比較兩個數(shù)與式的大小，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；3.培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、辨析、運(yùn)用的綜合思維能力，體會化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力；數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：在實際問題中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，并表示出不等關(guān)系；2.邏輯推理：作差法的原理；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用作差法比較大??；4.直觀想象：在幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不等式；5.數(shù)學(xué)建模：能夠在實際問題中構(gòu)建不等關(guān)系，解決問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等，類似于這樣的問題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等，相等用等式表示，不等用不等式表示.①、右圖是限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h，寫成不等式是：_________400<v≤40問題1②、某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%，用不等式可以表示為：________

探究新知④、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.如圖，設(shè)C是線段AB外的任意一點(diǎn)，CD垂直于AB，垂足為D，E是線段AB上不同于D的任意一點(diǎn)，則CD<CE.③、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；設(shè)△ABC的三條邊為a，b，c，則a-b>c，a-b<c.探究新知問題2、某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？

探究新知由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實數(shù)一一對應(yīng)，所以可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系來規(guī)定實數(shù)的大小關(guān)系：如圖，設(shè)a，b是兩個實數(shù)，它們在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B.那么，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時，a<b；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時，a>b.已知對于任意兩個實數(shù)a、b的大小可以比較，那么：a-b＞0

a＞b;a-b＝0a＝ba-b＜0a＜b;探究新知解析例1、某中學(xué)高二年級某班一個戶外小組搞野炊活動，其中要購買A，B兩種蔬菜，A，B蔬菜每千克的單價分別為2元和3元．根據(jù)需要，A蔬菜至少要買6kg，B蔬菜至少要買4kg，而且購買這兩種蔬菜的總費(fèi)用不能超過60元．寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．

典例講解方法歸納(1)將不等關(guān)系表示成不等式(組)的思路:①讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量．②用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接．③若有多個不等關(guān)系，根據(jù)情況用不等式組表示．(2)用不等式(組)表示不等關(guān)系時應(yīng)注意的問題在用不等式(組)表示不等關(guān)系時，應(yīng)注意必須是具有相同性質(zhì)，可以進(jìn)行比較時，才可用，沒有可比性的兩個(或幾個)量之間不能用不等式(組)來表示．成分藥片阿司匹林(mg)小蘇打(mg)可待因(mg)A(1片)251B(1片)1761.(1)雷電的溫度大約是28000℃，比太陽表面溫度的4.5倍還要高．設(shè)太陽表面溫度為t

℃，那么t應(yīng)滿足的關(guān)系式是________．(2)兩種藥片的有效成分如下表所示：若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小蘇打和28mg可待因，則兩種藥片的數(shù)量應(yīng)滿足怎樣的不等關(guān)系？用不等式的形式表示出來．變式訓(xùn)練1.(1)雷電的溫度大約是28000℃，比太陽表面溫度的4.5倍還要高．設(shè)太陽表面溫度為t

℃，那么t應(yīng)滿足的關(guān)系式是________．變式訓(xùn)練解析：(1)由題意得，太陽表面溫度的4.5倍小于雷電的溫度，即4.5t<28000.故填4.5t<28000.4.5t<28000成分藥片阿司匹林(mg)小蘇打(mg)可待因(mg)A(1片)251B(1片)1761.(2)兩種藥片的有效成分如下表所示：若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小蘇打和28mg可待因，則兩種藥片的數(shù)量應(yīng)滿足怎樣的不等關(guān)系？用不等式的形式表示出來．變式訓(xùn)練(2)設(shè)提供A藥片x片，B藥片y片，由題意可得：

∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．典例講解例2.已知x＜y＜0，比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。?x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)解析例3、已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大?。淅v解解析

因為x<1，所以x－1<0.

所以x3－1<2x2－2x.若把條件x<1改為x>1，其結(jié)果如何？用作差法比較兩個實數(shù)大小的基本步驟第一步，作差并化簡，其目標(biāo)應(yīng)是n個因式之積、完全平方式或常數(shù)的形式；第二步，判斷差值與0的大小關(guān)系，必要時需分類討論；第三步，得出結(jié)論．方法歸納變式訓(xùn)練

解析:

變式訓(xùn)練

解析:

1．用作差法比較的一般步驟第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“積”；第三步：定號，就是確定是大于0，等于0，還是小于0.(不確定的要分情況討論)第四步：最后得結(jié)論．概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號”是目的，“變形”是關(guān)鍵．素養(yǎng)提煉

對稱性傳遞性加法法則乘法法則

探究新知

性質(zhì)5

如果a>b,c>d,則a+c>b+d.注意：同向不等式只能相加，不能相減，但相減可以轉(zhuǎn)化為相加問題（加其相反數(shù)）.性質(zhì)6

如果a>b>0,c>d>0,則ac>bd.注意（1）a,b,c,d都為正數(shù)；（2）同向不等式只能相乘，不能相除，但相除可以轉(zhuǎn)化為相乘問題（乘其倒數(shù)）.(同向可加性)(正數(shù)同向可乘性)探究新知性質(zhì)7

如果a>b>0,那么an>bn,(n∈N,n≥2)

注意:當(dāng)不等式兩邊都是正數(shù)時，不等式兩邊同時乘方所得的不等式和原不等式同向.

注意:當(dāng)不等式兩邊都是正數(shù)時，不等式兩邊同時開方所得的不等式和原不等式同向.(正數(shù)乘方法則)(正數(shù)開方法則)探究新知性質(zhì)總結(jié)典例講解

解析

A

方法歸納(1)運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧①首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．②解決有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．(2)利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意事項①利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式性質(zhì)成立的條件，切不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．變式訓(xùn)練

解：(1)法一：因為A、B、C、D四個選項中，每個選項都是唯一確定的答案，所以可用特殊值法．令a＝2，b＝－1，則有2>－(－1)>－1>－2，即a>－b>b>－a.法二：因為a＋b>0，b<0，所以a>－b>0，－a<b<0，所以a>－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a.

C典例講解

解析

方法歸納(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略變式訓(xùn)練4.已知－2<a≤3，1≤b<2，試求下列代數(shù)式的取值范圍．(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.解：(1)|a|∈[0，3]．

(2)－1<a＋b<5.(3)依題意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6，①由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②由①②得，－10<2a－3b≤3.A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200

1.完成一項裝修工程,請木工需付工資每人500元,請瓦工需付工資每人400元,現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元,設(shè)木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,則關(guān)于工資x,y滿足的不等關(guān)系是(

)當(dāng)堂練習(xí)D

解析:A當(dāng)堂練習(xí)3.將一個三邊長度分別為5,12,13的三角形的各邊都縮短x,構(gòu)成一個鈍角三角形,試用不等式(組)表示x應(yīng)滿足的不等關(guān)系.各邊都縮短x后,長度仍然為正數(shù),只要最短邊大于零即可,因此5-x>0.而要構(gòu)成三角形,還要滿足(5-x)+(12-x)>13-x.當(dāng)三角形是鈍角三角形時,應(yīng)使最大角是鈍角,此時只需最長邊所對的角是鈍角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,

解析:當(dāng)堂練習(xí)