（預(yù)習(xí)）人教A版數(shù)學(xué)高一寒假提升學(xué)與練+隨堂檢測(cè)02 平面向量的運(yùn)算 （教師版）

第頁(yè)專題03平面向量的運(yùn)算思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、向量的加法運(yùn)算考點(diǎn)二、向量的減法運(yùn)算考點(diǎn)三、與向量的模有關(guān)的問(wèn)題考點(diǎn)四、向量的數(shù)乘運(yùn)算考點(diǎn)五、共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題考點(diǎn)六、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)七、平面向量模的問(wèn)題考點(diǎn)八、向量垂直（或夾角）問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量，作，則三點(diǎn)不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線．這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則．求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定．知識(shí)點(diǎn)詮釋：兩個(gè)向量的和是一個(gè)向量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，但要注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)二：向量求和的多邊形法則及加法運(yùn)算律1、向量求和的多邊形法則的概念已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量．這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當(dāng)與重合，即一個(gè)圖形為封閉圖形時(shí)，有2、向量加法的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）結(jié)合律：知識(shí)點(diǎn)三：向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運(yùn)算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長(zhǎng)的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實(shí)質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）兩種方法給出的定義其實(shí)質(zhì)是一樣的．（2）對(duì)于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點(diǎn)向量（）減去起點(diǎn)向量（）．利用此方法作圖時(shí)，把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)的，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．（2）利用相反向量作圖，通過(guò)向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．知識(shí)點(diǎn)四：數(shù)乘向量1、向量數(shù)乘的定義實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；②當(dāng)時(shí)．的方向與的方向相反；③當(dāng)時(shí)，．2、向量數(shù)乘的幾何意義由實(shí)數(shù)與向量積的定義知，實(shí)數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=-，與互為相反向量；當(dāng)時(shí)，=．實(shí)數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)結(jié)合律：；分配律：，知識(shí)點(diǎn)五：向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當(dāng)向量時(shí)，與任一向量共線．（2）當(dāng)向量時(shí)，對(duì)于向量．如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的倍，即，那么當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．2、向量共線的判定定理是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理若向量與非零向量共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）兩個(gè)向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時(shí)，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使．（4）是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．知識(shí)點(diǎn)六：平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．2、如圖（1），設(shè)是兩個(gè)非零向量，，作如下變換：過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作．過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定．（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積，而是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分．符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在實(shí)數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因?yàn)槠渲杏锌赡転?．2、投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為；當(dāng)=180時(shí)投影為．3、投影向量是一個(gè)向量，當(dāng)對(duì)于任意的，都有．知識(shí)點(diǎn)七：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量．1、2、3、當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別的或4、5、知識(shí)點(diǎn)八：向量數(shù)量積的運(yùn)算律1、交換律：2、數(shù)乘結(jié)合律：3、分配律：知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、已知實(shí)數(shù)、、，則．但是；2、在實(shí)數(shù)中，有，但是顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．1、向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當(dāng)不共線時(shí)，；（2）當(dāng)同向且共線時(shí)，同向，則；（3）當(dāng)反向且共線時(shí)，若，則同向，；若，則同向，．2、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時(shí)向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．事實(shí)上，當(dāng)為銳角時(shí)，由于，所以；當(dāng)為鈍角時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以，此時(shí)與重合；當(dāng)時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：向量的加法運(yùn)算例1．如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．(1)

(2)

【解析】（1）作，，以、為鄰邊作，，則即為所求作的向量.（2）作，，以、為鄰邊作，，則即為所求作的向量.例2．化簡(jiǎn)下列各式:(1)(2)【解析】（1）原式.（2）原式例3．如圖，已知向量(1)求作(2)設(shè)，為單位向量，試探索的最大值．【解析】（1）（1）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，，，，則（2）由向量三角不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為3.考點(diǎn)二：向量的減法運(yùn)算例4．化簡(jiǎn)：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.故答案為：；；；.例5．填空：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）.例6．任給兩個(gè)向量和，則下列式子恒成立的有．①

②③

④【答案】②③【解析】①根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，則①不恒成立；②根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則②恒成立；③根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則③恒成立；④根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則④不恒成立.故答案為：②③.變式1．化簡(jiǎn)：.【答案】【解析】.故答案為：.考點(diǎn)三：與向量的模有關(guān)的問(wèn)題例7．已知向量，滿足，，則的最大值為．【答案】7【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，反向時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為7.故答案為：7.例8．若向量滿足，則的最小值為，的最大值為．【答案】15【解析】當(dāng)反向時(shí)，有最小值；當(dāng)反向時(shí)，有最大值.故答案為：例9．已知非零向量滿足，且，則.【答案】4【解析】如圖所示，設(shè)，，則，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則，由于，故，所以是直角三角形，，從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等得，即.故答案為：4變式2．已知向量，，的模分別為3，4，5，則的最大值為，最小值為．【答案】120【解析】向量，，的模分別為3，4，5，則向量可共線，又，則以為邊長(zhǎng)可構(gòu)成直角三角形，則當(dāng)，，同向時(shí)，的模最大，所以；當(dāng)，，和為時(shí)，的模最小，由于以為邊長(zhǎng)可構(gòu)成直角三角形，設(shè)，，，所以此時(shí)，故.故答案為：12；0.變式3．已知非零向量，滿足，則.【答案】【解析】如圖，設(shè)，，則，以O(shè)A，OB為邊作平行四邊形OACB，則.因?yàn)椋浴鱋AB是等邊三角形，四邊形OACB是一個(gè)菱形，，所以，所以.故答案為：．考點(diǎn)四：向量的數(shù)乘運(yùn)算例10．求下列未知向.(1)；(2)；(3).【解析】（1）由得，所以.（2）由得，所以.（3）由得，所以.變式4．計(jì)算：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）原式考點(diǎn)五：共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題例13．判斷三點(diǎn)是否共線.(1)已知兩個(gè)非零向量和不共線，，，.求證：A，B，D三點(diǎn)共線.(2)已知任意兩個(gè)非零向量，，求作，，.試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【解析】（1），所以，又因?yàn)橛泄财瘘c(diǎn)，故A，B，D三點(diǎn)共線.（2），所以，又因?yàn)橛泄财瘘c(diǎn)，故A，B，C三點(diǎn)共線.例14．設(shè)，是不共線的兩個(gè)非零向量.(1)若，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)k的值.【解析】（1）因?yàn)?，而所以，所以與共線，且有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線；（2）因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，因?yàn)榕c不共線，所以，解得，所以.例15．如圖，已知點(diǎn)是的重心，若過(guò)的重心，且，，，（，），試求的最小值．【解析】∵是的重心，∴是邊上的中線，，∴，∴，又∵，（，），∴，，∴，又∵，，三點(diǎn)共線，∴.又∵，，∴由基本不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為.變式5．已知G是的重心，M是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作一條直線與邊交于點(diǎn)P?與邊交于點(diǎn)Q，設(shè)，求的值.【解析】由題意可得，又，即，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，即.考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例16．如圖，在底角為的等腰梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)．設(shè)(1)用，表示，；(2)若，求．【解析】（1），；（2）由題意可得,過(guò)作的垂線，則由,，.例17．已知向量，，與的夾角為.(1)求；(2)求.【解析】（1）因?yàn)椋?，與的夾角為，所以（2）.例18．已知，，且，則向量在向量上的投影數(shù)量為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以向量在向量上的投影?shù)量為，故答案為：.考點(diǎn)七：平面向量模的問(wèn)題例19．向量，滿足，，，則.【答案】【解析】由題意，，，，，，.故答案為：.例20．已知向量與向量滿足：，，且與的夾角為，則．【答案】2【解析】由題意，，所以.故答案為：2.例21．已知向量，滿足，，，則．【答案】【解析】由可知，所以.故答案為：.變式6．已知向量的夾角為，，則.【答案】【解析】由題意可得：，所以.故答案為：.考點(diǎn)八：向量垂直（或夾角）問(wèn)題例22．已知向量與的夾角為，且，．向量與共線，(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求向量與的夾角．【解析】（1）若向量與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，則，則；（2）由（1）知，，，，，，所以，且，所以.例23．已知平面向量與滿足，向量是與向量同向的單位向量，向量在向量上的投影向量為.(1)若與垂直，求的大??；(2)若與的夾角為，求向量與夾角的余弦值.【解析】（1）設(shè)的夾角為，由題意得，則.因?yàn)榕c垂直，所以，化簡(jiǎn)為，即，所以.（2）由題意得，所以，且.所以，，設(shè)向量與的夾角為，所以.變式7．已知向量，滿足，，且．(1)若，求實(shí)數(shù)k的值；(2)求與的夾角．【解析】（1）因?yàn)?，，即，解得：，解得：?），，∴∵，∴過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．對(duì)于任意空間向量，，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若且，則 B．C．若，且，則 D．【答案】B【解析】對(duì)于A，若，則且，不能得到，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，B正確，對(duì)于C，若，且，則，則，無(wú)法得出，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，表示與共線的向量，而表示與共線的向量，所以與不一定相等，故D錯(cuò)誤，故選：B2．設(shè)非零向量，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，平方得，即，則.故選：B.3．在邊長(zhǎng)為2的等邊中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【解析】∵，向量與的夾角為120°，∴.故選：D4．在平面四邊形中，下列表達(dá)式化簡(jiǎn)結(jié)果與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，不符合題意.，符合題意.，不符合題意.，不符合題意.故選：B5．已知向量與的夾角為，，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，向量且向量與的夾角為，所以向量在上的投影為，又因?yàn)?，所以向量在上的投影向量?故選：A.6．已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】,,即,.故選：D.7．已知平面向量，滿足，且，，則（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】由可得，又可得，所以；即，所以.故選：D8．已知平面向量，且與的夾角為，則（

）A．12 B．16 C． D．【答案】C【解析】由題意可知：，所以.故選：C.二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意向量，都有B．若且，則C．對(duì)任意向量，都有D．對(duì)任意向量，都有【答案】AD【解析】，，可得，故選項(xiàng)A正確；由可得，又，可得或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；,所以不一定成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知選項(xiàng)D正確；故選：AD.10．若向量滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【答案】BC【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，且，所以在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤；故選：BC11．下列說(shuō)法正確的有（

）A．B．λ、μ為非零實(shí)數(shù)，若，則與共線C．若，則D．若平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，則必有【答案】BD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)棣?、μ為非零?shí)數(shù)，，所以，所以與共線，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，若，，滿足，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，，，所以，即，即，故D正確.故選：BD12．如圖在中，AD?BE?CF分別是邊BC?CA?AB上的中線，且相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】BC【解析】由條件可知為的重心，對(duì)于A，由重心的性質(zhì)可得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由重心的性質(zhì)可得，所以，故B正確；對(duì)于D，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，故C正確.故選：BC.三、填空題13．化簡(jiǎn)：.【答案】【解析】，故答案為：14．已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則.【答案】/【解析】因?yàn)?，，與的夾角為，所以.由，得，解得.故答案為：.15．已知平面向量滿足，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】1或【解析】將兩邊平方，得，得，即，解得或．故答案為：或.16．已知向量，滿足，，則．【答案】【解析】由，得，又，兩式相加得，則，則.故答案為：.四、解答題17．已知，，當(dāng)，滿足下列條件時(shí)，分別求的值．(1)；(2)；(3)與的夾角為．【解析】（1）因?yàn)?，所以與的夾角為或，又，，當(dāng)與的夾角為時(shí)，當(dāng)與的夾角為時(shí).（2）因?yàn)椋耘c的夾角為，所以.（3）因?yàn)榕c的夾角為，所以.18．判斷下列各小題中的向量，是否共線：(1)，；(2)，（其中兩個(gè)非零向量和不共線）；(3)，.【解析】（1），，所以，所以，共線.（2），,所以，所以，共線.（3）因?yàn)?，，所以，所?所以，共線.19．已知，，與的夾角為，計(jì)算下列各式：(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)椋?，與的夾角為，所以，所以.20．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點(diǎn)，，，與所成角是.(1)若，求實(shí)數(shù)x，y的值；(2)求線段EF的長(zhǎng)度.【解析】（1）由題意，可得．∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點(diǎn)，∴，，∴①+②得，，∴，又，∴，．（2）∵，，，所成角為，∴，∴，∴線段EF的長(zhǎng)度為.21．如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，設(shè).

(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值.【解析】（1）依題意，由于三點(diǎn)共線，所以.（2）由（1）得，所以.平面向量的運(yùn)算隨堂檢測(cè)1.化簡(jiǎn)等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選:C.2.已知在邊長(zhǎng)為2的等邊中，向量，滿足，，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】如圖所示：設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，由題可知：.故選：C.3．，，向量與