（預(yù)習(xí)）人教A版數(shù)學(xué)高一寒假提升學(xué)與練+隨堂檢測(cè)01 平面向量的概念（原卷版）

第頁(yè)專(zhuān)題01平面向量的概念思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、向量的基本概念考點(diǎn)二、向量的表示方法考點(diǎn)三、利用向量相等或共線(xiàn)進(jìn)行證明考點(diǎn)四、向量知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱(chēng)為數(shù)量．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）本書(shū)所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．知識(shí)點(diǎn)二：向量的表示法1、有向線(xiàn)段：具有方向的線(xiàn)段叫做有向線(xiàn)段，有向線(xiàn)段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線(xiàn)段（注意始點(diǎn)一定要寫(xiě)在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線(xiàn)段表示向量，通常我們就說(shuō)向量． 知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；（2）用有向線(xiàn)段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線(xiàn)段是向量的表示，不是說(shuō)向量就是有向線(xiàn)段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線(xiàn)段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等的向量．知識(shí)點(diǎn)三：向量的有關(guān)概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來(lái)表示向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度）．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大小．2、零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）在畫(huà)單位向量時(shí)，長(zhǎng)度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；（2）將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谄矫鎯?nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．向量的共線(xiàn)或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線(xiàn)向量（共線(xiàn)向量又稱(chēng)為平行向量）．規(guī)定：與任一向量共線(xiàn)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別．2、平行向量可以在同一直線(xiàn)上，要區(qū)別于兩平行線(xiàn)的位置關(guān)系；共線(xiàn)向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段的位置關(guān)系．3、共線(xiàn)向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線(xiàn)向量，但共線(xiàn)向量不一定是相等的向量．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：向量的基本概念例1．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）溫度?速度?位移?功都是向量（2）零向量沒(méi)有方向（3）向量的模一定是正數(shù)（4）直角坐標(biāo)平面上的x軸?y軸都是向量A．0 B．1 C．2 D．3例2．給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強(qiáng)度；（9）體積.其中不是向量的有（

）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)例3．下列各式中不表示向量的是（）A． B． C． D．，，且變式1．下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離考點(diǎn)二：向量的表示方法例4．用有向線(xiàn)段表示下列物體運(yùn)動(dòng)的速度．(1)向正東方向勻速行駛的汽車(chē)在2h內(nèi)的位移是60km（用的比例尺）；(2)做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體在1s末的速度（用1cm的長(zhǎng)度表示速度2m/s）．例5．用有向線(xiàn)段分別表示一個(gè)方向向上、大小為20N的力，以及一個(gè)方向向下、大小為30N的力（用1cm的長(zhǎng)度表示大小為10N的力）．例6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中有三點(diǎn)，，．請(qǐng)用有向線(xiàn)段分別表示由A到B，由B到C，由C到A的位移．變式2．畫(huà)圖表示小船的下列位移（用的比例尺）：(1)由A地向東北方向航行15km到達(dá)B地；(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到達(dá)C地；(3)由C地向正南方向航行20km到達(dá)D地．考點(diǎn)三：利用向量相等或共線(xiàn)進(jìn)行證明例7．在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量．(1)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°方向；(2)，點(diǎn)B在點(diǎn)O正南方向．例8．已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：

(1)試找出與共線(xiàn)的向量；(2)確定與相等的向量；(3)與相等嗎？例9．如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心.

(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個(gè)?(2)圖中所示的向量中與共線(xiàn)的向量有幾個(gè)?變式3．在如圖的方格紙上，已知向量，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)試以B為終點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量，使；(2)在圖中畫(huà)一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量，使，并說(shuō)出向量的終點(diǎn)的軌跡是什么？考點(diǎn)四：向量知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用例10．如圖，某船從點(diǎn)O出發(fā)沿北偏東30°的方向行駛至點(diǎn)A處，求該船航行向量的長(zhǎng)度（單位：nmile）．

例11．某人從點(diǎn)A出發(fā)向西走4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，然后改變方向朝西北方走6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C，最后又向東走4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)D．試分別作出向量，和．例12．一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線(xiàn)向東偏北航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線(xiàn)向西航行了200海里到達(dá)D島．（1）試作出向量；（2）求．變式4．已知飛機(jī)從地按北偏東方向飛行到達(dá)地，再?gòu)牡匕茨掀珫|方向飛行到達(dá)地，再?gòu)牡匕次髂戏较蝻w行到達(dá)地．畫(huà)圖表示向量，并指出向量的模和方向．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．任一非零向量都可以平行移動(dòng) B．是單位向量，則C． D．若，則2．下列各命題中，正確的是（

）A．若，則或B．與非零向量共線(xiàn)的單位向量是C．長(zhǎng)度不相等而方向相反的兩個(gè)向量一定是平行向量D．若，則3．如果將平面內(nèi)所有單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么它們的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是（

）A．正方形 B．圓 C．線(xiàn)段 D．點(diǎn)4．在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．，，則5．設(shè)是正方形ABCD的中心，則（

）A．向量，，，是相等的向量B．向量，，，是平行的向量C．向量，，，是模不全相等的向量D．，6．已知四邊形，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，且，則四邊形為矩形D．若，且，則四邊形為梯形7．設(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形8．如圖，等腰梯形中，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在兩腰、上，過(guò)點(diǎn)，且，則下列等式中成立的是（）

A．B．C．D．二、多選題9．給出下列命題，其中假命題為（

）A．兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量；B．若是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；C．若與同向，且，則；D．為實(shí)數(shù)，若，則與共線(xiàn).10．給出下面四個(gè)命題，其中是真命題的是（

）A．B．零向量與任意向量平行C．是向量的充分不必要條件D．向量與向量是共線(xiàn)向量，則點(diǎn)必在同一條直線(xiàn)上11．以下選項(xiàng)中，能使成立的條件有（

）A． B．或C． D．與都是單位向量三、填空題12．下列四個(gè)說(shuō)法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則．其中錯(cuò)誤的是（填序號(hào)）．13．如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有個(gè).

14．如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有有向線(xiàn)段表示的向量中，相等向量有對(duì).

15．某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了到達(dá)點(diǎn)，然后改變方向向西偏北走了到達(dá)點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了到達(dá)點(diǎn)，則的模=．四、解答題16．在矩形中，，點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn)，在以、、、、、為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，相等的非零向量共有多少對(duì)？17．在如圖的方格紙上，已知向量，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．(1)試以為終點(diǎn)畫(huà)一個(gè)有向線(xiàn)段，設(shè)該有向線(xiàn)段表示的向量為，使．(2)在圖中畫(huà)一個(gè)以為起點(diǎn)的有向線(xiàn)段，設(shè)該有向線(xiàn)段表示的向量為，且，并說(shuō)出點(diǎn)的軌跡是什么？18．如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形．(1)寫(xiě)出與向量相等的向量；(2)寫(xiě)出與向量共線(xiàn)的向量．平面向量的概念隨堂檢測(cè)1.如圖，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．2.如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量與的關(guān)系是（

）A．＝ B． C．＞ D．＜3.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同；②已知向量，則四點(diǎn)必在一直線(xiàn)上；③若，則；④共線(xiàn)的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.A．0 B．1 C．2 D．34.下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得C．若，，則D．與非零向量共線(xiàn)的單位向量為5.（多選）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若為單位向量，則 B．若與共線(xiàn)，則或C．若，則 D．是與非零向量共線(xiàn)的單位向量6.給出下列四個(gè)說(shuō)法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中錯(cuò)誤的說(shuō)法有（

）A．1 B．2 C．3 D．47.已知P在所在平面內(nèi)，滿(mǎn)足，則P是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心8.若是任一非零向量，是單位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（

）A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④9.（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．與是非零向量，則與同向是的必要不充分條件B．是互不重合的三點(diǎn)，若與共線(xiàn)，則三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上C．與是非零向量，若與同向，則與反向D．設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則與共線(xiàn)10.（多選）下面的命題正確的有（